平方差公式的三个衍生公式及其应用
新北师大版平方差公式从基础到升华8种应用和培优习题精讲
新北师大版平方差公式从基础到升华八种应用和习题精编+答案解析在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。
抓住公式的几个变形形式利于理解公式。
但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有“相同项”，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)图形表示：做题步骤：1）先判断能否使用平方差公式。
判断依据：一对相等项，一对相反项。
2）如果可以使用，则一般情况下我们可以将相等的一项放在多项式的第一位进行计算（第一个数的平方减去第二个数的平方）；3）不管能否使用平方差公式，多项式乘以多项式是基本方法。
表达式:(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式注意事项：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；平方差公式1.平方差公式：22))((b a b a b a -=-+（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2（5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)23.填空：(1)、(2x-1)( )=4x 2-1 (2)、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2公式应用第一种情况：直接运用公式（1）（3a+2b ）（3a －2b ）－b （a －b ） （2）（a －1）（a －2）（a+1）（a+2）【答案】：（1）9a 2－ab －3b 2 （2）a 4－5a 2+4 第二种情况：运用公式使计算简便（1）102×98 （2）234×314 （3）－2.7×3.3（4）1007×993 （5）1213×1123 （6）－1945×2015【答案】：（1）9996 （2）81516（3）－8.91 （4）999 951 （5）14389（6）－399.96 第三种情况：两次或者两次以上运用平方差公式1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项或者三个以上1. （a+2b+c ）(a+2b-c)2. (a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4. (m-n+p)(m-n-p)第六种情况：变化指数幂后进行应用1248-能被60和70之间的两个数整除，这两个数各是多少？解析：因为48=2×24，所以22424248)2()2(2==，6365)12)(12(79)12)(12)(12()12)(12)(12)(12)(12()12)(12)(12)(12()12)(12)(12(]1)2)[(12()12)(12()12)(12(1)2(121224612243361224661224121224212242424242422448⨯⨯++=⨯⨯+++=-++++=+-++=-++=-+=-+=-+=-=-由60<65,63<70,所以这两个是63,65，第七种情况，在排列组合中的应用已知)10,...,1(9==+i y x i i ，求值∑∑===10110122i i i i y x解析：由9,...9,9x 10102211=+=+=+y x y x y ，得10211021......x y y y x x +++=+++，()0)]...()...[(9)...(9))((...))(())((...)()()...()...x 102110211010221110101010222211112102102222212121022212102221=+++++++=-++-+-=-+++-++-+=-++-+-=+++-+++y y y x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x （故原命题成立第八种情况，在根式中的应用平方差公式练习题精选培优篇一、基础训练1．下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x）B．（12a+b）（b-12a）C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2）3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．94．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）A．5 B．-5 C．10 D．-105．9.8×10.2=________;6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．9．（12x+3）2-（12x-3）2=________．10．化简（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2；（4）（-2x-12y）2．