Drude模型
Drude模型简介
Drude模型简介•最简单的金属模型–只考虑到电子的运动学特性•最成功的金属模型之一–为什么这么简单的模型会获得巨大的成功？•在量子力学与原子物理学诞生之前–1897年，J.J. Thomson发现电子–1900年，Drude提出金属的电导和热导理论,Annalen de Physik1, 566 (1900), ibid. 3, 369 (1900).电导率电子气模型虽然金属中至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假定参与导电作的仅是其中的一种。
传导电子的来源：价电子与芯电子。
Drude模型的基本假设忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似），忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似），电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与杂质原子之间的散射；电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫时间（relaxation time / life time）；电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
=frequency) (cyclotron 为回旋频率令mceHc ω1nec仅依赖于载流子密度和电荷电导的实部和虚部？Drude模型的推广•经典力学→量子力学：Sommerfeld模型•自由电子近似→考虑电子-离子的相互作用：能带理论•独立电子近似→电子-电子相互作用：金属的Fermi-Liquid理论•电子气的局域热平衡（local thermal equilibrium）→小尺度、非平衡特性：介观物理（mesoscopic physics）。
2.金属自由电子气的Drude模型
• 金属中的价电子就象无相互作用的理想气体， 但模型与理想气体又有所不同：
* 电子气体的浓度比理想气体大三个量级 * 有两种粒子：电子，离子
不是很圆滑，所以再加些限制(基本假定)，完 成Drude模型的构造
10.107.0.68/~jgche/ 金属电子气的Drude模型
1、已知的金属性质
模型建立的依据
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
4
为什么研究固体从金属开始？
• 金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3 是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多
* 比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 * 区分非金属，实际上也是从理解金属开始
12
思考——假如你是Drude
• 根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？
* 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的 瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子
• 不是电中性的，有库仑相互作用？那么
* 电子-电子如何相互作用？ * 电子-离子实如何相互作用？
• 还有——电传导（也包括热传导）是个输运过 程，非平衡过程，所以
上讲回顾
• 固体的微观定义
* 固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动
• 贯穿课程的主线
* 周期性波在周期性结构中的运动
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
1
本讲内容：建模推演比较修正
• 如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象
Drude模型
D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计?欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
【国家自然科学基金】_drude模型_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 88 19 20 21
2011年 科研热词 雷达散射截面 透射光谱 色散介质 色散 球刺模型 渐进波形估计 混合模型 本构关系 成像 异向介质 干涉仪 各向同性 双负媒质 分光光度计 冲击波 光波段 光学诊断 三维 zno薄膜 pmchwt方程 drude模型 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
科研热词 非分裂 量子级联激光器 超薄ag膜 调制不稳定性 表面等离子体共振吸收 色散磁导率 波导 椭偏数据解谱 时域有限差分 异向介质 左手介质 太赫兹 在线low-e玻璃 双振子模型 光学常量 二阶非线性色散 si/sige drude
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 铬薄膜 金属材料 近场辐射 辅助场 结构 纳米颗粒 红外 磁控溅射 电学性质 树叶模型 时域有限差分方法 复介电常数 周期结构 吸收器 双频 光学性质 介电函数 z变换 drude色散模型 drude模型
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2014年 科研热词 推荐指数 辛时域有限差分算法 1 色散介质 1 矩阵分裂 1 电磁散射 1 有耗drude-lorentz色散模型 1 时域有限差分方法 1 双色散模型 1 newmark方法 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
金属自由电子气理论
金属自由电子气理论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
金属电子气的Drude模型
Drude模型在半导体物理中的应用
半导体载流子运动
Drude模型在半导体物理中用于描述半导体中载流子的运动行为。通过该模型， 可以研究半导体中电子和空穴的迁移率、扩散系数等性质，从而深入了解半导 体的光电、热电等效应。
