极线与极点在高考数学中的应用
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
第43期极点与极线的几何意义及应用
第43期极点与极线的几何意义及应用第43期极点与极线的几何意义及应用
极线的几何定义
但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况.实际上,在P 点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线,这时我们可以认为极线是过P点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念。
极线的几何性质
对于圆锥曲线,两个点的切线的交点的极线即这两点的连线。
此外,过不在圆锥曲线上任意一点做两条和此曲线相交的直线得出四个点，那么这四个点确定的四边形的对角线交点在该点的极线。
我们也可以把这个性质作为圆锥曲线的极线的定义。
而当一个动点移动到曲线上,那么它的极线就退化为过这点的切线，所以，极点和极线的思想实际上是曲线上点和过该点切线的思想的一般化。
极点与极线的几何意义及应用
所 以有 Ｉ％ ＋ ｌ ＋ｏ（ｘ０＋ １）＋Ｅ（Ｙｏ＋ｙ１）＋Ｆ＝Ｑ 同理得 ２‰ ＋ＣＹ２Ｙｏ＋Ｄ（ｘｏ＋ ２）＋Ｅ（ｙｏ＋Ｙ２）＋Ｆ＝０， 故 过 直 线 ＭＮ 的 方 程 为 ＋ｃｙｏｚ ＋Ｄ （ ＋Ｘ０） ＋ Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０， 故极线 ｌ就是直线 ＭＮ． （３）设 Ｑ（ｍ，ｉｚ），由 （２）得 直 线 ＭＮ 的方 程 为 Ａｍｘ＋ Ｃｎｙ＋Ｄ（ ＋ｍ）＋Ｅ（Ｙ＋１２）＋Ｆ＝０． 又 直 线 ＭＮ 过 点 Ｐ，所 以 有 Ａｍｘ０＋Ｃｎｙｏ＋Ｄ（‰ ＋ｍ）＋
由以上两式可知点 Ｑ（ｍ，ｎ）在 直线 ＭＮ 上 ，即直线 ＭＮ 必 过 极 点 Ｐ．
推论１ 对于椭圆 ＋旨 ＝１，则极点Ｐ（ 。，ｙｏ）对应的
ｎ
０
极线方 程为 ＋ ：１．
口
Ｄ
若极 点为焦点 Ｆ（ｃ，０），则 由极线定义知 点 Ｆ（Ｃ，０）所 对
应 的极 线 ｚ： ＋ ＝１，即 １： ： ，故 极 点 Ｆ（ｃ，０）所 对
点 ，则 直线 ＭＮ必 过极 点 Ｐ．
证 明 设 极 点 为 Ｐ（‰ ，Ｙｏ），则 极 线 Ｚ：Ａｘ０ ＋Ｃｙｏｙ
Ｄ（ ＋ ０）＋Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０．
（１）方程 Ａ ＋ ＋２Ｄｘ＋２ ＋Ｆ＝０两边 对 求导得
Ａｘ ＋ Ｃｙｙｔ＋ Ｄ ＋ Ｅｙｔ： ０ ，
所 以 ｙ ＝ 一Ａ ｘ ＋Ｄ 故 ＝一Ａ ｘ ｏ＋ Ｄ 故 圆锥 曲 线 在 点 Ｐ
Ｃ２≠０），则 称 点 Ｐ（‰，Ｙｏ）和 直 线 ｆ：Ａｘ０ ＋Ｃｙｏｙ＋Ｄ（ ＋
‰ ）＋Ｅ（ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０是 圆锥 曲线 ｃ的一对极点和极线．
极点与极线的调和性在高考中的应用
极点与极线的调和性在高考中的应用在高考数学中，极点与极线的调和性是一个重要的概念。
它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。
本文将从极点与极线的定义、调和性、应用等方面进行探讨，帮助考生更好地理解和掌握这一概念。
极点是指在一个函数图像上，一个点所对应的函数值。
而极线是指过这个点所作的切线与x轴的交点的横坐标。
在高考数学中，极点与极线通常指的是函数的极值点和临界点。
极点与极线的调和性是指在一定条件下，函数的极值点和临界点的位置之间存在一定的关系。
在高考数学中，通常会考察函数的单调性、最值等问题，这些问题都与极点与极线的调和性有关。
在高考数学中，最值问题是一个常见的题型。
利用极点与极线的调和性，可以将函数进行分解，从而得到函数的最小值或最大值。
例如，对于一个二次函数y=ax^2+bx+c，可以利用极点与极线的调和性求出其最小值或最大值。
不等式是高考数学中的另一个重要题型。
利用极点与极线的调和性，可以将不等式转化为函数的最值问题，从而得到不等式的解。
例如，对于一个不等式x^2+bx+c>0，可以利用极点与极线的调和性求出其解集。
方程是高考数学中的另一个重要题型。
利用极点与极线的调和性，可以将方程转化为函数的最值问题，从而得到方程的解。
例如，对于一个方程ax^2+bx+c=0，可以利用极点与极线的调和性求出其解。
极点与极线的调和性是高考数学中的一个重要概念。
它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。
考生需要熟练掌握极点与极线的定义、调和性、应用等方面，才能更好地理解和掌握这一概念。
考生还需要注意一些常见的错误和易错点，如忽视函数的定义域、不考虑函数的单调性等。
只有全面掌握这一概念，才能在高考数学中取得好成绩。
极点和极线是解析几何中的重要概念，它们对于描述和解决圆锥曲线问题具有重要的应用价值。
通过理解极点和极线的性质，我们可以更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。
极点极线的简单应用
极点极线的简单应用内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。
在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。
其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。
关键词：极点极线调和点列完全四边形不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。
让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。
以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。
我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。
一、定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。
在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。
如下面的这道题：如左图（1）所示，PS 、PT 与⊙O 相切于S 、T 两点，PAB 为圆的任意一条割线，交ST 于M ，求证：P 、A 、M 、B 四点成调和点列。
解：设OP 交ST 于L 。
联结AL 、AO 、BL 、BO ，则由圆幂定理可知2PA PB PL PO PS ⋅=⋅=ALBO ∴四点共圆从而PLA OBA OAB OLB∠∠∠∠＝＝＝即LP 是ALB ∠的外角平分线但是PL ⊥LM ，故LM 是ALB ∠的内角平分线。
AM AC AP MB LB PB∴==即PAMB 是调和点列。
（1）由于PAB 的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB ，他与ST 的交点M ，PABM 成调和点列。
于是我们寻找另外的方法。
通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：sin sin PA PS PSA AM SM AST ⋅∠=⋅∠∵，sin sin PB PS PSA BM SM BST⋅∠=⋅∠由正弦定理得PA PS AS AM SM AT =⋅，PB PS SB BM SM BT=⋅PSA PBS ∆∼∆∵PAT PBT∆∼∆AS AT SB BT∴=PA PB AM BM ∴=由此看出上述的接论是成立的。
极点与极线背景下的高考考试
极点与极线背景下的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQPA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+=211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有PEFG H MA NB 图P Q A 图2Bl推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆P Q R 图3R 'ROPlA 图4 P 'R BQQ 'R的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>过点(2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q 总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142x y+=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u r u u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.yxO B A 图5K (,)T t mMNBQxyO PA.图6分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以2212(1)4(1)2ABP S AB FP k k ∆==++. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别A BPOxy图8F B y F l R Q xyOP.图7相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .2212112112112222211111111()()()()244444cos 11()()44x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。
高数证明：极点极线
高数证明：极点极线高数（高等数学）是大学中的重要课程，其中有一部分内容是关于证明（极点极线）的。
本文将深入探讨证明中的各个方面，并分享我对这一主题的观点和理解。
一、引言在高等数学中，极点极线是一个重要的概念，它与复数、函数和几何有着紧密的联系。
证明极点极线的性质和定理是高数学习的重要内容之一，对于提高学生的逻辑思维和分析能力具有很大的帮助。
二、概念解释1. 极点：在复平面上，给定一个复数的一列值，当这个复数趋近于某个值时，如果它的绝对值趋近于无穷大，那么这个值就被称为极点。
