【教师版】小学奥数6-2-9 比例应用题(二).专项练习及答案解析

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；

4、单位“1”变化的比例问题

5、方程解比例应用题

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质

性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ；

性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；

性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数)

性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积)

正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比；

反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．

二、主要比例转化实例

① x a y b = ⇒ y b x a =； x y a b

=； a b x y =； ② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb

=(其中0m ≠)； ③ x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a

--=； x y a b x y a b ++=-- ；

④ x a y b =，y c z d = ⇒ x ac z bd

=；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的c a

等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配

例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到

ax a b +个，乙分配到bx a b

+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

知识点拨

教学目标

比例应用题（二）

例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为

ax a b -，B 的元素数量为bx a b

-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量

为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成

正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题

按比例分配与和差关系

（一）量倍对应 【例 1】 甲乙两车分别从 A ， B 两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，

相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B 地时，乙

离A 地还有10千米．问：A ，B 两地相距多少千米？

【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4

相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8＝5∶6．

相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9 设全程x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6

其中相遇后甲行驶了全长的4/9

所以乙行驶了全长的4856915÷⨯=，所以乙一共行了全长484491545

+=，还剩44114545-=没有走。所以A 、B 全长为450千米.

【答案】450千米

【例 2】 A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，如果A 、B 两桶装满水，C 桶是空

的；若将A 桶水的全部和B 桶水的

15，或将B 桶水的全部和A 桶水的13

倒入C 桶，C 桶都恰好装满．求A 、B 、C 三个水桶容积各是多少公升？ 【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据题意可知，A 桶水的全部加上B 桶水的15

等于B 桶水的全部加上A 桶水的13，所以A 桶水的23等于B 桶水的45

，那么A 桶水的全部等于B 桶水的426535÷=，C 桶水为B 桶水的617555

+=．所以A 、B 、C 三个水桶的容积之比是67:1:6:5:755

=．又A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，所以A 桶的例题精讲

容积是61440480657⨯

=++公升，B 桶的容积是54804006⨯=公升，C 桶的容积是74805606

⨯=公升． 【答案】560公升

【巩固】 加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在

三人在同样的时间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零

件?

【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为111:

:28:24:213 3.54

=，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是28:24:21，所以甲加工了

2836501400282421⨯=++个零件，乙加工了2436501200282421

⨯=++个零件，丙加工了2136501050282421

⨯=++个零件。 【答案】甲加工了1400个零件，乙加工了1200个零件，丙加工了1050个零件

【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的

12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37

。这三个年级各有多少名学生学生？ 【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于

73

学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为57212151423=：：：：，所以六年级学生人数为12615121514

⨯++=180人，五年级学生人数为15615225121514⨯=++人，四年级学生人数为14615210121514

⨯=++人. 【答案】六年级学生人数为180人，五年级学生人数为225人，四年级学生人数为210人

【例 3】 一块长方形铁板，宽是长的45

．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米?

【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如果只将长边截去35%，宽、长之比为()4:5135%16:13⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以宽边的

长度为21(1613)16112÷-⨯=厘米，所以原来铁板的长为41121405

÷=厘米． 【答案】140

【巩固】 一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的

面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?

【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答