（7）（3a+2b）（3a－2b）－b（a－b）（8）（a－1）（a－2）（a+1）（a+2）（9）（a+b）（a－b）+（a+2b）（a－2b）（10）（x+2y）（x－2y）－（2x+5y）（2x－5y）（11）（2m－5）（5+2m）+（－4m－3）（4m－3）（12）（a+b）（a－b）－（a－3b）（a+3b）+（－2a+3b）（－2a－3b）11．化简（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．12．运用平方差公式计算:220051200520042006-⨯（）（2）99×101×10 001．13．解方程:（1）2（x+3）（x－3）=x2+（x－1）（x+1）+2x（2）（2x－1）（2x+1）+3（x+2）（x－2）=（7x－1）（x+1）（3）计算：（4x－3y－2a+b）2－（4x+3y+2a－b）214．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，•小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，•验证了什么公式？二、能力训练15．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（）A．4 B．2 C．-2 D．±216．已知a+1a=3，则a2+21a，则a+的值是（）A．1 B．7 C．9 D．1117．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．118．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（）A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2C．25x2+20xy+4y2D．-25x2+20xy-4y2 19．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．三、综合训练20．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？（3）先化简，再求值:（3a+1）（3a－1）－（2a－3）（3a+2），其中a=－13．21．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．22．观察下列各式的规律．12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．参考答案1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，•而应是多项式乘多项式．2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除．4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．6．（-2ab）；2ab7．x2+z2-y2+2xz点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，•然后运用完全平方公式．8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点拨：把三项中的某两项看做一个整体，•运用完全平方公式展开．9．6x 点拨：把（12x+3）和（12x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（12x+3）2-（12x-3）2=（12x+3+12x-3）[12x+3-（12x-3）]=x·6=6x．10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．（3）x4-4xy+4y2；（4）解法一：（-2x-12y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-12y）+（-12y）2=4x2+2xy+14y2．解法二：（-2x-12y）2=（2x+12y）2=4x2+2xy+14y2．点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．（5）9a2－ab－3b2（6）a4－5a2+4（7）2a2－5b2（8）21y2－3x2(9）－12m2－16(10) 4a2－b212．（1）利用平方差公式把2004×2006=（2005-1）（2005+1）=2005²-1，化简即可得到2005（2）利用99×101=99×（100+1）=9999，代入得到99 999 99913．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，•先进行恰当的组合．（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y·2z=4yz．点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．（3）．先化简3a2+5a+5，代入得到结论11 314．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2．解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n）2．∴（m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式．