2. 极线：在复平面上，给定一个复数的一列值，连结它们与极点的直线，这些直线称为极线。
三、证明的基本方法在证明极点极线相关定理时，通常采用直接证明或间接证明的方法。
直接证明是通过逻辑推理和运用数学公式一步一步推导出结论，而间接证明则是通过假设目标结论不成立，然后推导出一个矛盾来证明结论是正确的。
四、证明极点极线的性质和定理1. 极点和极线的存在性：对于任意一个非常数的复数函数，至少存在一个极点和一条与之对应的极线。
2. 极点的唯一性：复数函数的极点是唯一的，即一个复数函数只能有一个极点。
3. 极线的唯一性：复数函数的极线也是唯一的，即给定一个复数函数的极点，它的极线也只有一条。
4. 极点的性质：极点具有局部性质，即它只与函数在某个足够小的邻域内的取值有关。
5. 极线的性质：极线是直线或者圆。
五、对极点极线的理解和观点在我对极点极线这一概念的学习过程中，我深刻体会到它与函数、复数和几何之间的联系。
通过证明极点极线的性质和定理，我不仅提高了自己的逻辑思维和分析能力，还对复数函数的行为有了更深刻的理解。
我认为学习极点极线不仅仅是为了掌握高等数学的知识，更重要的是培养我们的思维能力和解决问题的能力。
证明极点极线需要我们运用数学公式、运算规则和推理思维，这对我们在日常生活和职业发展中都有着重要的意义。
我认为在学习极点极线的过程中，思考和探索是非常重要的。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
(完整)极点与极线背景下的高考试题
极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆， 但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。
中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究
2x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将 具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义A1.1 几何定义如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FGFNEP交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点H BG M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.图 11.2 代数定义已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P( x , y ) 和 直 线0 0l : A x +C y + y (D x ) + (E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.0 0 0 0x + x事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.特别地：(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；0 0(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；0 0(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0§2.极点与极线的基本结论定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率Cy + EAx + D Ax + D为 k =- ， 故 切 线 l 的 方 程 为 y - y =-0 0 0 0( x - x ) ， 化 简 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 点 P 在 曲 线 Γ 上 ， 故 有 00 0Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点Mx + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .0 0 0 0(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点1 12 2M , N 处 的 切 线 方 程 分 别 为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=F1 1 1 1Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点2222P 在切线上，所以有Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 10 111Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，0 20 222P观察这两个式子，可发现点M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线1122 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，N图 2又 两 点 确 定 一 条 直 线 ， 故 切 点 弦 MN 所 在 的 直 线 方 程 为Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在1122这 两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和1111Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有T.1111Q(m,n)2222观察两式可发现S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线1122Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，S图 3又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点0 0 0 0 0 0Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.0 0 0 0所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .0 0 0 0定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的极线，反之亦然.PB点 P 的极线点 P 的极线PA图 4(1)即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.图 4(2).) 22 a 2 b 2 c2y 2 y证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 12 2 22 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( )kOC = +py p py§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1 ， 当 P( x , y ) 为 其 焦 点 F (c , 0 时， 极 线 0 0x x y y a 2 x 2 y 20 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2= 1 ，当x x y y a 2P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果0 0 p圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变0 0 0 0 p为 x =- ，恰是抛物线的准线.23.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2三点对应的极线方程分别是p y 21 2Apy 2 y 2x =-， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ，12CO FBx由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p三条极线共点，将 x = -代入后面两式得2 图 51p 21 p2 y y 2 - p 2y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1⇒ y y = - p 2 . 12 1 222作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点.简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y)1 122p，则 C (- , y 22 ，从而 k O A = y 1 = x 12 py ，1 -22=-点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线 x 2 -是线段 AB 的中点？y 2 2= 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 Px + 0，故 ⎨， ⎩ 2ky + y = 2 x ⎪⎪ 0k 当 k ≠ 0 时， ⎨ ， 直 线 l 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 ⇔ P( x , y ) 在 抛 物 线 外2⎪ y = ⎩⎪⎪ 0 2故 ⎨ ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ⎪(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2⎪⎩ 2. 