第19章 光的衍射

第19章光的衍射

◆本章学习目标

1．了解惠更斯-菲涅尔原理；

2．掌握半波带法，会分析单缝夫琅禾费衍射条纹的分布规律；

3．掌握衍射光栅公式；

4．了解夫琅禾费圆孔衍射条纹的分布特点，理解光学仪器的分辨率，并能进行相关计算；

5．了解X射线的衍射现象。

◆本章教学内容

1．光的衍射现象；

2．单缝衍射圆孔衍射；

3．光学仪器的分辨本领；

4．衍射光栅衍射光谱；

5．伦琴射线衍射布拉赫公式；

6．全息照相原理。

◆本章教学重点

1．夫琅和费单缝衍射；

2．光栅衍射。

◆本章教学难点

1．慧更斯-菲涅尔原理；

2．夫琅和费单缝衍射；

3．光学仪器的分辨本领；

4．衍射光栅公式。

◆本章学习方法建议及参考资料

1．注意讲练结合；

2．要注意依据学生具体情况安排本章进度。

参考教材

易明编，《光学》，高等教育出版社，1999年10月第一版

§19.1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理

一、光的衍射现象

光波遇到障碍物而偏离直线传播，使光的强度重新分布，这种现象称为光的衍射现象.

光的衍射现象可分为两种类型.一种是障碍物距光源及接收屏为有限远的衍射成为菲涅耳衍射；另一种是障碍物距光源及接收屏为无限远的衍射为夫琅和费衍射，此时入射光和衍射光是平行光. 二、惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯-菲涅耳原理是拨动光学的一个基本原理，应用该原理可较好地解决光的衍射问题.

惠更斯(C.Huygens)原理可以解释光经过障碍物边缘是所发生的现象，但它不能解释为什么会出现明暗相间（或彩色）的条纹.菲涅耳（A.J.Fresnel ）在波的叠加原理与干涉现象的基础上，发展了惠更斯原理.他不仅和惠更斯一样，认为波阵面（波前）上每一点都要发射子波，而且还进一步提出：从同一波阵

面上各点发出的子波，在传播过程中相遇于空间某点时，可以互相叠加而产生干涉现象.

此即惠更斯-菲涅耳原理.根据这个原理，衍射现象中出现的亮暗条纹，是由于同一波阵面上发出的子波产生干涉的结果.如果已知波动在某时刻的波阵面为

S ，就可以计算波动传到S 面前方给定点P 时振动的振幅和周相.

（1）波阵面S 上任意一面元dS 发出的子波在空间一点P 所产生振动的振幅，正比于此面元的面积dS ，反比于该面元到P 点的距离r ，并且与面元dS 对P 点的倾角θ有关(如图1)；dS 发出的子波到达P 点的位相，取决于面元dS 的位相和面元到P 点的距离r .所以dS 在P 点产生的振动可表示为

dS r

T t r k C

dy )(2sin )(λ

πθ-= （19-1） 其中)(θk 为随θ角增大而缓慢减小的函数，C 为比例常数.

图 1 惠更斯-菲涅耳原理

（2）整个波阵面S 在P 点所产生的振动，等于此波阵面上所有面元dS 发出的子波在该点所产生的振动总和，即 ⎰⎰-==S

S

dS r

T t r k C

dy y )(2sin )(λ

πθ （19-2） 一般来说，上式积分相当复杂，但在波阵面已通过P 的波面法线为轴而有回转对称的情况下，可以用代数加法和矢量加法来代替积分.

§19.2 单缝衍射 圆孔衍射

一、夫琅和费衍射

当平行光垂直照射在单缝上，衍射后经透镜会聚后在焦平面处的屏幕上呈现出衍射条纹.刺即夫琅和费衍单缝衍射，简称为单缝衍射.

单缝衍射条纹的形成及光强分布可以用菲涅耳波带法定性研究和积分法定量研究，而我们仅用菲涅耳波带法进行定性研究.

单缝衍射图样的形成及特点，如图 2所示，设单缝的宽度为a （实际的单缝是一个长度比宽度大的多的长方形孔），入射光波长为λ.在平行单色光的垂直照射下，单缝所在处的平面AB 是一个波阵面，根据惠更斯原理，波阵面AB 上各点发射的初相位相同的子波即衍射光线向各个方向传播，方向相同的一组衍射光线经透射镜2L 会聚与屏幕E 上同一点，不同方向的衍射光线分别会聚在屏幕E 上不同位置.衍射光线的方向用衍射光线与缝平面发线的夹角φ表示，叫做衍射角.

当衍射光纤1与入射光线方向相同，即衍射角0=φ时，从波阵面AB （同位相面）到达0P 点的光程相等，即光程差等于零，故各衍射光线到达

0P 点时同相位.因此，他们在0P 点的波

振动相互加强，在屏幕E 上0P 点处就形成平行于缝的明条纹，称为中央明纹.

当衍射光线与入射光线方向不同，即衍射角φ为任意值时，相同衍射角的光线2经透镜2L 汇聚于屏幕E 上某点P ，由缝AB 上各点发出的衍射光线到达P 点的光程不相等.过A 点作AC 线垂直于衍射光线2，由透镜的等光程性可知，从

AC 面上，各点到达P 点的光程相等，所以各衍射线间的光程差就由它们从缝上的相应位置到AC 面的距离之差来确定，而单缝两端点A 和B 点衍射线间的光程

图 2 单缝衍射图样的形成

差为

φ

sin

a

BC=

显然，这是沿衍射角φ方向的最大光程差.费涅耳采用将波阵面分割成许多面积相等的波带的方法，即菲涅耳波带法，定性地解决了上述问题.

菲涅耳波带法：用一组间距为半波长的平行于AC的平面把BC分成若干相等的部分，同时，这些平面也把单缝AB处的波面分成数目相等的波带，因为每个波带的面积相等，所以每个波带发生的子波数可以认为是相等的，这时BC相当于两个半波长.由于两相邻波带上任何两个对应的点各自发出的光线，从出发点到P点的光程差总等于半波长，即在P点会聚时周相差总等于π，因此他们在P点的光振动是相互抵消的，于是P点处出现暗条纹.如果将AB分为三个波带，则BC相当于三个半波长.显然，相邻两个波带发出的光线在屏幕E上会聚点P 的光振动可以互相抵消，但由于是奇数个半波长，因此在P点总有一个半波带的振动存在，因此在P点处出现明条纹.

因屏上各点与衍射角φ一一对应，不同φ角又对应缝AB按半波带的不同分割情况.当φ角由小变大，对应的衍射线间的最大光程差BC逐渐增大，缝可分成的半波带数也由少到多，在屏幕上显示明暗条纹的分布而形成单缝衍射图样.

由此可见，对于某一给定的φ，光程差BC恰等于半波长的偶数倍，单缝恰

被分为偶数各波带，其发出的光线在P点的振动都成对地相互抵消，而在P点处出现暗条纹.若光程差BC等于半波长的奇数倍，单缝却被分为奇数个波带，光振动相互抵消的结果总要剩下一个波带发出的光线在会聚点P没有被抵消，因而P点处出现明条纹.即

I

φ

sin

a

λ

-

λ2

-λ3

-λλ2λ3

图 3 单缝衍射条纹中光强分布