九上期末数学试卷3

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四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（4分）下列说法正确的是（）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和14．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（）A．B．C．D．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：98．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是米．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别判断这四个几何体从正面看和从左面看的形状，进而求解．【解答】解：球从正面看和从左面看都是圆，形状相同；三棱柱从正面看是长方形，从左面看是三角形，形状不同；圆锥从正面看和从左面看都是三角形，形状相同；圆柱从正面看和从左面看都是长方形，形状相同；综上，从正面看和从左面看形状相同的几何体有3个；故选：C．【点评】本题考查了从不同方向看几何体，正确判断从正面看和从左面看的形状是关键．2．（4分）下列说法正确的是（）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，选择答案即可．【解答】解：∵将方程5x2﹣1＝4x整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，∴二次项系数为5，一次项系数为﹣4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据各角度与直角的关系直接求解即可．【解答】解：由图可知∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣150°＝30°，因为四边形是矩形，即∠5＝90°，所以∠4＝90°﹣30°＝60°，所以∠2＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】此题考查矩形的性质，解题关键是灵活使用直角和平角．5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝2，OB＝BD＝3，由勾股定理求出BC＝＝，由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC•BD，即可求出AE＝，由勾股定理即可得到CE＝＝．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OB＝3，∴BC＝＝，∵AE⊥BC，∴菱形的面积＝BC•AE＝AC•BD，∴AE＝×4×6，∴AE＝，∴CE＝＝．故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC •BD，求出AE的长．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和配得紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：根据两个转盘的形状，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有5种，∴配得紫色的概率＝，故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：9【分析】根据平行四边形得出AD∥BC，可证△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFE∽△CFB，∵AE：DE＝1：2，∴AE：AD＝1：3＝AE：BC，∴△AFE与△CFB的相似比为1：3，∴S△AEF：S△BCF＝1：9．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是　1　．【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1　＜　x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先判断出点A、B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断．【解答】解：∵k＝2024＞0，y1＞y2＞0，∴点A、B在第一象限，且在同一象限内，y随x的增大而减小，∴x1＜x2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是　4.5　米．【分析】根据题意可得∠APB＝∠CPD，根据垂直定义可得∠ABD＝∠CDB＝90°，从而可证△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5，∴该古城墙的高度CD是4.5m，故答案为：4.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为　（10，12）　．【分析】根据点B、B′的坐标求出△ABC和△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B ′的坐标分别为（8，2）、（16，4），∴△ABC和△A′B′C′的位似比为1：2，∵点A的坐标为（5，6），∴点A′的坐标为（5×2，6×2），即（10，12），故答案为：（10，12）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为　5　cm．【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则根据菱形的面积＝AB×OC求解即可．【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝5，解得OC＝5（cm）．故答案为：5．【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+7x+3＝0，这里a＝2，b＝7，c＝3，∵Δ＝49﹣24＝25＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．【分析】（1）设另一个实数根为m，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1+m＝4，求出m的值即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β＝4，αβ＝c+3，把变形为，然后代入即可．【解答】解：（1）设关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0另一个实数根为m，根据题意得：﹣1+m＝4，∴m＝5，即另一个实数根为5；（2）∵方程的两个不相等的实数根为α和β，∴α+β＝4，αβ＝c+3，∴，解得c＝﹣4或1，当c＝﹣4时，Δ＝20＞0；当c＝1时，Δ＝0（不符合题意，舍去）．综上可得，c的值为﹣4．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有　20　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为　72　度，图中m的值为　40　；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），表示“D等级”的扇形的圆心角为；C等级所占的百分比为，所以m＝40，故答案为：20，72，40．（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），补全统计图，如图所示：（3）解：根据题意，列出表格，如下：男女1女2男女1、男女2、男女1男、女1女2、女1女2男、女2女1、女2共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰是一男一女的概率为．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠ACD＝∠B，∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，∴∠ADC＝35°+35°＝70°；（2）∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AD＝3，BD＝5，∴＝，解得：AC＝2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，过D作DF⊥x轴于F，求得CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，求得直线OD的解析式为y＝x，设直线AP的解析式为y＝x+b，得到直线AP的解析式为y＝x+，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）作AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，6）可知，m＝﹣6，AB＝6，OB＝1．又∠ACO＝45°，AB＝CB，∴OC＝5．即C（5，0），∴，∴，∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，∴E（0，5），C（5，0），∴OC＝OE＝5，过D作DF⊥x轴于F，∴CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，∴OD2＝OF2+DF2＝x2+（5﹣x）2，CD＝CF＝（5﹣x），∵CE＝OC＝5，∴DE﹣CE﹣CD＝5﹣（5﹣x）＝x，∵AC＝AB＝6，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x，∵∠AOD＝∠OED＝45°，∠ADO＝∠ODE，∴△ADO∽△ODE，∴，∴OD2＝AD•DE，∴x2+（5﹣x）2＝（x）×x，解得x＝，∴OF＝，DF＝5﹣＝，∴；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，∵；∴直线OD的解析式为y＝x，∴设直线AP的解析式为y＝x+b，∵点A（﹣1，6），∴6＝﹣+b，∴b＝，∴直线AP的解析式为y＝x+，当y＝0时，x＝﹣，∴P（﹣，0），∴OP＝，当点P在x轴的正半轴上时，P（，0），综上所述，P（，0）或（﹣，0）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是　2023　．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把ab﹣2024a﹣2024b变形为ab﹣2024（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，∴ab﹣2024a﹣2024b＝ab﹣2024（a+b）＝﹣1﹣2024×（﹣1）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝　　．【分析】由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，先利用勾股定理计算出AC＝2，则AD＝2﹣2，所以AE＝2﹣2，再计算出BE＝6﹣2，然后计算的值．【解答】解：由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣2，∴AE＝2﹣2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为　或　．【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，当△APD与△ABC相似时，∵点D始终在边AC上，根据折叠PB＝PD，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，∴分两种情况：①△APD∽△ABC，此时∠ADP＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，②△APD∽△ACB，此时∠APD＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，综上，AP的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为　5　．【分析】过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，利用相似三角形的判定与性质求得线段DE的长度，则点C的坐标可得，利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得点B坐标，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，如图，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝mn．∵DE⊥OA，CF⊥OA，∴DE∥CF，∴△ACF∽△ADE，∴，∵AC：CD＝2：3，∴AC：AD＝2：5，∴，∴CF＝m．∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴C（m，n），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+n．令y＝0，则x+n＝0，∴x＝m，∴B（m，0）．∴OB＝m．∵S△OBD＝，∴OB•OE＝，∴m•n＝，∴mn＝5，∴k＝mn＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为．【分析】根据正方形的性质得点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，进而得点D，点E，则AD＝，CE＝，BE＝，BD＝，再根据△DOE 的面积为4，得3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，由此求出k＝3，则点D （3，1），点E（1，3），在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，根据点E，M关于OC对称，得当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．然后在Rt△MBD中，由勾股定理求出MD的长即得PE+PD的最小值．【解答】解：∵四边形OABC为正方形，且边长为3，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，AB⊥OA，BC⊥OC，∠B＝90°，∴点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，∵点D，E在反比例函数（k＞0）的图象上，∴点D的坐标为，点E的坐标为，∴AD＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，BD＝AB﹣AD＝，∵△DOE的面积为4，∴S△DOE＝S正方形OABC﹣S△OAD﹣S△BDE﹣S△OCE＝4，∴3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，整理得：，解得：k＝3，或k＝﹣3（不合题意，舍去），∴点D（3，1），点E（1，3），∴AD＝＝1，CE＝1，∴BD＝2，BE＝2在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，如图所示：∵BC⊥OC，CM＝CE＝1，∴点E，M关于OC对称，∴当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．在Rt△MBD中，BD＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，由勾股定理得：MD＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数的图形，利用轴对称求最短路线，理解理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握利用轴对称求最短路线的方法与技巧是解决问题的关键．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【分析】（1）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x （元/件）的函数关系式；（2）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解（1）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（2）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．答：该产品的售价每件应定为90元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据平行四边形的性质得出∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，进而证明△EBF∽△FBC，得出BC＝，即可求解；（3）过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，证明△ECM∽△BCE，得出EM＝16，继而证明△AFE∽△CFM，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DCB，∴△ABD∽△DBC，∴，∴BD2＝BA•BC；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，∵AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∵∠DFC＝∠FCB，∠EFB＝∠DFC，∴∠EFB＝∠FCB，∴△EBF∽△FBC，∴，解得：BC＝，∴AD＝；（3）解：过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，∵∠AEF+∠CEF+∠DEC＝180°，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEF﹣∠DEC，∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠CEF＝∠CBE，∵CM∥AD，∴∠DEC＝∠ECM，∵∠DEC＝∠DCE，∴∠ECM＝∠DCE，∴△ECM∽△BCE，∴，∵BE＝12，∴EM＝16，∵EF＝10，∴FM＝16﹣10＝6，∵CM∥AD，∴△AFE∽△CFM，∴．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）分两种情况：当点M位于∠OCC′内部时，延长CN交反比例函数于M；当点M 位于∠O′CC′外部时，作O′N'⊥CM'于N′，连接NN′，分别求解即可．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，∴一次函数的表达式为y＝x﹣3，反比例函数的表达式为y＝；。

2023-2024学年重庆市渝北区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年重庆市渝北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的，请在答题卡上把你认为是正确的选项对应的方框涂黑.1．（4分）2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．22．（4分）下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（）A．中B．国C．繁D．华3．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则k的值是（）A．B．6C．D．﹣64．（4分）下列调查中，适合普查的是（）A．调查全国中学生的视力情况B．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量C．调查一批电池的使用寿命D．调查市场上某种饮料的质量情况5．（4分）估计的值在（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间6．（4分）如图，已知AB∥CD，∠BAP＝33°，∠DCP＝21°，则∠P的度数为（）A．52°B．53°C．54°D．55°7．（4分）周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，，则△ADC的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（）A．2B．C．D．10．（4分）关于x的二次三项式M＝2x2+ax+b，关于x的三次三项式N＝3x3﹣5x2﹣7＝c（x ﹣1）3+d（x﹣1）2+e（x﹣1）+f，下列说法中正确的个数为（）①当多项式M•N乘积不含x3时，则5a＝3b；②当M能被2x+1整除时，a﹣2b＝1；③c﹣d+e＝2．A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应题号的横线上.11．（4分）（）﹣1+（）0＝．12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．13．（4分）有三张背面完全一样，正面分别写有数字1，0，﹣1的卡片，若将它们背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的概率是．14．（4分）若a2+2ab＝4，b2﹣3ab＝﹣2，则2a2+b2+ab＝．15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，连接AC，取AC中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边AD，AB于点E，F，则图中阴影部分的面积是．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y 的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为．17．（4分）如图，在菱形ABCD中AC交BD于点O，点M为OB的中点，连接AM并延长交BC于点N，若AC＝12，BN＝，则AN＝．18．（4分）对于一个两位数，（0≤b≤a≤9，1≤a+b≤9），记F（m）＝a+b，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为m'的十位数字和个位数字，新形成的两位数m'叫做m的伴生和差数，把m放置于m'十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为，若M能被7整除，则的最小值为．三、解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，第20-26小题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（8分）计算．（1）x（x+2）﹣（x+1）（x﹣1）；（2）．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BM⊥AC于点M．（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DN⊥AC于点N，并连接BN，DM．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）求证：BN＝DM．（请补全下面证明过程）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴①．∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴②．在△ABM 和△CDN 中，，∴△ABM ≌△CDN （AAS ）．∴③．又∵BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，∴BM ∥DN ．∴④．∴BN ＝DM ．21．（10分）宪法是我国的根本法，是治国安邦的总章程，是党和人民意志的集中体现.2023年12月4日是我国第十个国家宪法日，在这一天某学校开展了宪法知识竞答比赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩进行整理分析（成绩用x 表示，满分100分，共分成四组：D 组0≤x ＜60，C 组60≤x ＜80，B 组80≤x ＜100，A 组x ＝100）下面给出了部分信息：七年级抽取的学生比赛成绩在B 组的数据是：98，88，89，90，95，86；八年级抽取的学生比赛成绩的数据是：50，52，52，59，63，66，78，78，78，87，89，92，96，100，100，100，100，100，100，100．七、八年级抽取的学生比赛成绩的统计表年级平均数众数中位数满分率七年级81.5100a m %八年级82b8835%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出a ，b ，m 的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对宪法知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400人，八年级有600人参加此次宪法知识竞答比赛，估计该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数有多少人？22．（10分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场盛大开幕，潮起东方惊艳世界．奥体中心体育场的设计也同样令人赞叹，以莲花为原型，由28片大“莲花瓣”和27片小“莲花瓣”组成，宛如一朵绽放的莲花，栩栩如生．建设初期，计划由甲、乙两工程队承包完成其中一个小项目，若乙队单独施工，则恰好在计划工期完成；若甲队单独施工，可提前8天完成；若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成．（1）求甲、乙两队单独完成该项目所需的时间；（2）实际施工时，甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独施工完成．甲队每天施工费用为2万元，乙队每天施工费用为1.25万元，为了控制预算，该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，则甲队至多施工多少天？23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点Q为边BC上的中点．动点M从点A出发，沿折线AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设为y．（y≠0）运动的时间为t秒，记S△MDQ（1）请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合图象，当y≥2时，直接写t的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）24．（10分）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km．（1）求出B，C两岛的距离；（2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？25．（10分）二次函数y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），点B（4，0），点C，点D分别为二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，连接BC，过点A作BC的平行线交二次函数于点E，连接CM，BM，BE，CE．求四边形CMBE面积的最大值以及此时点M的坐标；（3）如图2，过点M作MN∥y轴，交BC于点N（点M不与点D重合），过点D作DH ∥y轴，交BC于点H，当DM＝HN时，直接写出点M的坐标．26．（10分）已知△ABC，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝60°，点D是线段BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°到AM，连接DM，CM．若BD＝2，CD＝1，求△CDM的面积；（2）如图2，若∠BAC＝90°，点D在边AB上，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，连接MD并延长交BC于点H，连接AH，CD，猜想AH与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠BAC＝60°，AB＝3，点D是线段BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，过点C作CE⊥AQ于点E交BA的延长线于点M，过点E分别作EN⊥AB于点N，作EH⊥AB于点H，连接NH，当NH取最大值时，请直接写出△NHE的面积．2023-2024学年重庆市渝北区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的，请在答题卡上把你认为是正确的选项对应的方框涂黑.1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项A的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．3．【分析】把点（2，﹣3）代入即可求解．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，﹣3），∴k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．4．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A．调查全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；B．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量，适合全面调查，故本选项符合题意；C．调查一批电池的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；D．调查市场上某种饮料的质量情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．【分析】先运用二次根式知识进行计算，再进行比较，即可得出答案．【解答】解：＝4+，∵1＜＜2，∴5＜4＜6，∴的值在5与6之间．故选：C．【点评】此题考查了二次根式和无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则和无理数的估算是解题的关键．6．【分析】过点P作PE∥AB，则∠BAP＝∠APE，再由AB∥CD可知PE∥CD，故∠DCP ＝∠EPC，据此可得出结论．【解答】解：过点P作PE∥AB，∵∠BAP＝33°，∠DCP＝21°，∴∠BAP＝∠APE＝33°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠DCP＝∠EPC＝21°，∴∠P＝∠APE+∠EPC＝33°+21°＝54°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．7．【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小；第二阶段：在公园锻炼了一会，这一阶段公园的距离不随时间的变化而改变，即为0；第三阶段：散步回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，并且这段的速度小于第一阶段的速度．故选：C．【点评】本题主要考查函数图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．8．【分析】根据圆周角定理、垂径定理的推论得到∠ACD＝90°，AD⊥CB，∠CAD＝∠CAB，根据余弦的定义求出AD，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AB＝3，∴AC＝BC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，AD⊥CB，∠CAD＝∠CAB＝30°，∴CE＝EB，在Rt△ACE中，∠CAD＝30°，AC＝3，∴CE＝AC＝，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3，∴AD＝＝6，＝××6＝，∴S△ADC故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、垂径定理的推论、圆周角定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．9．【分析】过点B作BE⊥CM于E，可证得△DCN≌△CBE（AAS），再证得△BNE是等腰直角三角形，即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E，∵DN⊥CM，BE⊥CM，∴∠DNC＝∠CEB＝90°，∴∠DCN+∠CDN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠DCN+∠BCE＝90°，∴∠CDN＝∠BCE，∴△DCN≌△CBE（AAS），∴DN＝CE，CN＝BE，∵DN＝2CN＝2，∴CN＝BE＝1，CE＝2，∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，∴EN＝BE＝1，∵∠BEN＝90°，∴△BNE是等腰直角三角形，∴BN＝BE＝．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．10．【分析】①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得5a﹣3b＝0；②由题意可知（2x2+ax+b）÷（2x+1）＝x+b，则2x2+2bx+x+b＝2x2+ax+b，即可求得a﹣2b＝1；③由题意可得3x3﹣5x2﹣7＝c（x3﹣3x2+3x﹣1）+d（x2﹣2x+1）+e（x﹣1）+f，从而得到c＝3，d﹣3c＝﹣5，3c﹣2d+e＝0，分别求出c、d、e的值即可判定．【解答】解：①M•N＝（2x2+ax+b）（3x3﹣5x2﹣7）＝6x5﹣10x4﹣14x2+3ax4﹣5ax3﹣7ax+3bx3﹣5bx2﹣7b＝6x5﹣（10﹣3a）x4﹣（14+5b）x2﹣（5a﹣3b）x3﹣7ax﹣7b，∵多项式M•N乘积不含x3，∴5a﹣3b＝0，故①符合题意；②（2x2+ax+b）÷（2x+1）＝x+b，∴2x2+2bx+x+b＝2x2+ax+b，∴2b+1＝a，即a﹣2b＝1；故②符合题意；∵3x3﹣5x2﹣7＝c（x﹣1）3+d（x﹣1）2+e（x﹣1）+f，∴3x3﹣5x2﹣7＝c（x3﹣3x2+3x﹣1）+d（x2﹣2x+1）+e（x﹣1）+f，∴c＝3，d﹣3c＝﹣5，3c﹣2d+e＝0，解得d＝4，e＝﹣1，∴c﹣d+e＝3﹣4﹣1＝﹣2，故③不符合题意；故选：C．【点评】本题考查多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应题号的横线上.11．【分析】利用负整数指数幂，零指数幂计算即可．【解答】解：原式＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．12．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）×180°＝900°，解得：n＝7，∴这个多边形的边数为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：10﹣11（1，1）（1，0）（1，﹣1）0（0，1）（0，0）（0，﹣1）﹣1（﹣1，1）（﹣1，0）（﹣1，﹣1）共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的结果有：（1，﹣1），（﹣1，1），共2种，∴抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】把原式整理后，再代入化简即可．【解答】解：由b2﹣3ab＝﹣2得：b2＝﹣2+3ab，由a2+2ab＝4得：a2＝4﹣2ab．2a2+b2+ab＝2a2﹣2+3ab+ab＝2（4﹣2ab）﹣2+3ab+ab＝8﹣4ab﹣2+3ab+ab＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的化简，熟练进行整理化简是解题的关键．15．【分析】阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形AEF的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，AC⊥BD，∵AB＝4，∴AO＝AB•cos∠BAC＝2，BO＝AB•sin∠BAC＝2，AC＝4，BD＝4，阴影部分的面积＝×AC×BD﹣＝8﹣2π，故答案为：8﹣2π．【点评】本题考查了菱形、扇形的面积，关键是掌握菱形、扇形的面积公式．16．【分析】求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，根据其解为整数，求得所有符合条件的m的值，将这些值相加即可．【解答】解：不等式组的解集为﹣4＜x＜m，∵原不等式组有解且最多4个整数解，∴﹣4＜m≤1．分式方程的解为y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴m≠﹣1．∴﹣1＜m+3≤4，且m+3≠2，∵y＝为整数，∴m+3＝0或4，当m+3＝0时，m＝﹣3；当m+3＝4时，m＝1，﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是本题的关键．17．【分析】通过证明△ADM∽△NBM，可得＝3，可得AD＝3BN＝6，AM ＝3MN，由勾股定理可求DO的长，AM的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝6，BO＝DO，∵点M为OB的中点，∴OM＝BM，∴DM＝3OM＝3BM，∵AD∥BC，∴△ADM∽△NBM，∴＝3，∴AD＝3BN＝6，AM＝3MN，∴DO＝＝＝12，∴MO＝BM＝6，∴AM＝＝＝6，∴MN＝2，∴AN＝AM+MN＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．18．【分析】根据题意用a、b写出四位数M的表达式，根据a、b的范围，可得最小的M，因为M能被7整除，所以可知a和b的取值，即得的最小值．【解答】解：∵两位数m的十位数字是a，个位数字是b，两位数m′的十位数字是（a+b），个位数字是（a﹣b），∴四位数M＝1000（a+b）+100a+10b+（a﹣b）＝1101a+1009b，∴a＝1，b＝0时，M最小，M＝1101，∵M能被7整除，1≤a+b≤9，∴a＝3，b＝1时，M＝4312，a＝5，b＝4时，M＝9541，a＝6，b＝2时，M＝8624，a＝7，b＝0时，M＝7707，＝＝+最小，即最小，∴a＝7，b＝0时，＝，故答案为：1101，．【点评】本题考查了整式的加减，关键是计算正确．三、解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，第20-26小题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．【分析】（1）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式计算，进而得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝x2+2x﹣（x2﹣1）＝x2+2x﹣x2+1＝2x+1；（2）原式＝[+]•＝•＝．【点评】此题主要考查了分式的混合运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．【分析】（1）利用基本作图，过D点作AC的垂线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD．则∠BAM＝∠DCN，再证明△ABM≌△CDN得到BM＝DN，然后判断四边形BMDN为平行四边形，从而得到BN＝DM．【解答】（1）解：如图，DN为所作；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠BAM＝∠DCN，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠AMB＝∠CND，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（AAS），∴BM＝DN，又∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴BM∥DN．∴四边形BMDN为平行四边形，∴BN＝DM．故答案为：∠BAM＝∠DCN，∠AMB＝∠CND，BM＝DN，四边形BMDN为平行四边形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．21．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用“1”分别减去其它三个等级所占百分比可得m的值；（2）根据平均数、中位数和满分率进行判断即可；（3）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的满分率即可求解．【解答】解：（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（86+88）÷2＝87（分），因此中位数是87分，即a＝87；八年级学生竞赛成绩的100出现的次数最多，故众数为100，即b＝100；m%＝1﹣25%﹣20%﹣＝25%，即m＝25．（2）八年级学生对宪法知识掌握更好，理由如下：因为八年级学生的平均数、中位数和满分率都高于七年级，所以八年级学生对宪法知识掌握更好；（3）400×25%+600×35%＝100+210＝310（人），答：估计该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数大约有310人．【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提．22．【分析】（1）设甲队单独完成该项目所需的时间为x天，则乙队单独完成该项目所需的时间为（x+8）天，根据若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成．列出分式方程，解方程即可；（2）设甲队施工y天，则乙队施工＝（32﹣y）天，根据该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设甲队单独完成该项目所需的时间为x天，则乙队单独完成该项目所需的时间为（x+8）天，由题意得：+＝1，解得：x＝24，经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝24+8＝32，答：甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天；（2）设甲队施工y天，则乙队施工＝（32﹣y）天，由题意得：2y+1.25（32﹣y）≤45，解得：y≤15，答：甲队至多施工15天．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．23．【分析】（1）分为：当0＜t＜4时，y＝DM•AB＝（4﹣t）＝﹣；当4＜t≤7时，y＝＝t﹣4；（2）取（0，6），（4，0）及（7，3）作出图象，根据函数图象写增减性；（3）当y＝2时，由﹣和t﹣4＝2分别求出t的值，进而得出结果．【解答】解：（1）如图1，当0＜t＜4时，y＝DM•AB＝（4﹣t）＝﹣，如图2，当4＜t≤7时，y＝＝t﹣4，综上所述：y＝；（2）如图3，在4＜t≤7范围内，y随着t的增大而增大；（3）当y＝2时，由﹣得，t＝≈2.7，由t﹣4＝2得，t＝6，∴当y≥2时，0＜t≤2.7或6≤t≤7．【点评】本题考查了求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．24．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC，从而解决问题；（2）由25＞20，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意知：∠ACD＝45°，∴∠A＝∠ACD＝45°，∴CD＝AD，在Rt△ACD中，AC＝km，由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2，∴2AD2＝（）2，解得AD＝20km（负值已舍），∴CD＝20km，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km），由勾股定理，得BC＝＝＝52（km），答：B，C两岛的距离为52km；（2）会受影响，以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，则EF＝2DE，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝＝＝15（km），∴EF＝30km，30÷20＝1.5（h），答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h．【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD⊥AB构造直角三角形是解题的关键．25．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求出直线BC的解析式，再由平行线的性质求出直线AE的解析式从而确定E点坐标，再由直线CE的解析式求出直线CE与x轴的交点坐标，从而求出三角形BCE的面积，过点M作MG∥y轴交直线BC于点G，设M（t，﹣t2+3t+4），则G（t，﹣t+4），可＝﹣2（t﹣2）2+8，从而求出四边形面积的最大值及点M的坐标；得S△BCM（3）求出D（，），H（，），设M（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），则DM ＝，HN＝，再由DM＝HN，求出x＝（舍）或x＝或x＝，即可求M点坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∴OC＝OB＝4，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵AE∥BC，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，当﹣x﹣1＝﹣x2+3x+4时，解得x＝﹣1或x＝5，∴E（5，﹣6），设CE的直线解析式为y＝kx+4，∴5k+4＝﹣6，解得k＝﹣2，∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4，∴直线CE与x轴的交点为（2，0），＝（4﹣2）×（4+6）＝10，∴S△BCE过点M作MG∥y轴交直线BC于点G，设M（t，﹣t2+3t+4），则G（t，﹣t+4），∴MG＝﹣t2+3t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，＝4×（﹣t2+4t）＝﹣2（t﹣2）2+8，∴S△BCM+S△BCM＝10﹣2（t﹣2）2+8，∴四边形CMBE的面积＝S△BCE∵0＜t＜4，∴当t＝2时，四边形CMBE的面积有最大值18，此时M（2，6）；（3）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴D（，），∵DH∥y轴，∴H（，），设M（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4），∴DM＝，HN＝，∵DM＝HN，∴＝，解得x＝（舍）或x＝或x＝，∴M（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，平行线的性质，铅锤法求面积是解题的关键．26．【分析】（1）可证明△BAD≌△CAM，从而得出∠ACM＝∠AB＝60°，CM＝BD＝2，进一步得出结果；（2）作AG⊥MH于G，可证明△AGH∽△DAC，进一步得出结果；（3）可证得四边形BCEN内接于以BE为直径的圆，从而得出NH＝BE•sin∠ABC＝BE，故当BE最大时，NH最大，可证得E在以AC为直径的圆O上运动，连接BO 并延长，交⊙O于点E，此时BE最大，NH最大，NH交BE于X，进一步得出结果．【解答】解：（1）如图1，作ME⊥BC，交BC的延长线于点E，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°到AM，∴∠AD＝AM，∠DAM＝60°，∴∠BAC＝∠DAM，∴∠BAD＝∠CAM，∴△BAD≌△CAM（SAS），∴∠ACM＝∠AB＝60°，CM＝BD＝2，∴∠MCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACM＝60°，∴EM＝CM＝，＝；∴S△CDM（2）如图2，CD＝AH，理由如下：作AG⊥MH于G，∵∠BAC＝90°，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，∴AD＝AM，∠DAM＝90°，M、A、C共线，∴∠BDH＝∠ADM＝∠M＝45°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DHC＝∠BHD＝90°，∴∠DHC+∠BAC＝180°，∴点A、D、H、C共圆，∴∠AHG＝∠ACD，∵∠AGH＝∠BAC＝90°，∴△AGH∽△DAC，∴，∴CD＝AH；（3）如图3，∵EN⊥AB，EH⊥BC，∴∠ENB＝∠EHB＝90°，∴四边形BCEN内接于以BE为直径的圆，∵∠ABC＝60°，∴NH＝BE•sin∠ABC＝BE，∴当BE最大时，NH最大，∵∠AEC＝90°，AC＝AB＝3，∴E在以AC为直径的圆O上运动，连接BO并延长，交⊙O于点E，此时BE最大，NH最大，NH交BE于X，此时BE＝OB+OE＝AB+AC＝AB＝，∴EN＝EH＝BE＝，∴NX＝HX＝EN＝，EX＝EN＝，＝NH•EX＝NX•EX＝．∴S△NHE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是将条件转化。

