地基与基础——土中应力计算
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工程地质与地基基础_03土中应力和沉降详解
第三章 地基应力和沉降
主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 土中自重应力 基底压力 地基附加应力 土的压缩性 地基最终沉降量
1/32
§3.1
土中自重应力
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经压 缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。但对 于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的 变形。
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e e b l pmax pmin
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
pmax pmin
F G M A W
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
9/32
讨论：
pmax pmin
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
15/32
附加应力分布规律 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
n z /b m l /b
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数
b为基础短边
19/32
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p III II
o
III
主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 土中自重应力 基底压力 地基附加应力 土的压缩性 地基最终沉降量
1/32
§3.1
土中自重应力
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经压 缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。但对 于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的 变形。
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e e b l pmax pmin
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
pmax pmin
F G M A W
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
9/32
讨论：
pmax pmin
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
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附加应力分布规律 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
n z /b m l /b
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数
b为基础短边
19/32
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p III II
o
III
4土中应力的计算
4-8, 4-10
4.3 基底压力
基底压力的简化计算
4.3 基底压力的简化计算
一、中心荷载下的基底压力P(kPa)
室内设计地面
F
+0.00
G
+0.00
F
室外设计地面
G
d d
b p
(a)
b
p
(b)
p F G A
d — 基础埋深 (m)；必须从设 计地面或室内 外平均设计地 面算起。
F — 作用任基础上的竖向力设计值(kN)；
4.3 地基附加应力
竖向集中力作用时的地基附加应力
竖向集中力 P(KN)作用在无 限半空间表面， 任 意 点 M(x 、 y 、 z) 处 的 六 个 应 力分量和三个 位移分量的解 析 解 —— 布 辛 奈斯克解。
4.3 地基附加应力
4.3 地基附加应力
布辛奈斯克解答：
三个正应力：
x
3P x2 z
2
R5
1
2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
R3
(R
z)2
y
3P y2z
2
R5
1 2
3
R2 Rz z R3(R z)
2
y2(2R z)
R3
(R
z)2
1
计算时注意地下水位的影响: (1)在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层中不存在
水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水 土总重计算 (2)地下水位位于同一土层中时，地下水位面应作为分层的界面。
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学与地基基础土中应力分布与计算
第16页/共79页
【例4-1】某建筑物场地的土层及其物理性质指标如图4-5所示，试计算土中自重应力，并绘制出分布图。
第17页/共79页
第三节 基底压力的计算
1 基本概念（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生的压力（地基作用于基础底面的反力）（2）接触压力的大小影响因素 地基土和基础的刚度 荷载 基础埋深 地基土性质
