正多面体与平面展开图
多面体的表面展开图 29页PPT文档
体若图干形平，面(但3图) 不形是可任以意围的成若一干个平立面 图形都可以围成一个立体图形。
下面4个图是一些多面体的表面展 开图,你能说出这些多面体的名字吗?
正方体
长方体
四棱锥
三棱柱
考考你的空间想象力:
下列图形是哪些多面体的展开图？
(1)
长方体
(2) (3)
三棱柱 五棱锥
将一个正方体的表面沿某些棱剪开,
了！ 太棒 你们
答案 棒
1、下面的图形那些是立方体的展开图？
(1)
(2)
(3)
(4)
2、下列的三幅平面图是三棱柱的表面展 开 图的有（ ）
甲
乙
丙
3、如图是一个立方体纸盒的展开图，使 展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两 个数互为相反数,求:
a_ -_ 2_,b_-_ 7_,c___ 1_
下列立体图形的平面展开图 是什么?Fra bibliotek圆 柱
展开
圆锥
展开
长方体
展开
长
方
长方体的展开图
体
底面
侧侧 侧 面面 面
底面
底 侧面 面
侧 侧 侧侧 面 面 面面
底面
立体图形按不同的方式展开可得到不同的表面展开图
下面图形都是由4个三边都相等的三角形组成 的,哪一个可以折叠成多面体呢?动手做做看。
(1)
(2)
上左
下右
隔隔
蓝
一一
行列
黄
?
巧记正方体的展开图口诀 : “一四一”“一三二”， “一”在同层可任意, “三个二”成阶梯, “二个三”“日”相连, 异层必有“日”，
“凹”“田”不能有，
掌握此规律，运用定自如。
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……互逆。
正方体11种平面展开图(精心整理)
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正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
口诀：需背诵
正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）
中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231）
中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222)
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
“田”“凹”应弃之
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放）
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
口诀：中间二个面，楼梯天天见
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）。
多面体的表面展开图
点拨 根据这个多面体的表面展开图的特点解答即可； 解 共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱.
点拨 解 答案
(2)根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的全面积.
点拨 这个多面体的全面积是侧面积与上下底面积之和.
解 由图可得，AB＝ 32＋42＝5，AD＝3，BE＝4，DF＝6，
则侧面积＝3×6＋5×6＋4×6＝18＋30＋24＝72， 上下底面积之和＝3×4＝12， 故全面积＝72＋12＝84.
(2)“二三一型”：
(3)“二二二型”：
(4)“三三型”：
基础诊断
1.一个几何体的展开图如图，这个几何体是( C )
A.三棱柱
B.三棱锥
C.四棱柱
D.四棱锥
2.下列图形中，是正方体表面展开图的是( A )
A.3.下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是( A )
A.
B.
C.
D.
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.
解
解
蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C′1，爬过的路径长是：AC′1
＝ 42＋5＋42＝ 97； 蚂 蚁 沿 着 木 柜 表 面 经 线 段 BB1 到 C1 ， 爬 过 的 路 径 长 是 ： AC1 ＝ 52＋4＋42＝ 89. ∵ 89＜ 97， ∴最短路径的长是 AC1＝ 89.
剖析
正确解答
分析与反思
正确解答 B
分析与反思 当遇到立方体展开图的问题时，最好先确定两个面，这样
其他的面也就跟着确定了，不会因为旋转的原因而导致错误.