九年级(上)期末数学试卷(解析版)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=153．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=427．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+39．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=x2﹣2x+3中的对称轴是直线x=1，开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＞1时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（2016•海南）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋转的性质可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故选D．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解题的关键．10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是（﹣1，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16cm2．【考点】二次函数的应用．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，其面积为s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2．故答案为：16．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以这个函数的关系式为y=﹣（x+2）2+2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【考点】作图—应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr=，∴r=，答：所制作圆锥底面的半径长为．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，∴m的值为﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=D y ﹣P y列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴A （3，0），B（1，0）设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴当时，l取得最大值为．（3）分两种情况：①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②当点A为直角顶点时，如图2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y轴，∴PD⊥AO，∴P与D关于x轴对称，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐标为P（2，﹣1）．∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=D y﹣P y列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．。

九年级(上)期末数学试卷(解析版) (3)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤A．2个B．3个C．4个D．5个2．若关于x的方程mx2﹣4x+2=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≠0 C．m≤2且m≠0 D．m＜23．一条排水管的截面如下左图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度是（）A．4 B．5 C．6D．64．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（）A．24cm2B．6cm2C．12cm2 D．8cm25．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°6．函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定7．函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C． D．8．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（）m．A．3 B．3C．3D．4二、填空题9．一元二次方程x2=3x的解是：．10．将抛物线y=3x2﹣2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为．11．设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个根，则代数式x12+x22的值为．12．点P（﹣2，3）将点P绕点O逆时针旋转90°，则P的坐标为．13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．14．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．15．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．16．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．三、解答题17．（2015秋•红河州期末）（1）解方程：（2x﹣3）2=9（2）化简：（﹣1）3﹣|1﹣|+（）﹣2×（π﹣3.14）0﹣．18．（2012•潘集区模拟）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．19．（2014•槐荫区二模）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？20．（2015秋•红河州期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）；（4）求出（2）△A2BC2的面积是多少．21．（2015秋•红河州期末）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球，（除颜色外其余都相同），其中白球有两个，黄球有1个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为．（1）试求袋中蓝球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法表示两次摸到球的所有可能结果，并求两次摸到的球都是白球的概率．22．（2007•贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？23．（2015秋•红河州期末）△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．24．（2015秋•红河州期末）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2017-2018学年云南省红河州九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选B．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．2．若关于x的方程mx2﹣4x+2=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≠0 C．m≤2且m≠0 D．m＜2【考点】根的判别式；一元一次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】分类讨论：当m=0，方程变形为﹣4x+2=0，一元一次方程有实数解；当m≠0，根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4m×2≥0，解得m≤2，然后综合两种情况即可．【解答】解：当m=0，方程变形为﹣4x+2=0，方程的解为x=；当m≠0，△=（﹣4）2﹣4m×2≥0，解得m≤2；综上所知当m≤2时，方程有实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．一条排水管的截面如下左图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度是（）A．4 B．5 C．6D．6【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】过O作OD⊥AB交AB于C，交圆于点D，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OC的长，由CD=OD﹣OC即可得出结论．【解答】解：过O作OD⊥AB交AB于C，交圆于点D，如图所示：∴OD=OB=10，∵AB=16，∴由垂径定理得：BC=AB=8，∴OC===6，∴CD=OD﹣OC=10﹣6=4．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理与勾股定理是解决问题的关键．4．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（）A．24cm2B．6cm2C．12cm2 D．8cm2【考点】正多边形和圆．【分析】根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．【解答】解：∵正六边形内接于半径为2cm的圆内，∴正六边形的半径为2cm，∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2cm；∴正六边形的面积S=6××2×2sin60°=6cm2．故选B．【点评】本题考查的是正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．5．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°【考点】圆周角定理．【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣∠ABD=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故选A．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．6．函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】根据x1、x2与对称轴的大小关系，判断y1、y2的大小关系．【解答】解：∵y=﹣2x2﹣8x+m，∴此函数的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2，∵x1＜x2＜﹣2，两点都在对称轴左侧，a＜0，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故选：A．【点评】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．7．函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】可根据a＞0时，﹣a＜0和a＜0时，﹣a＞0分别判定．【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b ＜0时一次函数过二，三，四象限；当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．所以B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是根据a，b的取值来判定二次函数及一次函数的图象的正误．8．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（）m．A．3 B．3C．3D．4【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P 在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．【解答】解：圆锥的底面周长是6π，则6π=，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=m．故小猫经过的最短距离是3m．故选C．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．二、填空题9．一元二次方程x2=3x的解是：x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2=3x，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．10．将抛物线y=3x2﹣2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2﹣5．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=3x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），再根据点平移的规律得到点（0，﹣2）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=3x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为（﹣2，﹣5），所以所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2﹣5．故答案为y=3（x+2）2﹣5．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．设x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个根，则代数式x12+x22的值为13．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=﹣2，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×（﹣2）=13．故答案为：13．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．12．点P（﹣2，3）将点P绕点O逆时针旋转90°，则P的坐标为（﹣3，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】数形结合．【分析】如图，作PQ⊥y轴于点Q，由P点坐标得PQ=2，OQ=3，把△OPQ绕点O逆时针旋转90°得到△OP′Q′，根据旋转的性质得∠QOQ′=90°，∠OQ′P′=∠OQP=90°，P′Q′=PQ=2，OQ′=OQ=3，然后根据第二象限点的坐标特征可写出P′点的坐标．【解答】解：如图，作PQ⊥y轴于点Q，∵点P坐标为（﹣2，3），∴PQ=2，OQ=3，把△OPQ绕点O逆时针旋转90°得到△OP′Q′，∴∠QOQ′=90°，∠OQ′P′=∠OQP=90°，P′Q′=PQ=2，OQ′=OQ=3，∴P′点的坐标为（﹣3，2）．故答案为（﹣3，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题和画出旋转图形．13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是0或1．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．【专题】分类讨论．【分析】需要分类讨论：①若m=0，则函数为一次函数；②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m 不为0，即可求出m的值．【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．故答案为：0或1．【点评】此题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．14．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为160°．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径是80cm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，∵母线长90cm，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π，∴=3600π，解得：n=160．故答案为：160°．【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．15．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是﹣3＜x＜1．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【解答】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=﹣x2+bx+c的完整图象．16．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是π+2．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】在△ABC中，BC=2，AC=2，根据勾股定理得到AB的长为4．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△A′BC″的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．【解答】解：∵在Rt△ACB中，BC=2，AC=2，∴由勾股定理得：AB=4，∴AB=2BC，∴∠CAB=30°，∠CBA=60°，∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°，S=++×2×2=π+2，故答案为：π+2．【点评】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．三、解答题17．（2015秋•红河州期末）（1）解方程：（2x﹣3）2=9（2）化简：（﹣1）3﹣|1﹣|+（）﹣2×（π﹣3.14）0﹣．【考点】实数的运算；平方根；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题；实数．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；（2）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用绝对值的代数意义计算，第三项利用负整数指数幂、零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）开方得：2x﹣3=3或2x﹣3=﹣3，解得：x1=3，x2=0；（2）原式=﹣1﹣+1+4﹣2=4﹣3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2012•潘集区模拟）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】（1）先计算出△=（m+2）2﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x2﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得：x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，当m=﹣2时，方程两根互为相反数，当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和根与系数的关系．19．（2014•槐荫区二模）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可【解答】解：设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2=100，解得x1=﹣225%（不合题意，舍去），x2=25%，100×（1+25%）=125（辆）．答：该商城4月份卖出125辆自行车．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程，这也是本题的难点．20．（2015秋•红河州期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）；（4）求出（2）△A2BC2的面积是多少．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征，写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2；（3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可；（4）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△A2BC2的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）BC==，所以C点旋转到C2点所经过的路径长==π；（4）△A2BC2的面积=3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3=．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．21．（2015秋•红河州期末）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球，（除颜色外其余都相同），其中白球有两个，黄球有1个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为．（1）试求袋中蓝球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法表示两次摸到球的所有可能结果，并求两次摸到的球都是白球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式，结合摸出一个球是白球的概率为求出答案；（2）采用列表法或树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．【解答】解：（1）设蓝球个数为x个，则由题意得=，解得：x=1，答：蓝球有1个；（2）故两次摸到都是白球的概率==．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（2007•贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】方程思想．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y=90﹣3（x﹣50），然后根据销售利润=销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）由题意得：y=90﹣3（x﹣50）化简得：y=﹣3x+240；（3分）（2）由题意得：w=（x﹣40）y（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600；（3分）（3）w=﹣3x2+360x﹣9600∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下．当时，w有最大值．又x＜60，w随x的增大而增大．∴当x=55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．（4分）【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．23．（2015秋•红河州期末）△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据切线长定理，可设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zcm．再根据题意列方程组，即可求解．【解答】解：根据切线长定理，设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zcm．根据题意，得，解得：．即AF=4cm、BD=5cm、CE=9cm．【点评】此题要熟练运用切线长定理．注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到x+y+z的值，再进一步用减法求得x，y，z的值．24．（2015秋•红河州期末）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由对称轴确定h的值，代入点A坐标即可求解；（2）设出点P坐标并表示△POC的面积根据题意列出方程求解即可；（3）设出点Q，D坐标并表示线段QD的长度，建立二次函数，运用二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）由题意对称轴为直线x=﹣1，可设抛物线解析式：y=a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入可得，a=1，∴y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，（2）如图1，y=x2+2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，所以点C（0，﹣3），OC=3，令y=0，解得：x=﹣3，或x=1，∴点B（1，0），OB=1，设点P（m，m2+2m﹣3），此时S△POC=×OC×|m|=|m|，S△BOC==，由S△POC=4S△BOC得|m|=6，解得：m=4或m=﹣4，m2+2m﹣3=21，或m2+2m﹣3=5，所以点P的坐标为：（4，21），或（﹣4，5）；（3）如图2，设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直线AC：y=﹣x﹣3，设点Q（n，﹣n﹣3），点D（n，n2+2n﹣3）所以：DQ=﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）=﹣n2﹣3n=﹣（n+）2+，所以当n=﹣时，DQ有最大值．【点评】此题主要考查二次函数综合问题，会求函数解析式，会根据面积相等建立方程并准确求解，知道运用二次函数可以解决线段最值问题，是解题的关键．。