第38页/共79页
若在空间将 相同的点连接成曲面，可以得到如图4-13所示的等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。规律：即集中力P在地基中引起的附加应力的分布是向下、向四周无限扩散。
第39页/共79页
在工程实践中，建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的。对于不同的基础形状和基础地面的压力分布，均可利用上述集中荷载引起的附加应力的计算方法和应力叠加原理，计算地基中任意点的附加应力。具体求解时，常按应力状态的特性划分为空间问题和平面问题。
第4页/共79页
土中附加应力是指由土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、堤坝荷载等）以及地下渗流、地震等作用下附加产生的应力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的强度破坏和失稳的重要原因。
第5页/共79页
第二节 地基中的自重应力
一、土中竖向自重应力（一）单层土的竖向自重应力 在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，因而在任意竖直面和 水平面上均无剪应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算(图)，即：
第44页/共79页
(1)o点在荷载面边缘 σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0(2)o点在荷载面内σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣσz=4αp0
【例4-1】某建筑物场地的土层及其物理性质指标如图4-5所示，试计算土中自重应力，并绘制出分布图。
第17页/共79页
第三节 基底压力的计算
1 基本概念（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生的压力（地基作用于基础底面的反力）（2）接触压力的大小影响因素 地基土和基础的刚度 荷载 基础埋深 地基土性质
第38页/共79页
若在空间将 相同的点连接成曲面，可以得到如图4-13所示的等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。规律：即集中力P在地基中引起的附加应力的分布是向下、向四周无限扩散。
第39页/共79页
在工程实践中，建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的。对于不同的基础形状和基础地面的压力分布，均可利用上述集中荷载引起的附加应力的计算方法和应力叠加原理，计算地基中任意点的附加应力。具体求解时，常按应力状态的特性划分为空间问题和平面问题。
第4页/共79页
土中附加应力是指由土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、堤坝荷载等）以及地下渗流、地震等作用下附加产生的应力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的强度破坏和失稳的重要原因。
第5页/共79页
第二节 地基中的自重应力
一、土中竖向自重应力（一）单层土的竖向自重应力 在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，因而在任意竖直面和 水平面上均无剪应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算(图)，即：
第44页/共79页
(1)o点在荷载面边缘 σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0(2)o点在荷载面内σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣσz=4αp0
土中的应力计算
土不能承受拉力
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
e x
e xL
Ke
L x K=B/2-
L
压力调整 基底压
y
y
e
3K
y
pmin 0
力合力 与总荷
载相等
pmax
pmin
0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
pmax
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
2N
2N
pmax 3KL 3(B 2 e)L
12
2.2.3基底附加压力
H 成层
E1 均匀
E2<E1
25
无限均布荷载作用下的附加应力
当条形荷载在宽度方向增加 到无穷时，此时地基中附加应力 分布仍可按均布条形荷载下土中 应力的公式计算，查表2-10。
相当于薄压缩层：h 0.5b
b，z/b 0， αsz=1.0
基础中点处，任意深度处的附加
应力均等于p0，即在大面积荷载
作用下，地基中附加应力分布与 深度无关。
成层 H
均匀 E1
E2>E1
23
2.变薄交互层地基（各向异性地基） • 当Ex/Ez<1 时，应力集中——Ex相对较小，不利于应力扩散 • 当Ex/Ez>1 时，应力扩散——Ex相对较大，有利于应力扩散
24
3.双层地基（非均质地基）
(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基 ▪ 中轴线附近σz比均质时明显增大的现象
21
条形荷载与矩形荷载的附加应力对比图
表明荷载作 用面积越大 附加应力传 递的越深。
22
2.3.4 地基附加应力的应用讨论
1.变形模量随深度增大的地基（非均质地基）
B