剖析
正确解答
分析与反思
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柏拉图的多面体
并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生混淆。
柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交会。
不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相等。
简介熟悉柏拉图多面体的最佳方法莫过于经由构造模型并透过模型研究它们。
下图表示一种称之为”展开图”的个别柏拉图多面体平面排列图示。
为了构造柏拉图多面体的模型，一组类似的展开图必须被描绘在适当的材料上。
同学可以将本资料所附之多面体的展开图直接剪下或经放大、缩小影印在合适的漂亮纸张上。
如果材料不方便影印，您也可以依样绘制或把影印展开图并贴在所用材料上。
Albrecht Durei早在1525年，于他所著的《Unterweisung der Messung Mit dem Zirkel und Richtsheit》一书中，给出了几个多面体的展开图。
编辑本段为什么只有五个柏拉图多面体很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的，并且在每一个顶点处交会着相同数目、相似、正的凸多边形。
要理解为什么只有五个柏拉图多面体是相当简单的，这是因为在每一个顶点处交会着至少三个面才能构造出一个立体图形，而且围绕每一个顶点的面的角度和不能等于或超过360°，否则所得的面将是平的或是凹的。
具有最少边数的正多边形是正三角形，三个如此的多边形可以使它们交会在一个顶点上，接下来，加入第四个面，如此，每三个面就会交会在图形的四个顶点处之一。
由于这个图形有四个全等的面，故称之为正四面体(TETRAHEDRON)。
四个正三角形可以使它们交会在一个顶点上，而且加入四个面之后，在图形的六个顶点处都会有四个面交会在这里。
柏拉图的多面体
并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生混淆。
柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交会。
不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相等。
简介熟悉柏拉图多面体的最佳方法莫过于经由构造模型并透过模型研究它们。
下图表示一种称之为”展开图”的个别柏拉图多面体平面排列图示。
为了构造柏拉图多面体的模型，一组类似的展开图必须被描绘在适当的材料上。
同学可以将本资料所附之多面体的展开图直接剪下或经放大、缩小影印在合适的漂亮纸张上。
如果材料不方便影印，您也可以依样绘制或把影印展开图并贴在所用材料上。
Albrecht Durei早在1525年，于他所著的《Unterweisung der Messung Mit dem Zirkel und Richtsheit》一书中，给出了几个多面体的展开图。
编辑本段为什么只有五个柏拉图多面体很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的，并且在每一个顶点处交会着相同数目、相似、正的凸多边形。
要理解为什么只有五个柏拉图多面体是相当简单的，这是因为在每一个顶点处交会着至少三个面才能构造出一个立体图形，而且围绕每一个顶点的面的角度和不能等于或超过360°，否则所得的面将是平的或是凹的。
具有最少边数的正多边形是正三角形，三个如此的多边形可以使它们交会在一个顶点上，接下来，加入第四个面，如此，每三个面就会交会在图形的四个顶点处之一。
由于这个图形有四个全等的面，故称之为正四面体(TETRAHEDRON)。
四个正三角形可以使它们交会在一个顶点上，而且加入四个面之后，在图形的六个顶点处都会有四个面交会在这里。
立体构成——体
①不等边六面体
②不等边十面体
③几何曲线体 由几何曲线状表面 构成的立体形态。
④以瘦三角形构成的多面单体
小星狀十二面體
大十二面體
多面体变异 无论是柏拉图多面体，还是阿基米德多
面体，由于表面具有平面几何形的数理性，若以此作为基本结 构，对其表面、棱边、棱角进行处理，多面体将呈现出更加多 样的异形变化，营造出更加全新的视觉心理感受。
（二）对比形的积聚 指构成空间形态的单位形态是不同的。它可以在形体的切割的
基础上进行重新组合而成新的立体形态，也可以用相似或相进的形 体组合。其组合方式比较自由，主要是以视觉平衡为标准，强调对 比因素（形状、大小、多少、动静、方向、粗细、轻重等）。但也 要注意整体的协调与统一性。同时还要考虑材质、色彩、形状（线 形、面形、体形）的综合对比构成。
折痕线变形 将多面体原来笔直的棱边折痕线变成曲线的处 理，幅度不宜过大，可使原来严肃的形体变得优美起来。
棱边压屈 压屈部分的压幅不宜过大。
切挖 在棱边部位作直线或弧线切挖，切除部分的量，切挖 的长度和面积不宜过大，否则多面体的结构会变形，甚至散 架。
B 棱角处理
切角 将多面体的棱角部分作直线或 弧线切割，将角去掉。
对多面球体的变化
面的处理 切孔、切折、附加、凹凸等处理 效果：坚实或轻巧
边的处理 进行变化
反折、剪边、平折等手段
角的处理 剪角或内折等方法
①本体变化
①本体变化 就是在多面体的造型上直接进行加工，不除
量，也不增形。