2023-2024学年江西省九江市九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A.0，5，2B.0，5，C.1，5，D.1，5，22.如图是一根空心方管，它的俯视图是()A.B.C.D.3.在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为()A.16B.18C.20D.244.如图，已知，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若，则的值是()A.B.C.D.15.矩形具有而菱形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线互相垂直C.对角线相等D.两组对角分别相等6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B分别在y轴、x轴上，，斜边轴．若反比例函数的图象经过AC的中点D，则k的值为()A.4B.5C.6D.8二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______.8.用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为______.9.如图，在菱形ABCD中，，，则BD的长为______.10.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，，则矩形ABCD的面积为______.11.如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，则______.12.如图，为边长为7cm的等边三角形，，，P为BC上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为t秒，当______秒时，与相似.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

13.《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？四、解答题：本题共10小题，共78分。

陕西省西安市交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

A ．B ．．． 2．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为框宽度忽略不计），其中较小的内角为A ．4B ．3．一元二次方程的根的情况为（A ．有两个不相等的实数根D ．无法确定3223210x x --=A ．25．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为A ．B ．13A ．10．点在二次函数A ．最大值二．填空题（本大题共14．如图，在矩形段上移动，并与意一点，连接90︒(),A m n 4-ABCD EF EF ,AN CM三．解答题（本大题共1115．计算：(1)；(2)18．已知：如图，点为对角线点，．求证：．19．为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代赛，九年级（2）班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了()0π3128-+--2cos30tan60sin45cos45︒-︒+︒O ABCD Y E F DE BF =21．西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，园内的最高建筑．某数学活动小组想测量怡心阁的高度心阁的高度：小明沿后退到F 恰好看到标杆顶端22．类比一次函数的研究思路，九年级“励志”行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为01654210BD x y m x ⋅⋅⋅5-4-3-2-1-y ⋅⋅⋅m(3)函数的图象和直线的交点坐标是______．23．如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线．(1)求证：；(2)若，求的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．(1)求经过三点的抛物线的表达式；(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．|1|y x =-2y =ABCD O e BD D AC AD BC 、E DF O e CDF EDF ∠=∠2DF EF ==AD A ()4,2OA OA O 90︒A B ,,B O A L L x L 'L 'D ,,,B O A D图2图3【详解】解：观察图形可得，其主视图是3．A【分析】本题考查了根的判别式，根据题意算出根的判别式即可得；掌握根的判别式即可得．【详解】解：，23210x x --=在Rt ACD中，tan C故选B．【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．7．C【分析】根据二次函数的性质判断出【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，9．B【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，∠的圆周角相等得到ADC=【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，每个内角都相等．13．48【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．1求得相似比为，利用相似比求得∵平行于轴，∴轴，∴，∵，∴，AC x BAC ∠BD x ⊥BAC BDO ∽△△2OC BC =13BC BA BO BD ==18．详见解析【分析】根据平行四边形的性质得出，再证明线段的差得出，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，OEA OFC ∠=∠AOE ≌△△AD AE BC CF -=-ABCD依题意，∴，∵，∴，∴，设，2, 1.5,EM FD MD EF MN ====3 1.5 1.5CM CD MD =-=-=CM AN ∥CME ANE V V ∽CM EM AN EN=AN x =；（3）解：把代入中得：，解得：或，∴函数的图象和直线的交点坐标是：23．(1)见详解(2)【分析】（1）由“直径所对的圆周角等于”和圆周角定理可得2y =|1|y x =-|1|2x -==1x -3x =|1|y x =-2y =390︒设与交于点，∵是等腰直角三角形，AB OD M (),D m n BOA △（2）如图所示，连接AC、（3）如图所示，过点D作DH⊥。

2023—-2024学年上学期九年级期末考试数学试卷

准考证号:__________________姓名:_________（在此卷上答题无效）2023-2024学年第一学期初中毕业班期末考试数学一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是A.向上一面的点数是2B.向上一面的点数是奇数C.向上一面的点数小于3D.向上一面的点数小于72.下列方程中，有两个不相等的实数根的是A.x2＝0B.x2-3x-1＝0C.x2-2x+5＝0D.x2+1＝03.如图1,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点P,连接OB.下列角中，等于12∠AOB的是A.∠OABB.∠ACBC.∠CADD.∠OPB4.关于y＝（x-2）2-1（x为任意实数）的函数值，下列说法正确的是A.最小值是-1B.最小值是2C.最大值是-1D.最大值是25.某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程A.5（1+x）＝8B.5（1+2x）＝8C.5（1+x）2＝8D.5（1+2x）2＝86.如图2，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N.AN，BC的延长线相交于点P，连接BN.下列三角形中，与△NCP成中心对称的是A.△NCBB.△BMNC.△AMND.△NDA数学试题第1页（共6页）7.某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图3所示）.以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是A.4B.16C.24D.328.某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试.飞机着陆后滑行的距离s（单位:m）关于滑行的时间t（单位:s）的函数解析式是＝−32t2+60t，则t的取值范围是A.0≤t≤600B.20≤t≤40C.0≤t≤40D.0≤t≤20二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9.不透明袋子中只装有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是_________.10.抛物线y＝3（x-1）2+4的对称轴是__________.11.已知x＝1是方程x2+mx-3＝0的根，则m的值为____________.12.四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如图4所示，则图中与∠ADE相等的角是_________.13.如图5，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是△ABC的角平分线.把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点B的对应点是点E，则点D与点F之间的距离是___________.14.在平面直角坐标系xOy中，ABCD的对角线交于点O.若点A的坐标为（-2，3），则点C的坐标为_________.15.为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异.表一记录了截至目前的试验数据.表一累计获得试验成功的种子数(单位:粒)1468101214累计试验种子数(单位:千粒)15810.512.514.516.5该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要准备用以辐射的种子数（单位:千粒）:_________.16.有四组一元二次方程:①x2-4x+3＝0和3x2-4x+1＝0;②x2-x-6＝0和6x2+x-1＝0;③x2-4＝0和4x2-1＝0;④4x2-13x+3＝0和3x2-13x+4＝0.这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”.请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程:______________.数学试题第2页（共6页）三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分8分）解方程x2-5x+2＝0.18.（本题满分8分）如图6,四边形ABCD是平行四边形,AC＝AD,AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.证明AE＝DF.19.（本题满分8分）先化简，再求值:（−1）÷2−2m+1，其中＝2+1.20.（本题满分8分）如图7，AB与⊙O相切于点A，OB交⊙O于点C，OC＝8，AC的长为2π，求BC 的长.数学试题第3页（共6页）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车.每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如:201表示二层第1个车位.第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图9所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）:①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前;②转运板进311，托起车，载车出311;③转运板载车滑行至316前;④转运板进316，放车，空载出316，停在316前;⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.停车位301…停车位311…升降台316…留空321…停车位330转运板滑行区转运板滑行区图9停车场第三层平面示意图升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍.（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度;（说明:送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率.【22题得分情况】正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”.若直线l:y ＝x+t与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为2（2-t），则称直线l为该正方形的“T悬割线”.已知抛物线M:y＝-（x-1）2+m2-2m+4，其中12≤m＜1，A（m，3），B（4-3m，3），以AB为边作正方形ABCD（点D在点A的下方）.（1）证明:正方形ABCD是抛物线M的“A悬正方形”;（2）判断正方形ABCD是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由;（3）若直线l是正方形ABCD的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形ABCD进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移;若不存在，请说明理由.【23题得分情况】24.（本题满分12分）四边形ABCD是菱形，点O为对角线交点，AD边的垂直平分线交线段OD于点P （P不与O重合），连接PC，以点P为圆心，PC长为半径的圆交直线BC于点E，直线AE与直线CD交于点F，如图10所示.（1）当∠ABC＝60°时，求证:直线AB与⊙P相切;（2）当AO＝2，AF2+EF2＝16时，求∠ABC的度数;（3）在菱形ABCD的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究∠AFC与∠CAF的数量关系.25.（本题满分14分）请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料:[背景]小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道:“你家附近不是已经有一个A超市了吗？再开一个能吸引顾客吗？“这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣. [过程]为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素“为主题对该市居民展开随机调查.结果显示:超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素.大家根据调查进行了总结:①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标;②占地面积越大吸引力越大;③距离越大吸引力越小.在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s（单位:m2）及其与居民住处的距离r（单位:m），并对p，s，r之间的关系进行研究.一开始，同学们猜想p可能是的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大.这时，小梧提出:“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为F＝B122（G是引力常数），我们是不是可以作个类比，试一下看p与2的关系如何？”.按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直角坐标系中绘制了p与2对应关系的散点图，如图11所示.根据阅读材料思考:（1）观察图11中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与2的对应关系，直接写出它的一般形式;（2）为了清晰表示位置，同学们选A超市为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长，则小悟家的坐标为（400，200）.A超市的占地面积为2000m2，规划中的B超市在A超市的正东方向.根据（1）中的对应关系，解决下列问题:①若B超市与A超市距离600m~800m，且对小悟家的吸引力与A超市相同，求B超市占地面积的范围;②小梧家在东西向的百花巷，百花巷横向排列着较为密集的居民楼.现规划B超市开在距A超市300m处，且占地面积最大为490m2，要想与A超市竞争百花巷的居民，该规划是否合适？请说明理由.【25题得分情况】。

人教版九年级(上)期末数学试卷(解析版)

人教版九年级第一学期期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．15．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.58．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．811．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+512．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．413．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．414．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜015．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为，m的值是．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？参考答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称【分析】直接利用关于原点对称点的性质可得答案．解：因为点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1）的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以A、B两点关于原点对称．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可．解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．故选：B．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．5．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣3，∴Δ＝02﹣4×1×（﹣3）＝12＞0，则方程x2﹣3＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据直径的定义，等圆的定义，等弧的定义，弧和圆心角的关系定理解答即可．解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；故选：B．【点评】本题主要考查了对圆的认识和弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握相关定义和定理是解答本题的关键．7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.5【分析】利用2023年顺平县森林覆盖率＝2021年顺平县森林覆盖率×（1+这两年顺平县的森林覆盖年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：根据题意得39.7%（1+x）2＝50%，即0.397（1+x）2＝0.5，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．【分析】根据题意得到xy＝200（定值），故y与x之间的函数解析式，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．解：∵根据题意xy＝200，∴y＝（x＞0，y＞0）．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点【分析】把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，1），∴抛物线与x轴没有交点．故A，C，D正确；B不正确．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．解：设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴＝，解得：x＝6，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．11．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+5【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．解：A、y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，符合题意；B、y＝2x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；C、y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，不合题意；D、y＝x2+4x+5，当x＜0时，y随x先减小，然后增大，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．12．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵⊙O的直径为4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六边形纸片的边心距是cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．4【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM 长的最小值．解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A错误；∵﹣＜0，∴b＜0，故B错误；∵与y轴的交点在正半轴，∴c＞0；故C错误；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，∴a+b+c＜0，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．解：∵反比例函数y＝﹣，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x＝﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为3，m的值是6．【分析】设另一个根为x1，则根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m，求出即可．解：设另一个根为x1，则x1+2＝5，2x1＝m，解得：x1＝3，m＝6．故答案为：3，6．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝BC，∴BD＝sin60°×OB＝，∴BC＝2BD＝，劣弧BC＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝﹣2；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是0≤t＜4．【分析】（1）通过抛物线对称轴为直线x＝﹣求解；（2）将抛物线解析式化为顶点式，通过﹣3≤x≤1时y的取值范围求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴函数最大值为y＝4，∵（﹣1）﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1），∴x＝1时，y＝﹣1﹣2+3＝0为﹣3≤x≤1的函数最小值，∴0≤t＜4时，直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，故答案为：0≤t＜4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与方程的关系．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：（1）x2+4x＝5，x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x+5＝0，x1＝1，x2＝﹣5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2，x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣2＝0或2x﹣1＝0，x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.25，据此可得答案；（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．解：（1）由频率统计表知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25，从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.25＝0.75＝，故答案为：0.25，；（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.25＝1，红球的个数为4﹣1＝3，列表如下：白红1红2红3白白红1白红2白红3红1红1白红1红2红1红3红2红2白红2红1红2红3红3红3白红3红1红3红2由表可知共有12种情况，其中一红一白的有6种，所以摸到一个红球一个白球的概率为＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为（22﹣2x）m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）由题意：建造一个面积为60m2的长方形花坛，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．解：（1）由题意得：花坛DE边的长为（22﹣2x）m，故答案为：（22﹣2x），（2）根据题意得：x（22﹣2x）＝60，整理得：x2﹣11x+30＝0，解得：x1＝5，x2＝6，当x＝5时，DE＝22﹣2×5＝12＞11（不符合题意，舍去）；当x＝6时，DE＝22﹣2×6＝10＜11，符合题意；答：CD边的长为6m，DE边的长为10m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）由勾股定理的逆定理可求∠EFC＝90°，即可求解．解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形，设BE＝BF＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2，∴BF的长为2；（2）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF＝1，在△CEF中，EF＝2，CF＝1，EC＝3，∵CF2+EF2＝12+（2）2＝9，CE2＝9，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．（2）通过证明△AEC∽△ACB，进而根据比例式求得半径．【解答】（1）连OC（如图），∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠OAC，∵∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴OC⊥DE，∵点C在⊙O上，∴OC＝r，∴DE为⊙O的切线．（2）连BC（如上图），∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，又∵∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝r＝，∴r＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝6×2＝12，进而可得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn＝12，再根据△ABC面积为9，可得×BC×（6﹣n）＝9，解可得m的值，进而可得n的值，从而可得点B的坐标；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解；（1）把A点坐标为（2，6）代入反比例函数y＝得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设点B坐标为（m，n），分三种情况：①当B点在第一象限且在A点的上方时，（y B﹣y A）×CB＝9 即（n﹣6）×m＝9，×（﹣6）×m＝9，解得m＝﹣1（不符合题意，舍去），②当B点在第一象限且在A点的下方时，（y A﹣y B）×CB＝9 即（6﹣n）×m＝9，（6﹣）×m＝9，解得m＝5，∴点B坐标为（5，）；③当B点在第三象限时，（y A﹣y B）×CB＝9，（6﹣n）×（﹣m）＝9 （6）×（﹣m）＝9，解得m＝﹣1，∴点B坐标为（﹣1，﹣12），所以点B的坐标为（5，）或（﹣1，﹣12）；（3）由图象知，当y＜3时，自变量x的取值范围为x＞4 或x＜0．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）①当0≤x≤30时由顶点坐标为（10，1800），可设y＝a（x﹣30）2+1800，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；②当30＜x≤40时，根据等候的人数不变得出函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w 关于x的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，根据在10分钟内让全部学生完成体温检测得到关于m的不等式解不等式即可．解：（1）①当0≤x≤30时，∴设y＝a（x﹣30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800＝0，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣30）2+1800＝﹣2x2+120x（0≤x≤30），②当30＜x≤40时，y＝1800（30＜x≤40），∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x，①0≤x≤30时，w＝﹣2x2+120x﹣40x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，w的最大值是800；②当30＜x≤40时，w＝1800﹣40x，∵﹣4＜0，∴w随x的增大而减小，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测：1800﹣40x＝0，解得：x＝45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟，（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得：10×20（m+2）≥1800，解得：m≥7，∴从一开始就应该增加7个监测点．【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．。