半导体器件性能
Drude模型在半导体器件性能分析中也有重要应用，如晶体管、太阳能电池等。 通过该模型，可以研究器件中载流子的传输、注入、收集等过程，为优化器件 性能提供理论支持。ຫໍສະໝຸດ HANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
Drude模型的局限性
Drude模型的近似性
Drude模型假设电子在金属中以无相 互作用的粒子形式运动，忽略了电子 间的相互作用。
在实际金属中，电子间存在相互作用， 这会导致电子的运动受到散射，使得 电子的运动不满足Drude模型的假设。
Drude模型在高场下的不适用性
Drude模型在高电场下不适用，因为 高电场下电子的运动速度接近光速， 需要考虑相对论效应。
02
当电子气受到外部扰动时，阻尼系数决定了电子气 的响应速度和振幅衰减。
03
阻尼系数的大小与金属的微观结构和温度有关，是 金属导电性能的重要参数。
电子气的弛豫时间
01 弛豫时间表示电子气达到热平衡状态所需的时间。 02 在Drude模型中，弛豫时间反映了电子气内部相
互作用的过程。
03 弛豫时间的长短决定了金属的电导和热导等物理 性质随时间的变化规律。
述这些效应。
发展Drude模型的量子版本
引入量子力学效应
在量子版本的Drude模型中，考 虑量子力学效应对金属电子气行 为的影响，如能级量子化、波函 数等。
考虑量子相干性
在低温下，金属电子气可能表现 出量子相干性，需要发展量子版 本的Drude模型来描述这种行为。
固体物理复习题(已解答)
1 简述Drude 模型的基本思想把金属中的电子看做气体，金属由可以自由运动的电子和固定不动的离子实两部分组成，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。
将自由电子看做带电的小硬球，它们的运动遵循牛顿第二定律。
应用独立自由电子气假设：在忽略电子-电子和电子-离子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。
2 简述Drude 模型的三个基本假设并解释 独立电子近似：电子与电子无相互作用自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ 3在Drude 模型下，固体如何建立热平衡 碰撞前后速度无关联 碰撞后获得的速度方向随机 速率与碰撞后的温度相适应4 Drude 模型中对金属导电率的表达式为：mnq τσ2=5 在自由电子气模型中，由能量均分定理知在特定温度T 下电子的动能为： 1.5K B T6 在Drude 模型当中，按照理想气体理论，自由电子气的密度为n ·cm -3，比Cv= 1.5 nK B7 1853年维德曼和弗兰兹在研究金属性质时发现一个定律，即在给定温度下金属的 导热率 和 电导率 的比值为常数。
8 简述Drude 模型的不足之处？电子对比热的贡献与温度无关，被严重高估（210） 对电子速度 2v 低估（210）误认磁化率与温度成反比，而实际无关 什么决定传到电子的数目？价电子？ 导体？绝缘体？半导体？他之所以解释 维德曼-弗兰兹 成功，是因为对比热的高估正好抵消对速度的低估 9 对于自由电子气体，系统的化学势随温度的增大而 降低 。
10 请给出Fermi-Dirac 统计分布中，温度T 下电子的能量分布函数，并进一步解释电子能量分布的特点。
11)(/)('+=-TK E E FD B F eE f在温度T 下，能量为E 的状态被占据的几率。
式中EF 是电子的化学势，是温度的函数。
当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能级。
能带论 电场下的电子 弛豫时间 电导率公式
2.
空穴的能量应该是从满带中失去一个电子，系统能量的变化：
逸失电子在带内位置越低，需要更多的功，系统的能量越 高。如果令价带能量零点位于带顶，并且能带是对称的， 可以构造一个近满带对应的空穴能带，如图所示：
3. 从上面电子和空穴的能带图可以看出：
即空穴的速度等于逸失电子的速度
3.
因为有效质量反比于曲率： 对于空穴能带，这个值和价带电子的有效质量的大小 相等，符号相反。在价带顶附近 为负，而 为正。
实际上，碰撞或散射总是存在的。任何导致偏离周 期势的机制（晶格振动或者晶格中的缺陷）都将散 射电子，改变电子的速度。这种碰撞是无规的，我 们定义电子两次碰撞之间的平均自由时间为τ，而 1/τ就是碰撞概率。
只有当τ远大于TB（布洛赫振荡周期）时候，即在 两次碰撞间电子的k空间移动的距离远大于布里渊区 的尺度时，才能观测到布洛赫振荡。也就是只有样 品几乎是理想晶体，且温度很低的时候，才有可能 观测到布洛赫振荡。
4. 在外加电场，磁场中空穴的准经典运动方程为 空穴的运动方程是带正电荷的粒子的运动方程
导体、绝缘体和半导体的能带特征
在一种固体中，存在着未填满的能带，那么它必定 是导体。
如果所有能带中，只有全满带或者全空带，那么它 是绝缘体。
半导体在绝对零度下，所有能带是全满或者全空。 但禁带很窄，在有限温度下有少量的满带电子被激 发到空带中，形成少量空穴的价带和少量电子的导 带。
以上推导基于Drude模型，该模型首次尝试 使用电子气来解释金属的一些行之，它有以 下几个假设：
电子只受到原子核散射
两次散射之间，电子之间无相互作用， 电子与原子核也无相互作用
碰撞是瞬间发生的，它改变电子的速度
电子的碰撞概率为：1/τ(即散射概率) 电子只能通过碰撞达到热平衡。
金属自由电子气模型
(1.2.2)式在一级近似下为
p(t
dt)
p(t)
F (t)dt
P(t)
dt
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t)
F (t )
P(t)
dt
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d
m
d d
(t)
F (t)
• 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1s 2s2p 3s 281
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
n
N0
Zm
A
6.022 1023
Zm
A
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍3源自0.22rs a0
1014 sec .