A 棱边处理
单线变复线，将多面体棱边处理为双线，这样棱边形成了 一个狭窄棱面，棱角由尖锐变成了平钝。
点、线、面的综合材料立体构成
一个比较完整的立体造型，一般都应该具有 点、线、面、体等的构成因素共同综合的构成。 因为这些构成要素是构成一件完整的立体造型 必不可少的因素。用于立体构成的原材料也是 以点、线、面、体的形态方式存在的。这些构 成因素在构成立体形态中往往是不可明显区分 的。从常见的综合构成中我们可以归纳出以下 四种综合构成方式：点与线的组合；线与面的 组合；面与块的组合；点、线、面、体的组合 等。另外从形的选择与组织上，可以归纳出以 下综合组合构成法：不同单位或同单位的规则 或不规则的组合。不管运用哪中综合构成方式， 在构成的过程中都要注意考虑单位构成元素在 空间构成中的位置、数量、大小、材质、肌理、 色彩等因素的对比与变化、和谐与统一，还必 须考虑各个构成元素之间的关联性，才能构成 理想的整体效果。可以说：综合构成需要全面 调动形式要素，才能表现出丰富的形态与内涵， 因此综合构成需要强调形态构成的几个重要因 素：
正方体11种平面展开图(精心整理)
正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
口诀：需背诵
正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）
中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231）
中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222)
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
“田”“凹”应弃之
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放）
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
口诀：中间二个面，楼梯天天见
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）。
多面体的概念由若干个多边形围成的空间图形叫多面体
A'
∴ BO AC ，∴ BOB 是二面角 B AC B 的平面角，
D
在 RtBOB 中， OB 1 AC 2 ，又 BB 2 ， 2
A
B'
H
C
O
B
∴ BOB 45 ，∴二面角 B AC B 为 45 ．
（2）作 BH BO 于 H ，∵ AC 平面 BOB ，∴ BH AC ， ∴ BH 平面 ABC ，即 BH 为点 B 到平面 ABC 的距离，
B
AB
AD
a,
AA
b ，求对角面
BBDD
的面积 新疆 王新敞 奎屯
3．已知：正四棱柱 ABCD ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 2 ，
（1）求二面角
B
AC
B
的大小；（2）求点
B
到平面
ABC
的距离 新疆 王新敞
奎屯
D'
C'
A' D
A
B'
H
C
O
B
4．棱长为 a 的正方体 OABC OABC 中，E, F 分别为棱 AB, BC 上的动点， O'
新疆 王新敞
奎屯
如图棱锥可表示为 S ABCDE ，或 S AC ．
11．棱锥的分类：（按底面多边形的边数） 分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 12．棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似， 截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面
DEB 是二面角 P AC B 的平面角， DEB 120 ，
平面与立体立体图形的展开图-七年级数学课件共20页文档
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
平面与立体立体图形的展开图-七年级数 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 学课件
立体图形的展开图
小壁虎的难题： 如图：一只圆桶的下方有一只壁虎， 上方有只蚊子，壁虎要想尽快吃 到蚊子，应该走哪条路径？
蚊子
●
你有何高招？
壁虎 ●
● 蚊子
壁虎 ●
蚊子
●
●
壁虎
活动一
把你所做的立体图形展开， 看它的平面展开图是什么。
圆 柱
展开
长方体
展开
棱柱
展开
圆锥
展开
练习:
活动二
用剪刀把桌上的正方体纸盒按任意方式沿 棱展开，你能得到哪些不同的展开图？比 比哪一小组的展开图更与众不同。
第一类，中间四连方，两侧各一 个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有 一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二 个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
试一试
下面六个正方形连在一起的图形，经折 叠后能围成正方体的图形有哪几个？(动手试 试）
A
B
C
D
E
F
G
下列图形能折叠成什么立体图形？
圆棱 柱柱
圆
棱
锥
柱
