《弹塑性力学》第十章弹性力学的能量原理

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《弹塑性力学》第十章弹性力学的能量原理

种状态可能应变上作的虚变形功。
——虚功原理
27.06.2021
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21
§10-2 虚功方程
W e V fiu i ( k 2 ) d V S X iu i ( k 2 ) d S Vi ( k 1 j )i ( k 2 j ) d W V i
2.2虚功方程的证明：
SX i(k 1 )u i(k 2)d SSn j i(jk 1 )u i(k 2)d S
ij
W
ij
——弹性关系
如果将几何关系引入应变能, U、W 为位
移的函数。
应变余能（类似应变能）定义
Uc VWcdV
27.06.2021
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5
§10-1 几个基本概念和术语
应变余能密度
Wc
i
0
jijij
dij ij
——单位体积的应变余能
Wc 与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。
P
第一状态：一对力P 作用在
直杆的垂直方向，局部效应，
b
在杆两端点伸长？
P
27.06.2021
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29
§10-3 功的互等定理
第二状态：让一对力Q 作用同一杆两端点，很
易求得一对力Q引起杆横向缩短。
Q
Qx
对两种状态应用功的互等定理 P = Q Q第二状态引起的易求:
27.06.2021
Vfi u id V S X i u id SV i j id jV
▪虚位移原理举例
图示受均布荷载q作用
q
的等跨连续梁，EI为常数， A
x CB
中间支座为弹性支座。试用 z l
l
虚位移原理写出梁的挠曲线

弹塑性力学第十章共131页文档

15.11.2019
23
§10-2 虚功方程
代入虚功方程左端，得
W e V fiu i (k 2 )d V Vi(k ,1 jj )u i (k 2 )d V Vi(k 1 j )i(k 2 j)d
并注意
(
V
i(k ,j1 j)fi)ui(k2)d
V 0
则
We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性
质虚功方程成立。
15.11.2019
24
§10-2 虚功方程
虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。
q P=1

15.11.2019
25
§10-3 功的互等定理
将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。
30
§10-3 功的互等定理
x Q A
y z 0
x

Q EA
Q
Qx
y z x Q EA

yb
Q b
EA
P Pb
Q
EA
15.11.2019
31
§10-4 虚位移原理和最小势能原理 4.1虚位移原理
运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡
的变状形态状，态，ij、为f真i、实X状i 、态u 位i ; 移而的第变二分状:态为可能
第十章弹性力学的能量原理
§10-1 几个基本概念和术语 §10-2 虚功方程 §10-3 功的互等定理 §10-4 虚位移原理和最小势能原理 §10-5 虚应力原理和最小余能原理 §10-6 基于能量原理的近似解法
15.11.2019

弹塑性力学部分习题

2018/10/7 7
第六章弹性力学平面问题的直坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答第八章等截面直杆的扭转第九章空间轴对称问题第十章弹性力学问题的能量原理第十一章塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶，弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz

(完整word版)弹塑性力学总结

弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。

通过一学期的弹塑性力学的学习,对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界)，弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力,以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量.求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时,如果考虑所有各方面的因素,则导出的方程非常复杂,实际上不可能求解.因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的.就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满,不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量,例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示.(2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形.而且,材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的.就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。

这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变.（4）假设物体是各向同性的。

也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的.（5）假设物体的变形是微小的。

即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。

《弹塑性力学》第十章弹性力学的能量原理

弹性力学能量原理在材料力学中有着广泛的应用，它为材料在受力状态下的行为提供了重要的理论依据。
在结构力学中的应用
在结构力学中，弹性力学能量原理被广泛应用于各种结构的分析、设计和优化。
通过应用该原理，可以分析结构的整体和局部稳定性、振动特性、屈曲行为等，确保结构在各种载荷下的安全性和稳定性。
弹性力学能量原理在其他领域的应用
工程结构分析
利用弹性力学能量原理对桥梁、建筑等工程结构进行静力和动力分析，优化设计。
生物医学工程
将弹性力学能量原理应用于人体组织和器官的力学行为研究，为医学诊断和治疗提供依据。
地球科学
将弹性力学能量原理应用于地质构造、地震工程等领域，研究地球物理现象。
该原理基于能量守恒和最小势能原理，通过分析系统的能量分布和转化，推导出弹性系统的平衡方程和本构关系。
弹性力学能量原理的重要性
弹性力学能量原理是解决弹性力学问题的重要工具之一，它可以用于求解各种弹性力学问题，如应力分析、应变分析、弹性稳定性等。
该原理提供了一种系统的方法来研究弹性系统的行为，有助于深入理解弹性材料的性质和行为，为工程设计和应用提供理论支持。
02
弹性力学能量原理的基本概念
势能原理
总结词
势能原理是弹性力学中一个重要的基本原理，它表明一个弹性系统的总势能达到极值。
详细描述
势能原理指出，对于一个处于平衡状态的弹性系统，其总势能（包括应变能和外力势能）在平衡状态下达到极值，即在受到微小扰动后，系统会恢复到原来的平衡状态。
最小势能原理
03
弹性力学能量原理的应用
在材料力学中的应用
01
02
03
04