(1.2.10)
其a0为中玻，尔为半金径属。电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，
金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
Drude模型
Drude模型一．D rude模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二．D rude模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循B oltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为 经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流e E r −−→− e T v v v r r r+=0=T v r m E e v e e e r r -=D e e e e e V E m e t m E e v r r r r =-=⋅-=τe e D E m e V v v r r τ-==e e e D e e E m e n V n e J r r v ⋅=-=τ2)(◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
德鲁德模型和等离子体模型
德鲁德模型（Drude Model）和等离子体模型（Plasma Model）是两种物理学上用于描述物质性质的模型，尤其在固体和等离子体领域中应用较多。
德鲁德模型（Drude Model）：
1. 描述：德鲁德模型是用于解释金属电导行为的简单经典模型。
该模型最早由保尔·德鲁德（Paul Drude）在20世纪初提出。
2. 基本假设：模型基于自由电子理论，其中的电子被假定为自由电子，它们在金属晶格中运动并与离子发生碰撞。
这个模型中忽略了电子之间的相互作用以及晶格结构的详细影响。
3. 特点：德鲁德模型成功地解释了金属电导行为的一些方面，如欧姆定律，但在解释一些更复杂的电子行为时存在局限。
等离子体模型（Plasma Model）：
1. 描述：等离子体模型主要用于描述等离子体这种状态，其中气体中的一些或全部原子失去了一部分或全部的电子，形成了正电荷离子和自由电子的混合体。
2. 基本假设：等离子体模型考虑了离子和自由电子之间的相互作用，包括库伦相互作用和碰撞。
这个模型常用于描述高温等离子体，如太阳等离子体或核融合实验中的等离子体。
3. 特点：等离子体模型对于解释等离子体中的传导、辐射、和热力学性质等方面具有重要作用。
它也在天体物理学、核聚变研究等领域中得到应用。
总体而言，这两种模型分别适用于不同的物质状态和条件下，用于解释不同的物理现象。
德鲁德模型主要用于金属电导行为的描述，而等离子体模型用于等离子体状态的研究。
hfss损耗电介质设计设置
HFSS损耗电介质设计设置导言高频结构的设计与分析需要考虑电介质的损耗特性，而HFSS（高频结构模拟软件）被广泛应用于此类应用中。
本文将深入探讨HFSS中损耗电介质的设计设置，包括损耗模型、材料参数设置和仿真结果分析等。
损耗模型HFSS提供了多种损耗模型，以描述电介质的能量损耗特性。
常见的损耗模型有：1.Debye模型：适用于描述介质中分子极化的损耗行为。
通过指定材料的电导率和介电常数，可以模拟多种电介质的热耗散。
2.Drude模型：适用于金属材料的损耗行为。
通过指定金属的电导率和介电常数，可以模拟金属的电磁波吸收和散射。
posite模型：适用于复合材料的损耗行为。
通过组合多个Debye模型和Drude模型，可以模拟复合材料中不同组分的损耗行为。
针对不同的电介质材料，选择合适的损耗模型非常重要。
此外，还需要根据实际情况，对材料的损耗参数进行调整和优化，以提高模拟结果的准确性。
材料参数设置在HFSS中，可以通过多种方式设置材料的损耗参数。
以下是一些常见的设置方法：1.直接指定：可根据实际要求，直接指定材料的电导率和介电常数。
这种设置方法简单直接，适用于已知材料参数的情况。
2.通过模型：通过选择已有的损耗模型，设置模型中的参数，来模拟材料的损耗特性。
这种设置方法适用于常见的电介质材料。
3.仿真优化：可以通过在HFSS中进行参数优化，对材料的损耗参数进行调整，以获得更精确的仿真结果。
这种设置方法适用于需要进行材料优化设计的情况。
除了上述方法外，还可以通过导入实测数据或基于理论计算的结果来设置材料的损耗参数。
这种方法能更准确地反映真实材料的特性，但需要较高的实验或计算成本。
仿真结果分析在HFSS中进行损耗电介质的设计设置后，可以进行仿真分析来评估设计的性能。
以下是一些常见的仿真结果分析方法：1.损耗分布分析：可以通过仿真结果中的损耗分布图，检查电介质中的能量损耗情况。