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
土力学-地基中的应力计算概述
基础传至地 基的荷载
地基
基础 埋深
（1）集中荷载作用下的解 ( Boussinesq 解，1885 )
P
x
r
y
x
y
R
z
z
• 位移解
ux4PG[R xz3(12)R(Rxz)]
uz
4PG[R z23
(1)1]
R
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学 家，对数学物理、流体力学 和固体力学都有贡献。
a
a
a
b
角点
b
p
b
中心点
1
2
34
任意点
z
z
z
k(a , b
z) b
p
z
z
z
4k(a, b
2z) b
p
z z
k k1 k2 k3 k4
z k p
3）矩形线性荷载 （角点下）
角点
b
角点
p
z
a
z
p
z
k(b , a
z) a
p
查表计算
3. 应力计算小结
（1）自重应力及均匀满布荷载作用下的附加应力，可利用平衡方程 等通过简单方法获得。
（2）线状荷载作用下的应力（Flamant解）
p
1）属平面应变问题，即：
a. 应变 y 0 。
dP pdy
b. 位移、应力等量仅与坐标
x、z有关。
x
2）利用Boussinesq解，通过 沿荷载分布线积分得到应力。
x - dx=2p(x2x2zz2)2
y
xz
2p
土力学与地基基础——第章地基土中应力计算
理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力
方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
土力学中应力符号的规定
zx z+
-
材料力学
xz
x
- zx
z
+
土力学
xz x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
3.2 土中自重应力计算
(a)
(b)
(c)
刚性基础下压力分布
（a）马鞍形 （b）抛物线形 (c)钟形
二、基底压力的简化计算方法
基底压力的分布 形式十分复杂
圣维南原理： 基底压力分布对土中 应力的影响仅限于一 定深度范围，之外的 地基附加应力只取决 于荷载合力的大小、 方向和位置
现场实测结果：
一般距基底的深度 超过基础宽度的 1.5~2.0倍时，它的 影响已很不显著。
基础结构 的外荷载
基底反力
基底压力
附加应力
地基沉降变形
第三节 基底压力分布和计算
基础底面的压力分布问题是涉及到基础与地基土 两种不同物体间的接触压力问题，在弹性理论中称 为接触压力问题。这是一个复杂的问题，影响它的 因素很多，如基础的刚度、形状、尺寸、埋置深度， 以及地基土的性质、荷载大小等。
基础底面的压力分布问 题是涉及到基础与地 基土两种不同物体间 的接触压力问题，在 弹性理论中称为接触 压力问题。这是一个 复杂的问题，影响它 的因素很多，主要受 荷载条件、基础条件 和地基条件的影响
第三章 土中应力计算
土的应力问题是研究地基和工程结构变形及稳定问题的依据
主要内容
3.1 概述 3.2 土中自重应力计算 3.3 基础底面的压力分布与计算 3.4 地基土中的附加应力
土力学与地基基础——第二章
若干个竖向集中力 Pi (1,2, n) 作用在地基 表面上，按叠加原理则地面下深度处某点的附加应 力应为各集中力单独作用时在点所引起的附加应力 之和
pi 1 z Ki 2 2 z z i 1
n
K P
i 1 i i
n
2.3 地基中的附加应力
讨论：集中力荷载产生的竖向附加应力在地基
2.3 地基中的附加应力
(d)o点在荷载面角点外侧 把荷载面看成由I(ohce)、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除 Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
2.3 地基中的附加应力
例题 以角点法计算矩形基础甲的基底中心点
垂线下不同深度处的地基附加应力的分布，基 础埋深1.5m,集中力为1940KN，并考虑两相邻 基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲)。
(b)o点在荷载面内
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
(c)o点在荷载面边缘外侧 此时荷载面abcd可看成是由I(ofbg)与Ⅱ(ofah)之差和 Ⅲ(oecg)与Ⅳ(oedh)之差合成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压 力就是新增加于地基表面的基底附加压力。一 般天然土层在自重作用下的变形早巳结束，因 此只有基底附加压力才能引起地基的附加应力 和变形。
2.2 基底压力
基底压力为均匀分布时：
p0 p 0 p 0 d
基底压力为梯形分布时：
p0 max p0 min
2.1 地基中的自重应力
什么时候考虑土体在自重下的自重应力？ 土层一般形成至今有很长的时间，自重应力下
pi 1 z Ki 2 2 z z i 1
n
K P
i 1 i i
n
2.3 地基中的附加应力
讨论：集中力荷载产生的竖向附加应力在地基
2.3 地基中的附加应力
(d)o点在荷载面角点外侧 把荷载面看成由I(ohce)、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除 Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
2.3 地基中的附加应力
例题 以角点法计算矩形基础甲的基底中心点
垂线下不同深度处的地基附加应力的分布，基 础埋深1.5m,集中力为1940KN，并考虑两相邻 基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲)。
(b)o点在荷载面内