《弹塑性力学》课件

结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在不同应力状态下表现出的弹塑性性质，对于理解材料的力学行为和优化材料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法，可以研究材料的微观结构和宏观性能之间的关系，预测材料的弹塑性行为。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结构的复杂性，弹塑性力学应用面临诸多挑战，如非线性行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采用先进的数值计算方法和实验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将弹塑性力学与计算机科学、物理学等学科相结合，可以推动工程实践中的弹塑性力学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义

弹塑性力学是一门研究材料在弹性和塑性范围内行为的学科。它主要关注材料在外力作用下发生的变形行为，以及这种行为与材料内部应力、应变的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。

弹塑性力学总结

弹塑性力学总结弹塑性力学是研究材料在受力后既有一部分弹性变形又有一部分塑性变形的力学学科。

它是力学学科的分支之一，因为它研究的对象是材料，所以也可以看作是材料力学的一个方向。

它的研究对象包括各种传统或新型材料——金属、高分子、陶瓷等。

本文将对弹塑性力学进行总结。

一、弹性力学与塑性力学的区别弹性力学和塑性力学都是力学学科的重要分支。

它们各自关注的是物体在受力后不同的反应。

（1）弹性力学弹性力学研究的是物体在受到力的作用下，发生弹性变形而迅速恢复原状的力学原理。

简单来说，就是物体在受力后可以发生弹性变形，如压缩变形或拉伸变形，但是在撤离力的影响之后能够回复原来的状态。

弹性力学理论主要依赖于胡克定律，胡克定律可以表示为应力与应变之比等于恒定的常数。

（2）塑性力学塑性力学研究的是物体在受到力的作用下，发生塑性变形而无法迅速完全恢复原状的力学原理。

简单来说，就是物体在受力后可以发生塑性变形，但是在恢复撤离力的影响之后，不能完全返回原来的状态，仍有残余塑性变形。

塑性力学理论主要依赖于流动理论，流动理论可以用应变率表示材料变形时受到的应力。

二、弹塑性力学的基本概念（1）应力应力是单位面积上的力，通常用σ表示。

应力有三种类型：拉应力、压应力和剪应力。

（2）应变应变是材料的形变量，通常表示为ε。

应变有三种类型：拉伸应变、压缩应变和剪切应变。

（3）黏塑性黏塑性是材料表现出的一种变形特性，它描述了物质在应力作用下的变形表现。

（4）弹性模量弹性模量是材料在受力作用下相对于其初始长度相应变形程度的比率。

弹性模量是一种力学参数，通常用E表示，单位是帕斯卡(Pa)。

材料的弹性模量越大，其刚度就越高。

（5）屈服点在达到一定的应力时，材料就会开始发生塑性变形。

材料开始发生塑性变形的应力点称为屈服点。

三、弹塑性力学的应用弹塑性力学广泛应用于工程、物理、材料科学和冶金工业等领域。

弹塑性力学理论的应用使我们在实际情况下更好地理解和处理材料的力学性质。

弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件

塑性力学
研究材料在塑性状态下应力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关系由本构方程描述，该方程反映了材料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定物体的边界条件和初始条件，求解物体内部的应力和应变状态的问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程或积分方程来解决，具体方法取决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便地处理非线性问题。

弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理

弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理是通过对变形体系的能量进行分析，来描述和研
究材料的力学行为。

根据能量守恒定律，能量在各种形式之间的转换是相
互平衡的，因此可以通过能量原理来推导出材料的力学性质。

弹性力学的
能量原理主要包括两个方面：弹性能量原理和稳定性能量原理。

弹性能量原理是指在弹性变形的情况下，变形体系的总能量保持不变。

变形体系的总能量包括弹性应变能和应力对变形体系所做的功。

具体来说，在弹性变形情况下，变形体系的总应变能等于外力所做的功，而不会发生
能量的损失。

这一原理反映了材料在弹性变形情况下能量的守恒性质。

稳定性能量原理是指在塑性变形的情况下，材料的变形体系的总能量
沿着最稳定方向变化。

塑性变形是指当材料受到较大应力时，会发生永久
性变形的情况。

稳定性能量原理通过分析塑性变形对变形体系的总能量的
影响，来得出变形体系的稳定性和塑性变形的机制。

在弹塑性力学中，能量原理被广泛应用于力学问题的求解和工程实践中。

通过能量原理，可以解释材料的弹性和塑性特性，研究和设计材料的
力学性能。

同时，能量原理也为工程实践中的结构设计和材料选择提供了
理论依据。

总之，弹塑性力学的能量原理是研究材料力学行为的重要原理之一、
弹性能量原理和稳定性能量原理通过分析变形体系的能量转换来描述材料
的弹性和塑性变形特性。

能量原理的应用可以解释材料的力学性质，为工
程实践中的结构设计和材料选择提供理论支持。

弹塑性力学PPT课件精选全文

◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据这一假定：
.
*
五、弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.