点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形．解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n）•的正方形面积．做此类题要注意数形结合．15．D 点拨：x 2+4x+k 2=（x+2）2=x 2+4x+4，所以k 2=4，k 取±2．16．B 点拨：a 2+21a =（a+1a）2-2=32-2=7． 17．A 点拨：（2a-b-c ）2+（c-a ）2=（a+a-b-c ）2+（c -a ）2=[（a-b ）+（a-c ）] 2+（c-a ）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．18．B 点拨：（5x-2y ）与（2y-5x ）互为相反数；│5x-2y │·│2y-5x │=（5x-•2y ）2•=25x 2-20xy+4y 2．19．2 点拨：（a+1）2=a 2+2a+1，然后把a 2+2a=1整体代入上式．20（1）a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ．∵a+b=3，ab=2，∴a 2+b 2=32-2×2=5．（2）∵a+b=10，∴（a+b ）2=102，a 2+2ab+b 2=100，∴2ab=100-（a 2+b 2）．又∵a 2+b 2=4，∴2ab=100-4，ab=48．点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2中（a+）、ab 、（a 2+b 2）•三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．21．（3x -4）2>（-4+3x ）（3x+4），（3x ）2+2×3x ·（-4）+（-4）2>（3x ）2-42，9x 2-24x+16>9x 2-16，-24x>-32．x<43． 点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．22．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2（2）n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1] 2．证明：∵n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=n 2+n 2（n+1）2+n 2+2n+1=n 2+n 2（n 2+2n+1）+n 2+2n+1=n 2+n 4+2n 3+n 2+n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1．而[n （n+1）+1] 2=[n （n+1）] 2+2n （n+1）+1=n 2（n 2+2n+1）+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+n 2+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1，所以n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1]²。
中考数学知识点平方差与完全平方公式解析
中考数学知识点平方差与完全平方公式解析中考数学知识点平方差与完全平方公式解析掌握平方差公式和完全平方公式,并能熟练会运用公式进行计算可以达到事半功倍的效果。
下面是店铺精心整理的中考数学知识点平方差与完全平方公式解析，希望对你有帮助！一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b21、两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a-b)或（a+b）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b）(a-b)或（a+b）(b-a)③有两数的平方差即：a2-b2 或-b2+a2注意事项1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的'平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
二、完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或–a2+2ab-b2注意事项1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
8.最重要的是做题小心谨慎。
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
平方差公式的灵活应用
平方差公式的灵活应用$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$它对于数学的多个领域有着广泛的应用，包括代数、几何、三角学等。
在代数中，平方差公式经常用于分解因式。
我们可以通过平方差公式，将一个二次式分解为两个一次式的乘积。
例如，考虑一个二次方程$x^2-9$。
我们可以将这个二次方程分解为$(x+3)(x-3)$，即利用平方差公式将$x^2-9$分解为$(x+3)(x-3)$。