2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若点（3，2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，则此函数图象一定经过点（）A．（2，3）B．（3，﹣2）C．（1，﹣6）D．（﹣1，6）3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB″，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（3分）抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+25．（3分）在坡度i＝1：2.4的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是（）A．6米B．6.5米C．13米D．14.4米6．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．27．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠FCD＝70°，则∠FDC度数为（）A．64°B．72°C．74°D．80°8．（3分）如图，点D是△ABC（∠BAC为钝角）边BC上一点，若AD⊥AB，∠DAC＝∠B，AD＝3，AB＝6，则△ADC的面积是（）A．1.5B．3C．4.5D．69．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x﹣（a为常数，且a＜0），给出如下结论：①函数图象一定经过第二、三、四象限；②函数图象一定不经过第一象限；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④当x＞0时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④10．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点M是BC的中点，点P是AC上一点，AM与BP相交于点N，连接CN，若BM＝MN，则下列结论错误的是（）A．CN⊥BP B．AN＝CPC．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知＝，则＝．12．（5分）抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标为．13．（5分）如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧AC为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，则弧AC的长为．14．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝8，O，D分别为AB，BC的中点，E为边AC上动点，△DEF为直角三角形，点F在DE的上方，且∠EFD＝90°，∠EDF＝60°．（1）若点E与点C重合，则DF的长是；（2）点E运动过程中OF的最小值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：sin30°﹣cos245°+tan60°．16．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3，请用配方法确定该抛物线的对称轴和顶点坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）以点C为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出△A1B1C；（2）在给定的网格中，以点O为位似中心将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2），画出△A2B2C2．18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b经过点A（﹣4，﹣2），与反比例函数y＝（k≠0）图象相交于B（2，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）已知：如图，AB∥CD，依次连接CA，CB，DA，DB，任作一条直线l，使l ∥AB，设l分别交CA，CB，DA，DB于点P，Q，R，S．（1）若PC＝2PA，CD＝4，求PR的值；（2）求证：PR＝QS．20．（10分）“时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台CD的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为45°，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为56°（点A，B，D在同一条直线上），请帮小丽计算信标台CD的高度．（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.55，tan56°≈1.50，结果保留整数）六、（本大题满分12分）21．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．（1）求证：AB平分∠DAE；（2）若BD＝3，AD＝6，求AE的长．七、（本大题满分12分）22．（12分）已知：▱ABCD中，点E是边AD上一点，BE交AC于点F，∠AEB＝∠DCA．（1）如图1，当∠D＝90°时，求证：；（2）如图2，当∠D为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．八、（本大题满分14分）23．（14分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点E（6，0），y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为（t，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若△OAD与△BCE的面积分别记作S1，S2，当0＜t＜4时，求S1+S2的值；（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S．①当0＜t＜4时，求S的最大值；②当t≥3时，直接写出S＝14时t的值．2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项A的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：A．【点评】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2．（3分）若点（3，2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，则此函数图象一定经过点（）A．（2，3）B．（3，﹣2）C．（1，﹣6）D．（﹣1，6）【分析】将点（2，3）代入y＝（k≠0），求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．【解答】解：∵点（3，2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，∴k＝3×2＝6，∴符合此条件的只有A（2，3），2×3＝6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB″，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】由旋转的性质可求得∠A′OB′，由旋转角可知∠AOA′，利用角的和差可求得答案．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝15°，∠AOA′＝60°，∴∠AOB′＝∠AOA′﹣∠A′OB′＝60°﹣15°＝45°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后图形全等是解题的关键．4．（3分）抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝x2向右平移1个单位，得：y＝（x﹣1）2；再向下平移2个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题关键．5．（3分）在坡度i＝1：2.4的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是（）A．6米B．6.5米C．13米D．14.4米【分析】根据坡度的概念求出铅直高度，再根据勾股定理求出相邻两棵树之间的坡面距离．【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：2.4，相邻两棵树之间的水平距离是6米，∴铅直高度为：6÷2.4＝（米），由勾股定理得：相邻两棵树之间的坡面距离为：＝＝6.5（米），故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．6．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．2【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去），∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．7．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠FCD＝70°，则∠FDC度数为（）A．64°B．72°C．74°D．80°【分析】连接OC，OD，根据正五边形的性质得出∠COD的度数，从而得出∠CFD的度数，再根据三角形内角和定理得出∠FDC的度数即可求解．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CFD＝∠COD＝36°，∵∠FCD＝70°，∴∠FDC＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣36°﹣70°＝74°．故选：C．【点评】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠COD的度数是解题的关键．8．（3分）如图，点D是△ABC（∠BAC为钝角）边BC上一点，若AD⊥AB，∠DAC＝∠B，AD＝3，AB＝6，则△ADC的面积是（）A．1.5B．3C．4.5D．6＝AD•AB＝9，由∠DAC＝∠B，∠【分析】由AD⊥AB，AD＝3，AB＝6，求得S△ABDC＝∠C，证明△ADC∽△ABC，得＝＝＝，则AC＝BC＝2DC，可证明＝S△ABD＝3，于是得到问题的答案．＝，则S△ADC【解答】解：∵AD⊥AB，AD＝3，AB＝6，＝AD•AB＝×3×6＝9，∴S△ABD∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ADC∽△ABC，∴＝＝＝＝，∴AC＝BC＝2DC，∴＝，∴＝，＝S△ABD＝×9＝3，∴S△ADC故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADC∽△ABC并且求得＝是解题的关键．9．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x﹣（a为常数，且a＜0），给出如下结论：①函数图象一定经过第二、三、四象限；②函数图象一定不经过第一象限；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④当x＞0时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【分析】根据题意画出二次函数图象的草图，然后作出分析即可．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×a×（﹣）＝4+2a，当a＜﹣2时，Δ＜0，抛物线与x轴没有交点，当a＝﹣2时，Δ＝0，抛物线与x轴有一个交点，当﹣2＜a＜0时，Δ＞0，抛物线与x轴有两个交点，∴抛物线不一定经过第二象限，如图所示，∵当x＝0时，y＝﹣，∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，），∵a＜0，b＜0，∴抛物线的对称轴在第二、三象限，当x＞0时，y随x的增大而减小．∴①函数图象一定经过第二、三、四象限错误；②函数图象一定不经过第一象限正确；③当x＜0时，y随x的增大而增大错误；④当x＞0时，y随x的增大而减小正确．其中所有正确结论的序号是②④．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质画出草图．10．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点M是BC的中点，点P是AC上一点，AM与BP相交于点N，连接CN，若BM＝MN，则下列结论错误的是（）A．CN⊥BP B．AN＝CPC．D．【分析】由点M是BC的中点，BM＝MN，得CM＝BM＝MN，所以∠MNC＝∠MCN，∠MNB＝∠MBN，则∠CNB＝∠MNC+∠MNB＝∠MCN+∠MBN＝90°，所以CN⊥BP，可判断A正确；作MF∥CP交BP于点F，则△BMF∽△BCP，所以＝＝，则PC＝2MF，设CM＝BM＝MN＝m，则CA＝CB＝2m，所以AM＝＝m，则AN＝（﹣1）m，再证明△APN∽△MFN，得＝＝，则AP＝（）MF，求得＝，可判断D正确；设PC＝x，则AP＝x，由x+x ＝2m，得PC＝x＝（）m＝AN，可判断B正确；作ME⊥AB于点E，则∠EMB＝∠EBM＝45°，所以ME＝BE，则BM＝ME，CB＝2BM＝2ME，所以AB＝CB ＝4ME，求得AE＝3ME，则tan∠MAB＝＝，可判断C错误，于是得到问题的答案．【解答】解：∵点M是BC的中点，BM＝MN，∴CM＝BM＝MN，∴∠MNC＝∠MCN，∠MNB＝∠MBN，∴∠CNB＝∠MNC+∠MNB＝∠MCN+∠MBN＝×180°＝90°，∴CN⊥BP，故A正确；作MF∥CP交BP于点F，则△BMF∽△BCP，∴＝＝，∴PC＝2MF，设CM＝BM＝MN＝m，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴CA＝CB＝2m，∴AM＝＝＝m，∴AN＝（﹣1）m，∵AP∥MF，∴△APN∽△MFN，∴＝＝＝，∴AP＝（）MF，∴＝＝，故D正确；设PC＝x，则AP＝x，∴x+x＝2m，∴PC＝x＝（）m，∴AN＝CP，故B正确；作ME⊥AB于点E，则∠AEM＝∠BEM＝90°，∵∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠EMB＝∠EBM＝45°，∴ME＝BE，∴BM＝＝ME，∴CB＝2BM＝2ME，∴AB＝＝CB＝×2ME＝4ME，∴AE＝4ME﹣ME＝3ME，∴tan∠MAB＝＝＝，故C错误，故选：C．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知＝，则＝．【分析】设a ＝3k ，b ＝5k ，代入求出即可．【解答】解：∵＝∴设a ＝3k ，b ＝5k ，∴＝＝故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法求解是解此题的关键．12．（5分）抛物线y ＝x 2+2与y 轴的交点坐标为（0，2）．【分析】利用y 轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线y ＝x 2+2与y 轴的交点坐标．【解答】解：当x ＝0时，y ＝x 2+2＝2，所以抛物线y ＝x 2+2与y 轴的交点坐标为（0，2）．故答案为（0，2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．13．（5分）如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧AC 为格点△ABC 外接圆的一部分，小正方形边长为1，则弧AC 的长为π．【分析】作AB 的垂直平分线MN ，作BC 的垂直平分线PQ ，设MN 与PQ 相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，则点O 是△ABC 外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC 是直角三角形，从而可得∠AOC ＝90°，然后根据弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图：作AB 的垂直平分线MN ，作BC 的垂直平分线PQ ，设MN 与PQ 相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，则点O 是△ABC 外接圆的圆心，由题意得：OA 2＝12+32＝10，OC 2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC＝，∴弧AC的长为＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝8，O，D分别为AB，BC的中点，E为边AC上动点，△DEF为直角三角形，点F在DE的上方，且∠EFD＝90°，∠EDF＝60°．（1）若点E与点C重合，则DF的长是；（2）点E运动过程中OF的最小值为2．【分析】（1）由∠C＝90°，AC＝4，AB＝8，根据勾股定理得BC＝＝4，则CD＝BD＝BC＝2，当点E与点C重合，则ED＝CD＝2，由∠EFD＝90°，∠EDF＝60°，得∠DEF＝30°，所以DF＝ED＝，于是得到问题的答案；（2）设EF交BC于点I，作CH⊥AB于点H，因为sin B＝＝，所以∠B＝30°，再所以∠BCF＝∠DEF＝30°＝∠B，可知点F在经过点C且与AB平行的直线CF上运动，当OF⊥CF时，OF的值最小，可证明四边形OFCH是矩形，则OF＝CH＝BC＝2，【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝8，∴BC＝＝＝4，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD＝BC＝2，如图1，点E与点C重合，则ED＝CD＝2，∵∠EFD＝90°，∠EDF＝60°，∴∠DEF＝30°，∴DF＝ED＝，故答案为：．（2）如图2，设EF交BC于点I，作CH⊥AB于点H，∴sin B＝＝＝，∴∠B＝30°，∵∠ECI＝∠DFI＝90°，∠EIC＝∠DIF，∴△ECI∽△DFI，∴＝，∴＝，∵∠CIF＝∠EID，∴△CIF∽△EID，∴∠BCF＝∠DEF＝30°＝∠B，∴CF∥AB，∴点F在经过点C且与AB平行的直线CF上运动，∴当OF⊥CF时，OF的值最小，∵∠HCF＝∠AHC＝90°，∴∠OFC＝∠HCF＝∠OHC＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴OF＝CH＝BC＝2，∴OF的最小值为2，故答案为：2．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，推导出∠BCF＝∠B是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：sin30°﹣cos245°+tan60°．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．【解答】解：sin30°﹣cos245°+tan60°＝﹣（）2+＝﹣+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．16．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3，请用配方法确定该抛物线的对称轴和顶点坐标．【分析】根据二次函数的配方法，将y＝2x2﹣4x+3写成顶点式，即可求出抛物线的对称轴和顶点坐标．【解答】解：y＝2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3＝2（x﹣1）2+1，∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1）．【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数的三种形式，解题的关键是将二次函数的一般式转化为顶点式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）以点C为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出△A1B1C；（2）在给定的网格中，以点O为位似中心将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2），画出△A2B2C2．【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键．18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b经过点A（﹣4，﹣2），与反比例函数y＝（k≠0）图象相交于B（2，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）先把A点坐标代入y＝﹣x+b，求出b，得到一次函数解析式，然后确定点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，得到反比例函数的解析式；（2）先利用一次函数解析式确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b经过点A（﹣4，﹣2），∴﹣2＝﹣+b，∴b＝﹣4，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣4，把B（2，n）代入得，n＝﹣﹣4＝﹣5，∴B（2，﹣5），∵反比例函数y＝（k≠0）图象经过点B（2，﹣5），∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）一次函数y＝﹣x﹣4与y轴的交点为C，∴M（0，﹣4），＝S△OAC+S△OBC∴S△AOB＝＝12．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）已知：如图，AB∥CD，依次连接CA，CB，DA，DB，任作一条直线l，使l ∥AB，设l分别交CA，CB，DA，DB于点P，Q，R，S．（1）若PC＝2PA，CD＝4，求PR的值；（2）求证：PR＝QS．【分析】（1）根据已知易得：AC＝3AP，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得CD∥l，然后证明A字模型相似△APR∽△ACD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；（2）根据已知易得AB∥l∥CD，从而利用平行线分线段成比例可得＝，然后证明A字模型相似△BSQ∽△BDC，从而可得利用相似三角形的性质可得＝，再利用（2）的结论可得：＝，从而可得＝，进而可得SQ＝PR，即可解答．【解答】（1）解：∵PC＝2PA，∴AC＝3AP，∵AB∥CD，l∥AB，∴CD∥l，∴∠APR＝∠ACD，∠ARP＝∠ADC，∴△APR∽△ACD，∴＝，∴＝，∴PR＝，∴PR的值为；（2）证明：∵AB∥CD，l∥AB，∴AB∥l∥CD，∴＝，∵l∥CD，∴∠BSQ＝∠BDC，∠BQS＝∠BCD，∴△BSQ∽△BDC，∴＝，由（2）得：＝，∴＝，∴PR＝QS．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．（10分）“时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台CD的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为45°，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为56°（点A，B，D在同一条直线上），请帮小丽计算信标台CD的高度．（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.55，tan56°≈1.50，结果保留整数）【分析】根据题意可得：AB＝20米，AD⊥CD，然后设BD＝x米，则AD＝（x+20）米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后列出关于x的方程，进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：AB＝20米，AD⊥CD，设BD＝x米，∴AD＝AB+BD＝（x+20）米，在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝（x+20）米，在Rt△CBD中，∠CBD＝56°，∴CD＝BD•tan56°≈1.5x（米），∴1.5x＝x+20，解得：x＝40，∴CD＝1.5x＝60（米），∴信标台CD的高度约为60米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．六、（本大题满分12分）21．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．（1）求证：AB平分∠DAE；（2）若BD＝3，AD＝6，求AE的长．【分析】（1）连接OA，则OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA，由切线的性质证明∠EAO＝90°，由垂径定理证明∠ADB＝90°，则∠DAB+∠OBA＝90°，∠EAB+∠OAB＝90°，所以∠EAB＝∠DAB，则AB平分∠DAE；（2）因为BD＝3，AD＝6，所以OD＝OB﹣3＝OA﹣3，由勾股定理得62+（OA﹣3）2＝OA2，求得OA＝，则OD＝，所以tan∠AOE＝＝＝，则AE＝OA＝10．【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵AE与⊙O相切于点A，∴AE⊥OA，∴∠EAO＝90°，∵AD＝CD，∴OB⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠OBA＝90°，∵∠EAB+∠OAB＝∠EAO＝90°，∴∠EAB＝∠DAB，∴AB平分∠DAE．（2）解：∵∠ADO＝90°，∴AD2+OD2＝OA2，∵BD＝3，AD＝6，∴OD＝OB﹣3＝OA﹣3，∴62+（OA﹣3）2＝OA2，解得OA＝，∴OD＝﹣3＝，∴tan∠AOE＝＝＝＝，∴AE＝OA＝×＝10，∴AE的长为10．【点评】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．七、（本大题满分12分）22．（12分）已知：▱ABCD中，点E是边AD上一点，BE交AC于点F，∠AEB＝∠DCA．（1）如图1，当∠D＝90°时，求证：；（2）如图2，当∠D为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．【分析】（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定定理得到△ABF∽△EBA，则；利用相似三角形的判定定理得到∴△FAE∽△DAC，则，利用等量代换和比例的性质解答即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠D＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠D，∵∠AEB＝∠DCA，∴△BAE∽△ADC，∴；（2）解：当∠D为钝角时，成立．理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCA，∵∠AEB＝∠DCA，∴∠BAF＝∠AEB，∵∠ABF＝∠EBA，∴△ABF∽△EBA，∴．∵∠AEB＝∠DCA，∠FAE＝∠DAC，∴△FAE∽△DAC，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．八、（本大题满分14分）23．（14分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点E（6，0），y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为（t，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若△OAD与△BCE的面积分别记作S1，S2，当0＜t＜4时，求S1+S2的值；（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S．①当0＜t＜4时，求S的最大值；②当t≥3时，直接写出S＝14时t的值．【分析】（1）根据题意可得36a＝﹣b2，36a+6b＝0，分别求出a、b的值即可求解析式；（2）分别求出D（t，﹣t2+6t），C（t+2，﹣t2+2t+8），则S1+S2＝t（﹣t2+6t）+（4﹣t）（﹣t2+2t+8）＝16；（3）①由（2）可得，S＝×2[（﹣t2+6t）+（﹣t2+2t+8）]＝﹣2（t﹣2）2+16，根据函数的性质，可求S的最大值；②分三种情况讨论：②当3≤t＜4时；当4≤t≤6时；当t＞6时；分别求出满足条件的t的值即可．【解答】解：（1）∵y的最大值为9，∴＝9，即36a＝﹣b2，∵抛物线过点E（6，0），∴36a+6b＝0，∴﹣b2+6b＝0，∴b＝0（舍）或b＝6，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x；（2）A点平移后得到B（t+2，0），由题可得D（t，﹣t2+6t），C（t+2，﹣t2+2t+8），当0＜t＜4时，S1+S2＝t（﹣t2+6t）+（4﹣t）（﹣t2+2t+8）＝﹣t3+3t2+t3﹣3t2+16＝16；（3）①当0＜t＜4时，S＝×2[（﹣t2+6t）+（﹣t2+2t+8）]＝﹣2（t﹣2）2+16，当t＝2时，S有最大值16；②当3≤t＜4时，S＝14时，﹣2（t﹣2）2+16＝14，解得t＝3或t＝1（舍）；当4≤t≤6时，S＝×2[（﹣t2+6t）﹣（﹣t2+2t+8）]＝4t﹣8，当S＝14时，4t﹣8＝14，解得t＝5.5；当t＞6时，S＝×2[﹣（﹣t2+6t）﹣（﹣t2+2t+8）]＝2（t﹣2）2﹣16，当S＝14时，2（t﹣2）2﹣16＝14，解得t＝﹣2（舍）或t＝﹣﹣2（舍）；综上所述：t＝3或t＝5.5．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分情况讨论四边形面积的求法是解题的关键。