解：(1)设点 P( x , -1), A( x , y ), B( x , y ) ，A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ⎨ 1 0 x x = 2( y - 1) ⎩ 2 0解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0y ⎧1 x = +2 0 0⎪ 0 k ⇔ y 2 > 4 x ⇔ 0 0 4 1 1 1> 4( + 2) ，解得 -1 < k < 且 k ≠ 0 ；同理可求得当 k = -1 或 k = k 2 k 2 21或 k = 0 时直线与抛物线只有一个公共点；当 k < -1 或 k > 时直线与抛物线没有公共点.2(2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0⎧ y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 00 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然 会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且yBAF = λ F B(λ > 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .F(1)证明 FP ⋅ AB 为定值；(2)设 ∆ABP 的面积为 S ，写出 S = f (λ ) 的表达式，并求 S 的最小值.AOPx0 1 12 2图 6F , A, B 三点对应的极线方程分别为y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y + y) ，由于1 1220 ⎧ x x = 2( y - 1) 1 2，两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) .1212又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ⋅ AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 021212121 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得 AB = 4(1+ k 2) ，所以2y + - 21 k 设 AB : y -2 = k ( x - ) ， 可 化 为 = x ， 故 直 线 AB 对 应 的 极 点 为2 = k k + ⎪⎪3 2⎪ k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2⎪ y = 22⎪⎩2 2 24 2 4 4FP ⋅ FA cos ∠AFP = = 24 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ⋅ FA FPFP x 2 + ( x 2 - )24 41 1 x + xFP ⋅ FB 同理 cos ∠AFP = =S∆ABP = 1 2AB FP = 2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) .显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 .【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ，且与抛物线分别相切于 A, B 两点.(1)求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程； yB与 (2)证明 ∠PFA = ∠PFB .解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ，0 0 1 1 2 2y + y0 = x x 对比知直线 l : x - y - 2 = 0 对应的0 A FOP lx1极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应2图 71的极线 AB 必恒过点 ( , 2) .2k22 2 2k k k( , - 2 )， 将 直 线 AB 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ∆APB 的重心 G 的轨迹方程为121212⎧k ⎪ x =1 ⎨，消去 k 即得 y = (4 x 2- x + 2) . k k 3 =3 3k k k(2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以1 12 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) .1 1 12 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x +1 1 21 12 1 1 FP ( x 2 + ) 1x x +1 2FP ⋅ FB FP14 .所以有 ∠PFA = ∠PFB .评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.A B2 a b 2 2ay )2 】(评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点 评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 ..【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ∆ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的⊙ K分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作⊙ K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作⊙ K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上.RR (-a,y 2)yCCPQSPS (a,y 1)QK下面将圆加强为椭圆，并给出证明.A图 8K B x证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2= 1 ，- x y y并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点1 2a( y 2 - b 2 ) 2b 2 y yQ( , 2 ) ， 直 线 B Q: = - 2 ( x - a， 同 理 我 们 可 以 得 到 直 线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2y y - y 2 y yAP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验a y + y y + y1 2 1 2y - y证其坐标满足直线 RS : y - y = 12 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得 简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例 6】《中等数学》2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2+ = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ， 过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程x 2 y 225 9= 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1立即可得答案为 3x 2 y+ = 1 .25 9【例 7 《中学数学》2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1+ y 2 = 1 ， M ( , ) ，2 2 2过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N 的轨迹是一条定直线.1 1 x y2 2 4 2从例 6、例 7 可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐2 mk m 评析：由定理 1 知，该定理中定点 M (m ,0) ，直线l : x = 即为一对极点与极线，从4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【 】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【 定 理 】【 2 】线 段 PQ 是 过 椭 圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 长 轴 上 定 点M (m ,0)( m ≠ 0, m ≠ ±a) 的弦，S , T 是长轴上的两个顶点，直线 SP , SQ 与直线 l : x = a 2 m交于 A( x , y ), B( x , y ) 两 点 ， 并 且 直 线 PQ 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 零 ， 则 有A AB B2b 2 m 2b 2 - a 2b 2y + y =- , y y = . A B A B 2这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.a 2m另一方面来说，该定理是【例 1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定 理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极 线的性质证明，文【3】则完全是定理 1 的一种特例.定理 1 和定理 2 反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】 钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】 李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】 厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12【12】 丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】 邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.111 、数论是 人类 知识 最古 老的 一个 分支 ，然而 他的 一些 最深 奥 的秘 密与其 最平 凡的 真理 是 密切 相连 的。