在几何中，平方差公式经常用于计算长方形的对角线长度。
考虑一个长方形，边长分别为$a$和$b$。
根据平方差公式，两个对角线之间的差的平方可以表示为$a^2-b^2$。
因此，我们可以通过计算$a^2-b^2$的平方根来得到长方形的对角线长度。
在三角学中，平方差公式经常用于计算三角函数的值。
我们知道，三角函数的平方差公式是指：$\sin^2(x) - \cos^2(x) = 1$通过这个公式，我们可以计算各种三角函数的值，包括正弦、余弦、正切等。
除了代数、几何和三角学之外，平方差公式在计算机科学和物理学中也有广泛的应用。
在计算机科学中，平方差公式经常用于优化算法。
通过利用平方差公式，我们可以将复杂的问题转化为更简单的形式，从而提高计算效率。
在物理学中，平方差公式经常用于描述物体的运动。
例如，在牛顿第二定律中，我们可以通过平方差公式将物体的动能和势能之差表示为物体的总能量。
总的来说，平方差公式的灵活应用使得它成为数学的一项重要工具。
无论是在代数、几何、三角学还是其他学科中，平方差公式都发挥着关键作用。
通过充分理解和应用平方差公式，我们可以解决各种数学问题，并推动学科的发展。
平方差公式变式
平方差公式变式平方差公式是数学中一个非常重要的公式，它在代数运算中有着广泛的应用。
而平方差公式的变式更是让这个公式的应用变得更加灵活多样。
咱们先来说说平方差公式本身，那就是：(a + b)(a - b) = a² - b²。
这看起来简单，可作用大着呢！比如说，在计算 102×98 时，咱们就可以把 102 看成 100 + 2，98 看成 100 - 2，这样一来，102×98 就可以写成 (100 + 2)(100 - 2)，然后套用平方差公式，就得到 100² - 2² = 10000 - 4 = 9996。
你瞧，是不是一下子就简单多了？接下来咱们聊聊平方差公式的一些常见变式。
有一种变式是位置变化，比如 (b + a)(-b + a) = a² - b²。
这就好像是把原来公式里的 a 和 b 换了个位置，但本质还是一样的。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这换来换去有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，如果给你的式子是 (-3 + x)(3 + x) ，你要是不懂得这种位置变化的变式，是不是就觉得有点头疼啦？但要是你知道可以变成 (x + 3)(x - 3) ，然后用平方差公式，是不是一下子就清晰明了啦？”小家伙听了恍然大悟，那表情别提多可爱了。
还有系数变化的变式，像 (3a + 2b)(3a - 2b) = 9a² - 4b²。
这里面的系数不再是 1 了，但原理不变。
有一回在课堂上做练习，有一道题是 (5x + 3y)(5x - 3y) ，不少同学一开始没反应过来，还是按照原来的思路硬算，结果越算越复杂。
我就提醒他们看看系数，想想平方差公式的系数变化的变式，很快就有同学反应过来，算出了正确答案。
符号变化的变式，比如 (-a - b)(a - b) = b² - a²，这也是常考的点哦。
平方差公式的应用
)
2 4 4.(a+2)(a +4)(a +16)(a-2) 8 =a -256
.活动三对于任意的正整数n， 整式（3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n) 的值一定是10的倍数吗？试说明理由
原式=(9n2-1)-(9-n2) =9n2-1-9+n2
=10n2-10 =10(n2-1)
三课标新型题
规律探索研究：(1-x)(1+x)=1-x2 (1-x)(1+x+x2)=1-x3 (1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4 (1)观察以上各式并猜想 n+1 2 3 4 n 1-x (1-x)(1+x+x +x +x +……+x )=____ (2)根据你的猜想计算 6 1-2 2 3 4 5 1、(1-2)(1+2+2 +2 +2 +2 )=______ n+1 2 3 4 5 n 2 -2 2、2+2 +2 +2 +2 +…+2 =______ 100-1 99 98 97 2 X 3、(x-1)(x +x +x +…+x +x+1)=____
=x4-y4
平方差公式
⑧逆用公式变化
a b (a b)(a b)
2 2
1运用平方差公式时，要紧扣公 式的特征，找出相等的“项”和 符号相反的“项”，然后应用公 式 2对于不符合平方差公式标准形 式者，要利用加法交换律，或提 取两“−”号中的“−”号，变成 公式标准形式后，再用公式。
4
平方差公式所有公式(一)
平方差公式所有公式(一)平方差公式所有公式在数学中，平方差公式是指计算两个平方数的差的公式。
它在代数中有广泛应用，特别在因式分解和多项式展开中起着重要作用。
本文将列举一些相关的公式，并通过例子进行解释说明。
平方差公式公式：a2−b2=(a+b)(a−b)这是平方差公式的基本形式。
根据此公式，我们可以通过将两个平方数相加乘以它们的差来计算两个平方数的差。
例子：假设我们要计算25−9。
根据平方差公式，我们可以将25和9分别视为a2和b2。
然后，我们可以使用公式(a+b)(a−b)来计算它们的差：25−9=(25+=34×16=544所以25−9=544。
差平方公式公式：a2−b2=(a+b)(a−b)差平方公式是平方差公式的逆运算。
