清华微积分答案

清华微积分答案

a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即

f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中

a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，

aij := ?fi/?xj)

f的全微分df=adx

当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)

div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm

复合函数求导

一阶偏导：

若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，

j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))

具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即

ui=g(x1,…,xn)

?f/?xj

= ?f/?u * ?u/?xj

= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}

高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数

例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))

?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151

隐函数、隐向量值函数

由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数

隐函数：

1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，

且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续

注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，

那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y

是双值函数，不是函数

,??)处，2.偏导公式：在b内的(??

????????/??????=???或者说

????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即

sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)

由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)

所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0

于是立即可得上述公式

隐向量值函数：

1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y

可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)

2.偏导公式：

j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x

= -[?f/?y]-1*?f/?x

注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置

2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]

3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题

4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算

（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）

3.隐向量值函数的反函数：

函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1

注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置

2.|j(f-1)|=|j(f)|-1

用参数形式给出的隐函数

若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求

曲面和曲线的切平面、法线、法向量

三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。

如果f在点p处满足

(1) f在p处连续可微

(2)?f在p处不为0

则称p是曲面上的正则点

如果曲面在正则点p0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，

a=(x-x0,y-y0,z-z0)，则s在p点的切平

面方程为n.a=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0) 过p0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(x-x0).n1=(x-x0).n2=0，

具体地:

x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0

x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0

i. 曲面的显式表示法

z=f(x,y)是曲面s的显式表示

正则点p0(x0,y0,z0)处，s的法向量n=(?f/?x, ?f/?y,-1)

ii. 曲面的隐式表示法

f(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法

【篇二：一元微积分习题清华大学】

ass=txt>一．函数极限（定义）

1.用定义证明：

arctan（1