极点极线10个二级结论
极点极线10个二级结论摘要：一、引言二、极点极线的概念1.极点2.极线三、10 个二级结论1.极点与极线的关系2.极点与极线的性质3.极点与极线的应用四、结论正文：【引言】极点极线是数学中的一个基本概念，它在几何学、微积分学等学科中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍极点极线的概念以及10 个二级结论，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
【极点极线的概念】极点是数学中的一个点，它满足某个函数在此点处的导数等于零。
换句话说，极点是函数的局部最小值或最大值点。
极线是与极点相关的直线，它表示函数在极点处的切线。
【10 个二级结论】1.极点与极线的关系：极点处的切线就是极线。
极线是函数在极点处的局部性质，反映了函数在极点处的变化趋势。
2.极点与极线的性质：极点与极线是相互关联的，它们共同决定了函数在极点处的局部性质。
极点的性质包括局部最小值、局部最大值等，极线的性质包括切线的斜率、切线方程等。
3.极点与极线的应用：极点与极线在数学的许多分支中都有着广泛的应用。
例如，在微积分学中，极点与极线可以用来求解函数的极值；在几何学中，极点与极线可以用来分析图形的性质。
4.函数的极值与极点极线的关系：函数的极值点就是极点，函数在极值点处的导数值就是极线的斜率。
5.函数的单调性与极点极线的关系：函数的单调区间与极点极线密切相关。
在单调递增的区间，函数的导数大于零，极线是上升的；在单调递减的区间，函数的导数小于零，极线是下降的。
6.函数的凹凸性与极点极线的关系：函数的凹凸性决定了极点极线的性质。
在凹函数的区间，极点是局部最小值点，极线是下凸的；在凸函数的区间，极点是局部最大值点，极线是上凸的。
7.极点极线在微分方程中的应用：微分方程中的极点极线可以用来分析系统的稳定性和动态行为。
例如，在常微分方程中，极点可以表示系统的平衡状态，极线可以表示系统在平衡状态下的动态行为。
8.极点极线在数值分析中的应用：极点极线在数值分析中有着广泛的应用，例如在插值和拟合问题中，极点极线可以用来提高算法的收敛性和准确性。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
数学复习：极点与极线
数学复习：极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如∥AD BC ，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的PN 2，其中∥PN BC 2；以P 为极点，那么极线是MN 1，其中∥MN BC 1；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点P x y ,00)(，在圆锥曲线C 的方程中，用x x 0替换x 2，y y 0替换y 2，+x x 20替换x ，+y y20替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为+=y x 2122，极点为P 2,4)(，则与P 对应的极线为+=y x 2412，即+−=x y 410；又如，设抛物线C 的方程为=y x 22，极点为P 2,4)(，则与P 对应的极线为=⋅+y x2422，即−+=x y 420.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为+=+a b a bx x y y x y 2222000022，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即=PBQBPA QA （或写成=+PQ PA PB211） （3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点P 1、P 2、P 3的极线分别为l 1、l 2、l 3，则P 1、P 2、P 3共线⇔l 1、l 2、l 3共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线+−=l ax by r :02与圆+=C x y r :222，点A a b ,)(则下列说法正确的是（ ）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【解析】解法1：A 项，若点A 在圆C 上，则+=a b r 222，圆心C 到直线l 的距离=d r ，所以直线l 与圆C 相切，故A 项正确；B 项，若点A 在圆C 内，则+<a b r 222，圆心C 到直线l 的距离==>d r 2，所以直线l 与圆C 相离，故B 项正确；C 项，若点A 在圆C 外，则+>a b r 222，圆心C 到直线l 的距离==d r 2，所以直线l 与圆C 相交，故C 项错误；D 项，若点A 在直线l 上，则+−=a b r 0222，即+=a b r 222，圆心C 到直线l 的距离==d r ，所以直线l 与圆C 相切，故D 项正确.解法2：显然对于圆C ，以A a b ,)(作为极点，那么极线就是+−=l ax by r :02A 项，若极点A 在圆C 上，则极线l 是圆C 的切线，故A 项正确；B 项，若极点A 在圆C 内，则极线l 与圆C 相离，故B 项正确；C 项，若极点A 在圆C 外，则极线l 是圆C 的切点弦，应与圆C 相交，故C 项错误；D 项，若极点A 在直线l 上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D 项正确. 【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点−A 1,0)(，B 1,0)(，过其焦点F 0,1)(的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q .（1）当=CD 时，求直线l 的方程； （2）当P 点异于A 、B 两点时，证明：⋅OP OQ 为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长=b 1，半焦距=c 1，所以长半轴长=a ，故椭圆的方程为+=x y 2122，当=CD 2时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为=+y kx 1≠≠±k k 0,1)(， 设C x y ,11)(，D x y ,22)(，联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+x y y kx 21122消去y 整理得：++−=k x kx 221022)(， 判别式∆=+>k 8102)(，由韦达定理，②①⎩+⎪=−⎪⎨+⎪⎪+=−⎧k x x k x x k 2122212212，所以=−==CD x x 12=k 所以直线l的方程为=+y 1.（2）极点极线看问题：设P m ,0)(，以P 为极点，则对应的极线为=mx 1，即=mx 1， 显然点Q 在极线上，所以=m x Q 1，不难发现⋅=⋅+⋅=mOP OQ m y Q 011. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为+=x k y AC 111，其方程为+=+x y x y1111)(③，直线BD 的斜率为−=x k y BD 122，其方程为−=−x y x y1122)(④，用式③除以式④整理得：−−=++x y x x y x 11111221)()(，即−−=++x y x y x x Q Q 11111221)()(， 而−+−−+−==++++++y x kx x kx x kx x kx x kx x y x kx x 111111111212121212212121)()()()()()(，所以−−+−=++++x kx x kx x kx x kx x x Q Q 111112121221，由①知+=−−k x x k22212， 故⎝⎭+++ ⎪++−−−−+−⎛⎫−+−+===+++−+−+−−++−−−k k k k x k x x x k k k k k k k k k x kx x k x k kk k Q Q 222111121212221111212222222222222)()()()()()(，解得：=−x k Q ，易得⎝⎭⎪−⎛⎫k P ,01，故⋅==−⋅−=k OP OQ x x k P Q 11)(，即⋅OP OQ 为定值1.解法2：直线AC 的斜率为+=x k y AC 111，其方程为+=+x y x y1111)(③，直线BD 的斜率为−=x k y BD 122，其方程为−=−x y x y1122)(④，用式③除以式④整理得：−−=++x y x x y x 11111221)()(，即−−=++x y x y x x Q Q 11111221)()(⑤ 所以⎝⎭−−−−−−−++ ⎪ ⎪====+++++++⎛⎫−+y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x Q Q 121111111111121112121212122222212112122122222)()()()()()()()()()()()( ++−++⎝⎭+ ⎪=++⎛⎫−−−+k k k k k k k k22111222111222222， 因为x 1，∈−x 1,12)(，所以−<+x x 10121，结合⑤可得−+x x Q Q 11与y y 12异号， 又++++=++=+++=−−+==−+−k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k k 222211112222112222121212122222)()()()()(++=−⋅−+k k k k 2112122)(， 所以y y 12与+−k k 11异号，即y y 12与+−k k 11异号，从而−+x x Q Q 11与+−k k 11同号，所以−+=−+x k k x Q Q 1111，解得：=−x k Q ，易得⎝⎭⎪−⎛⎫k P ,01，故⋅==−⋅−=k OP OQ x x k P Q 11)(，即⋅OP OQ 为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆+=>aE y a x :11222)(的左、右顶点，G为E 的上顶点，⋅=AG GB 8，P 为直线=x 6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，−A a ,0)(，B a ,0)(，G 0,1)(，故=AG a ,1)(，=−GB a ,1)(， 所以⋅=−=AG GB a 182，解得：=a 3或−3（舍去），故E 的方程为+=y x 9122.