1、 学会了简单几何体（如棱柱，正 方体等）的平面展开图，知道按不同
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：互逆正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
立体图形与平面图形 展开图课件 人教版七年级上册共24页文档
考考你 下面图形中，哪些是正方体的平面展开图？
1
祝
23 45 6
前你 似程
锦
ABC DE F
(1)若是正方体的平面展开图，你能指出原来正
方体的相对的两个面吗？ (2)若不是正方体的平面展开图，你能移动一个正
方形，使它成为正方体的平面展开图吗？
A
B
C
D
E
F
G
下列图形能折叠成什么立体图形？
圆棱 柱柱
圆
棱
锥
柱
活动三 下图是一些立体图形的展开图，用它们能 围成怎样的立体图形？
先想一想，再折一折，看看得到的图形与 你想象的是否相同。
活动四
将下图中五角星状的图形沿虚线折叠，得 到一个几何体，你在生活中见过和这个几 何体形状类似的物体吗？
考考你
活动二
用剪刀把桌上的正方体纸盒按任意方式沿 棱展开，你能得到哪些不同的展开图？比 比哪一小组的展开图更与众不同。
第一类，中间四连方，两侧各一 个、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二 个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
试一试
下面六个正方形连在一起的图形，经折 叠后能围成正方体的图形有哪几个？(动手试 试）
1、 学会了简单几何体（如棱柱，正 方体等）的平面展开图，知道按不同
的方式展开会得到不同的展开图。
2、学会了动手实践，与同学合作。
3、友情提醒：不是所有立体图形都有 平面展开图，比如球体。
作业
P119 6 P120 11
谢谢
立体图形的展开图
小壁虎的难题： 如图：一只圆桶的下方有一只壁虎， 上方有一只蚊子，壁虎要想尽快吃 到蚊子，应该走哪条路径？
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正多面体
与平面展开
图
By Laurinda..201604开始总结，网络搜集
正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体
正八面体正十二面体
正二十面体
正方体展开图
相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。
邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。
这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。
理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。
只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。
而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角
形。
但是如何以两条直线完成这道题呢?
今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。
多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2)
V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces)
正四面体(Tetrahedron)
V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2
正六面体(Cube)
V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2
正八面体(Octahedron)
V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2
正十二面体(Dodecahedron)
V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2
正二十面体(Icosahedron)
V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2
Buckyball
V=60,E=90,F = 32 (12 pentagons + 20 hexagons),60 - 90 + 32 = 2
补充说明：
1.用Euler示性数可以证明正多面体恰好有五种;或者假设每一顶点聚集有m条线,每一条线是正n边形的一边,则因为每一正n边形的一个内角为180(n-2)/2 度,围绕此顶点的m个角的和小于360度,否则此顶点附近便变成一个平面,所以
m[180(n-2)/n]<360,同样可以导出(m-2)(n-2)< 4.
2.很多病毒是正20面体(icosahedron),例如:疱疹(herpes)病毒,水痘(chickenpox)病毒,人体疣(human wart)病毒,犬类传染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus)等.
3.巴克球就是足球的样子,叫作"准正多面体".