通过观察损耗的分布情况，可以确定电介质中存在的热点或不均匀性。
4. 金属的电导率--Drude模型
动量的增量 ，而碰撞使得电子失去这种பைடு நூலகம்量，
它相当于是一个平均的阻力，正比于
。
它限制在外力作用下 的无休止增大，导致一种稳 定的状态。考虑了上述碰撞机制，电子动力学唯象方 程写成：
上面左边第一项为粒子加速项，而后一项代表碰撞效 应。
对于自由电子模型， 方程为
vd为电子在外场和碰撞下的平均速度，也成为漂移速 度。用它去处理固体中的输运过程称为漂移速度理论。 对于恒定电场的定态情况：
由欧姆定律得到电导率为上述理论描述的自有气体的简单唯象理论对于布洛赫电子必须考虑到能带结构不是所有电子都具有相同的有效质量和驰豫时间它们都和电子的状态k有关必须考虑电子状态按照能量的分布
第四节 Drude模型
1. 电导率的Drude模型
从电子的准经典运动方程出发，得到“违背实验”的 结果（布洛赫振荡）。实验上，加一个恒定的电场总 得到一个恒定的电流。其原因在于准经典运动方程是 一个无碰撞机制的弹道方程。
原子核也无相互作用 碰撞是瞬间发生的，它改变电子的速度 电子的碰撞概率为：1/τ(即散射概率) 电子只能通过碰撞达到热平衡。
金属的典型室温电阻率为 1 μΩcm
电子浓度n：1022~1023 cm-3 弛豫时间τ：10-14~10-15 s (1~10 fs)
平均自由程为 λ: 0.1~ 1 nm
总的比热 晶格 电子
实际金属的电子比热与温度的关系
即使在室温下，Drude模型的电子比热数值 要比实验大很多（大两个数量级），因为它 认为所有电子都贡献比热。
Sommerfeld对此考虑了费米分布，只有费米 面附近电子才贡献比热，从而得到了正确的 比热与温度关系。
3. 电子热导率和Wiedemann-Franz公式
Drude模型
D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计?欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
Drude模型
Drude模型Drude模型是一种用于描述电子在固体材料中运动的经典模型，由德国物理学家Paul Drude于1900年提出。
虽然这个模型是近一个世纪前的理论，但它仍然在固体物理和电子工程领域有着广泛的应用。
Drude模型的基本假设是，电子在固体材料中被视为经典粒子，其运动受到经典的牛顿第二定律的支配。
电子在受到外部扰动（例如电场）的作用下会偏离其平衡位置并开始振动，这种振动被视为简谐振动。
根据这个假设，电子的响应可以表示为电阻和电导率的形式。
在具体的应用中，Drude模型可以用来描述电子在固体材料中的电导率和电阻率。
在低频情况下（即外部扰动的频率远小于电子振动的频率），电子的响应是即时响应的，即电子的运动与外部扰动同步。
在这种情况下，电子的电阻率可以表示为：σ=ne^2τ/m其中，n是电子密度（即单位体积内的电子数），e是电子的电荷量，m是电子的质量，τ是电子的平均自由时间（即电子在受到外部扰动作用下的平均运动时间）。
在高频率情况下（即外部扰动的频率远大于电子振动的频率），电子的响应是过时的，即电子的运动与外部扰动不同步。
在这种情况下，电子的电导率可以表示为：σ=ne^2/m因此，Drude模型可以用来描述电子在固体材料中的电导率和电阻率的频率依赖性。
除了描述电子在固体材料中的电导率和电阻率，Drude模型还可以用来解释许多实验现象，例如金属的欧姆定律和电阻温度系数等。
此外，Drude模型还可以扩展到其他领域，例如光学和声学等。
然而，Drude模型也存在一些局限性。
首先，这个模型忽略了电子之间的相互作用，这可能导致它在某些情况下的预测结果出现偏差。
其次，这个模型假设电子的运动是简谐振动，但实际上电子的运动是复杂的，可能涉及到更高阶的振动模式。
此外，Drude模型还忽略了热力学效应，这可能导致它在高温情况下的预测结果不准确。
尽管存在这些局限性，但Drude模型仍然是一种有用的理论工具，可以帮助我们理解电子在固体材料中的运动行为。
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aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
(3
4
1 ne
)1/ 3
=1.413×10-10 m
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
所形成的晶体的质量密度为 m，则该金属中的电子浓度
为
ne
ZNa
m
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
例题：已知在室温(约300K)时Cu晶体中传导电子的 电子浓度ne=8.47×1022/cm3, 请计算每个传导电子