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
(c)o点在荷载面边缘外侧 此时荷载面abcd可看成是由I(ofbg)与Ⅱ(ofah)之差和 Ⅲ(oecg)与Ⅳ(oedh)之差合成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压 力就是新增加于地基表面的基底附加压力。一 般天然土层在自重作用下的变形早巳结束，因 此只有基底附加压力才能引起地基的附加应力 和变形。
2.2 基底压力
基底压力为均匀分布时：
p0 p 0 p 0 d
基底压力为梯形分布时：
p0 max p0 min
2.1 地基中的自重应力
什么时候考虑土体在自重下的自重应力？ 土层一般形成至今有很长的时间，自重应力下
第2章土体应力计算
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
一、均匀土体的竖向自重应力
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱 的有效重量
2.基底压力的简化计算法
1）中心荷载时：
P
N
F
2）偏心荷载时：
P N M N (1 6e) FW F b
3.基底附加应力---基底净压力：
p0 p 0d
P 实际情况
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
P d
第四节 地基中的附加应力计算
h2 2 水位面
用浮容重。 1 h1 + 2h2 2.非均质土中自重应
力沿深度呈折线分布
h3 3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、水平向自重应力
天然地面
z
cy
cz cx
cz z
cx cy K0 cz
静止侧压 力系数
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算
K
x s
pn
Ksx ,Ktz为条形基底竖向 附加应力系数, 均为
m ,n的函数，其中 m=x/b，n=z/b，可查表
2-6、2-7得到
x
K
z t
pt
注意原点位置
见例题2-3
第5节 土坝（堤）自重应力和坝基附加应力
自重应力：
坝身任意点自重应力均等于单位面积上该计算点以上土柱 的有效重度与土柱高度的乘积。
土力学地基中的应力计算
p
arctan
1
2(x / b) 2(z / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
b b
b
b
b
13
•带状三角形荷载
b
p
x
z
Mx
(x, z)
z
查表3－3
e 基底压力呈三角形分布
e 基底局部出现拉应力
基底与地基脱开
对于矩形底面，＝ b
6
37
(1) 矩形底面单轴偏心荷载作用时(e)
由竖向、弯矩平衡方程
P
b 2
(
p1
p2 ) a
M
b 2 ( p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
P 1 A
6e b
e a
b
P M Pe
z
p
{x b
(arctan
x z
/ /
b b
arctan
x
/b 1) z/b
z b
(x
/
b
x/b 1)2
1 (z
/
b)2
}
k(x b
,
z b
)
p
•带状梯形荷载
14
5、矩形均布面积荷载作用下附加应力旳计算
1）角点下旳垂直附加应力
dP pdxdy
d z
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy
土力学与地基基础土的自重应力计算
1、单个竖向集中力下的地基附加应力 采用Boussinesq解答，竖向正应力? z和竖向位移w 最为常用。如果地基 中某点与局部荷载的距离比局部荷载的荷载面尺寸大很多时，就可以用 一个集中力代替局部荷载，采用 Boussinesq解答。
?z ??
F Z2
α－集中力作用下地基的附加应力系数，查 3.1表
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在 初始应力场 。初始应力场常与 土体自 重、地基土地质历史 以及地下水位 有关。在工程应用上，计算初始应力 场时常假设天然地基为 水平 、均质、各向同性 的半无限空间 ，土层界面 为水平面。于是在任意竖直面和水平面上均 无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
?
?
3
2?
1
?
5
? ?1 ?
?
? ??
r z
2
? ??
?2 ? ?
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应力
?z?
1 z2
? n
? i?1
i Fi
例2：在地基中作用有一集中力 P=100kN，求:(1)在地基中z=2m的水平 面上，水平距离 r=0 ，1，2，3，4m 处各点的附加应力，并绘出分布图；
p min
lb
l
e? M F ?G
三、基底压力的简化计算
2、偏心荷载下的基底压力
(1) e＜L/6, 应力呈梯形分布
pmax ? F ? G (1? 6e )
pmin
lb
l
(2) e＝L/6, 应力呈三角形分布
pmax
?
2（F ? lb
G）
?z ??
F Z2
α－集中力作用下地基的附加应力系数，查 3.1表
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在 初始应力场 。初始应力场常与 土体自 重、地基土地质历史 以及地下水位 有关。在工程应用上，计算初始应力 场时常假设天然地基为 水平 、均质、各向同性 的半无限空间 ，土层界面 为水平面。于是在任意竖直面和水平面上均 无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
?
?
3
2?
1
?
5
? ?1 ?
?
? ??
r z
2
? ??