它可以用来分解差的平方数为两个因数的乘积。
例子：假设我们要因式分解16−9。
根据差平方公式，我们可以将16和9视为a2和b2。
然后，我们可以使用公式(a+b)(a−b)来分解它们的差：16−9=(4+=7×1=7所以16−9可以被分解为7的乘积。
完全平方差公式公式：(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差公式是平方差公式的推广形式。
它可以用来计算平方差的平方。
例子：假设我们要计算(5+3)2。
根据完全平方差公式，我们可以将(5+3)2展开为52+2×5×3+32：(5+3)2=52+2×5×3+32=25+30+9=64所以(5+3)2=64。
常见应用平方差公式在代数中有着广泛的应用，特别是在因式分解和多项式展开中常常被用到。
它可以帮助我们简化计算和分解复杂的代数表达式，从而使问题更易于解决。
希望通过本文对平方差公式的相关公式以及例子的解释说明能够帮助读者更好地理解和应用平方差公式。
平方差公式的运用
平方差公式的运用平方差公式（Difference of Squares Formula）是一种用于将一个算式的平方差表示为两个因数乘积的公式。
它可以用于解决多种数学问题，包括因式分解、求解方程等。
以下是关于平方差公式的运用的一些例子。
例1：因式分解考虑如下的多项式：x^2-9、我们可以使用平方差公式将其因式分解为两个乘积的形式：(x-3)(x+3)。
这里，平方差公式的形式是a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
通过使用平方差公式，我们可以将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例2：求解方程假设我们要求解方程x^2-4=0。
我们可以使用平方差公式将其转化为两个一次方程的乘积：(x-2)(x+2)=0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的一次方程，并求解得到x=2或x=-2例3：求解三角方程平方差公式也可以在解决三角方程时派上用场。
考虑如下的三角方程：sin^2(x) - cos^2(x) = 0。
我们可以使用平方差公式将其转化为(sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的三角方程，并求解得到多个解。
例4：求解二次方程通过使用平方差公式，我们可以求解二次方程。
考虑如下的二次方程：x^2-6x+5=0。
我们可以将其转化为平方差的形式：(x-1)(x-5)=0。
这样，我们可以使用平方差公式将二次方程转化为两个一次方程，并求解得到x=1或x=5例5：证明恒等式综上所述，平方差公式在数学中有多种用途，包括因式分解、求解方程、求解三角方程、求解二次方程等。
它是我们解决各种数学问题的重要工具之一。
平方差公式的推导与应用(1)
解答技巧
同样识别出这是一个平方 差的形式，其中$a = 4y$ ，$b = z$。然后应用平 方差公式进行因式分解， 得到$(4y + z)(4y - z)$。
注意事项及易错点提示
注意观察多项式的形式
在应用平方差公式之前，需要仔细观察多项式的形式，确保它符合平 方差的形式。
注意因式分解的彻底性
在得到因式分解结果后，需要检查是否分解彻底，即是否还可以进一 步分解。
平方差公式的推导与应用
汇报人：XX 20XX-01-31
目 录
• 平方差公式基本概念 • 平方差公式推导过程 • 平方差公式在因式分解中应用 • 平方差公式在二次根式化简中应用 • 平方差公式在解一元二次方程中应用 • 平方差公式在数列求和等数学问题中应用
01
平方差公式基本概念
平方差公式定义及表示方法
平方差公式与完全平方公式的区别
平方差公式表示两个数的平方差，可以拆分为两个因式；而完全平方公式是一个二项式的平方，表示为一个三项 式。
平方差公式重要性及应用领域
平方差公式的重要性
平方差公式是数学中的基础公式之一，对于简化计算、因式分解、解方程等方 面都有重要作用。
平方差公式的应用领域
平方差公式在代数、几何、三角等领域都有广泛应用，如计算面积、体积、求 解一元二次方程等。同时，在物理、化学、工程等学科中也会涉及到平方差公 式的应用。
两种方法比较与联系
代数法与几何法的比较
代数法注重公式的推导和计算，几何法注重图形的变换和理解。两种方法各有优劣，互 为补充。
代数法与几何法的联系
代数法和几何法都是数学中常用的方法，它们在某些情况下可以相互转化。例如，在平 方差公式的推导中，代数法和几何法都得到了相同的结果，体现了数学的内在联系和一
高考必考知识点总结：数学平方差公式大盘点
高考必考知识点总结：数学平方差公式大盘点本文为高三同学总结归纳了数学平方差公式，期望对2021届高三考生在备考中有所关心，欢迎大伙儿阅读作为参考。
表达式：（a+b）（a-b）=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，那个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2）^2；=（3+4倍根号2）/（9-32）=（3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991（x+y）（x-y）=1991因为1991能够分成1×1991，11×181因此假如x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”因此不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