标尺作图正多边形
正三、六边形正四、八边形正五边形
直尺、圆规和量角器可以画出任意正多边形。
但是在古希腊时，作图只使用没有刻度的直尺（unmarked ruler）和圆规（compass）。
用标尺作正偶边形如
2n,3×2n,5×2n等正多边形并非难事。
但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图，在当时是件困难的事，而且并非全都可以作图成功。
1798年，德国数学家高斯只有19岁，他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形，并证明了正奇边形的边数只有是费马质数或不同的费马质数乘积才可以标尺作图出来（费马质数是质数
且型如, k是非负正整数）。
当高斯去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了这个正17边形。
k012345
3517257655374294967297
当k=0,1,2,3,4,5时都是质数，但一般猜测k＞5时，都不是质数。
由于我们目前知道只有五个费马质数存在，所以用圆规可以做出的正奇边形是3,5 ,17,257,65537,以及这五个数的两两相乘积。
如3×5,3×17,17×257等共31个。
而最大的正奇边形的边数是是4294967297。
边数小于100，可以标尺作图的正多边形如下：
3456810121516172024
303234404851606468808596
正三边形和正六边形
取适当长为半径画圆，以同半径在圆周上取弧，再连续可取二个等弧，连接端点，可以连得正三边形。
（下图，红色部分）。
如果取三个等弧的中点，可以连成正六边形（下图，绿色部分）。
↑
正四边形和正八边形
取适当长为半径画圆，画二条互相垂直的直径，连接端点，可以连得正四边形（下图，紫色部分）。
如果取四个等弧的中点，可以连成正八边形（下图，红色部分）。
↑
正五边形
1.画一圆C。
2.作直径AB。
3.取BC中点D。
4.过C点作AB的垂直线交圆C于P点。
5.以D点为圆心，DP为半径画弧交AB于E点。
6.以P点为圆心，PE为半径画弧交圆于一点。
再连续可取四个等弧，
连接端点，就可以做出正五边形。
说明：
如果圆半径是 r，圆内接正五边形的边长是 a。
则
a2=r2+r2-2×r×r×cos72°=2r2(1-)=r2，
因此a=r。
证明：CP= r，CD=，因此PD=r。
而CE=r，所以PE=
× r = r 。
雪花
圣诞节又来临了，昌爸老师建议同学在窗户装饰一些雪花来应景。
先画出以适当长度为一边长的正三角形，在每边中间的三分之一的区段再贴上一块新的正三角形，边长是原来正三角形边长的三分之一，如此重复下去，将可做出如上图的卡区雪花。
每一区段是著名的卡区曲线(Koch curve)，这条既非笔直又非圆形的连结曲线，是瑞典数学家范卡区(Helge vou Koch)在1904年首创。
卡区雪花是一种饶富趣味的雪花，在制作成长的过程中，周长越长越长，面积越来越大，但不会自我交叉。
每变形一次，其周长变成原来的三分之四倍，如果一直重复下去，周长将变得无限大。
面积虽然也变大了，但不会超过原正三角形外接圆的面积。
卡区曲线(Koch curve)是一条在有限区间内却能容纳无限长度且不会
自我交叉的曲线，它和直线一样有无限长的长度，不够它却占了空间，但又不像平面一般，因此其维度比1大，但应该比2小，直线是1度而平面是2度。
等积变形
你相信一个广口瓶(如右图），可以在经过切割后，
重新组合成等积的正方形吗？你试着将它切割成左
下图，并将A、B、C、D四区域，移动到右下图正
方形内的对应区域内。
下面两个图形由于都以圆形部分为周界，若要计算其面积，我们起初总会觉得必然涉及 的数值。
但若细心观察下列的切割互补程序，轻易可以看出两个图形的面积相等并且等于一个简单的长方形面积。
正多边形的滚动
二个全等的正三角形，其中一个沿着另一个三角形周边滚动一圈后，会转动多少度呢？结果是720度。
换作是其它正多边形，是否也一样是720度呢？
圖解cos(x+y)
∠BEO = 90∘，∠BAO = 90∘，
∠ACB = 90∘，
∠ADE = 90∘。
右圖，如果∠AOD = x∘，∠BOA =
y∘，
則∠ABC = x∘。
圖解sin(x+y)
∠BEO = 90∘，∠BAO = 90∘，∠ACB = 90
∘，
∠ADE = 90∘。
右圖，如果∠AOD = x∘，∠BOA = y∘，
則∠ABC = x∘，sin(x+y) =
=
=
= cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)=
sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)。