?2 ? ?
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应力
?z?
1 z2
? n
? i?1
i Fi
例2：在地基中作用有一集中力 P=100kN，求:(1)在地基中z=2m的水平 面上，水平距离 r=0 ，1，2，3，4m 处各点的附加应力，并绘出分布图；
p min
lb
l
e? M F ?G
三、基底压力的简化计算
2、偏心荷载下的基底压力
(1) e＜L/6, 应力呈梯形分布
pmax ? F ? G (1? 6e )
pmin
lb
l
(2) e＝L/6, 应力呈三角形分布
pmax
?
2（F ? lb
G）
土力学与基础工程地基土中的应力计算
建造后的基底压力中扣除基底
标高处原有的自重应力后，新
增加于基底的压力。
m 1h1 2h2 nhn / d
注意：
p0 p cz p m d
基底附加压力 的计算
地下水位以下的重度取有效重度
基底附加压力
基础标高以上土的加 权平均容重
自重应力
p
0
p
0
d
p0 max pmax 基底压力呈梯形分布时， 0d p0 min pmin 基底附加压力
【例题分析】 • 【例】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m，M=20kN•m，试求基础中点下的附加压 力。
FK 0.1m MK
1.5m 0 ＝18.5kN/m3 2m
分析步骤I：
FK=400kN/m 0.1m MK=20kN •m
1.5m 2m
0 ＝18.5kN/m3
荷载偏心距 e=M/(F+G)
基础及上覆 土重G= GAd 140.3kPa
319.7kPa
pmax pmin
1.基底压力计算
条形基础取单 位长度计算
F G 6e 1 bl l
讨论：基底压力分布？
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力
pmax
pmin e<l/6
cz2 cz1 2h2 7.85 17.8 2 43.45kN m 2
标高处原有的自重应力后，新
增加于基底的压力。
m 1h1 2h2 nhn / d
注意：
p0 p cz p m d
基底附加压力 的计算
地下水位以下的重度取有效重度
基底附加压力
基础标高以上土的加 权平均容重
自重应力
p
0
p
0
d
p0 max pmax 基底压力呈梯形分布时， 0d p0 min pmin 基底附加压力
【例题分析】 • 【例】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m，M=20kN•m，试求基础中点下的附加压 力。
FK 0.1m MK
1.5m 0 ＝18.5kN/m3 2m
分析步骤I：
FK=400kN/m 0.1m MK=20kN •m
1.5m 2m
0 ＝18.5kN/m3
荷载偏心距 e=M/(F+G)
基础及上覆 土重G= GAd 140.3kPa
319.7kPa
pmax pmin
1.基底压力计算
条形基础取单 位长度计算
F G 6e 1 bl l
讨论：基底压力分布？
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力
pmax
pmin e<l/6
cz2 cz1 2h2 7.85 17.8 2 43.45kN m 2
土力学 第三章 土体中的应力计算
第五章土体中的应力计算第一节概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
土体中的应力计算
土体中的应力计算1.格令法格令法是土力学中常用的一种计算土体中应力的方法，它基于土体中的格令应力体系。
格令应力体系是指土体中各个方向上的应力分量。
常见的格令应力体系包括水平应力(σ_h)，垂直应力(σ_v)和剪应力(τ)。
格令法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定水平应力(σ_h)：水平应力是以土体排列方向为基准的应力分量，通过土体中的外加荷载和支持条件来计算。