江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级（上）期末数学试卷一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程是（）A．2x+1＝0B．x2+y＝5C．x2+x＝5D．x2+1＝02．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分3．（3分）反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣2B．函数图象分布在第二、四象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为（）A．B．C．D．65．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值＝．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共6小题，每题3分）7．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝．9．（3分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y＝图象上，则图中过点A的双曲线解析式是．10．（3分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．11．（3分）如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A'的坐标为（2，﹣1），则点A的坐标为．12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF＝90°时，BF的长为．三、解答题（本题共5小题，每题6分）13．（6分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．14．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？15．（6分）某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．（1）每位考生有种选择方案；（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）16．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．17．（6分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC 相交于点H．（1）求证：BH＝GH；（2）求BH的长．四、（本题共3小题，每题8分）18．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A（﹣4，a）与点B．（1）求a的值与反比例函数关系式；（2）连接OA，OB，求S△AOB；（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．19．（8分）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB＝BE＝ED＝CD＝15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器）20．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 m．五、（本题共2小题，每题9分）21．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？22．（9分）（1）如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG＝45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为：；（提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°）解决问题：（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF＝45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；拓展应用：（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形ACDE，∠E＝60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE 上任意两点，且满足∠FDG＝60°，请直接写出四边形DFAG的面积．六、（本题12分）23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江西省九江市都昌县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程是（）A．2x+1＝0B．x2+y＝5C．x2+x＝5D．x2+1＝0【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故该选项不符合题意；B、x2+y＝5，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、x2+x＝5，只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；D、x2+1＝0为分式方程，故该选项不符合题意．故选：C．2．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分【解答】解：∵正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．故选：A．3．（3分）反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣2B．函数图象分布在第二、四象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，1），∴k＝﹣2×1＝﹣2．故A正确；∵k＝﹣2＜0，∴双曲线y＝﹣分布在第二、四象限，故B选项正确；∵当k＝﹣2＜0时，反比例函数y＝﹣在每一个象限内y随x的增大而增大，即当x＞0或x＜0时，y随x的增大而增大．故C选项正确，D选项错误，综上，说法错误的是D，故选：D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，D为BC上一点，将△ABC沿AD折叠后，点C恰好落在斜边AB的中点E处，则折痕AD的长为（）A．B．C．D．6【解答】解：根据折叠，可知AE＝AC＝3，∠CAD＝∠EAD，∵点E为AB的中点，∴AB＝6，∵∠C＝90°，∴cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠EAD＝30°，∵cos∠CAD＝，∴AD＝，故选：A．5．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵x2+3x+y﹣3＝0，∴y＝﹣x2﹣3x+3，∴x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴当x＝﹣1时，x+y有最大值4，故选：D．6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；③a+2b＝c；④y最大值＝．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，所以③正确；∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，所以④正确；故选：D．二、填空题（本题共6小题，每题3分）7．（3分）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，∴是偶数的概率为，故答案为：．8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　0　．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．故答案为：0．9．（3分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，点B在反比例函数y＝图象上，则图中过点A的双曲线解析式是　y＝﹣　．【解答】解：设点B的坐标是（m，n），因为点B在函数y＝的图象上，则mn＝2，则BD＝n，OD＝m，则AC＝2m，OC＝2n，设过点A的双曲线解析式是y＝，A点的坐标是（﹣2n，2m），把它代入得到：2m＝，则k＝﹣4mn＝﹣8，则图中过点A的双曲线解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣．10．（3分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为　y＝（x+1）2+1　．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．故答案为y＝（x+1）2+1．11．（3分）如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A'的坐标为（2，﹣1），则点A的坐标为　（﹣4，2）　．【解答】解：由题意得：△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A'（2，﹣1），且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是[2×（﹣2），﹣1×（﹣2）]，即点A的坐标是（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边BC的中点，连接AE，DE，将AE绕点E旋转得到线段FE，连接BF，当∠DEF＝90°时，BF的长为　2或2　．【解答】解：如图，将AE绕点E逆时针旋转得到线段FE，过点F作FH⊥BC，交CB的延长线于H，∴EF＝AE，∵点E是BC的中点，∴BE＝EC＝2，又∵∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE＝DE，∴AE＝EF＝DE，∵∠DEF＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，∴∠DEC＝∠EFH，又∵∠DCE＝∠EHF＝90°，∴△DCE≌△EHF（AAS），∴FH＝EC＝2，EH＝CD＝4，∴BH＝2，∴BF＝＝2；如图，将AE绕点E顺时针旋转得到线段F'E，过点F作F'H'⊥BC，交CB的延长线于H'，同理可求H'F'＝BE＝2，EH'＝CD＝4，∴BH'＝6，∴BF'＝＝2，故答案为：2或2．三、解答题（本题共5小题，每题6分）13．（6分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．【解答】（1）解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）∵△ABC∽△ACD，∴．∵AB＝2，AC＝3，∴AD＝．14．（6分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【解答】解：设每千克水果应涨价x元，依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解这个方程，得x1＝5，x2＝10．要使顾客得到实惠，应取x＝5．答：每千克水果应涨价5元．15．（6分）某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．（1）每位考生有　4　种选择方案；（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用A、B、C、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）【解答】解：（1）每位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．故答案为4．（2）用A、B、C、D代表四种选择方案．（其他表示方法也可）解法一：用树状图分析如下：解法二：用列表法分析如下：小刚小明A B C DA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B ）（D，C）（D，D）两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，所以小明与小刚选择同种方案的概率＝＝．16．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．【解答】解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．17．（6分）已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC 相交于点H．（1）求证：BH＝GH；（2）求BH的长．【解答】（1）证明：连接AH，依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°．（1分）在Rt△ABH和Rt△AGH中，AH＝AH，AB＝AG，∴Rt△ABH≌Rt△AGH．（2分）∴BH＝GH．（3分）（2）解：∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°．（4分）在Rt△ABH中，∵∠2＝30°，AB＝6，∴BH＝AB•tan30°＝6×＝2．四、（本题共3小题，每题8分）18．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A（﹣4，a）与点B．（1）求a的值与反比例函数关系式；（2）连接OA，OB，求S△AOB；（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）将A（﹣4，a）代入中，得a＝1；将A（﹣4，1）代入中，得k＝﹣4，所以反比例函数关系式；（2）由，解得或，所以A（﹣4，1），B（2，﹣2），设一次函数与y轴交于点C（0，﹣1），故S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝3；（3）观察图象，若y1＞y2，则﹣4＜x＜0或x＞2．19．（8分）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB＝BE＝ED＝CD＝15cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器）【解答】解：（1）由题意得：DF＝CD＝cm，EF⊥CD，∴cos D＝，∴∠D＝60°；答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°；（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，∴HF＝30，∵EF＝15×＝，∴BH＝30﹣BE﹣EF＝15﹣，∴cos∠ABH＝≈0.134，∴∠ABH≈82.30°，∴∠ABE＝97.70°．答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．20．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为　9　m．【解答】解：（1）如图：点O和点Q即为所求；（2）设AO＝x米，PQ＝y步，由题得：MP＝4步，AM＝20步，MN＝BP＝1.5米，AO∥MN∥BP，∴△MNP∽△AOP，△BPQ∽△AOQ，∴＝＝，即：＝＝，解得：x＝9，y＝4.8，所以路灯AO的高是9米，影长PQ的步数4.8步；（3）在Rt△DEF中，DE＝＝0.4（米），∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴＝，∴＝，解得：BC＝7.5（米），∴7.5+1.5＝9（米），故答案为：9米．五、（本题共2小题，每题9分）21．（9分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．22．（9分）（1）如图1，在正方形ACDE中，点F，G分别在边AE，AC上，若∠FDG＝45°，则FG，EF，CG之间的数量关系为：　FG＝EF+CG　；（提示：以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°）解决问题：（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，E，F是底边AC上任意两点，且满足∠EDF＝45°，试探究AE，EF，FC之间的关系；拓展应用：（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形ACDE，∠E＝60°，菱形的边长为8，G，F分别为边AC，AE 上任意两点，且满足∠FDG＝60°，请直接写出四边形DFAG的面积．【解答】解：（1）FG＝EF+CG，理由如下：如图，以点D为旋转中心，将△DCG顺时针旋转90°得△DEH，∴△CDG≌EDH，∴DG＝DH，∠CDG＝∠EDH，CG＝EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CDE＝90°，∵∠GDF＝45°，∴∠CDG+∠EDF＝∠EDH+∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠HDF＝45°，∵DF＝DF，∴△GDF≌△HDF（SAS），∴GF＝HF，∴GF＝EH+EF＝CG+EF；∴FG＝EF+CG；故答案为：FG＝EF+CG，（2）AE2+FC2＝EF2，理由如下：∵△ADC是等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠C＝45°，如图，以点D为旋转中心，将△DCF顺时针旋转90°得△DAG，∴△DCF≌DAG，∴DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，CF＝AG，∠DAG＝∠C＝45°，∵∠FDE＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝∠ADG+∠ADE＝45°，∴∠FDE＝∠GDE＝45°，∵DE＝DE，∴△FDE≌△GDE（SAS），∴EF＝EG，∵∠EAG＝∠DAE+∠DAG＝45°+45°＝90°，∴AE2+AG2＝EG2，∴AE2+FC2＝EF2；（3）如图，连接AD，∵四边形ACDE是菱形，∠E＝60°，∴△ADE，△ADC是等边三角形，∴AD＝CD＝8，∠C＝∠DAE＝∠ADC＝60°，∵∠FDG＝60°，∴∠ADF+∠ADG＝∠CDG+∠ADG＝60°，∴∠ADF＝∠CDG，∴△ADF≌△CDG（ASA），∴四边形DFAG的面积＝△ADF的面积+△ADG的面积＝△CDG的面积+△ADG的面积＝△ADC的面积＝×82＝16．六、（本题12分）23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，b＝1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，∴点D（1，2）；（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即＝或2，即＝或2，解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），经检验m＝1或是方程的解，故m＝1或．。

九年级(上)期末数学试卷(答案解析)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞05．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B．C．D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x=﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF=．11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为m．12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1y2（填“＞”“＜”或“=”）13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）16．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1=0；（2）x2﹣2x=2x+1；（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．求证：DF=DC．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E 点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第=．二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，M N 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选：B．3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选：D．4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0【解答】解：根据题意，方程k1x=没有实数解，而x2=，所以k1与k2异号，即k1k2＜0．故选：C．5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，∴AB==，则sinB===，cosB===，tanB==，故选：C．7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x=﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点【解答】解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x=2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，∵∠A OB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴==，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有8个．【解答】解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，∴=20%，解得：x=8，∴黑色小球的数目是8个．故答案为：8．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= 2.4．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB，∴=，∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，∴BE=2.5，∴=，解得：FC=2.4．故答案为：2.4．11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为7.5m．【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴=，∵AE=5m，∴=，解得：EF=7.5m．故答案为：7.5．12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1＜y2（填“＞”“＜”或“=”）【解答】解：∵点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，∴﹣2×y1=3×y2=2，∴y1=﹣1，y2=，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案为：．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是①④（填写序号）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b=﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）【解答】解：根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱，∵其高为12cm，底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360（cm2），密封纸盒的上、下底面的面积和为：12×5××5×=75（cm2），∴其表面积为（75+360）c m2．16．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1=0；（2）x2﹣2x=2x+1；（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1=0；这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5．x==，所以：x1=，x2=．（2）移项，得x2﹣4x=1，配方，得x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5．两边开平方，得x﹣2=±，即x=2±所以x1=2+，x2=2﹣．（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1整理，得2x2+2x﹣1=0，这里a=2，b=2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．x===，即原方程的根为x1=，x2=．（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0，解得x1=﹣，x2=4．17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．求证：DF=DC．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB=CD，且∠B=90°，∴∠DAF=∠BEA，∵DF⊥AE，∴∠DFA=∠B，在△ADF和△EBA中∴△ADF≌△EBA（AAS），∴AB=DF，∴DF=DC．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【解答】解：根据题意画图如下：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是=；（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．【解答】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=，∴BD=，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD===3，∴AB=AD+BD=3+．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E 点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，所以A点坐标为（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，所以一次函数解析式为y=x+5；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得﹣=x+5﹣m，整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，即m的值为1或9．22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，得，∴a=1，c=﹣6，∴y=x2﹣4x﹣6；（2）对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，﹣10）；（3）∵点P（m，m）在函数图象上，∴m2﹣4m﹣6=m，∴m=6或﹣1．23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第=．二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．==，【解答】解：（1）由题意S△ABO∵k＜0，∴k=﹣3，∴y=﹣y=﹣x+2（2）由，解得或，∴A（﹣1，3）C（3，﹣1），∵直线y=﹣x+2交y轴与D（0，2），S△AOC=S△AOD+S△OCD=×2×1+×2×3=4．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴B（﹣3，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2∴M（﹣1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．。

2023-2024学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列根式中，不是最简二次根式的是( )A. 2B. 3C. 4D. 52.某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为0.2.对“中奖概率为0.2.”这句话，下列理解正确的是( )A. 抽1张奖券肯定不会中奖B. 抽100张奖券肯定会中2张奖C. 抽1张奖券也可能会中奖D. 抽100张奖券至少中1张奖3.下列计算正确的是( )A. 23+22=25B. 18÷2=3C. 53×23=103D. 413=2334.方程x(x+5)=x的根是( )A. x=−5B. x1=−5，x2=0C. x1=−4，x2=0D. x1=−6，x2=05.已知一个袋子中装有2个红球和x个黄球，这些球除颜色外其余都相同.若从该袋子中任意摸出一个球是红球的概率为13，则x等于( )A. 3B. 4C. 5D. 66.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=35，则sinB的值得是( )A. 45B. 35C. 34D. 437.关于x的一元二次方程2x2+4mx+2m2=0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定8.水果店花1000元进了一批水果，按50%利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，于是又一次打折后才售完，经结算，这批水果共盈利400元若两次打折的折扣相同，设每次打x折，(打x折，即按原价的十分之x出售.)根据题意列方程为( )A. 1000×(1+50%)×(1+x10)2=1000+400B. 1000×(1+50%)×(1+x)2=1000+400C. 1000(1+x10)2=1000+400D. 1000×(1+50%)×(x10)2=1000+4009.在如图每个小方格均为小正方形的网格中，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )A. 23B. 12C. 33D. 2131310.如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的( )A. △PEF的周长总等于△AEF的周长B. PE+PF可能等于12(AB+AC)C. S△EFP=14S△ABC D. S△EFP=S△AEF二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

人教版九年级数学期末模拟试卷(三)

人教版九年级数学期末模拟试卷（三）一、单选题1．如图，用剪刀沿虚线将一个正六边形纸片剪掉一个三角形，发现剩下的纸片的周长比原来的纸片的周长小，能正确解释这一现象的数学（）A ．两点确定一条直线B ．经过一点只有一条直线C ．垂线段最短D ．两点之间，线段最短2．下列各式正确的是（） A ．16＝±4B ．2(3)-＝3C ．64-＝﹣8D ．43﹣4＝33．已知实数a 和b 在数轴上的位置关系如图所示，则结论错误是（）A ．a ＞bB ．a ﹣4＞b ﹣4C ．﹣4a ＞﹣4bD ．44a b>4．()()3a b a ---化简后，正确结果（） A ．﹣b ﹣3B ．b +3C ．3﹣bD ．b ﹣35．据3月9日《四川日报》报道，一款对新冠病毒具有消杀功能的纳米喷雾剂被四川大学的科学家研制出来，该喷雾剂不仅可以使用在口罩上，减少白色塑料的环境污染以及降低病毒二次传染，还可以用于公共卫生的大规模新冠病毒消杀．其中一种组成物——“植物多酚”分子直径为32纳米（1纳米＝0.000000001米），32纳米用科学记数法表示正确的是（） A ．92810-⨯米 B ．83.210⨯﹣米 C ．103.210⨯﹣米D ．93.210⨯﹣米6．方孔铜钱应天圆地方之说，古代入们认为天是圆的（圆形），地是方的（正方形），所以秦朝以后铸钱大多以“外圆内方”为型．如图中是一枚清代的“乾隆通宝”，“外圆”直径为a ，内方边长为b ，则这枚钱币的面积可以表示为（）A ．πa 2﹣b 2B ．222a b π-C ．224a b π-D ．228a b π-7．为推广和普及冰雪运动，某中学举办“青春梦想，活力飞Young ”冬奥知识竞赛．为了了解全校2800名学生的竞赛成绩，从中抽取了100名学生的竞赛成绩进行统计分析，以下说法正确的是（）A ．抽取的100名学生是总体的一个样本B ．每名学生的竞赛成绩是个体C ．全校2800名学生是总体D ．100名学生是样本容量8．如图，关于四边形ABCD 的4个结论正确的是（） ①它两组对边分别相等； ②它是矩形；③它是平行四边形； ④它有一个角是直角．A ．由①推出③，由③和④推出②B ．由④推出②，由②推出①，由①推出③C ．由②推出④，由④推出①D ．由③推出④，由①和④推出② 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＞BC ，小明按照下面的方法作图：①以B 为圆心BC 为半径画弧，交AC 于点D ；②分别以C 、D 为圆心大于12CD 为半径画弧，两弧交于点M ；③作射线BM，交AC于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（）A．E是AC中点B．∠ABE＝∠CBEC．BE⊥AC D．△ABC的内心一定在线段BE上10．如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（）A．（3﹣3）cm B．（3﹣23）cm C．（6﹣3）cm D．（6﹣23）cm11．关于x的分式方程1122mx x+=--有增根，则(1)m﹣=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．512．如图1，小明在路灯下笔直的向远离路灯方向行走，将其抽象成如图2所示的几何图形．已知路灯灯泡距地面的距离AB等于4米，小明CD身高1.5米，小明距离路灯灯泡的正下方距离BC等于4米，当小明走到E点时，发现影子长度增加2米，则小明走过的距离CE等于（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间13．已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则CF的长度是（）A．2πB．3πC．4πD．5π14．如图是反比例函数y1＝2x和y2＝4x-在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，点P（﹣5.5，0）在x轴上，则△P AB的面积为（）A．3 B．6 C．8.25 D．16.515．已知，二次函数2y ax bx c=++图象如图所示，则下列结论正确的有（）①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，现有A、B、C三点，在数轴上分别表示﹣2、0、4，三点在数轴上同时开始运动，点A向左运动，运动速度是2/s，点B、C都是向右运动，运动速度分别是3/s、4/s，甲、乙两名同学提出不同的观点．甲：5AC﹣6AB的值不变；乙：5BC﹣10AB的值不变．则下列选项中，正确的是（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲乙均正确D．甲乙均错误二、填空题17．已知2m＝8n＝4，则m＝_____，2m+3n＝_____．18．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是_____；它的侧面积是_____cm2．19．已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）点C坐标为_____．（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有_____个．三、解答题20．已知关于x的不等式155a xa x-<-．(1)当a＝2022时，求此不等式解集．(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．21．现有甲乙两个矩形，其边长如图所示（a＞0），周长分别为C甲和C乙，面积分别为S甲和S乙．(1)用含a的代数式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．(2)通过观察，小明发现“甲、乙两个矩形的周长相等，与a值无关”；小亮发现“a值越大，甲、乙两个矩形的面积之差越大”．你认为两位同学的结论都正确吗？如果不正确，请对错误同学的结论说明理由．22．为了宣传冬奥精神，普及青少年冬奥小知识，让学生知道更多的冬奥知识，某中学举行了一次“冬奥知识竞赛”，为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩（成绩取整数，满分为100分）作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，其中60分及以下为D类，61～80分为C类，81～99分为B类，100分为A类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题：(1)请把图1中条形统计图补充完整；(2)此样本数据的中位数落在范围内；(3)若这次竞赛成绩100分的学生可获奖，全校共1000名学生，请估计全校获奖人数约为人；(4)若甲、乙、丙、丁四名同学都为满分，现需要选取2名同学代表学校去参加全市比赛，请用树状图或表格分析甲和丙同学同时被选中的概率．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相交于C点．(1)求点C坐标．(2)若m＝2，①求△ABC的面积；②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值范围．24．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点M为AC边上一点．(1)若40BAC∠︒=．求BD的长度；(2)如图2，连接DM，当DM⊥AC时，求证：DM是⊙O的切线；(3)如图3，在（2）的条件下，延长MD，交AB的延长线于N，若DN＝8，求MC的长．25．新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等建材的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括新型墙体材料、新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用新型建筑材料，经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水保温隔热密封材料成本，其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新型建筑材料总成本为y（万元），获得如下数据：x（单位：m2）20 50y（单位：万元）240 600(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；(2)在建筑过型中，开发商测算出此时每平方米的平均成本为12万元，求此时完成的建筑面积；(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知当x＝50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，求k、b的值．（纯利润＝毛利润﹣成本）26．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝15，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．(1)填空：BC＝，BD＝；(2)点P运动几秒，DQ最短；(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．。