假如x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也能够是负数一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
平方差公式的运用
平方差公式的运用第一篇：平方差公式的运用浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。
关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。
一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。
可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。
有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。
（一）、整式乘法中的运用例1.(2x+3)(2x-3)分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。
(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9例2．(-3a-2b)(3a-2b)分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。
计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。
解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号(-3a-2b)(3a-2b)(-3a-2b)(3a-2b)=(-2b-3a)(-2b+3a)=-(3a+2b)(3a-2b)=-(9a2-4b2)22=(-2b)-(3a)例3、(2x+y+z)(2x+y-z)=4b2-9a=-9a+4b分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。
平方差公式完全平方公式讲义
平方差公式完全平方公式讲义
一、平方差公式：
a²-b²=(a+b)(a-b)
其中，a、b为任意实数。
这个公式的推导可以通过展开(a+b)(a-b)
来证明。
例如，假设我们要计算(5+3)(5-3)，可以使用平方差公式：
(5+3)(5-3)=5²-3²=25-9=16
这个公式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数、三角函数等领域。
它可以用来简化计算，求解方程等。
二、完全平方公式：
完全平方公式可以表示为：
a² + 2ab + b² = (a + b)²
其中，a、b为任意实数。
这个公式的推导可以通过展开(a+b)²来证明。
例如，假设我们要计算(2x+3)²，可以使用完全平方公式：
(2x+3)²=(2x)²+2(2x)(3)+3²=4x²+12x+9
完全平方公式也被广泛应用于代数、三角函数等领域。
它可以用来简
化计算、求解方程、展开二次多项式等。
在解决实际问题时，平方差公式和完全平方公式可以相互结合使用。
例如，当我们需要求解方程x²-9=0时，可以使用平方差公式将其转化为(x+3)(x-3)=0，从而得到x=±3
综上所述，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的公式。
它们可以帮助我们简化计算、求解方程等。
通过理解和掌握这两个公式，我们可以更高效地解决各种数学问题。
平方差公式的运用技巧与窍门
平方差公式的运用技巧与窍门平方差公式是数学中常用的一个公式，用于求解两个数的平方差。
在数学计算中，经常会遇到需要使用平方差公式的情况，因此掌握平方差公式的运用技巧和窍门是非常重要的。
一、平方差公式的表达形式平方差公式可以表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，$a$和$b$为任意的实数。
通过这个公式，我们可以得到两个数的平方差，进而简化数学计算过程。
二、平方差公式的运用技巧1. 利用平方差公式进行算式的简化在进行数学运算时，我们经常会遇到需要计算两个数的平方差的情况。
这时可以利用平方差公式，将$(a+b)(a-b)$化简为$a^2-b^2$，从而简化计算过程，提高效率。
例如，计算$(7+3)(7-3)$，可以直接利用平方差公式化简为$7^2-3^2=49-9=40$，省去了逐项相乘的步骤。
2. 解决代数式中的平方差在代数式中，经常会涉及到平方差的运算。
利用平方差公式，可以简化代数式的计算，快速得出结果。
例如，对于代数式$x^2-4$，我们可以将其看作是$(x+2)(x-2)$，然后利用平方差公式化简为$x^2-2^2=x^2-4$，从而得出简化后的代数式。
三、平方差公式的运用窍门1. 异差平方公式的应用异差平方公式是平方差公式的一个变形，用于求解两个数的平方和。
通过将平方差公式和异差平方公式结合运用，可以更灵活地解决数学问题。
2. 注意因子的选取在运用平方差公式时，需要注意选取合适的因子，使得公式的运用更加方便和高效。