常见的计算方法有：a.一维法：当土体受到轴对称荷载时，可以使用一维法计算水平应力。
其中σ_h=P/A，其中P为荷载大小，A为土体的横截面积。
b.二维法：当土体受到平面荷载时，可以使用二维法计算水平应力。
其中σ_h=P/A，P为荷载大小，A为土体的接触面积。
c.三维法：当土体受到体力荷载时，可以使用三维法计算水平应力。
其中σ_h=F/A，F为荷载大小，A为土体的接触面积。
(2)确定垂直应力(σ_v)：垂直应力是指土体中垂直于排列方向的应力分量。
垂直应力的计算方法如下：a.压力传递原理：假设土体为均质、无阻性及无滑动的情况下，垂直应力可通过压力传递原理计算。
垂直应力由上层土体通过土粒间的压缩传递给下层土体，下层土体又继续传递给更下层土体，以此类推。
b.常用公式：经验公式计算垂直应力可使用τ=kσ_v，其中k为土体的地层系数，可以根据实际情况选择合适的数值。
(3)确定剪应力(τ)：剪应力是土体中沿一定面域内的剪力分量。
剪应力的计算方法如下：a.剪切试验：通过进行剪切试验，可以直接测得土体中的剪应力。
b.运动原理：当土体处于平衡状态时，土粒间的剪应力满足平衡条件。
可以根据平衡条件求解土体中剪应力的大小和方向。
2.应变法应变法是另一种常用的计算土体中应力的方法，它基于土体中的应变体系。
应变是指在外力作用下，土体中产生的形变量。
常见的应变体系包括线性应变和体积应变。
应变法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定线性应变(ε)：线性应变是土体中只考虑线性部分的应变。
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一、基底压力分布
基底压力分布形式与基础刚度 荷载大小及分布，基础埋深， 地基土性质有关。
实际分布形式：如图示，随 荷载增大发生变化。
计算假定：按直线规律变化， 根据材料力学公式计算。
基底压力分布图
二、基底压力计算
（一）轴心荷载作用下 基底压力计算
p F G A
G=γGAd（基础自重）
γG=20kN/m3（重度） A=b·l （基础底面积） d—基础平均埋深
p0 p cz p 0d
0
1h1
h1
2h2
h2
γ1 h1 γ2 h2
第三节 地基中附加应力计算
▪ 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。 ▪ 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论计算。
一、竖向集中力作用下 地基中附加应力
布辛内斯克（法）公式：
y
z
K
P z2
K—附加应力计算系数与(r,z有关)
（自设计地面算起） 条形基础取l=1m计算
基础底面 剖面图
（二）偏心荷载作用下基底压力计算（单向）
e
F+G
基础 自重
上部 荷载
M
pmin
pmax
合力偏心矩 e M A=b·l F
基底边缘压力 最大最小值
pmax pmin
F
G A
(1
6e ) l
e
•条形基础 （l/b≥10）
pmax pmin
z Kc p0
矩形荷载即： 基底附加压力
l
式中： KC—矩形荷载下附加应力 计算系数(与l/b，z/b有关)； p0—基底附加压力。
0
σz
M(z)
z
b
p0 x
（二）均布矩形荷载任意点下应力（角点法）利用 角点法和力的叠加原理求基底面任意点处的附加应力。 有如下四种情况：
o
Ⅰ Ⅱ
Ⅰo Ⅱ ⅣⅢ
Kc=KⅠ+KⅡ
静水压力作用； ▪ 地下水位下降时有效重度增加，会造成
地面下降； ▪ 地下水位上升时有效重度减小，影响土性，
承载力降低。
三、水平自重应力
cx cy K0 cz
地面 0
y rx
K0—静止土压力系数， 用于挡土墙土压力计算。
σcz
σcx σcy
M(x,y,z)
z
【例3-1】如图，成层土地基，
F
G b
(1
6e ) b
pmin
pmax
