第 8 章 磁场的源

三、利用安培环路定理求磁场的分布
1. 利用安培环路定理求磁场的步骤
L
B
dr
0
I int
依据电流的对称性分析磁场分布的对称性；
依据磁场分布的对称性选取合适的闭合路径 （又称为安培环路），确保能使 B 以标量的形 式从积分号内提出来。
安培环路定理的应用举例
例：求载流无限长圆柱面内外的磁场。设
4πr 2
第二步：分析各量关系 明确 dB 的方向和大小
y
Idl rˆ
R I
o
Idl
r组成的平面
r
dB
x .P
x
z
IdIddlBl与在rr相Id互l垂 r直组所成以的平面内2
且垂直 r
由此可知
dB
0 Idl
4πr 2
第三步：根据坐标
y
Idlrˆ
R I
o
z
写分量式
Idl r组成的平面
r
dB
x
圆柱面半径为R，通有恒定电流I。
对称性分析
·将圆柱面分为无限 I 多窄条，每个窄
条可看作是载有
电流dI的无限长
直导线；
L
·任取一对相对于
图中r对称的窄
条 dI1 、dI2 ，它们
在图中P点产生的
磁场分别为
dI1
R
B
r·
P
R ·dI1
·
dI2
r
dB2 dB
· dB1
P
L 俯视图
dB1，dB2 其合磁场dB垂直于r方
dl
I
0 IR 2
2r 3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的
磁场垂直分量相互抵消 所以
y
Idl rˆ
R I
o
Idl
r组成的平面
r
dB
x
. dByz
dPBx
x
z
Byz dB cos 0 I
结论：在P点的磁感强度
B Bx
0 IR2
2r 3
2
0 IR2
x2 R2
3 2
方向：沿轴向 与电流成右手螺旋关系
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 IR 2
2(R2
x2
)3 2
0 2
(R2
IS
x2
)3 2
讨论：
（1）在圆心处 x 0
B 0I
2R
（2）在远离线圈处 x R, x r
载流线圈 的磁矩
引入
pm
ISen
B
0 2
IS x3
0 2
IS r3
B
0
2
pm r3
例3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有 线圈n匝。
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
二、安培环路定理
1. 定理表述
在恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任何闭 合路径一周的线积分（即环路积分），等于闭
合路径内所包围并穿过的电流的代数和的 0
倍，而与路径的形状大小无关。
r2
电流元的磁场 的磁感线是圆心 在电流元轴线上 的同心圆。
I
B
O
dB
P
Idl
dB
I
d
l
rP
电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内 是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆
磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系
叠加原理:
B
Bi
，B
d B
i
一、比奥-萨伐尔定律
2. 磁通连续定理
磁场的磁感线都是闭合的曲线。 任何磁场中通过任意 封闭曲面的磁通量总 等于零。
. dByz
dPBx
x
dB
0 Idl
4πr 2
dBx
dB sin
0 Idl
4πr 2
R r
dByz dB cos
第四步：考虑所有电流元在P点的贡献
y
Idl rˆ
R I
o
Idl
r组成的平面
r
dB
x
. dByz
dPBx
x
z
Bx
dB sin
I
I
0 Idl
4πr 2
R r
0IR
4πr 3
2
3/2
4
4
0 NI
2R
43 17 3 /
2
43 53
0.712
0 NI
R
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的 场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。 图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的 场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加 曲线。
L
B
dr
0
I int
二、安培环路定理
注意
L
B
dr
0
I int
B
空间所有恒定电流共同产生的
L 在磁场中任取的一闭合线，任意规定一个
绕行方向
dr L 上的任一线元
Iint 与 L 套 连 的 闭 合 恒 定
电流，与L绕行方向
成右螺时取正，反之 取负。
二、安培环路定理
2. 特例验证
如图，真空中有一载流
r2
Idl
l
r
P
·
oa
dB
1
B
=
dB
=
0
4
Idl sin
r2
·利用r=a/sin；l=-a cot；dl=a d/sin2，可得
B 2 0I sind
1 4a
2
B=
0I 4a
(cos1 - cos2)
·特例：（1）对无限长直电流，
1 = 0 ；2 = ，有
B
μ 0
I
2πa
Idl
l
r
P
·
o
2R 2 2
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
2
2
0 NIR2
R2
R
2
3/
2
80 NI
5 5R
1
1 2 2
2
0.716 0 NI
R
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度 都等于
BQ
0 NIR2
2 R 2
R
2
3/2
0 NIR2
2 R2
3R
O1
Q1
P
Q2
O2
例 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当 于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试 求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并计算氢 原子在基态时电子的轨道磁矩。
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆的 半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电流， 电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2，所以 相应的磁矩为
L
cos
90dr//
L
B
cos
dr
0
L
0 I 2r
r
d
0I
2
d
L
0 I
二、安培环路定理 其他情况
B
L
dr
0
NI
B
L
dr
0
(2
I
)
LB dr 0
二、安培环路定理
3. 注意事项
只有环路内的电流对环流有贡献。
闭合路径 L 上每一点的磁感应强度是所有
电流（包括闭合曲线外的）共同产生的。 安培环路定理是描述磁场特性的重要规律。 磁场中的环流一般不等于零，说明磁场属于非 保守场（称为涡旋场）。 定理仅适用于稳恒电流的稳恒磁场。
IS ner 2
L mevr me 2rnr 2menr2 e L
2me
角动量和磁矩的方向可分
L
别按右手螺旋规则确定。
因为电子运动方向与电流
方向相反，所以L和μ的方
向恰好相反，如图所示。
上式关系写成矢量式为
－ e L
2me
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于