平均占据体积的等效球体半径 rs 与Bohr半径 aB
的比值（提示：a B =0.529×10-10m ）
rs
(3
4
1 )1/ 3 ne
来表示电子浓度的大小。也可用金属中每个电子的等效 球体半径与Bohr半径的比值
rs a0
me e 2
4 02
(3
4
1 )1/ 3 ne
来与孤立原子中的束缚电子进行比较。
计算结果表明
rs ： 10 1 nm
ne ： 10 22 / cm3或10 23 / cm3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
（4）经典近似 在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律 ；碰撞前后电子遵循 Boltzmann统计分布。
以上四个基本假设，实际上就是把金属中存在的大量 传导电子简化成类似于经典的理想气体，故通常又将 Drude电子模型称为经典自由电子气体理论。
金属中的自由电子气体模型仅有一个独立的参量：电
之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子。
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似认为与离子实碰撞后电子速度的统计 分布将恢复到平衡态 ——近似认为电子经历一个弛豫时间 τ后将恢复到平衡态。
子浓度(定义为单位体积中的平均电子数)。
由于在各种热力学过程中金属材料体积的变化通常很 微小，因此电子浓度这一状态参量的变化是甚微的。
若某一金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，
其所形成的晶体的质量密度为
度为
ne
ZNa
m
A
m
，则该金属中的电子浓
其中，Na 为Avo的体积等效为球 体，并用等效球体的半径
然而，为了初步理解金属性，在二十世纪初 D.Drude 和Lorentz 等人受气体分子运动论的启发提 出了金属中经典的自由电子理论，即认为金属中存在有 自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、 导热等宏观性能。
§1.0.1 Drude电子模型的基本假设
1900年，D.Drude 等人借鉴在解释气体性质上取得 巨大成功的经典的气体分子运动论，作了一个最大胆的近 似——用类似于经典理想气体的一个模型来简化金属材料 中这些传导电子的运动，从而形成了所谓的Drude电子模 型。
A
其中 Na =6.022×1022为Avogadro常数。设金属中
每个传导电子平均占据体积的等效球体半
径为 rs，
则有
rs
( 3
4
1 )1/ 3 ne
练习 已知在室温(约300K)时Fe晶体中传导电子的电子浓
度
n=e 17.0×1022/cm3,
请计算每个传导电子平均占 与Bohr半
据体积的等效球体半径 rs 径
vT 0
返
驰豫时间近似假设：若与离子实相继两次碰撞之间的时间
回
间隔为t，则有
ve
eEe me
t
可得
ve
eEe
me
t
e
me
Ee
VD
因此有
v
VD
e
me
Ee
外电场作用下的 漂移速度
表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场
对于这种情况，我们通常是对特定的方面抓住有 关问题物理过程的本质，提出简化的模型加以讨 论。
这一章就介绍最简单的，也是相当成功的模型： 金属的自由电子气体模型。
§1.0 Drude电子模型
在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时， Thomson是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子 而最先发现了电子的存在。在发现电子后的最初一段时 期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识 到电子等微观粒子运动的独特本质。因此，在当时还不 具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运 动这两个基本问题的理论基础。
Drude 等人所做的简化近似可归纳为如下四个基本假设： （1）独立电子近似
忽略电子与电子之间的相互作用 ——近似认为电子的运动 是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电 子近似。
（2）自由电子近似
用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相
返 回
互作用 ——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