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设Q m ,0)(，则极线PM 的方程为=mx91，即=m x 9，又点P 在直线=x 6上，所以=m 69，从而=m 23，故⎝⎭⎪⎛⎫Q 2,03，这样就得到了直线CD 过定点⎝⎭⎪⎛⎫2,03.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知−A 3,0)(，B 3,0)(，设P t 6,)(，C x y ,11)(，D x y ,22)(，当≠t 0时，直线PA 的方程为=−t x y 39，代入+=y x 9122消去x 化简得：⎝⎭⎪+−=⎛⎫t t y y 90815422， 解得：=y 0或+t t 962，所以+=t y tC 962，故+=−=−t t x y t C C 93927322，从而⎝⎭++ ⎪−⎛⎫t t C t t 99,2736222，直线PB 的方程为=+t x y 33，代入+=y x 9122消去x 化简得：⎝⎭⎪++=⎛⎫t t y y 9091822，解得：=y 0或+−t t 122，所以+=−t y t D 122，从而+=+=−t t x y t D D 1333322，故⎝⎭++ ⎪−−⎛⎫t t D t t 11,332222，设⎝⎭ ⎪⎛⎫T 2,03，则⎝⎭++ ⎪= ⎪−⎛⎫t t TC t t 299,2796222)(，⎝⎭++ ⎪=− ⎪−⎛⎫t t TD t t 211,392222)(，即+=−+t TC TD t 93122)(，故∥TC TD ，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点⎝⎭⎪⎛⎫T 2,03，当=t 0时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点⎝⎭⎪⎛⎫T 2,03解法2：由（1）知−A 3,0)(，B 3,0)(，设C x y ,11)(，D x y ,22)(，P y 6,0)(当≠y 00时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为+=y x 911122，所以=−y x 9911122)(，故CA 、CB 的斜率之积为+−−⋅=⋅==−x x x k k y y y CA CB 3399111121112① 又PA 的斜率==k k y PA CA 90，PB 的斜率==k k y PB BD 30，所以=k k CA BD 31， 代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积⋅=−k k BC BD 31，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为=+x my t ，联立⎩⎪=++=⎨⎪⎧x my y tx 9122消去x 整理得：+++−=m y mty t 9290222)(， 判别式∆=−+−>m t m t 449902222)()(，所以+−>m t 9022， 由韦达定理，++=−m y y mt 92212，+=−m y y t 992122，所以++=++=m x x m y y t t 921821212)(，+=+++=−m x x m y y mt y y t t m 99921212122222)(，−−−++⋅=⋅==−x x x x x x k k y y y y BC BD 3339311212121212)(，故−=−++y y x x x x 339121212)(，即+++−⋅=−⋅+−−m m m t t m t 99933999918222222，整理得：−+=t t 29902，解得：=t 23或3，若=t 3，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以=t 23，满足∆>0，即直线CD 过定点⎝⎭ ⎪⎛⎫2,03，当=y 00时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点⎝⎭ ⎪⎛⎫2,03，综上所述，直线CD 过定点⎝⎭⎪⎛⎫2,03【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆+=C y x 2:122的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为2,0)(.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB .【解析】（1）由题意，F 1,0)(，当l 与x 轴垂直时，其方程为=x 1， 由⎩⎪+=⎨⎪⎧=y x x 21122解得：=y ，即点A的坐标为⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫21,， 当点A的坐标为⎝⎭ ⎛2时，直线AM的方程为=y x 2， 当点A的坐标为⎝⎭⎛1,时，直线AM的方程为=−y . （2）极点极线看问题：如图，设'A 、'B 分别为A 、B 关于x 轴的对称点， 则显然四边形''AA BB 构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以F 1,0)(为极点， 则对应的极线为+⋅=⋅y x2011，即=x 2，而'BA 和'B A 的交点应该在极线上， 从而M 2,0)(就是'BA 和'B A 的交点， 由图形的对称性不难发现∠=∠OMA OMB . 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点， 而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点， 比如可设为t ,0)(，那么它的极线为+⋅=y tx201，即=t x 2，所以点⎝⎭⎪⎛⎫t M ,02必定也能使∠=∠OMA OMB注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当⊥l y 轴时，易得∠=∠=︒OMA OMB 0当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为=+x my 1，设A x y ,11)(，B x y ,22)(， 联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+y x x my 21122消去x 整理得：++−=m y my 221022)(，易得判别式∆>0， 由韦达定理，++=−m y y m 22212，+=−m y y 21212， −−−−−−+=+==−+−+−+x x x x x x k k y y y x y x x y x y y y AM BM 222222222121212121221122112)()()()()()()( 而+−+x y x y y y 2122112)(=+++−+=−+my y my y y y my y y y 11221221121212)()()()( ⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪=⋅−−−=⎛⎫⎛⎫m m m m 22201222，所以+=k k AM BM 0，从而∠=∠OMA OMB ， 综上所述，∠=∠OMA OMB .【例5】（2008·安徽）设椭圆+=>>a bC a b x y :102222)(过点M)，且左焦点为F 1)(.（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点P 4,1)(的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，⎩⎪+=⎨⎪−=⎧ab a b 12122222，解得：=a 42，=b 22，所以椭圆C 的方程为+=x y 42122. （2）极点极线看问题：因为⋅=⋅AP QB AQ PB ，所以=PBQBAP AQ ，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为4,1)(，所以它的极线为+=⋅x y42141，化简得：+−=x y 220，从而点O 在定直线+−=x y 220上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设Q x y ,)(，A x y ,11)(，B x y ,22)( 因为⋅=⋅AP QB AQ PB ，所以=PBQBAP AQ ，设==λPBQBAP AQ >≠λλ0,1)(，则=λPA PB ，=λAQ QB ，而=−−PA x y 4,111)(，=−−PB x y 4,122)(，=−−AQ x x y y ,11)(，=−−QB x x y y ,22)(所以⎩⎪−=−⎨⎪⎧−=−λλy y x x 11441212)()(，且⎩⎪−=−⎨⎪⎧−=−λλy y y y x x x x 1212)()(，从而②①⎩−⎪=⎪−⎨−⎪⎪=⎧−λλλλy y x x 11141212，且④③⎩+⎪=⎪+⎨+⎪⎪=⎧+λλλλy y y x x x 111212，①×③得：−=−λλx x x 14212222，②×④得：−=−λλy y y 1212222，所以−−+⋅=+−−λλλλx yx x y y 11242221212222222，即−=++−+λλx y x y x y 142222112222222)(⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎧x y x y 42142122221122， 从而⎩⎪+=⎨⎪+=⎧x y x y 242422221122，代入⑤的：−=+−λλx y 1424422， 化简得：+−=x y 220，即点Q 始终在直线+−=x y 220上.