弹塑性力学第十章

5
最小余能原理的意义
应力应力应力余余余应力应力余余
应力
余余
位移边界位移边界
变协调变协调
弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形和应力。应力可以是各种各样的，但必须满足应力的平衡条件和边界条件。满足应力平衡方程和边界条件的应力称为容许应力，容许应力也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实应力，根据它们求得的应变还应满足协调条件和位移边界条件。
这些原理是用拉氏乘子法，将条件极值问题变成无条件的驻值问题，是弹性力学中的最一般的变分原理，称为广义变分原理，也称为一般变分原理。最小势能原理和最小余能原理都是条件变分原理，而赖斯变分原理和胡-鹫变分原理都是无条件变分原理。
Chapter 10.7
9
10-10 各变分原理之间的关系
对于一类变量变分原理也就是由虚功（虚位移）原理导出的最小势能原理和由余虚功（虚应力）原理导出的最小余能原理称为极值原理，也称最小能原理。
1. 最小势能原理是位移变分原理，变分的是位移；变形能是位移的函数。
最小余能原理是应力变分原理，变分的是应力；应变能实际是余能(在线弹性时等于应变能），是应力的函数。
3
δ[U ( Xu Yv Zw) d x d y d z ( p x u p y v p z w) d S ] 0
34
最小势能原理和最小余能原理的不同点最小势能原理
δ[U ( Xu Yv Zw) d x d y d z ( p x u p y v p z w) d S ] 0
最小余能原理
δ( U (up x vp y wp z ) d S ) 0
14

弹塑性力学能量原理及其应用

第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。

然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。

因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。

这些解法的依据都是能量原理。

本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。

首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。

另外，还简单介绍最大耗散能原理。

本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。

8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。

因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。

如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。

物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。

假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'xx εε=所围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应图8.1 应变能与应变余能变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。

弹性力学ppt课件

应变定义
物体在外力作用下产生的形变，表示物体尺寸和形状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一对应关系，通过本构方程来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线性关系。
广义胡克定律的应用用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变，是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，从而在变形与外力之间建立一定关系的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。

弹塑性力学

F Xi Yj Z k
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
Q
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
Z
k i
x O j
X
S Y
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零，即
x v xy xz yx y v yz 0 zx zy z v
展开行列式得到其中
v I1 v I 2 v I 3 0
3 2
2 2 2 I 2 x y y z z x ( xy yz zx ) 2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) I1 x y z
( x v )l xy m xz n 0 yx l ( y v )m yz n 0 zx l zy m ( z v )n 0
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量
y
x
Z
t/2
y
薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所示。因板面上（z = t/2）不受力，所以有：
(

z z t 2
)
0, (

zx z t 2
)
0, (

弹塑性力学定理和公式

弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。

常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。

A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。

B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。

弹性力学ppt课件

一维问题分析与实例讲解
一维拉伸或压缩问题建模与求解
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
02
弹性力学分析方法与技巧
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基本方程
选择适当的坐标系和坐标…
求解基本方程
确定边界条件和验证解析解的正
初始条件
确性
根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
地基基础
地基基础是土木工程中的重要组成部分，弹性力学可用于分析地基的承载力和变形特性。通过弹性力学方法，可以对地基进行稳定性评估和加固设计。
机械工程：零部件设计、优化等方面应用
零部件设计
在机械工程中，弹性力学可用于零部件的设计和强度校核。例如，通过弹性力学分析，可以确定机械零件在受力时的应力分布和变形情况，进而优化零件的形状和尺寸。
要较高的数学水平。
02
数值法优点
适用于复杂形状和边界条件的问题求解，具有较高的计算精度和效率；
缺点：需要专业的有限元软件支持，对计算机性能要求较高。
03
实验法优点
能够直接观测和验证物理现象和规律，为理论分析和数值模拟提供重要
依据；缺点：受实验条件和成本限制，难以实现大规模和复杂条件下的
实验研究。

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题弹塑性力学简答题第一章应力1、什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。

2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。

3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？相同。

110220330S S S σσσσσσ=+=+=+。

4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。

5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。

6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。

固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。

从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。

从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。

2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。

应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。

3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以。

保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。

4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。

结构静力弹塑性分析的原理和计算实例

结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。

该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。

本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。

通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。

二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。

在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。

当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。

弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。

塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。

塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。

弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。

在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。

通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。

弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。

通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。

以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。

在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。

《弹塑性力学》第十章 弹性力学的能量原理

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