探索多边形的内角和与外角和

探索多边形的内角和与外角和

一、内容综述：

多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。

凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。

凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。

正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

n边形的内角和=(n-2)·180°。

任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。

注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；

(2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。

二、例题分析：

例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？

(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

(3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？

(4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．

分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。

解：（1）（22-2）×180°=3600°

3600°÷22=（）°

180°-（）°=（）°

（2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍

则（n-2）×180°=2×（8-2）×180°

n=14

（3）设n边形的内角和是2160°

则（n-2）×180°=2160°

n=14

设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000°

因为n不是整数，不符合题意。

所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000°

(4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。

根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6

例2．(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；

(2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数

分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系

解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，

所以它的每一个外角都是45°，

360°÷45°=8，这个多边形是8边形。

（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。

设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，

所以：x+ 9x=180°

x=18°

因为多边形的外角和为360°，

所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。

例3．(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数．

(2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是

几边形？

解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，

所以设这个多边形的边数为n，

2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180°

因为n为整数，所以n=18。

（2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角，

由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角，

①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；

②若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；

③若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；

其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形

例4．已知：四边形ABCD中(如图)，∠A与∠B互补，∠C=90°，DE⊥AB，E为垂足．若∠EDC=60°，求

∠B、∠A及∠ADE的度数．

解：因为，∠A+∠B=180°，所以 AD∥BC

所以∠C+∠ADC=180°，

因为∠C=90°，所以∠ADC=90°

又因为∠EDC=60°，所以∠ADE=30°

因为DE⊥AB，所以∠AED=90°

在△ADE中∠ADE=30°，∠AED=90°，所以∠A=60°

因为，∠A+∠B=180°，所以∠B=120°

例5．已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°，求这多边形的边数．

解：因为凸多边形的每一个外角α的范围也是：0°＜α＜180°

所以设这个多边形的边数为n，

1350°-180°＜(n-2)×180°＜1350°-0°

因为n为整数，所以n=9。

答：这多边形的边数为9。

例6．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条

数．

解：解：设外角为x则内角为（4x+30°）

因为每一个内角与它的外角互为邻补角

所以：x+(4x+30°)=180°

x=30°

因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12

这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线

所以对角线的总条数为：×9×12=54

这个多边形的对角线的总条数为×12×（12-3）=54

例7．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°,∠E=80°,试求∠F的度数.

解：连接AD，

在四边形ABCD中，∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=360°

因为AB⊥BC，所以∠B=90°

又因为∠C=124°，所以∠DAB+90°+124°+∠CDA=360°，∠DAB+∠CDA=146°

因为CD∥AF，所以∠CDA=∠DAF （1）

又因为∠CDE=∠BAF，所以∠BAD=∠EDA (2)

由（1）,(2)得∠DAF+∠EDA=∠CDA+∠BAD=146°（3）

在四边形ADEF中，∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°（4）

将(3)代入（4）得∠F+∠E=214°

又因为∠E=80°，所以∠F=134°。

例8．如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°角，边长为：AB=2cm，BC=8cm，CD=11cm，DE=6cm.求这个六边形的周长是多少？

分析：应当充分利用“凸六边形ABCDEF的六个角都是120°”，可以得到重要结论：每