强化训练1.（★★★）对于抛物线=C y x :22，设点P x y ,00)(满足<y x 2002，则直线=+l y y x x :00与抛物线C （ ） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为<y x 2002，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆+=C y x 2:122的右焦点为F ，过点A 2,2)(的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，F 1,0)(，以F 为极点，则极线为=x21，即=x 2，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为+=y x2212，即+=x y 21【答案】+=x y 213.（★★★）过点P 2,1)(的直线l 与椭圆+=y x 4122相交于点A 和B ，且=λAP PB ，点Q 满足=−λAQ QB ，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，==λPBQAPA QA所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为+=y x412，即+−=x y 220，所以点Q在该极线上，从而==OQ 5min .【答案】54.（★★★★）设椭圆+=>>a bC a b x y :102222)(的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率=e ，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程； （2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，=b 22，所以=b 1，椭圆C的离心率=e ，所以=a 2，故椭圆C 的方程为+=y x 4122.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ， 当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为+=x y 22，所以可设−Q t t 22,)(，那么极线MN 的方程为+=−ty t x4122)(，整理得：−−−=x t x y 220)(，所以直线MN 过的定点是2,1)(．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得D 0,1)(，B 2,0)(，−A 2,0)(，可设直线BP 的方程为=+x my 2≠≠±m m 0,2)(， 联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+y x x my 41222消去x 整理得：++=m y my 44022)(，解得：=y 0或+−m m 442，所以+=−m y m p 442，从而+=+=−m x my m p p 428222，故⎝⎭++ ⎪−−⎛⎫m m P m m 44,824222，从而直线DP 的斜率为+−−−===+−−−+−−m m m m k m m m m mDP 482228244421422222)(故直线DP 的方程为−=++m y x m 2212)(，联立⎩−⎪=+⎨+⎪⎧=m y x m y 2212)(解得：+=−m x m 222)(，所以⎝⎭+ ⎪⎛⎫−m N m 2,022)(， 直线AD 的方程为−+=x y 211，即−+=x y 220，联立⎩=+⎨⎧−+=x my x y 2220，解得：⎩−⎪=−⎪⎨−⎪⎪=−⎧+m y m x m 24224，所以点M 的坐标为⎝⎭−− ⎪−−⎛⎫+m m m 22,244，设G 2,1)(， 则⎝⎭−− ⎪=−−⎛⎫+m m GM mm 22,42，⎝⎭+ ⎪=−−⎛⎫m GN m 2,14， 从而−=+m GM GN m 22，故G 、M 、N 三点共线， 即直线MN 过定点G 2,1)(.【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点G 2,1)(，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆+=E x y 43:122的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别k 1，k 2，证明：k k 21为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，−F 1,0)(，椭圆E 的极点F 对应的极线为+=−⋅⋅x y43110，即=−x 4，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设−P y 4,0)(，显然−A 2,0)(，B 2,0)(，所以直线AC 的斜率==−k k y PA 210，直线BD 的斜率==−k k yPB 620， 从而=k k 321.下面给出严格求解过程. 解：由题意，−F 1,0)(，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为=−x my 1，设C x y ,11)(，D x y ,22)(，联立⎩⎪⎨⎪⎧−+==x my x y 143122消去x 整理得：+−−=m y my 3469022)(， 易得判别式∆>0， 由韦达定理，++=m y y m 346212，+=−m y y 349212， 所以=−+my y y y 231212)( 显然−A 2,0)(，B 2,0)(，所以直线AC 的斜率+=x k y 2111， 直线BD 的斜率−=x k y 2222， 从而−++−−+++======−−−−+−−−y y y y y k x y my y my y y k my y y y x y my y y y y y 222213313222323339312212212121221121121212112)()()()()()(.6.（★★★★）已知椭圆+=>>a b C a b x y :102222)(的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ， 原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设=b 2，直线=+y kx l :4与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离===⋅AFa d bc OA OF ， 所以椭圆C的离心率==a e c 2. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点P 0,4)(，显然点G 在点P 对应的极线上，当=b 2时，易求得椭圆C 的方程为+=x y 84122，从而该极线的方程为+=⋅x y 84104，即=y 1，所以点G 在定直线=y 1上．下面给出严格求解过程.解：由题意，A 0,2)(，−B 0,2)(，设M x y ,11)(，N x y ,22)(， 联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+x y y kx 841422消去y 整理得：+++=k x kx 121624022)(，判别式∆=−+⨯>k k 1641224022)()(所以<k 2或>k 2，由韦达定理，②①⎩+⎪=⎪⎨+⎪⎪+=−⎧k x x k x x k 12241216212212直线BM 的方程为+=+x y x y 2211，直线AN 的方程为−=−x y x y 2222，联立⎩⎪−=⎪−⎨⎪⎪+=⎧+x y xy x y x y 22222211消去x 可得：−−=++y y x y y x 22222112)()(，从而−−++===++++y y x kx x kx x x kx x x y y x kx x G G 2222622621211211221212)()()()(③， 接下来给出以下两种计算非对称结构++kx x x kx x x 26121122的方法：法1：由①②知=−+kx x x x 231212)(， 代入式③得：−++−+===−+−++−+x x x x x kx x x kx x x x x x x x 222223133222663391211212112212212)()(， 从而−=+y y G G 232，解得：=y G 1，所以点G 在定直线=y 1上. 法2：由①知+=−−k x x k1216212代入式③得：⎝⎭+++ ⎪+−−−−⎛⎫+===−+++++k k k x x kx x x k k k k k kx x x x x k k12121222224168312126662424222221211222222从而−=−+y y G G 232，解得：=y G 1，所以点G 在定直线=y 1上.。
高中极点极线基本定理
高中极点极线基本定理高中数学中极点极线基本定理是微积分中的重要概念之一，也是理解极限概念的关键所在。
在这篇文章中，我们将认真地讲解这一定理的背景、定义、相关公式和实例应用。
一、背景简介极点极线基本定理是牛顿和莱布尼兹的微积分学的基石。
在使用微积分和几何学解决问题时，它常常是一个非常有用的工具。
极点极线基本定理可以用来描述平面直角坐标系中的曲线和指定点上的切线交点。
二、定义简介定义1：对于曲线方程y = f(x)，如果x = a是奇点点，则对于直线L：x = a存在一个唯一点P(x_0,y_0)，使得曲线y=f(x)在P处的切线与直线L重合，则直线L称为曲线y=f(x)在a处的极线，点P称为曲线y=f(x)在a处的极点.定义2：当直线L:x=X_0是曲线y=f(x)的极线时，曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线垂直于直线L.三、相关公式1. 极点的横纵坐标公式：x_0=t（t为曲线关于一条直线的交点），设曲线过点(P_0,Q_0)，则Q_0=f(t)；2. 极线的方程：x=t（t为曲线关于一条直线的交点），极点为(P_0,Q_0)，方程即为x=t；3. 极点处的切线方程：y-y_0=f`(x_0)(x-x_0)(y=f(x_0)(x-x_0)+y_0);4. 极线方程代入曲线得到极点坐标公式：Q_0=f(x_0)=f(t)=(t-f(x))/(1/f`_(t))。
