6.1-线性空间及其同构

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1.基零本向量性是质唯一的的证. 明, 减法
证明:
2. 一个向量的负向量是唯一的. 证明:
减法定义为
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线性空间与欧几里得空间
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基本性质的证明(2)
证明:
证明:
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线性空间与欧几里得空间
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定理 1.1 的证明
证明：
定义映射:
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线性空间与欧几里得空间
1) 在V上定义了加法运算, 即
2) 在 K 与 V 之间定义了 数乘运算
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线性空间与欧几里得空间
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例子(1)
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线性空间与欧几里得空间
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例子(2)
验证V是线性空间. 验证: 1) 结合律:
2) 交换律: 3) 零向量: 5) 数乘结合律:
7) 分配律一:
定义加法和数乘如下:
4) 负向量: 8) 分配律二:
§1 线性空间及其同构
• 线性空间的概念(向量空间的推广) • 若干例子 • 一些基本性质 • 线性空间的同构
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线性空间与欧几里得空间
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设线V 性是一空个间非空的集概合念，K 是一个数域.
在集合 V 和 K 中定义了加法和数乘两种代数运算，如果它们 满足若干条件，就称 V 是数域 K 上的线性空间, V 中的元素 称为向量．具体如下：
proof
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线性空间与欧几里得空间
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同构的例子: 例1.6
证明：作线性映射
把基向量映到基向量
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线性空间与欧几里得空间
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同构的例子: 例 1.7
证明: 作线性映射
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线性空间与欧几里得空间
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同构的例子: 例 1.8
证明: 作线性映射
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由同构的传递性得到结论.
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线性空间与欧几里得空间
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线性空间与欧几里得空间
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基与维数
解:
使得
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线性空间与欧几里得空间
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基与维数: 例子
所以任何有限的向量组都不是C[a,b]的基. 无限维线性空间
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线性空间与欧几里得空间
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1.一零些向量基是本唯性一的质. ，2同. 一构个向量的负向量是唯一的.
proof
example
线性空间的同构是一种等价关系，即具有自反性、对称性 和传递性。
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