电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔
无限长直导线，在垂直于
L
电流 I 的平面上任取闭
合路径 L 为积分路径， I
磁感应强度的环流为
B
dr
L
B
dr
L
B
cos
dr
LBrd
0I rd 0I
L 2r
2
d
L
0 I
二、安培环路定理
当电流反方向流动时，磁感应强度反向，闭
合路径 L 的绕行方向与电流不构成右螺，有
L
B
dr
0
I
若I 在L外（L未包围I）
SB dS 0
不存在磁单极子或 “磁荷” 。
一、比奥-萨伐尔定律
I
例1 长直电流的磁场
·把直电流分为无数电流元
·任取一电流元Idl，它
在P点产生的磁场大小为
B
2
dB =
0
4
Idl sin
r2
方向如图
·本例中，所有电流元在P点产生的
磁场方向相同，于是P点B的大小为
B
=
dB
=
0
4
Idl sin
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
1 r
A1
2
p
dB
R A2
l dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
d
B
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
B
L dB
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l R cot
A1
d l R csc2 d
盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度
为dr的圆环作圆电流，电流强度：
dI
2
q
R 2
2r d r
qr d r R 2
++++++o++++++++
d B 0 d I
2r
B
0q 2R 2
R
dr
0q
0
2R
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所 需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流 线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两 线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到， 这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
向(且在垂直于轴线的平面内， 下同)；
·P点的磁场就是所有这样一对对
的窄条形成的，所以P点的磁场B 一定也垂直于r方向如图。
·由于圆柱面上电流分布的轴对称 性，可知
例2 圆电流轴线上任一点的磁场 圆电流的电流强度为I 半径为R
建如图所示的坐标系 设圆电流在yz平面内 场点P坐标为x y
R I
.x
o
P
x
z
y
Idlrˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x .P
x
z
解：第一步：在圆电流上任取一电流元 Idl
由毕－萨定律 强度 dB
知其在场点P产生的磁感
0Idl rˆ
第 8 章 磁场的源
一、比奥-萨伐尔定律 二、安培环路定理 三、利用安培环路定理求磁场的分布 四、与变化电场相联系的磁场 五、平行电流间的相互作用力
一、比奥-萨伐尔定律
1. 比奥-萨伐尔定律
1820年10月
载流导线上任一电流元在真空中某点 P 处产
生的磁感强度
dB
0 4
Idl er
r2
0 4 107 N / A2
所示，令长直导线1、2和导线框在线框中心O点产
生的磁感应强度分别为B1、B2和B3，则O点的磁感 应强度大小：
①B=0，因为B1= B2= B3=0。 ②B=0，因为B1+ B2=0，B3=0。
③B 0，因为虽然B1+ B2=0，但B3 0。 ④B 0，因为虽然B3=0，但B1+ B20。
答案：（4）
理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以
氢原子在基态时，其轨道磁矩为
B
e 2me
h
2
eh
4me
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ， 普朗克常量h= 6.62610-34J·s代入，可算得
B 9.273 1024 A m2
又 R2 l 2 R2 csc2
1 r
2
p
dB
l dl
R A2
B
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
0 nI 2 sin d
2
1
0
2
nI (cos
2
cos
1 )
B
0nI
2
(cos
2
cos
1 )
讨论：（1）螺线管无限长 1 , 2 0
B 0nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
a
dB
1
（2）半无限长载流导线
B半无限
1 2
B无限
0I 4a
（3）场点在直电流延长线上
Idl rˆ 0
B0
l
B
P
IP
一段载流直导线的磁场:
B
μ 0
I
4πa
(cos1
cos2
)
无限长载流直导线的磁场:
(因为 1 0 ) 2 π
B
μ 0
I
2πa
半无限长载流直导线的磁场:
(因为
1
2
)2 π
B
Idl
r
P
I
dB
称为真空中的磁导率
一、比奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl er
r2
大小： 方向：
dB
0Idl sin
4πr 2
Idl
r
如图所示
既垂直电流元 又垂直矢径
Idl r P
I
dB
0 4π 10 7 H/m
真空中的磁导率
一、比奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl er
B dr B dr B dr
L
L1
L2
0I d d
2 L1
L2
0I 0
2
二、安培环路定理
对非平面闭合路径，r 和 dr 可以正交分解 为平行于电流 I 分量和垂直于电流 I 的分量。
B dr L
பைடு நூலகம்
L B dr//
L B dr
B
解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1、O2处磁感应强度相等， 大小都是
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
B0
0 NI
2R
2
0 NIR2
R2 R2 3/2
0 NI 1 1 0.677 0 NI
B 0nI / 2
实 际 上 ， L>>R 时，螺线管内部的 磁场近似均匀，大
小为 0nI
B
0nI
0nI
2
A1
O
A2
练习：如下列各图示，求圆心O点的磁感应强度。
I
OR
B
μ 0
I
4R
R
I
O
B
μ 0
I
4R
μ 0
I
2πR
•
I
OR
B
μ 0
I
8R
•
2 3
I
OR
B
μ 0
I
6R
πμ0RI
(1
3) 2
例 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆
μ 0
I
4πa
直导线延长线上一点的磁场: B 0
(因为在 dB
μ 0
4π
Idl sinα
中
r
2
)
α0
课堂练习
b2
有一边长为L电阻均匀分布
的正三角形导线框abc，与电 源相连的长直导线1和2彼此 1
Ia
o
c
平行并分别与导线框的a点和b点相连接，导线1和
线框的ac的延长线重合，导线1和2的电流为I，如图