（沿基础长边方向取单位长度 l=1m 为计算单位）
设计上一般pmin＞0，即基底压力要求呈梯形分布。
【例3-2】基础底面尺寸l=3m，b=2m，基础顶面作用 轴心力F=450kN，弯矩M=150kN/m，基础埋深 d=1.2m，试计算基底压力。
【解】 G=γGAd=20×3×2×1.2=144kN
第三章 土中应力计算
▪ 研究目的：建筑荷载在地基中产生应力， 应力产生应变，研究应力计算和分布规律 ， 作为地基变形与强度计算依据。 ▪ 学习要点：掌握地基中自重应力计算与附
加应力计算方法，清楚计算假定，需要运 用材料力学基本知识。 ▪ 计算假定：地基为连续（均质）各向同性， 半无限弹性体，表面水平。
e 偏心矩： M 150 0.253m
F 450 144
基底压力：
pmax pmin
F
G A
(1
6e ) l
14489.9.1
kPa
基础底面
M
F+G
pmin
pmax
三、基底附加压力计算
基底面处以下在原土自重应力作用下已沉降完毕， 如不考虑地基回弹，基槽开挖后只有超出基底面处土自 重应力以外的力，才能引起地基变形，基底新增加的应 力，称为基底附加压力（用于地基变形计算）。
n
天然地面
γ1z1 γ2z2 γ3z3 γ4z4 A σcz=Σγz
σcz
γ1z1 γ1z1+γ2z2 γ1z1+γ2z2 + γ3z3 γ1z1+γ2z2 + γ3z3 + γ4z4
z σcz=Σγz
二、地下水及不透水层影响：
▪ 地下水位以下土计算时用有效重度γ′； ▪ 不透水层面及以下无浮力作用情况下应考虑
地面以下有地下水及
不透水层。
计算要点：
①
➢地下水位以下用有效重度计算；
➢不透水层面以上考虑浮力， ②
过不透水层面后则考虑
③上
水压力影响，不透水
③下
层面处自重应力有突变。
④
地基剖面图 ▽ γ1 h1 γsat2 h2 γsat3 h3 γ4 h4
不透水层
第二节 基底压力计算
▪ 概要：基底压力是指基础底面传递给地基表面的压力 （地基反力），用于地基应力、变形及基础结构计算。
ga b
o
ef
hd
c
Kc=Kob+Koc-Koa-Kod
Kc=KⅠ+KⅡ+KⅢ+KⅣ
ga
b
h dc
oe
f
Kc=Kob+Kod-Koa-Koc
三、竖向均布条形荷载作用下 附加应力计算
❖条形基础（l/b≥10） ——条形荷载
同样由叠加法可得基础
p0
底面以下任意点的M(x,z)
附加应力：
0 －∞
＋∞
y
x
第三章 土中应力计算
第一节 土中自重应力计算 第二节 基底压力计算 第三节 地基中附加应力计算
回顾与思考
➢地基基础 设计要求：
地基有足够的强度； 地基不发生过大变形； 基础有足够的强度与刚度。
由基础的形式、尺寸、材料调节
➢设计前提：
•物理性质指标（前述） •地基受力计算（本章） •基础沉降、尺寸计算
P x
r
σz
M(x,y,z)
z
地面
水平方向
深度
水平方向
附加应力扩散规律： ➢附加应力随深度增加而减小； ➢同深度水平方向越远附加应力越小； ➢附加应力成扩散状分布。
二、竖向均布矩形荷载作用下附加应力计算
（一）均布矩形荷载角点下附加应力计算
矩形荷载（基础）角点下任意深度处附加应力值可根据 前述布氏公式，应用力的叠加原理，得如下计算公式：
第一节 产生的 应力，它使土密实并具有一定强度与刚度。 地基设计计算前应知其原始的应力状态。
一、竖向自重应力 天然地面
σcz
单层均质土层：
cz z
σcz=γz A z σcz=γz
地基为多层土组成：
i1
cz 1z1 2 z2 n zn i zi
z Ksz p0
z M(x,z)
式中 ：Ksz—条形荷载下附加应力 计算系数(与x/b，z/b有关)。
p0 p cz p 0d
0
1h1
h1
2h2
h2
加权平均重度
基础补偿性设计：高层建筑利用箱形基础或地下室， 使设计埋深部分的结构自重小于挖去的土自重，即 减小p0，从而减小地基变形。
挖槽卸荷
建造后总荷
γ·d
p0
新增荷载
【例3-3】例3-2中，基础埋深内土分为两层，重度 分别为γ1，γ2，求基底附加压力。 解题要点：