合理选择因子可以简化计算过程，减少出错的可能性。
3. 练习多种类型的题目为了熟练掌握平方差公式的运用技巧，需要多做练习。
通过练习不同类型的题目，可以提高解题的速度和准确性，增强对平方差公式的理解和掌握。
四、总结平方差公式是数学中常用的一个公式，掌握其运用技巧和窍门可以帮助我们更快地解决数学问题。
通过合理运用平方差公式，简化计算过程，提高效率，是数学学习中的重要一环。
平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧1.化简平方差公式：有时候，平方差公式可能需要经过化简才能更好地运用。
例如，当平方差公式中的a或b出现较为复杂的形式时，我们可以通过部分提取根号或者分解因式将其化简，以便更好地应用平方差公式。
2. 解二次方程：平方差公式的一个常见应用是解二次方程。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，我们可以通过平方差公式将它变形为(a-b)(a+b) = 0的形式。
从而得到两个方程a-b=0和a+b=0。
进而求解得到x的值。
3.求解多项式的因式：平方差公式也可以用于求解多项式的因式。
当我们需要将一个多项式进行因式分解时，如果该多项式中存在平方项，我们可以考虑是否可以应用平方差公式。
通过将多项式中的平方项按照平方差公式展开，我们可以得到一些常见的因式组合。
4. 解三角方程：平方差公式也可以应用于解三角方程。
例如，当我们需要解sin^2(x) - cos^2(x) = 0这样的三角方程时，我们可以应用平方差公式，将其变形为(sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0的形式。
进而求解得到x的值。
5.求证等式：平方差公式也常用于数学证明中。
当我们需要证明一个等式时，如果该等式中存在平方项，我们可以尝试应用平方差公式，通过将等式两侧进行分解然后化简，最终得到等式成立的证明过程。
6.运用平方差公式简化表达式：平方差公式还可以用于简化复杂的代数表达式。
例如，当我们需要对一个较为复杂的代数表达式进行化简时，平方差公式可以帮助我们将表达式中的平方项分解再合并，从而得到简化后的表达式。
总而言之，平方差公式是数学中一种常见且有效的运用技巧，它可以用于解二次方程、求解多项式的因式、解三角方程、求证等式等多个方面。
熟练掌握平方差公式的运用技巧，对于解决数学问题和提高数学思维能力都具有很大的帮助。
运用平方差公式计算的五种方法(1)
2
从右向左运用，即运用公式
a b ( a b )( a b ) 来解题．目的是让学生知道，公式既可以顺向运用也可以逆向运用，而且有些问题只有
逆向思考才能解决或者更容易解决． 在整式乘法中进行这样的练习不仅可以培养学生逆向思考问题的能力， 而且 也为后面的因式分解作了一定的铺垫．
例 2 计算： ( x y m n )( x y m n ) ． 分析：因为第一个因式和第二个因式的前两项相同都是 x y ，第一个因式的后两项是 m n ，第二个因式 的后两项是 m n ，它可化为 ( m n ) ，即两个因式的后两项互为相反数，所以把每个因式的前后两项分别 看成一个整体就能运用平方差公式了． 解： ( x y m n )( x y m n ) = [( x y ) ( m n )][( x y ) ( m n )] = ( x y ) ( m n )
平方差公式 ( a b )( a b ) a b 是整式乘法中的一个重要公式。因为它形式简洁，所以能直接运用平方
2 2
差公式计算的题目学生觉得非常容易， 但是对于不能直接运用这个公式计算的变式题目学生感到十分困惑， 有时 出现错误，有时无从下手。下面举例介绍运用平方差公式进行计算的五种方法：
2
= [(1
1 2 4
11 12 2 3 11 12 3 12 13 1 2 10 11 13 1 13 )( )= =( = ． 2 3 11 12 2 3 11 12 2 12 24
)(1
1 3
) (1
1
)(1
1
)][( 1
1
)(1
平方差公式的推导过程
平方差公式的推导过程
假设有两个数a和b，我们需要求解的是它们的差的平方。
首先，我们可以将两数的差展开为(a-b)^2，即(a-b)(a-b)。
然后，我们将展开式进行分配，并应用乘法公式：(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)。
继续展开分配式，得到：a(a-b) - b(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2简化上式，a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2
得到了平方差公式的最终表达形式：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
因此，平方差公式的推导过程如上所示。
接下来，我们可以通过一个例子来说明平方差公式的应用。
假设我们要计算25的平方与6的平方的差。
根据平方差公式，我们将a设置为25，b设置为6，代入公式(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
计算过程如下：
a^2=25^2=625
b^2=6^2=36
2ab = 2 * 25 * 6 = 300
代入平方差公式，得到(25-6)^2=625-300+36=361
因此，25的平方与6的平方的差为361