四、实例应用1. 极点极线基本定理在数学中有很多应用，例如在计算圆周率π和求解最值问题等；2. 在物理学中，极点极线基本定理可用于计算万有引力和物体的加速度等。
综上所述，极点极线基本定理是微积分学中的基础概念之一，对求解问题有着重要的应用价值。
对于高中生而言，学习此定理对于提高数学能力和兴趣大有帮助。
（完整）极点与极线背景下的高考试题
（完整）极点与极线背景下的高考试题江西省抚州市第一中学344000)但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考.应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识.从几何角度看极点与极线11，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引,,,EFGH，连接,EHFGN，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.1当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线P点处的切线；当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,AB，则点P 的极线是直线AB(即切点弦所)；当P在内时，过点P任作一割线交于,AB，设在,AB处的切线交于点Q，则点P的极线是动点.22，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPBBQ,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调P的极线.12，设点P关于圆锥曲线的调和共轭Q，则有211PAPB②；反之，若有②成立，P与Q关于调和共轭..事实上，由①有11PAPB.23，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线2OROPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.PQ与的另一交点为R，则PROPOROPORRQOROQOROQ，化简2OROPOQ.反之由此式可推出PRRQ，即点P与Q关于调和共轭.34，,AB圆锥曲线的一条 P E F G H M A N B 图1 P Q R3 RR O P Q A 图2 B ll上的两点(不在上)，若,AB关于调B任作的一条割线，交于,PQPABQAB.关于直线l对称，故在上存在PQ,PQ.若P与Q重合，则Q与P,PQ关于l对称，有PABQAB；P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,AB调和共轭，故,AB为上完全四点形PQQPQ在PA上，故,APAQ关于直线lPABQAB.3配极原则)点P关于圆锥曲线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极Q在直线p上..1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.从代数角度看极点与极线义2知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点0(,)Pxy和直线000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.xx替换2x，以0xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y即可得0(,)Pxy的极线方程.对于椭圆2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；对于双曲线2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyb；对于抛物线22ypx，与点0(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.如果圆锥曲线是椭圆2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线ypx0(,)Pxy为其焦点(,0)pF时，极线恰为抛物线的准线.从极点与极线角度看圆锥曲线试题1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1922yx的左右顶点为,AB，焦点为F．设过点(,)Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点122(,),(,)MxyNxy，其中0m，200yy，．(1)设动点P满足422PBPF，求点P的轨迹；(2)设212xx，，求点T的坐标；(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．.(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，MN，设直线AB与MN的交点为K，根据T对应的极线经过K，B A K MP l A 图4 PR B Q QT对应的极线方程为915xmy，即myx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，MN也恒过定点K(1,0).2】(2008安徽卷理22)设椭圆222:1(0)xyCabb过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F.求椭圆C的方程；当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,AB时，在线段AB上取点Q，满足QBAQPBuuuruuuruuuruuurQ总在某定直线上.(1)易求得答案2212xy.由条件可有PAPBBQuuuruuuruuuruuur，说明点,PQ关于C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点4112xy，化简得220xy.Q总在定直线220xy上.3】(1995全国卷理26)已知椭圆22:116xyC，直线:18xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹.2OROPOQ可知点,PQ关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极OP的交点.(12,88)Ptt，则与P对应的极线方程为(88)16txty，化简得)2txtyOP的方程为88tyxt，化简得2tyxt④65424442txtttxtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(,xy 不同时为0)，故点Q(1,1)为中心，长短轴分别为10和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线24xyF，,AB是抛物线上的两动点，且AFFBuuuruuur0),AB两点分别作抛物线的切线，并设其交点P.证明FPABuuuruuur为定值； A BO x y8 F B Q x y O P A . 图6 R Q x y O P . 图7设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，S的最小值.(1)显然，点P的极线为AB，故可设点(,1)Px，再设1122(,),(,)AxyBxy，,,FAB三点对应的极线方程分别为1y，112()xxyy，22()xxyy，由于,,ABF三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)Px，将1y代入后面两个极线方程101022(1)2(1)xxyxxy，两式相减得12012()2()xxxyy.2121(,2),(,)FPxABxxyyuuuruuur，故02121()2()0FPABxxxyyuuuruuur.设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程02()xxyy对比可知直线AB对应的极点为,1)Pk把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以21)4(1)ABPSABFPkk.0k时，S取最小值4.5】(2005江西卷理22)设抛物线2:CyxF，动点P在直线:20lxy上运动，P作抛物线的两条切线,PAPB，且与抛物线分别,AB两点.求APB的重心G的轨迹方程；证明PFAPFB.(1)设点01122(,),(,),(,)PxyAxyBxy，yyxx对比可知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB1(,2).1:2()ABykx，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)22kkP，将直线AB的220kxkx，由此得2121212,(1)44xxkyykxxkk，APBG的轨迹方程为2222233224222233kkxxkkxkkkyykkky，消去k即得12)yxx.设22122(,),(,)AxxBxx，由(1)知1212,2kxxkxx，又1(0,)4F，由(1)知(,2)22kkP，即22(,)xxPxx，所以2111(,)4FAxxuuur，12121(,)24xxFPxxuuur，2221(,)4FBxxuuur.221211211222111111()()()()244444cos11()()4xxxxxxxxxxxFPFAPFAFPFAFPFPxFPxxuuuruuuruuuruuuruuuru uuruuur.同理A B P O x y 图9 F l21xxFPFBPFBFBFPuuuruuuruuuruuuruuur.PFAPFB.1】周兴和.高等几何.科学出版社，2003.92】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月。
高考数学总复习考点知识专题讲解18 极点与极线探秘