九年级(上)期末数学试卷(解析版) (3)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A． B． C．D．9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A．B．C．D．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=，b=．13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：种子总数100 400 800 1000 3500 7000 9000 14000发芽种子数91 354 716 901 3164 5613 8094 12614发芽的频率0.91 0.885 0.895 0.901 0.904 0.902 0.899 0.901则该玉米种子发芽的概率估计值为（结果精确到0.1）．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门步而见木．15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．你认为小明的思考（填“正确”和“不正确”），理由是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB 的长．20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）22．已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y …﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3 m …求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C （0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求一次函数y=x+n的表达式；（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．2017-2018学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，函数有最小值2．故选D．2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：A．5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据统计图求出总的水彩笔和蓝色水彩笔的支数，再根据概率公式进行计算即可．【解答】解：图中共有水彩笔2+3+4+3+6+2=20支，其中蓝色水彩笔6支，则抽到蓝色水彩笔的概率为=；故选：C．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC=50°，∴∠D=∠AOC=25°．故选A．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得BC===4．cosB==，故选：B．8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A． B． C．D．【分析】首先设I=，再把点（4，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【解答】解：设I=，∵图象经过点（4，8），∴8=，解得：k=32，∴电流I关于电阻R的函数解析式为I=．故选：C．9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A．B．C．D．【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=45°，则∠EAH=45°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，∵∠AEF=135°，∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=45°，∠EAH=45°，在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=45°，AE=1.3米，∴EH=AE•sin∠EAH≈1.3×0.7=0.91（米），∵AB=1.3米，∴AB+EH≈1.3+0.91=1.92≈2.2米．故选B．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A【分析】观察图2，发现寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出寻宝者的行进路线即可．【解答】解：观察图2得：寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，结合图1得：寻宝者的行进路线可能为O→D→C→B，故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=1，b=2014．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到a+b﹣2015=0，于是a取1时，计算对应的b的值．【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2015=0得a+b﹣2015=0，当a=1时，b=2014．故答案为1，2014．13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：种子总数100 400 800 1000 3500 7000 9000 14000发芽种子数91 354 716 901 3164 5613 8094 12614发芽的频率0.91 0.885 0.8950.901 0.904 0.902 0.899 0.901则该玉米种子发芽的概率估计值为0.9（结果精确到0.1）．【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该玉米种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门315步而见木．【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，△ACB∽△DEC，∴=，即=，解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树，故答案为：315．15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．你认为小明的思考不正确（填“正确”和“不正确”），理由是y2＜y3＜y1．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数中k=﹣8＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，∴A在第二象限，点B、C在第四象限，∴y1＞0，y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1．故小明的思考不正确，故答案为：不正确，y2＜y3＜y1．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．【分析】根据圆周角定理的推论求解．【解答】解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．故答案为直径所对的圆周角为直角．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=×﹣•=1﹣=．18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x1=，x2=．19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB 的长．【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为5，∴OA=OC=5，∵CD=2，∴OD=5﹣2=3，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB=2AD，∠ODA=90°，在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，∴AB=2AD=8．20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）AB==5，所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．22．已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．【分析】（1）利用配方法即可直接求解；（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．【解答】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标，设直线与y轴的交点为C（0，2），根据△ABP的面积为6得出PC•|x B|+PC•|x A|=6，求出PC的长，即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数图象过A点，∴m=1+2，解得m=3，∴A点坐标为（1，3），又∵反比例函数图象过A点，∴k=1×3=3，∴反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．（2）∵，解得或∴B（﹣3，﹣1），设直线与y轴的交点为C（0，2），∵△ABP的面积为6，∴PC•|x B|+PC•|x A|=6，∴PC（1+3）=6，∴PC=3，∴P（0，5）或（0，﹣1）．24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】根据题意和正切的概念分别求出CB、CD的长，计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC=100≈141米，tan∠D=，∴CD==100≈245米，∴BD=CD﹣CB=104米，答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD为104米．25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．【解答】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB．∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA．∴，即．解得：DE=．∴AE=AD﹣DE=．26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y …﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3 m …求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：该函数没有最大值，也没有最小值．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠1，故答案为x≠1；（2）令x=4，∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C （0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求一次函数y=x+n的表达式；（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，﹣1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；（3）首先求得抛物线上当x=﹣1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x==1，则﹣=1，解得：b=﹣2，∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．∴c=﹣1，则二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣1；（2）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2），代入y=x+n得﹣2=1+n，解得：n=﹣3，则一次函数y=x+n的表达式是y=x﹣3；（3）如图所示：在y=x2﹣2x﹣1中，当x=﹣1时，y=2；当x=1时，y=﹣2．当直线y=mx﹣3经过点（﹣1，2）时，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；当直线y=mx﹣3经过点（1，﹣2）时，m﹣3=﹣2，解得：m=1．则当﹣5＜m＜1时，当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．【分析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．【解答】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ADC和△BEC中，有，∴△ADC≌△BEC（S AS），∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，∴AD⊥BE．③依照题意画出图形，如图（二）所示．∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．∵△CDE为等腰直角三角形，∴DE=2CM，∴AE﹣BE=2CM，∴CM=．（2）依照题意画出图形（三）．其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP==3．结合（1）③的结论可知：AM===1．故点A到BP的距离为1．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．【分析】（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．【解答】解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），∵OM•OM′=1，OM=1，∴OM′=1反演点M′坐标（1，0）∵，∴，∵T′在第一象限的角平分线上，∴反演点T′坐标（1，1）（2）①由题意：AB=2，r=，∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，∴，∵OG•O′G=5，OG=2，∴O′G=，∵E′（﹣，2），O′（，），∴O′E′=，∴E′G2=E′O′2+O′G2，∴∠E′O′G=90°②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，∴∠P1BQ1=45°，∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，∴△PBQ1是等腰直角三角形，由△AP1B∽△BOC得到：，∵，∴，BQ1=2，Q1（5，0），∵Q1′G•GQ1=5，∴Q1′G=，∵∠P2AB=∠BAP1，∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（），由：Q2′G•Q2G=5得到：Q2′G=．。

2023-2024学年广东省中山市九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.“明天连云港会下雨”，这个事件是( )A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件3.抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是( )A. (2,5)B. (−2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)4.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP=7cm，则点P( )A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 不能确定5.在一个不透明的布袋中装有10个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 7个6.据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为( )A. 12.1(1+2x)=14.4B. 12.1(1+x)2=14.4C. 14.4(1−x)2=12.1D. 12.1+12.1x+12.1(1+x)2=14.47.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°8.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠ACD=51°，则∠BAC的度数为( )A. 39°B. 49°C. 51°D. 29°9.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2−2b，例如：5※1=52−2×1=23.若x※x=−1，则x的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 1或−110.如表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y−0.36−0.010.360.75 1.16那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似根的是( )A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

2023-2024学年广东省广州市海珠区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．43．（3分）关于二次函数y＝﹣x2+6，下列说法正确的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．有最小值D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小4．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC 与△DEF的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：95．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5 6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝10，以点C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（）A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定7．（3分）如图，在高3米，宽5米的矩形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度相同为x米的空白墙面．若矩形装饰板的面积为4.5平方米，则以下方程正确的是（）A．（3﹣x）（5﹣x）＝4.5B．（3﹣x）（5﹣2x）＝4.5C．（3﹣2x）（5﹣x）＝4.5D．（3﹣2x）（5﹣2x）＝4.58．（3分）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°9．（3分）如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，若BD＝1，AD＝4，则CE＝（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A 关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6B．5C．4D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为⊙O直径，若∠AOB＝50°，那么∠C ＝．12．（3分）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB＝8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于_____cm．13．（3分）若a是一元二次方程x2﹣2x﹣1012＝0的一根，则4a﹣2a2的值为．14．（3分）已知圆锥的侧面积为20π，底面半径为4，则圆锥的高是．15．（3分）一个同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.5米，同时测量旗杆AD的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长AB为5米，留在墙上的影高BC为2米，通过计算他得出旗杆AD的高度是_____米．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，AC＝6，点D在AB边上，且AD＝3，点E在直角边上，直线DE把Rt△ABC分成两部分，若其中一部分与原Rt△ABC 相似，则∠ADE＝．三、解答题（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（6分）解方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x（x+2）＝3（x+2）．18．（6分）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC是关于原点O的中心对称；（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2．19．（6分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B．（1）求此二次函数的解析式；（2）直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集．20．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．21．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC与⊙O相交于点D．（1）求证：△CBD∽△CAB；（2）若CD＝2，AD＝6，求CB的长度．22．（8分）某店销售一种环保建筑涂料，当每桶售价为300元时，月销售量为60桶，该店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当该涂料每桶售价每下降5元时，月销售量就会增加10桶，每售出1桶涂料共需支付厂家及其他费用200元．（1）当每桶售价是280元时，求此时该店的月销售量为多少桶？（2）求每桶降价多少元时，该店能获得最大月利润？最大月利润为多少元？23．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是的中点，连接AC，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．延长ED交AB的延长线于点F，且AB＝BF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设DE＝x，AE＝y，求y与x的数量关系式．24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别取BC、AC的中点并且同时将这两个中点绕点C按顺时针方向旋转依次得到点D、E，记旋转角为a（0°＜a＜90°），连接AE、CD、BD，如图所示．（1）当BC＝AC时，求证：∠DBC＝∠EAC；（2）若BC＝AC＝4，当B，D，E三点共线时，求线段BE的长；（3）当∠ABC＝30°时，延长BD交AE于点H，连接CH，探究线段BH，AH，CH之间的数量关系并说明理由．25．（12分）已知二次函数，顶点为P，且二次函数的图象恒过两定点A、B（点A在点B的左侧）．（1）当m＝﹣1时，求该二次函数的顶点坐标；（2）在（1）的条件下，二次函数y1的图象上是否存在一点D，使得∠ADB＝90°，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）将点P先沿水平方向平移m个单位，再向下移动（|4m|+5）个单位得到P'，若二次函数经过点P'（h，k），在二次函数y2的图象上存在点Q，使得QA+QB 的最小值为4，求m的取值范围．2023-2024学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项B、C、D都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．选项A不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．3．【分析】根据二次函数的性质逐一分析即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+6，∴由a＝﹣1可知开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，6），∴函数有最大值6，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，故选项B正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的性质是关键．4．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：∵x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，故选：D．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．6．【分析】若⊙O的半径为r，一点P和圆心O的距离为d，当d＝r时，点P在⊙O上；当d＜r时，点P在⊙O内；当d＞r时，点P在⊙O外．求出半径BC，与AC进行比较即可判断．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝10，∴BC＝＝5，∵AC＝5＜5，∴点A在⊙C内，故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系，熟知与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．7．【分析】根据长方形装饰板的面积为4.5平方米，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得（5﹣2x）（3﹣x）＝4.5，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．8．【分析】根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．【解答】解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360°÷5＝72°，故选：B．【点评】此题主要考查了旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分．9．【分析】设⊙O与AC相切于点F，连接OD、OE、OF，由切线的性质得OD⊥AB，OE ⊥BC，OF⊥AC，可证明四边形OEBD是正方形，则BE＝BD＝OD＝OE＝OF＝1，而CF＝CE，AF＝AD＝4，则AB＝5，BC＝CE+1，AC＝CF+4＝CE+4，所以×5×1+，求得CE＝，于是得到问题（CE+1）×1+（CE+4）×1＝×5（CE+1）＝S△ABC的答案．【解答】解：设⊙O与AC相切于点F，连接OD、OE、OF，∵Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，CF＝CE，∴∠ODB＝∠OEB＝∠EBD＝90°，∴四边形OEBD是矩形，∵OD＝OE，∴四边形OEBD是正方形，∵BD＝1，AD＝4，∴BE＝BD＝OD＝OE＝OF＝1，AF＝AD＝4，AB＝BD+AD＝1+4＝5，∴BC＝CE+1，AC＝CF+4＝CE+4，+S△BOC+S△AOC＝S△ABC，∠ABC＝90°，∵S△AOB∴×5×1+（CE+1）×1+（CE+4）×1＝×5（CE+1），解得CE＝，故选：D．【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线的性质、切线长定理、正方形的判定、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10．【分析】连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，则M即为所求．【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质和轴对称的性质，解题的关键是确定点M的位置．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据圆周角定理解答即可．【解答】解：由圆周角定理得：∠C＝∠AOB＝×50°＝25°，故答案为：25°．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记圆周角定理是解题的关键．12．【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．【解答】解：连接OA，如图：∵AB＝8cm，OC⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∵直径为10cm，∴AC＝10×＝5（cm），在Rt△OAC中，OC＝＝3（cm），故答案为：3．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．13．【分析】把x＝a代入方程，求出2a﹣a2＝﹣1012，可得结论．【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣1012＝0的一根，∴a2﹣2a﹣1012＝0，∴2a﹣a2＝﹣1012，∴4a﹣2a2＝﹣2024．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．14．【分析】根据扇形面积公式求出母线长，根据勾股定理求出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的母线长为R，则×2π×4×R＝20π，解得：R＝5，由勾股定理得：圆锥的高为：＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．【分析】过C作CE⊥AD于E，连接CD，首先证明四边形ABCE为矩形，可得BC＝AE ＝2，设AD＝x，列比例式解答即可．【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴∠AEC＝∠EAB＝∠CBA＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝2m，设AD＝x m，则DE＝（x﹣2）m，∴，解得x＝12，即旗杆AD的高度是12米．故答案为：12．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长＝定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．16．【分析】首先解Rt△ABC，得出∠B＝30°，∠A＝60°．然后分三种情况进行讨论：①如图1，过D作DE∥BC交AC于E，则△ADE∽△ABC；②如图2，过D作DE∥AC交BC于E，则△BDE∽△BAC；③如图3，过D作DE⊥AB交AC于E，则△ADE∽△ACB，分别求出∠ADE即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，AC＝6，∴sin B＝＝＝，∴∠B＝30°，∠A＝60°．分三种情况：①如图1，过D作DE∥BC交AC于E，则△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B＝30°；②如图2，过D作DE∥AC交BC于E，则△BDE∽△BAC，∴∠ADE＝180°﹣∠A＝120°；③如图3，过D作DE⊥AB交AC于E，则△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C＝90°；综上所述，∠ADE＝30°或120°或90°．故答案为：30°或120°或90°．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，进行分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．【分析】（1）两边直接开平方可得答案；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝±3，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵x（x+2）＝3（x+2），∴x（x+2）﹣3（x+2）＝0，则（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．18．【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质．19．【分析】（1）由图可知，二次函数的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），利用待定系数法求二次函数解析式即可．（2）结合图象可得答案．【解答】解：（1）由图可知，二次函数的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）由图可得，不等式x2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质是解答本题的关键．20．【分析】（1）根据不等式组求解即可；（2）求出求出k，再解方程求出另一个根．【解答】解：（1）由题意，∴k＞﹣且k≠0；（2）∵方程有一个根为2，∴4k﹣4﹣4＝0，∴k＝2，∴方程为2x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，∴x＝2或﹣1，∴另一个根为﹣1．【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是转化利用转化的思想解决问题．21．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝∠BDC＝90°，由切线的性质得BC⊥AB，则∠ABC＝90°，所以∠BDC＝∠ABC，而∠C＝∠C，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CBD∽△CAB；（2）由CD＝2，AD＝6，得CA＝8，由相似三角形的性质得＝，所以CB＝＝4．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BC与⊙O相切于点B，∴BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB．（2）解：∵CD＝2，AD＝6，∴CA＝CD+AD＝2+6＝8，∵△CBD∽△CAB，∴＝，∴CB＝＝＝4，∴CB的长度是4．【点评】此题重点考查直径所对的圆周角等于90°、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠BDC＝∠ABC是解题的关键．22．【分析】（1）依据题意，先计算出降价了：300﹣280＝20（元），进而由月销售了增加了×10＝40（桶），再列式计算可以得解；（2）依据题意，设每桶降价了x元，再列出该店这个月的利润w＝[300﹣x﹣200]（60+×10）＝﹣2x2+140x+6000＝﹣2（x﹣35）2+8450，然后根据二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：（1）由题意，降价了：300﹣280＝20（元），∴月销售了增加了×10＝40（桶）．∴此时该店的月销售量为60+40＝100（桶）．（2）由题意，设每桶降价了x元，∴该店这个月的利润w＝[300﹣x﹣200]（60+×10）＝﹣2x2+140x+6000＝﹣2（x﹣35）2+8450．∴当x＝35时，该店能获得最大月利润，最大月利润为8450元．答：每桶降价35元时，该店能获得最大月利润，最大月利润为8450元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能找出相等关系：利润＝销售价﹣成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．23．【分析】（1）连接OD，AD，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质与垂直的定义得到OD⊥DE，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用相似三角形的判定与性质得到分别用x，y的代数式表示出的线段AF，EF的长度，再利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图，∵点D是的中点，∴，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝BF，OA＝OB，∴FB＝2OA＝2OB，∴．∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴＝，∴，，∴OD＝y，FD＝3x，∴OA＝OB＝y，EF＝ED+FD＝4x．∴AF＝4OA＝3y．∵AE2+EF2＝AF2，∴y2+（4x）2＝（3y）2，∴y2＝2x2，∵x＞0，y＞0，∴y＝x．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线和解题的关键．24．【分析】（1）先证∠C＝∠DCE＝90°，再证∠ACE＝∠BCD，从而证明△BCD≌△ACE 即可；（2）由题意可知，CD＝CE＝BC＝2，∠DCE＝∠ACB＝90°，CF⊥BE，进而根据勾股定理得DE＝＝2，再根据三线合一及直角三角形的性质可得DF＝EF＝CF＝，最后利用勾股定理即可得解；（3）过点C作CG⊥CH交BH于点G，证△BCD∽△ACE，得∠CBG＝∠CAH，又∠BCG＝∠ACH，得证△BCG∽△ACH，得BG＝AH，最后证△ACB∽△HCG，得∠HGC ＝∠ABC＝30°，利用直角三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC的中点同时绕点C按顺时针方向旋转依次得到点D、E，∴∠DCE＝90°，又∵BC＝AC，∴CD＝CE，∵∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC＝∠EAC；（2）解：当旋转角为α（0°＜α＜90°），B、D、E三点共线时，如图，过点C作BE 的垂线交BE于F，由题意可知，CD＝CE＝BC＝2，∠DCE＝∠ACB＝90°，CF⊥BE，∴DE＝＝2，DF＝EF，∵CF⊥BE，∴DF＝EF＝CF＝，∴在Rt△BFC中，BF＝，∴BE＝BF+EF＝+；（3）解：BH＝AH+2CH，理由如下：过点C作CG⊥CH交BH于点G，∴∠ACB＝∠GCH＝90°，∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG，∠ACH＝∠GCH﹣∠ACG，∴∠BCG＝∠ACH，分别取BC、AC的中点并且同时将这两个中点绕点C按顺时针方向旋转依次得到点D、E，记旋转角为α（0°＜α＜90°），∴∠BCD＝∠ACE，CE＝AC，CD＝BC，∵，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBG＝∠CAH，∵BCG＝∠ACH，∴△BCG∽△ACH，∴，∴，BG＝AH，∵∠ACB＝∠GCH＝90°，∴△ACB∽△HCG，∴∠HGC＝∠ABC＝30°，∴GH＝2CH，∴BH＝BG+GH＝AH+2CH．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质等，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．25．【分析】（1）把m＝﹣1代入，再求顶点坐标；（2）根据函数特征，将函数解析式变形为y1＝m（x﹣5）（x﹣1）+3，由二次函数的图象恒过两定点A、B，确定点A，B坐标分别为（1，3），（5，3），再设点D坐标为（x，y），由题意得到AD2+BD2＝AB2，代入得（x﹣1）2+（y﹣3）2+（x﹣1）2+（y﹣3）2＝（5﹣1）2解出x即可；（3）由平移得到P′（3﹣m，﹣2），从而得到，由点Q为抛物线的动点，则可知，当A，B，Q三点共线时，QA+QB有最小值4，则点Q在线段AB上，分别把点A，B坐标代入，求出m的临界值得到结果．【解答】解：（1）当m＝﹣1时，，故二次函数顶点坐标为：（3，7）；（2）存在一点D，使得∠ADB＝90°，理由如下：由整理得y1＝m（x﹣5）（x﹣1）+3，∵二次函数的图象恒过两定点A、B，∴当x＝1或5时，函数的值为3，∴点A、B坐标分别为（1，3），（5，3），设点D坐标为（x，y），则当AD2+BD2＝AB2时，∠ADB＝90°，（x﹣1）2+（y﹣3）2+（x﹣1）2+（y﹣3）2＝（5﹣1）2，整理得x2﹣6x+5+（y﹣3）2＝0，∵，∴x2﹣6x+5+（﹣x2+6x﹣5）2＝0，即（x2﹣6x+5）（x2﹣6x+6）＝0，∴x2﹣6x+5＝0或x2﹣6x+6＝0，∴解得x1＝5（舍去），x2＝1（舍去），，，故点D横坐标为或；（3）由题可知，点P坐标为（3，3﹣4m），由点P先沿水平方向平移m个单位，再向下移动（|4m|+5）个单位，故点P′横坐标h＝3+|m|＝3﹣m，纵坐标k＝3﹣4m﹣（|4m|+5）＝3﹣4m﹣（﹣4m+5）＝﹣2，∴P′（3﹣m，﹣2），∴二次函数，由Q为抛物线上动点，则可知，当A，B，Q三点共线时，QA+QB有最小值，由QA+QB最小值为4，A，B坐标分别为（1，3），（5，3），∴当点Q在线段AB上时QA+QB的最小值为4，∴当点A（1，3）时，3＝（1﹣3+m）2﹣2，解得（舍去）或，∴当点A（5，3）时，3＝（5﹣3+m）2﹣2，解得（舍去）或，故m的取值范围为：．【点评】本题考查了二次函数的顶点式以及二次函数背景下的几何综合问题，解答的关键是根据数形结合思想，构造方程求解。

