Drude模型
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然而，为了初步理解金属性，在二十世纪初 D.Drude 和Lorentz 等人受气体分子运动论的启发提 出了金属中经典的自由电子理论，即认为金属中存在有 自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、 导热等宏观性能。
§1.0.1 Drude电子模型的基本假设
1900年，D.Drude 等人借鉴在解释气体性质上取得 巨大成功的经典的气体分子运动论，作了一个最大胆的近 似——用类似于经典理想气体的一个模型来简化金属材料 中这些传导电子的运动，从而形成了所谓的Drude电子模 型。
vT 0
返
驰豫时间近似假设：若与离子实相继两次碰撞之间的时间
回
间隔为t，则有
ve
eEe me
t
可得
ve
eEe
me
t
e
me
Ee
VD
因此有
v
VD
e
me
Ee
外电场作用下的 漂移速度
表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场
子浓度(定义为单位体积中的平均电子数)。
由于在各种热力学过程中金属材料体积的变化通常很 微小，因此电子浓度这一状态参量的变化是甚微的。
若某一金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其所形成的晶体的质量密度为
度为
ne
ZNa
m
A
m
，则该金属中的电子浓
其中，Na 为Avogadro常数。
通常，还将金属中每个电子平均占据的体积等效为球 体，并用等效球体的半径
之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子。
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似认为与离子实碰撞后电子速度的统计 分布将恢复到平衡态 ——近似认为电子经历一个弛豫时间 τ后将恢复到平衡态。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
rs
(3
4
1 )1/ 3 ne
来表示电子浓度的大小。也可用金属中每个电子的等效 球体半径与Bohr半径的比值
rs a0
me e 2
4 02
(3
4
1 )1/ 3 ne
来与孤立原子中的束缚电子进行比较。
计算结果表明
rs ： 10 1 nm
ne ： 10 22 / cm3或10 23 / cm3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
A
其中 Na =6.022×1022为Avogadro常数。设金属中
每个传导电子平均占据体积的等效球体半
径为 rs，
则有
rs
( 3
4
1 )1/ 3 ne
练习 已知在室温(约300K)时Fe晶体中传导电子的电子浓
度
n=e 17.0×1022/cm3,
请计算每个传导电子平均占 与Bohr半
据体积的等效球体半径 rs 径
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
(3
4
1 ne
)1/ 3
=1.413×10-10 m
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
所形成的晶体的质量密度为 m，则该金属中的电子浓度
为
ne
ZNa
m
对于这种情况，我们通常是对特定的方面抓住有 关问题物理过程的本质，提出简化的模型加以讨 论。
这一章就介绍最简单的，也是相当成功的模型： 金属的自由电子气体模型。
§1.0 Drude电子模型
在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时， Thomson是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子 而最先发现了电子的存在。在发现电子后的最初一段时 期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识 到电子等微观粒子运动的独特本质。因此，在当时还不 具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运 动这两个基本问题的理论基础。
（4）经典近似 在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律 ；碰撞前后电子遵循 Boltzmann统计分布。
以上四个基本假设，实际上就是把金属中存在的大量 传导电子简化成类似于经典的理想气体，故通常又将 Drude电子模型称为经典自由电子气体理论。
金属中的自由电子气体模型仅有一个独立的参量：电
Drude 等人所做的简化近似可归纳为如下四个基本假设： （1）独立电子近似
忽略电子与电子之间的相互作用 ——近似认为电子的运动 是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电 子近似。
（2）自由电子近似
用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相
返 回
互作用 ——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
例题：已知在室温(约300K)时Cu晶体中传导电子的 电子浓度ne=8.47×1022/cm3, 请计算每个传导电子
平均占据体积的等效球体半径 rs 与Bohr半径 aB
的比值（提示：a B =0.529×10-10m ）
§1.0.1 Drude电子模型的基本假设
1900年，D.Drude 等人借鉴在解释气体性质上取得 巨大成功的经典的气体分子运动论，作了一个最大胆的近 似——用类似于经典理想气体的一个模型来简化金属材料 中这些传导电子的运动，从而形成了所谓的Drude电子模 型。
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外电场作用下的 漂移速度
表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场
子浓度(定义为单位体积中的平均电子数)。
由于在各种热力学过程中金属材料体积的变化通常很 微小，因此电子浓度这一状态参量的变化是甚微的。
若某一金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其所形成的晶体的质量密度为
度为
ne
ZNa
m
A
m
，则该金属中的电子浓
其中，Na 为Avogadro常数。
通常，还将金属中每个电子平均占据的体积等效为球 体，并用等效球体的半径
之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子。
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似认为与离子实碰撞后电子速度的统计 分布将恢复到平衡态 ——近似认为电子经历一个弛豫时间 τ后将恢复到平衡态。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
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(3
4
1 )1/ 3 ne
来表示电子浓度的大小。也可用金属中每个电子的等效 球体半径与Bohr半径的比值
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来与孤立原子中的束缚电子进行比较。
计算结果表明
rs ： 10 1 nm
ne ： 10 22 / cm3或10 23 / cm3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
A
其中 Na =6.022×1022为Avogadro常数。设金属中
每个传导电子平均占据体积的等效球体半
径为 rs，
则有
rs
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练习 已知在室温(约300K)时Fe晶体中传导电子的电子浓
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n=e 17.0×1022/cm3,
请计算每个传导电子平均占 与Bohr半
据体积的等效球体半径 rs 径
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
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)1/ 3
=1.413×10-10 m
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若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
所形成的晶体的质量密度为 m，则该金属中的电子浓度
为
ne
ZNa
m
对于这种情况，我们通常是对特定的方面抓住有 关问题物理过程的本质，提出简化的模型加以讨 论。
这一章就介绍最简单的，也是相当成功的模型： 金属的自由电子气体模型。
§1.0 Drude电子模型
在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时， Thomson是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子 而最先发现了电子的存在。在发现电子后的最初一段时 期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识 到电子等微观粒子运动的独特本质。因此，在当时还不 具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运 动这两个基本问题的理论基础。
（4）经典近似 在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律 ；碰撞前后电子遵循 Boltzmann统计分布。
以上四个基本假设，实际上就是把金属中存在的大量 传导电子简化成类似于经典的理想气体，故通常又将 Drude电子模型称为经典自由电子气体理论。
金属中的自由电子气体模型仅有一个独立的参量：电
Drude 等人所做的简化近似可归纳为如下四个基本假设： （1）独立电子近似
忽略电子与电子之间的相互作用 ——近似认为电子的运动 是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电 子近似。
（2）自由电子近似
用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相
返 回
互作用 ——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
例题：已知在室温(约300K)时Cu晶体中传导电子的 电子浓度ne=8.47×1022/cm3, 请计算每个传导电子
平均占据体积的等效球体半径 rs 与Bohr半径 aB
的比值（提示：a B =0.529×10-10m ）