高考数学总复习考点知识专题讲解专题18极点与极线探秘极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景．由于极点极线内容较多，本文也难以全部介绍，故根据近年高考和一些常见模考题作为背景来阐述重点，更多的极点极线内容，欢迎大家去参考本人编写的2024版《高中数学新思路——圆锥曲线高考数学总复习考点知识专题讲解 专题》书.知识点一极点和极线的定义和性质 在圆锥曲线方程中，以x x 0替换2x ，以20xx +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y +替换y ，即可得到点),(00y x P 的极线方程．已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线．从定义我们共同思考和讨论几个问题:1．若点),(00y x P 在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（1）对于椭圆()b a b y a x ≠=+12222，与点),(00y x P 对应的极线方程为12020=+byy a x x ；当),(00y x P 为其焦点)0,(c F 时，极线12020=+b y y ax x 变成ca x 2=，恰是椭圆的右准线． （2）对于双曲线12222=-b y a x ，与点),(00y x P 对应的极线方程为12020=-byy a x x ；当),(00y x P 为其焦点)0,(c F 时，极线12020=-b y y ax x 变成ca x 2=，恰是双曲线的右准线． （3）对于抛物线22px y =，与点),(00y x P 对应的极线方程为)(00x x p y y +=．当),(00y x P 为其焦点)0,2(p F 时，极线)(00x x p y y +=变为2px -=，恰为抛物线的准线． 2．过椭圆上（外、内）任意一点),(00y x P ，如何作出相应的极线？ （1）当点P 在圆锥曲线Γ上时，其极线是曲线Γ在点P 点处的切线；（2）当点P 在Γ外时，其极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；（3）当点P 在Γ内时，其极线l 是曲线Γ过点P 的任一割线两端点处的切线交点的轨迹． 为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．注意：证明书写过程请参考上一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、同、差、代”即可，这里不作详述．知识点二极点与极线的作图（几何意义）如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线．若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线．由图1同理可知，PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线．因而将MNP 称为自极三角形．设直线MN 交圆锥曲线于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线．图1 图2如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于,A B，交l于Q，则PA PB=①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于ΓAQ BQ调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P)．点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线．注意：关于分割和调和分割问题，在《秒1》的定比点差法破解极点与极线中有阐述，可以参考．图3配极原则：点P关于圆锥曲线Γ的极线p过点⇔Q点Q关于Γ的极线q经过点P；直线p 关于Γ的极点P在直线q上⇔直线q关于Γ的极点Q在直线p．由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线．极点极线垂直定理:如图3，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l．（1）若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于NM,两点处的切线的M,两点，则Γ在N交点Q在准线l上，且MNFQ⊥；（2）若过准线l 上一点Q 作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为N M ,，则直线MN 过焦点F ，且MN FQ ⊥；（3）若过焦点F 的直线与圆锥曲线Γ相交于N M ,两点，过F 作MN FQ ⊥交准线l 于Q ，则连线QN QM ,是圆锥曲线Γ的两条切线．知识点三切线方程和切点弦方程求法的书写过程我们尝试来求椭圆12222=+by a x 上一点)(00y x P ，处的切线方程，法一(参数换元+判别式)：令⎩⎨⎧==θθsin cos 00b y a x ，过点)(00y x P ，的切线方程为)cos (sin θθa x k b y -=-，代入椭圆方程联立得：-+-++θθθsin [()cos sin (2)(222222b a x ak b k a x b a k 0])cos 22=-b ak θ0])cos sin ([4222222=--+=∆θθak b b a k b a ，所以0)cos sin (2=+θθb ka ，所以θθsin cos a b k -=， 所以)cos (sin cos sin θθθθa x a b b y --=-，所以ab b x a y =⋅+⋅θθcos sin ，即12020=+byya xx ． 注意：如果是证明切线方程为12020=+b yy a xx ，那么可以将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1120202222b yy a xx b y a x ，联立方程消除y ，计算判别式为0．法二（分类求导）当点)(00y x P ，位于第一或第二象限时，221ax b y -=，求导得22222211122ax a bx a x a xb y k -⋅-=--⋅='=，当0x x =时，b y a x 02201=-，故0202y a x b k -=，代入切线方程)(00x x k y y -=-得：12020=+b yy a xx ；当点),(00y x P 位于第三或第四象限时，221a x b y --=，求导得=--⋅-='=222122a x a x b y k22211a x a bx-⋅，当0x x =时，b y a x 0221-=-，故0202y a x b k -=，代入切线方程)(00x x k y y -=-得：12020=+b yy a xx ．注意：如果按照隐函数求导，那么可以一次性解决切线方程问题，但是现行高考政策下，以上两种方法最为保险．我们再来看看切点弦方程，过点)(00y x P ，作椭圆的两条切线PA 和PB ，则切点弦AB 的方程为：12020=+b yy a xx ．【证明】法一（点差法）令),(11y x A ，),(22y x B ，根据其切线方程可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1:1:22222121b yy a xx l byy a xx l PB PA 由于点)(00y x P ，均在两直线上，故满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②①11220220210210b y y a x x by y a x x ，①－②得：0)()(22102210=-+-b y y y a x x x ，即0202y a x b k AB -=，再代入AB 的方程)(11x x k y y AB -=-得：0120120202x x b y y a xx b yy a +=+，同除以22b a 得：12012012020=+=+by y ax x byy axx ，故切点弦AB 的方程为：12020=+b yy a xx ．法二（同构方程）点)(11y x A ，满足方程1210210=+by y ax x ，点)(22y x B ，也满足方程1220220=+b y y a x x ，故A 、B 均在同构方程12020=+b y y a x x 上，根据两点确定一直线方程原理，则AB 方程为：12020=+b yy a xx ．显然，选择同构方程的证法更能体现圆锥曲线的本质，两点确定一直线，两根确定一二次方程，就是二次方程的核心思想。
高中数学中的极点极线
高中数学中的极点极线高中数学是我国义务教育中一个重要的学科，它所涉及的数学知识内容十分繁杂，其中的一些曲线概念常常让许多人头痛。
极点和极线，便是其中的两个难点之一。
今天，我们来一探究竟。
一、什么是极点和极线在高中数学中，对于平面直角坐标系内的一条曲线，其上的每一个点都具有一个与之对应的坐标，这种坐标被称为该点的极坐标。
而该曲线的极坐标系中，原点则被称作该曲线的极点。
相应的，过极点的直线，被称作该曲线的极线。
在具体操作时，我们通常会以某个定点为旋转中心，将该曲线旋转一定角度，得到一条新的曲线，该曲线与原来的曲线关于极线对称，且两者之间是呈现着一种对称性的。
二、极点和极线的应用极点和极线在实际中有着广泛的应用。
比如，在导航中，我们需要确定几个参考点，才能确定自身所在的位置。
同样，在制图中，为便于记忆，我们也采用坐标系中的极点和极线来方便待绘制的图形，在绘图中有着非常重要的地位。
而在物理上，极点和极线也被广泛应用，比如在机械设计中，它们可以帮助我们确定物体的重心以及物理运动轨迹。
除此之外，极点和极线还被应用在信号处理以及图像处理中。
我们可以将图片中特定的点作为极点，然后让整个图片围绕该点旋转，就可以得到一张完全不同的图片。
这也就是著名的极坐标转换。
三、学习极点和极线的技巧对于初学者来说，学习极点和极线，最重要的是积累经验，了解各种各样的极点和极线的应用。
同时，在具体操作时，我们还需要掌握一些技巧，才能更好地应用这些概念。
首先，我们需要根据题目要求，确定合适的极点和极线，常常情况下，极点和极线与题目中所给的条件息息相关。
然后，我们需要转换成极坐标，便于后续的计算。
接着，我们可以通过极坐标的对称性，发现一些与对称点相关的规律。
需要注意的是，在具体操作时，我们最好先画一张图形，方便我们形象思考。
四、总结综上所述，极点和极线是高中数学中的重要概念之一，是对曲线性质的研究。
在实际中有着广泛的应用，同时，我们需要掌握一些技巧，才能更加高效地应用这些概念。