2023-2024学年湖北省武汉市九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球B．摸出红球的可能性最大C．不可能是黑球D．摸出黄球的可能性最小3．（3分）方程x2﹣6x﹣5＝0经过配方后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝30B．（x﹣6）2＝41C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2＝14 4．（3分）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离5．（3分）已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b 的值分别是（）A．a＝3，b＝1B．a＝3，b＝﹣1C．a＝﹣，b＝﹣1D．a＝﹣，b＝16．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（）A．B．C．D．7．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 8．（3分）四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB＝1，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（）A．B．C．D．10．（3分）定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”．现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是．12．（3分）如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．13．（3分）如图，直线EF与⊙O相切于点C，直线EO与⊙O相交于点D，连接CD．若∠DEF＝3∠D，则∠DCF的度数为．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A'BC'，则AC，，A'C'，CC'围成的面积（图中阴影部分面积）为．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；③；④当x＝﹣t2﹣2（t为常数）时，y＞c．其中正确结论的序号是．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E为CD边上一动点，以BE为边构造等边△BEF（点F位于AB下方），连接AF，则，①当CE＝BC时，∠BAF＝°；②点E在运动的过程中，AF的最小值为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的过程中出现了错误，其解答如下：解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步∴x＝，……第三步∴x1＝，x2＝．……第四步（1）问：小明的解答是从第步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答．18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上．（1）求证：DA平分∠BDE；（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．19．（8分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电池．（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为F．（1）求证：BC＝DE；（2）若AC＝6，BF＝2，求AE的长．21．（8分）如图，在7×6的网格中，A，B，C三点均为格点（点A，B，C均在圆上）．请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．（1）在图1中，画的中点D，再作△ABC的高BE；（2）在图2中，在上画点G，使BG∥AC，再在AC上画点F，使．22．（10分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：m/s）满足二次函数y＝0.08x2+bx+c．测得部分数据如下表：刹车时车速（m/s）0510152025刹车距离（m）0 6.51731.55072.5（1）求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；（2）有一辆该型号汽车A在公路上（限进100km/h）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；（3）制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：m/s）满足：y＝0.12x2+βx，若刹车时车速满足在10≤x≤20范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．23．（10分）在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕点A逆时针旋转β至AC'（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．（1）当△ABC为等边三角形时，画图研究△ABC的“旋补中线”AD与BC的数量关系是；（2）如图，当△ABC为任意三角形时，（1）中的结论是否成立？并给予证明；（3）若AB＝AC＝4，BC＝6，求△ABC的“旋补三角形”的周长．24．（12分）如图1，抛物线经过点（3，1），与y轴交于点B（0，5），直线与抛物线交于P，Q两点，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一点，过点E作EF∥y轴交直线PQ于点F，连接BE，当BE＝DF 时，求点E的坐标；（3）如图2，C为平面内一点，直线CQ，CP分别交抛物线于另一点M，N，连接MN，若MN∥PQ，求点C的横坐标．2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【解答】解：选项B、C、D均能找到一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故不符合题意；选项A不能找到一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故符合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2．【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案．【解答】解：由题意可得，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，故选：B．【点评】本题考查概率定义及树状图法求概率，解题的关键是正确理解概率的定义．3．【分析】先把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，∴x2﹣6x＝5，∴x2﹣6x+9＝5+9，∴（x﹣3）2＝14．故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．【分析】由已知点（﹣3，4）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：A．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．5．【分析】利用根与系数的关系，构建方程求解即可．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，∴x1+x2＝﹣2a，x1•x2＝b．又∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴﹣2a＝3，b＝1，∴a＝﹣，b＝1．故选：D．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．6．【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及顶点位置逐一判断可得．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），由a＝﹣1＜0知抛物线的开口向下，故选项B正确．故选：B．【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．7．【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，∴y2＜y1＜y3．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．8．【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．【解答】解：树状图如图所示，一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，故王明选中的卡片中有偶数的概率为：＝，故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．9．【分析】首先求出点B的坐标，探究规律利用规律解决问题．【解答】解：在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，∠AOB＝30°，∴OA＝AB＝，∴B（，1），第一次旋转B1（1，﹣），第二次旋转B2（﹣，﹣1），第三次旋转B3（﹣1，），四次一个循环，2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束时，点B的坐标为（﹣1，），故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．10．【分析】当等弦圆O最大时，则⊙O经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB 于F，连接OE，DK，再证明DK经过圆心，CF⊥AB，分别求解AC，BC，CF，设⊙O 的半径为r，再分别表示EF、OF，OE，再利用勾股定理求解半径r即可．【解答】解：如图，当等弦圆O最大时，则⊙O经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，∵CD＝CK＝EQ，∠ACB＝90°，∴∠COD＝∠COK＝90°，DK过圆心O，CF⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝2．∴，设⊙O的半径为r，∴，∵CF⊥AB，∴r，∴，整理得：r2﹣4r+2＝0，解得，∵OC＜CF，∴r＝2+不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为．故选：B．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．12．【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：．【点评】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．13．【分析】连接OC，如图，先利用切线的性质得到∠OCE＝90°，则根据三角形内角和得到∠E+∠EOC＝90°，再根据圆周角定理得到∠EOC＝2∠D，加上∠E＝3∠D，所以3∠D+2∠D＝90°，从而可求出∠D的度数，然后利用三角形外角性质可计算出∠DCF 的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵直线EF与⊙O相切于点C，∴OC⊥EF，∴∠OCE＝90°，∴∠E+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝2∠D，∠E＝3∠D，∴3∠D+2∠D＝90°，解得∠D＝18°，∴∠E＝54°，∴∠DCF＝∠D+∠E＝18°+54°＝72°．故答案为：72°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．14．【分析】将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A'BC'，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S扇形CBC′﹣S△ABC＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，可得出阴影部分面积．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，∴AC 2＝AB 2﹣BC 2，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转30°得到△A 'BC '，∴△ABC ≌△A ′BC ′，∴∠ABA ′＝30°＝∠CBC ′，∴S 阴影＝S 扇形ABA ′+S △A ′BC ′﹣S 扇形CBC ′﹣S △ABC＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′＝﹣＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．15．【分析】根据点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点A 的坐标即可求出点B 坐标，可以判断①选项；根据图象可知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y ＝2有两个交点，可以判断②选项；将A ，B 点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据a ＞0，即可判断③选项；根据对称性可知当x ＝﹣2时和x ＝0时函数值相等都是c ，即可判断④选项．【解答】解：∵点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上，∴该抛物线的对称轴为：x ＝＝﹣1，∵A （﹣3，0），∴B （1，0），故①选项符合题意；∵图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y ＝2有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根，故②选项符合题意；将A，B点坐标代入抛物线解析式，得，得，∴a+c＝a﹣3a＝﹣a，∵a＞0，∴﹣a＜0，即a+c＜0，故③选项符合题意；∵x＝﹣t2﹣2≤﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣2时和x＝0时函数值相等，当x＝0时，y＝c，∴当x＝﹣2时，y＝c，∴当x＝﹣t2﹣2时，y≥c，故④选项不符合题意；故答案为：①②③．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16．【分析】①连接AC、BD交于O，连接OF，根据已知可得△BOC是等边三角形，再证明△BOF≌BOE，BOE是等要直角三角形得∠ABE＝45°，利用面积法证明AF∥BE，进而得结论；②在①中所得结论的基础上，结合其他条件，可得AF⊥OF时有最小值，即可得结论．【解答】解：①如图所示，连接AC、BD交于O，连接OF，AE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，AC＝BD＝2OA＝2OB＝2OC＝2OD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AC＝＝4，∴OC＝OB＝OA＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∠OBC＝∠COB＝60°，∴∠AOB＝120°，.∵△EFB是等边三角形，∴∠EBF＝60°，EB＝FB，∴∠EBC＝∠FBO，∴△EBC≌△FBO（SAS），∴∠BOF＝∠BEC＝90°，∴∠AOF＝30°；当CE＝BC＝2时，则BE＝＝2，∠CBE＝∠CEB＝45°，＝BE2＝6，∠ABE＝45°，∴S△BEF＝，又∵S△ABE＝S△BEF，∴S△ABE∴AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE＝45°，故答案为：45°；②由①知△EBC≌△FBO，∴∠C＝∠BOF，∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝30°，＝S△BEF，∵S△ABE∴AF∥BE，当点F在直线OF上运动（直线OF与OA的夹角为30°），∴当AF⊥OF时，AF有最小值，此时AF＝OA＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定与性质定理，面积法的应用是关键，理解题意掌握方法更是关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．【分析】（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到a＝1，b＝﹣5，c＝3，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）小明的解答是从第一步开始出错的；故答案为：一；（2）方程化为一般式为x2﹣5x+3＝0，a＝1，b＝﹣5，c＝3，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．18．【分析】（1）根据旋转的性质可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等边对等角可得∠2＝∠B，从而可得∠1＝∠2，即可解答；（2）设AC与DE交于点O，根据旋转的性质可得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，再根据垂直定义可得∠AOE＝90°，从而可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠2＝∠B＝90°﹣α，再根据三角形的外角性质可得∠4＝∠B+∠C，从而可得α＝90°﹣α+90°﹣α，最后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：如图：由旋转得：∠1＝∠B，AD＝AB，∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2，∴DA平分∠EDB；（2）解：如图，设AC与DE交于点O，由旋转得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，∵AC⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，∵AB＝AD，∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，∵∠4是△ABC的一个外角，∴∠4＝∠B+∠C，∴α＝90°﹣α+90°﹣α，解得：α＝72°，∴旋转角α的度数为72°．【点评】本题考查了旋转的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．19．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，小灯泡发光的概率为；（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，∴小灯泡发光的概率为＝．【点评】本题考查了用树形图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】（1）由垂径定理可得弧DE与弧DB的数量关系，结合已知可得弧BC与弧DB 的数量关系，从而得到弧BC与弧DE相等，进而得到对应的弦相等；（2）连接OD，由已知可得OD⊥CB，再由∠ACB是直角可得OD∥AC，进一步得到∠CAB＝∠DOF，进而可以得到∴△ACB∽△OFD，利用相似三角形的性质可得到OF的长，进而得到半径的长度，在△DOF中利用勾股定理求出DF的长，进而得到EF的长，再利用△AEF即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵弦DE⊥AB，AB为⊙O的直径，∴，∵D是的中点，∴，∴，∴BC＝DE．（2）解：连接OD交CB于点H，∵DE⊥AB，∴∠OFD＝90°，DF＝EF，∵D是的中点，∴OD⊥BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAB＝∠DOF，又∵∠ACB＝∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴∴OF＝AC＝3，∴OD＝OA＝OB＝OF+FB＝3+2＝5，∴，∴EF＝4，∴．故答案为：．【点评】此题主要考查的是垂径定理以及相似在圆中的综合运用，解决此题的关键是正确作出辅助线，利用相似求出半径．21．【分析】（1）利用网格特征作出AB的中点Q，连接CQ，延长CQ交△ABC的外接圆于点D，取格点T，连接BT交AC于点E，点D，点E即为所求；（2）取网格线的中点H，连接BH，延长BH交⊙O于点G（可以证明△BRH∽△CWA，推出∠RBH＝∠ACW，可得BG∥AC，利用网格特征作出线段AC的垂直平分线交网格线一点K，连接CK交⊙O于点F，连接AF，点G，点F即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点D，线段BE即为所求；（2）如图2中，点G，点F即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是善于利用网格特征解决问题．22．【分析】（1）把（0，0），（5，6.5）代入y＝0.08x2+bx+c可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x；（2）结合（1）令y＝99得：x＝30或x＝﹣（舍去），根据30m/s＝108km/h＞100km/h，即可得到答案；（3）由题意得，可解得答案．【解答】解：（1）把（0，0），（5，6.5）代入y＝0.08x2+bx+c得：，∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x；（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：在y＝0.08x2+0.9x中，令y＝99得：99＝0.08x2+0.9x，∵30m/s＝108km/h＞100km/h，∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故；（3）∵0.12＞0.08，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，由题意得，解得：≤β≤．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．23．【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC＝AB'＝AC'，∠BAC ＝60°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BC＝2AD；（2）由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE＝2AD；（3）通过证明平行四边形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的长，即可求解．【解答】解：（1）由旋转可得：AB＝AB'，AC＝AC'，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝AB'＝AC'，∠BAC＝60°，∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，∴∠B'AC'＝120°，∵AB'＝AC'，AD是B'C'上中线，∴∠B'＝∠C'＝30°，AD⊥B'C'，B'D＝C'D，∴AB'＝2AD，∴BC＝2AD，故答案为：BC＝2AD；（2）结论仍然成立，理由如下：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E，∵AD是中线，∴B'D＝C'D，∴四边形AC'EB'是平行四边形，∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠AB′E，∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，在△BAC和△AB′E中，，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC＝AE，∵AE＝2AD，∴BC＝2AD；（3）∵BC＝6，∴AD＝3，∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，∴平行四边形AC'EB'是菱形，∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，∴B'D＝＝＝，∴B'C'＝2，∴△ABC的“旋补三角形”的周长＝B'C'+AB'+AC'＝8+2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设E（t，﹣t2+t+5），则F（t，t﹣4），利用两点间距离公式分别求出BE、DF，从而建立方程求出t的值即可求E点坐标；（3）设直线MN的解析式为y＝x+m，当x﹣4＝﹣x2+x+5时，x P+x Q＝1，当x+m＝﹣x2+x+5时，x M+x N＝1，可知线段PQ与线段MN的中点的连线与y轴平行，再由△CMN∽△CQP，可知两个三角形的中线经过点C，从而得到C点的横坐标为．【解答】解：（1）将点（3，1）和点B（0，5）代入抛物线，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）设E（t，﹣t2+t+5），∵EF∥y轴，∴F（t，t﹣4），∴BE＝，DF＝，∵BE＝DF，∴＝，解得t＝0（舍）或t＝1或t＝，∴E点坐标为（1，）或（，）；（3）∵MN∥PQ，设直线MN的解析式为y＝x+m，当x﹣4＝﹣x2+x+5时，x P+x Q＝1，当x+m＝﹣x2+x+5时，x M+x N＝1，∴线段PQ与线段MN的中点的连线与y轴平行，∵MN∥PQ，∴△CMN∽△CQP，∴两个三角形的中线经过点C，∴C点的横坐标为．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的性质，两点间距离公式是解题的关键。