此外，平方差公式还常用于数学证明和推导中，以简化计算过程。
数学公式初一下册平方差公式变形
数学公式初一下册平方差公式变形摘要：数学是一门基础学科，其中有许多重要的公式被广泛应用于各种数学问题的解答中。
平方差公式是其中之一，它在初一下册的数学学习中被介绍和应用。
本文将介绍平方差公式的基本概念，并结合例子演示平方差公式的变形。
通过学习和理解这些变形，我们将能够更灵活地运用平方差公式解决更多的数学问题。
1. 平方差公式的基本概念平方差公式是指将两个数的平方相减，可以通过一个等式来表示，即(a + b) × (a - b) = a² - b²其中a和b可以是实数。
这个公式可以帮助我们在不进行实际计算的情况下，直接得到两数平方差的值。
2. 平方差公式的变形在初一下册学习中，我们通常会接触到平方差公式的一些变形形式。
下面将介绍其中两个常见的变形。
2.1 形式一：差的平方平方差公式的第一个变形形式是将两个数的差的平方进行展开。
具体表示为：(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式可以帮助我们在解决一些求差的平方问题时，进行更方便的计算。
例子：求 (7 - 3)²的值。
解：根据平方差公式的变形，我们可以将 (7 - 3)²展开为 7² - 2×7×3 + 3²。
计算得：(7 - 3)² = 49 - 42 + 9 = 16。
2.2 形式二：和的平方平方差公式的第二个常见变形形式是将两个数的和的平方进行展开。
具体表示为：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式在解决一些求和的平方问题时，非常有用。
例子：求 (2 + 5)²的值。
解：根据平方差公式的变形，我们可以将 (2 + 5)²展开为 2² + 2×2×5 + 5²。
计算得：(2 + 5)² = 4 + 20 + 25 = 49。
平方差公式在因式分解中的五种表现
平方差公式在因式分解中的五种表现应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。
公式表述为：a -b =（a+b ）（a-b ）。
应用平方差公式满足的条件：等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算； 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方 幂的底数的差。
1 直接应用例 1、分解因式： x 24．（2008 年贵阳市）分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字 4 写成 2 ，这样，左边就变形为 x - 2 ，这 样，就和公式一致了。
解:：x -4=x - 2 =（x+2）（x-2）。
2、提后用公式例 2、分解因式：3x2-27=．（08 茂名）分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。
解：3x2 -27=3（x -9）=3（x - 3 ）=3（ x +3）（x -3）。
3、变化指数后用公式例 3、2 -1 能被 60 和 70 之间的两个数整除。
这两个数各是多少？ 分析因为，48=2×24，所以，2 =（2 ） =（2 ） ，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：因为，48=2×24，所以，2 =（2 ） =（2 ） ，所以，2 -1=（2 ） -（1） =（2 +1）（2 -1）=（2 +1）（2 -1）=（2 +1）【（2 ） -（1） 】12 22222 2 222 248482 2424 2482 24 24 2 4824 2 224 2424242412 22=（2 +1）【（2 +1）（2 -1）】=（2 +1）（2 +1）【（2） -（1） 】=（2 +1）（2 +1）【（2+1）（2 -1）】=（2 +1）（2 +1）（2 +1）【（2） -（1） 】=（2 +1）（2 +1）（2 +1）【（2+1）（2 -1）】=（2 +1）（2 +1）（2 +1）×9×7=（2 +1）（2 +1）（2 +1）×65×63因为，整除的两个数在 60 和 70 之间， 且 60＜63＜70，60＜65＜70， 所以，这两个数分别是 63、65。
平方差公式的三个衍生公式及其应用
平方差公式的三个衍生公式及其应用
岳开祖;陈天雄
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2000(000)002
【总页数】2页(P12-13)
【作者】岳开祖;陈天雄
【作者单位】仙游书峰中学;蒲田第五中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.“运用平方差公式因式分解”三个片段的思考 [J], 申赛军
2.与学生的脉动共振——聚焦“乘法的平方差公式”教学的三个节点 [J], 舒荣芳;
3.基于“三个理解”下的“平方差公式”的教学设计 [J], 蔡建锋
4.利用习题教学培养数学思维——以《平方差公式和完全平方公式》习题教学为例[J], 王秋冬
5.谈数学公式教学的一般思路
——以"平方差公式"教学为例 [J], 金红江;蒋翀
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