★试卷3套精选★上海市黄浦区2021届九年级上学期期末教学质量检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()4,0A ，其部分图象如图所示．下列叙述中：①24b ac <；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；③20a b +=；④0a b c ++<；⑤当04x <<时，y 随x 增大而增大．正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】由抛物线的对称轴是 1x =，可知系数a b ，之间的关系，由题意，与 x 轴的一个交点坐标为() 4,0A ，根据抛物线的对称性，求得抛物线与 x 轴的一个交点坐标为() 0B -2，，从而可判断抛物线与x 轴有两个不同的交点，进而可转化求一元二次方程根的判别式，当 1x =时，代入解析式，可求得函数值，即可判断其y 的值是正数或负数. 【详解】抛物线的对称轴是 1x =1202ba b a∴-=+=，；③正确，与x 轴的一个交点坐标为() 4,0A ∴抛物线与与 x 轴的另一个交点坐标为() 0B -2，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；②正确，当x=1时，y=0a b c ++<；④正确∴抛物线与x 轴有两个不同的交点 ∴2b -4ac>0，2b >4ac 则①错误；当01x <<时，y 随x 增大而减小当14x ≤<时，y 随 x 增大而增大，⑤错误； ∴②③④正确，①⑤错误故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的基本性质：对称性、增减性、函数值的特殊性、二次函数与一元二次方程的综合运用，是常见考点，难度适中，熟练掌握二次函数图象基本性质是解题关键.2．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示，则方程ax 2+bx+c ＝m 有实数根的条件是（）A ．m≥﹣4B ．m≥0C ．m≥5D ．m≥6【答案】A【解析】利用函数图象，当m≥﹣1时，直线y ＝m 与二次函数y ＝ax 2+bx+c 有公共点，从而可判断方程ax 2+bx+c ＝m 有实数根的条件．【详解】∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣1），即x ＝6时，二次函数有最小值为﹣1，∴当m≥﹣1时，直线y ＝m 与二次函数y ＝ax 2+bx+c 有公共点， ∴方程ax 2+bx+c ＝m 有实数根的条件是m≥﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y ＝h 的交点位置确定交点横坐标的范围；3．若a 是方程210x x +-=的一个根.则代数式3222019a a ++的值是（） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021【答案】C【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案. 【详解】解：由题意可知：21a a +=∴()322222a 2019201920192020a a a a a a a ++=+++=++= 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是根据一元二次方程的解求代数式的值，解题的关键是将已给代数式进行变形，使之与所给条件有关系，即可得解.4．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠3【答案】B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B. 考点：函数图像与x 轴交点的特点.5．在△ABC 中，tanC cosA ＝2，则∠B ＝（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．135°【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠C=30°，∠A=45°，进而得出答案．【详解】解：∵tanC ＝3，cosA ＝2，∴∠C=30°，∠A=45°， ∴∠B=180°-∠C -∠A=105°．故选：C ．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．二次三项式243x x -+配方的结果是（） A ．2(2)7x -+ B ．2(2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ．2(2)1x +-【答案】B【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．解：x 2-4x+3=x 2-4x+4-1=（x-2）2-1．故选B ．考点：配方法的应用．7．抛物线y=(x －4)(x ＋2)的对称轴方程为（） A ．直线x=-2 B ．直线x=1C ．直线x=-4D ．直线x=4【答案】B【解析】把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴方程即可．【详解】解：y=（x+2）（x －4）， =x 2－2x －8，=x2－2x+1－9，=（x－1）2－9，∴对称轴方程为x=1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础题，把抛物线解析式整理成顶点式解析式是解题的关键．8．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转90 得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）【答案】B【详解】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（-2，0）、B （2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B．9．某次数学纠错比赛共有10道题目，每道题都答对得10分，答错或不答得0分，全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：成绩（分）5060708090100人数25131073则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70B．80，80C．70，70 D．75，80【答案】A【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；则中位数是75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A ．【点睛】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．10．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第一象限内，且点A ，B 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上，点C 在第四象限内．其中，点A 的纵坐标为2，则k 的值为（）A ．3 2B ．5 2C ．3 4D ．5﹣4【答案】B【分析】作AE ⊥x 轴于E ，BF ∥x 轴，交AE 于F ，根据图象上点的坐标特征得出A （2k，2），证得△AOE ≌△BAF （AAS ），得出OE=AF ，AE=BF ，即可得到B （2k +2，2-2k ），根据系数k 的几何意义得到k=（2k +2）（2-2k），解得即可．【详解】解：作AE ⊥x 轴于E ，BF//x 轴，交AE 于F ， ∵∠OAE+∠BAF ＝90°＝∠OAE+∠AOE ， ∴∠BAF ＝∠AOE ，在△AOE 和△BAF 中AOE BAFAEO BFA 90OA AB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△BAF （AAS ）， ∴OE ＝AF ，AE ＝BF ， ∵点A ，B 在反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象上，点A 的纵坐标为2，∴A （2k，2）， ∴B （2k +2，2﹣2k ），∴k ＝（2k +2）（2﹣2k），解得k ＝﹣2±25（负数舍去）， ∴k ＝25﹣2，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形． 11．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是4，则ABC 的面积为（）A ．32B ．36C ．40D ．48【答案】D【分析】连接BQ ，证得点Q 在以BC 为直径的⊙O 上，当点O 、Q 、A 共线时，AQ 最小，在Rt AOB中，利用勾股定理构建方程求得⊙O 的半径R ，即可解决问题. 【详解】如图，连接BQ ，∵PB 是直径， ∴∠BQP=90°， ∴∠BQC=90°，∴点Q 在以BC 为直径的⊙O 上， ∴当点O 、Q 、A 共线时，AQ 最小，设⊙O 的半径为R ，在RtAOB 中，4OA R =+，OB R =，8AB =，∵222OA AB BO =+，即()22248R R +=+，解得：6R =，112864822ABC S AB BC AB R AB R ====⨯= 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式．解决本题的关键是确定Q 点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．12．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BCCG=﹣1；④HOM HOGS S ＝2﹣2，其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【分析】由四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，得出△BCE ≌△DCG ，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH ⊥BE ；由GH 是∠EGC 的平分线，得出△BGH ≌△EGH ，再由O 是EG 的中点，利用中位线定理，得HO ∥BG 且HO=12BG ；由△EHG 是直角三角形，因为O 为EG 的中点，所以OH=OG=OE ，得出点H 在正方形CGFE 的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG ，从而证得△EHM ∽△GHF ；设HN=a ，则BC=2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC=b ，CD=2a ，由HO ∥BG ，得出△DHN ∽△DGC ，即可得出DN HN DC CG =，得到 b 2a a 2a 2b -=，即a 2+2ab-b 2=0，从而求得BC21CG=，设正方形ECGF 的边长是2b ，则EG=22b ，得到HO=2b ，通过证得△MHO ∽△MFE ，得到OM OH 2b 2EM EF 2b 2===，进而得到21(12)12OM OE OM ===-++，进一步得到21HOM HOM HOE HOGS S S S ∆∆∆∆==-. 【详解】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形， ∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ， ∴∠BEC+∠HDE ＝90°， ∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点， ∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上， ∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ， ∴△EHM ∽△GHF ，故②正确； ∵△BGH ≌△EGH ， ∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点， ∴HO ∥BG ， ∴△DHN ∽△DGC ，DN HNDC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a aa b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212ab ∴=1BC CG∴= 故③正确； ∵△BGH ≌△EGH ， ∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ，设正方形ECGF 的边长是2b ， ∴EG ＝b ， ∴HOb ， ∵OH ∥BG ，CG ∥EF ， ∴OH ∥EF ， ∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===， ∴EMOM ，∴1OM OE ===，∴1HOMHOES S ∆∆= ∵EO ＝GO ， ∴S △HOE ＝S △HOG ，∴21HOMHOGSS∆∆=-故④错误，故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，12AC cm=.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为______cm.【答案】24122-【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得BC=43cm，AB=83cm，ED=DF=62cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N=D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC 时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，【详解】解：∵AC=12cm，∠A=30°，∠DEF=45°∴BC=43cm，AB=83cm，ED=DF=62cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M∴∠MD'N=90°，且∠E'D'F'=90°∴∠E'D'N=∠F'D'M，且∠D'NE'=∠D'MF'=90°，E'D'=D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N=D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即点E 沿AC 方向下滑时，点D'在射线CD 上移动，∴当E'D'⊥AC 时，DD'值最大，最大值=2ED-CD=（12-62）cm∴当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长=2×（12-62）=（24-122）cm【点睛】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，确定点D 的运动轨迹是本题的关键．14．如图所示，已知ABC 中，12BC =，BC 边上的高6h =，D 为BC 上一点，EF BC ∥，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x .则DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为__________.【答案】抛物线y =-x 2+6x ．（0＜x ＜6）的部分.【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，∵EF BC ∥∴△AEF ∽△ABC∴EF h x BC h -=即6126y x -=， ∴y=12×2（6-x ）x=-x 2+6x ．（0＜x ＜6） ∴该函数图象是抛物线y =-x 2+6x ．（0＜x ＜6）的部分．故答案为：抛物线y =-x 2+6x ．（0＜x ＜6）的部分.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，根据几何图形的性质确定函数的图象能力．要能根据函数解析式及其自变量的取值范围分析得出所对应的函数图像的类型和所需要的条件，结合实际意义分析得解． 15．已知m 是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则代数式2m 2﹣6m ﹣7的值等于_____．【答案】﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的概念可得关于m 的方程，变形后整体代入所求式子即得答案.【详解】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，∴2m2﹣6m﹣7＝2（m2﹣3m）﹣7＝2×1﹣7＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念和代数式求值，熟练掌握整体代入的数学思想和一元二次方程的解的概念是解题关键.16．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB'交CD 于点E，若AB＝3cm，则线段EB′的长为_____．【答案】1cm【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而求出AD，DE，AE的长，则EB′的长可求出．【详解】解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，∵D为AC'的中点，∴AD＝12 AC，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD＝30°，∵AB∥CD，∴∠CAB＝30°，∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠DAE＝30°，∵AB＝CD＝3cm，∴AD 333=，∴DE＝1cm，∴AE＝2cm，∵AB＝AB'＝3cm，∴EB'＝3﹣2＝1cm ．故答案为：1cm ．【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．17．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．【答案】y ＝2(x －2)2＋3【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，故答案为：y ＝2(x －2)2＋3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．18．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差20S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为21S ，则20S ______21S （填“>”、“=”或“<”）.【答案】=【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴2201S S 故答案为：=.【点睛】本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，某市有一块长为（3a+b ）米、宽为（2a+b ）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b ）米的正方形雕像．（1）试用含a 、b 的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．【答案】（1）5a 2+3ab ；（2）63.【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；（2）将a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）根据题意得：（3a+b ）（2a+b ）-（a+b ）2=6a 2+5ab+b 2-a 2-2ab-b 2=5a 2+3ab ；（2）当a=3，b=2时，原式=2533324518=63⨯⨯⨯=++.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．20．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD ，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E 点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE 的长为16米，地面B 点(与E 点在同一个水平线)距停车场顶部C 点(A 、C 、B 在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC 及限高CD(结果精确到0.1米，3≈1.732)．【答案】AC=6米；CD=5.2米.【分析】根据题意和正弦的定义求出AB 的长，根据余弦的定义求出CD 的长．【详解】解：由题意得，AB ⊥EB ，CD ⊥AE ，∴∠CDA ＝∠EBA ＝90°，∵∠E ＝30°，∴AB ＝12AE ＝8米， ∵BC ＝2米，∴AC ＝AB ﹣BC ＝6米，∵∠DCA ＝90°﹣∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ×cos ∠DCA ＝6×3≈5.2(米)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系.21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.22．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，1，1．（1）填写下表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）小华 8小亮 8 3（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”、“不变”）【答案】（1）8，8，23；（2）选择小华参赛．（3）变小【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；（2）根据方差的意义求解；（3）根据方差公式求解．【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:7+8+7+8+9+96=8, 小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82；（2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．23．如图，某校数学兴趣小组为测量该校旗杆AB 及笃志楼CD 的高度，先在操场的F 处用测角仪EF 测得旗杆顶端A 的仰角AEG ∠为45︒，此时笃志楼顶端C 恰好在视线EA 上，再向前走8m 到达B 处，用该测角仪又测得笃志楼顶端C 的仰视角CGH ∠为60︒.已知测角仪高度为1.5m ，点F 、B 、D 在同一水平线上.（1）求旗杆AB 的高度；（2）求笃志楼CD 的高度（精确到0.1m ）.2 1.41≈3 1.73≈）【答案】（1）9.5m ；（2）20.5m.【分析】（1）根据题意得到，等腰直角三角形，从而得到8AG EG ==，从而求解；（2）解直角三角形，求CH ，构建方程即可解决问题；【详解】解：（1）在Rt AEG ∆中，∵90AGE ∠=︒，45AEG ∠=︒，∴8AG EG ==.∴ 1.589.5AB AG GB =+=+=.∴旗杆AB 的高为9.5m .（2）在Rt CGH ∆中，设GH xm =.∵60CGH ∠=︒, ∴tan 603CH GH x =⋅︒=.在Rt CEH ∆中，90CHE ∠=︒，45CEH ∠=︒，∴CH EH EG GH ==+，∴38x x =+. 解得31x =-. ∴CD DH CH =+=1.53x +=831.520.531+≈-. 答：笃志楼CD 的高约为20.5m .【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE 、FG 相交于点H ．判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB ，∠GFE=∠A ，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE 、FG 的位置关系是垂直.【详解】解：DE ⊥FG ．理由：由题知：Rt △ABC ≌Rt △BDE ≌Rt △FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE ＋∠BED=90°∴∠GFE ＋∠BED=90°，即DE ⊥FG ．25．解方程（1）x 2－6x －7＝0；（2） (2x －1)2＝1．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝2，x 2＝－1【分析】（1）根据配方法法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案；【详解】解：（1）x 2－6x ＋1－1－7＝0(x －3) 2＝16x －3＝±4x 1＝7，x 2＝－1（2）2x －1＝±32x ＝1±3x 1＝2，x 2＝－1【点睛】本题考查了解一元二次方程，观察所给方程的形式，分别使用配方法和直接开方法求解.26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()0,0.a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数()0k y k x=<中，当4x =-时，1y =．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已如函数y x =的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式k x x ≥的解集．【答案】（1）4y x=；（2）函数图象见解析，性质：函数图象关于y 轴对称（答案不唯一）；（3）不等式k x x≥的解集为02x <≤或0x < 【分析】（1）根据待定系数法进行求解函数的表达式；（2）结合（1），将函数的表达式写成分段形式，然后进行画图，进而求解；（3）结合（2）中的函数图象直接写出不等式的解集．【详解】解：（1）∵当4x =-时，1y =，k 0<，∴4k =-，∴44y x x-==；（2）由（1）知，4(0)4(0)x x y x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩， ∴该函数的图象如图所示：性质：函数图象关于y 轴对称（答案不唯一）；（3）由函数图象可知，写出不等式k x x≥的解集为02x <≤或0x <．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式与一次函数的关系，学会画函数的图象与运用数形结合的思想是解题的关键．27．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.（1）求摸出的2个球都是白球的概率.（2）请比较①摸出的2个球颜色相同②摸出的2个球中至少有1个白球，这两种情况哪个概率大，请说明理由【答案】（1）摸出的2个球都是白球的概率为13；（2）概率最大的是摸岀的2个球中至少有1个白球.理由见解析.【分析】（1）先画树状图展示所以6种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，然后根据概率定义求解．（2）根据树状图可知：共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球颜色相同的有3种结果，摸出的2个球中至少有1个白球的有5种结果，根据概率公式分别计算出各自的概率，再比较大小即可.【详解】（1）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，所以摸出的2个球都是白球的概率为21 63 =；（2）∵摸出的2个球颜色相同概率为31 62 =、摸出的2个球中至少有1个白球的概率为56，∴概率最大的是摸岀的2个球中至少有1个白球.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．2221x x x +=-C ．()()130x x --=D ．212x x【答案】C【解析】试题解析：A 、20ax bx c ++=，没有给出a 的取值，所以A 选项错误；B 、2221x x x +=-不含有二次项，所以B 选项错误；C 、(1)(3)0x x --=是一元二次方程，所以C 选项正确；D 、212x x -=不是整式方程，所以D 选项错误．故选C ．考点：一元二次方程的定义．2．下列计算错误的是( )A 2=-B 2C ．2(2= D【答案】A【分析】根据算术平方根依次化简各选项即可判断.【详解】A ： 2，故A 错误，符合题意；B 2=正确，故B 不符合题意；C ：2(2=正确，故C 不符合题意；D 正确，故D 不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查算术平方根，依据 (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，2a =(进行判断.3．已知二次函数242y x x =-+，关于该函数在﹣1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值﹣1，有最小值﹣2B ．有最大值0，有最小值﹣1C ．有最大值7，有最小值﹣1D ．有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y ＝x 2−4x ＋2＝（x−2）2−2，∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，有最小值−2，当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．4．下列事件中，不可能事件的是（）A．投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次B．任意一个五边形的外角和等于360︒C．从装满白球的袋子里摸出红球D．大年初一会下雨【答案】C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、投掷一枚硬币10次，有5次正面朝上是随机事件；B、任意一个五边形的外角和是360°是确定事件；C、从装满白球的袋子里摸出红球是不可能事件；D、大年初一会下雨是随机事件，故选：C．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义（轴对称图形是沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕着某一点旋转180︒后能与自身重合的图形）判断即可.【详解】解：A选项是中心对称图形但不是轴对称图形，A不符合题意；B选项是轴对称图形但不是中心对称图形，B不符合题意；C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，C符合题意；D选项既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的判断方法是解题的关键.6．下列结论正确的是（）A．三角形的外心是三条角平分线的交点B．平分弦的直线垂直于弦C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．直径是圆的对称轴【答案】C【分析】根据三角形的外心定义可以对A判断；根据垂径定理的推论即可对B判断；根据垂径定理即可对C判断；根据对称轴是直线即可对D判断．【详解】A．三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以A选项错误；B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，所以C选项正确；D．直径所在的直线是圆的对称轴，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆的有关概念，解决本题的关键是掌握圆的知识．7．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()A．54°B．27°C．36°D．46°【答案】C【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可. 【详解】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝54°，∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB＝12∠AOB＝36°．故答案为C．【点睛】本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.8．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3【答案】A【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．详解：将抛物线y=-5x 2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选A ．点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9．已知一元二次方程x 2+kx ﹣5＝0有一个根为1，k 的值为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4 【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x ＝1代入方程得到关于k 的一次方程1﹣5+k ＝0，然后解一次方程即可．【详解】解：把x ＝1代入方程得1+k ﹣5＝0，解得k ＝1．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解. 熟记一元二次方程解得定义是解决此题的关键.10．已知32 )0,(0a b a b =≠≠，下列变形错误的是（）A ．23a b =B ．23b a =C ．32b a =D ．23a b = 【答案】B【解析】根据比例式的性质，即可得到答案．【详解】∵23a b =⇔32a b =，23b a =⇔23a b =，32b a =⇔32a b =，23a b =⇔32a b =， ∴变形错误的是选项B ．故选B ．【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．11．如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①CM ＝DM ；②∠ABN ＝30°；③AB 2＝3CM 2；④△PMN 是等边三角形．正确的有（）。

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九上期末数学试卷3
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列事件是随机事件的是
A. 在一个标准大气压下，水加热到会沸腾
B. 购买一张福利彩票就中奖
C. 有一名运动员奔跑的速度是米/秒
D. 在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
2. 在角、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几种图形中，是中心对称图形的有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
3. 在反比例函数的图象上有两点，，且，则
的值为
A. 正数
B. 负数
C. 非正数
D. 非负数
4. 如图，在中，下列判断正确的是
A. 点在圆上
B. 点在圆上
C. 点在圆上
D. 点在圆上
5. 若一元二次方程的一根为，则的值为
B. C. 或 D. 或
6. 二次函数（是常数），当时，，则的取值
范围为
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，弦于点，，，则
8. 已知点均在抛物线上，则，的大小关系为
A. B. C. D.
9. 已知关于的方程有一个根为
A. C.
10. 如图所示，将绕点顺时针旋转得，若点恰好落在上，且
的度数为，则的度数为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
11. （）点关于原点对称的点的坐标为；
（）点关于原点对称的点的坐标为；
（）点与点（，）关于原点对称．
12. 一个圆的半径是厘米，有一条圆心角为的弧，这条弧的长为厘米．
13. 在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀
后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球个．
14. 已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐
标是．
15. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角
边重合，则的度数为．
16. 已知一个三角形的两边长分别为，，第三边是方程的根，则此三角形的
周长为．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：．
18. 把两块含角的直角三角板按图所示的方式放置，点在上，连接，，
的延长线交于点．
（1）如图，求证：，；
（2）将绕点顺时针旋转（如图），连接，，分别交，于点，，那么（）中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
19. 已知是的反比例函数，当时，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求自变量的取值范围．
20. 如图，A，B 两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形，分别转动A 盘、B盘各一次，转动过
程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止，请用列表或画树状图的方法，求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于的概率．
21. 如图，在中，，，平分交于点．求证：
．
22. 人民商场销售某种冰箱，每台进价为元，市场调研表明：当每台销售价定为元时，
平均每天能售出台；每台售价每降低元，平均每天能多售出台．设该种冰箱每台的销售价降低了元．
（1）填表：
（2）若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的售价应定为多少元?
23. 已知关于的二次函数的图象与轴只有一个公共点，求的值及
图象与轴的公共点的坐标．
24. 已知关于的二次函数的图象与轴交于，两点，且满足
．求的值及点，的坐标．
25. 将给出的张扑克牌摆成图①的样子，然后将其中的张牌旋转成图②的样子，你能判断
出被旋转的那张牌是哪一张吗?
答案
第一部分
1. B 【解析】A、是必然事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是不可能事件，选项错误；
D、是不可能事件，选项错误．
故选：B．
2. C
3. A
4. B
5. A
【解析】把代入方程得：，解得：．
6. D 【解析】二次函数（是常数），
该函数的图象开口向上，与轴的交点为，，
当时，，
当时，即或当，得，
由上可得，的取值范围为．
7. A
8. B 【解析】二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，，
点离直线远，点离直线近，而抛物线开口向下，．
9. B 【解析】关于的方程有一个根为，
，
解得，．
10. C
【解析】，
，．
，．
．
，
．
．
第二部分
，，，
12.
【解析】．
13.
【解析】因为正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，点关于原点的
对称点为，所以另一个交点坐标为．
15.
第三部分
17. 左边提取得：
移项，得
18. （1）在和中，
，
，，
在中，
，，
，即：．
（2）成立，理由如下：
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，，
在中，
，．
，即：．
19. （1）设反比例函数的解析式为，
依题意，当时，，
，
解得，
．
（2）当时，，
当时，，
当．
20. 画树状图如下：
共有种等可能结果，数字之和小于的结果有种，
．
21. ，，
．又平分，
．
．
，．
，．
．
22. （1）；；
【解析】销售台的利润：；
降价后销售的数量：；
降价后销售的利润：；
故答案是：；；．
（2）设销售价降低了元，
根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：，
（元），
答：每台冰箱的售价应定为元．
23. ，图象与轴的公共点是．
24. 或，，．
25. 黑桃．。