大气中的基本波动

' u )u ' fv' t x x ' ( u )v' fu' t x y v' 2 u ' ( u )' fu v'c0 ( )0 t x x y (
推导
其中 ' gh' c0 gH RT
p ' 2 ' CS 0 t t
（水平）声波产生的内部条件（内因）是：空气的可 压缩性及空气运动所伴随的水平辐合辐散(交替变化)。 外部条件（外因）：外部压缩引起的气压和密度的扰 动。
4.滤去声波的物理条件 1)假定大气是不可压缩的。 2)假定大气运动是水平无辐散的（或准地转的)， 则可排除声波在水平方向的传播。 3)假定大气在垂直方向处于静力平衡，即满足 准静力条件 ，则可排除声波在垂直方向的传 播。
• 群波是两种波动的乘积：
– 其一是高频载波，其波数、圆频率与各单谐 波的相近 – 其二是低频调制波动，其波数、圆频率远小 于各单谐波的。它是高频载波的“范围线”， 该“范围线”也称为包络线或波包
• 波包是高频载波最大振幅点的连线 • 波群中等振幅点的移速称为群速度--Cg， 即波包的移速，振幅的传播速度--表示群 波的能量的传播速度
A ymax 0.04 m
π (50t 0.10 x1 ) π (50t 0.10 x2 ) 2π L x2 x1 20 m
π (50t2 0.10x) π (50t1 0.10x) 2π
周期
T t2 t1 0.04 s
波速
π (50t2 0.10 x2 ) π (50t1 0.10 x1 )
§3 微扰法与方程组的线性化
1.基本假定 微扰法是将非线性方程进行线性化的一种有效方法。特 别适合于用来定性分析大气运动的某些基本性质。 1）将各种因变量分成两部分，一部分为运动的 基本状态，通常与时间t 和经度（x）无关；另一 部分是扰动部分，它表示各变量相对与基本状态 的偏差。 2）基本量也要满足原来的方程组和边界条件。 3）扰动量（或扰动量的微商）的二次乘积项可以 在方程组中忽略（线性化的具体体现）。
y v 0.04 50π sin π (50t 0.10 x) t v max 0.04 50 6.28 m/s c
x2 x1 c 500 m/s t 2 t1
(2)
3.傅立叶原理，简谐波的复数表示 1 ）傅立叶原理 1 ） 根据Fourier 迭加原理，大气中所有运动=不同频率、不 同振幅的简谐波的迭加。 注意：如果只想得到定性的结果，分析一个典型的 谐波分量即可。 2）简谐波的复数表示 欧拉公式：eiθ =cosθ +isinθ
§4 大气声波
1.频率方程
u u 1 p u fv t x ρ x v v 1 p u fu fu t x ρ y ρ w w 1 p u g t x ρ z ρ u v w u v w 0 t x y z x y z ln ln w 0 u v t x y z 1 p p ρ C 其中 p Cv
垂直横波
2
§2 群速度，波的频散效应
1.群波定义
单波（单色波，单纯波）：具有一定振幅、一定频率和 一定波长，在时间和空间都是无限的波动。
群波：由各种单色波叠加而成的波动。叠加结果：若振 幅加强，则相互增长；若振幅减弱，则相互抵消。所以， 群波的振幅随时间和空间改变。群波≠混合波。
1My Pictures\群 速度.gif
2) 描写波动过程的物理量
波长（L）: 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间的
距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。
波长反映了波的空间周期性。
周期（T):
波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了 波的时间周期性。 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率
频率（f）:
与周期的关系为
1 f T L c fL T
假定：1）垂直方向满足静力平衡（排除垂直方向声波） 2)不考虑科氏力 3)扰动与Y无关
4)初始静止大气
2u t
2 C0 2
2u x
2
重力外波的圆频率和波速—非频散波
k C
2 2
2 0
c C0 gH 0 280m / s
2)性质 ∵c>>u 快速，高频率;双向（传播）波; 垂 直横波;非频散波。 ∵天气变化属于低频率变化，除个别特殊 情况，一般情况下对天气变化无重大影响。
2.重力内波 1)波速公式
满足不可压缩的二维重力内波方程
2 2 2 2 2 w 0 2 ( 2 2 ) N 2 z x t x g ln g 2 2 其中 N 称为浮力频率 N ( d ) z T
2）基本量满足原方程，平均纬向气流为常数
p u 常数， 0, x
3）略去二阶小量
得到 u u 1 p u fv t x ρ x
3.标准波型法
在研究大气中基本波动时 1）先将方程组线性化，得到相应的扰动方程组; 2)将扰动方程组的形式解代入； 3)根据齐次边界条件确定频率方程，从而确 定相速方程。 数学上是线性偏微分方程的边值问题， 即本征值问题。
假定：1）初始静止空气 2)不考虑科氏力 3)仅考虑沿x方向 传播。
u 1 p t ρ x u ' 0 t x 0 t 1 p p ρ
p ' 2 ' CS 0 t t
3) 形成机制
A
' u' t x 2 u ' ' c 0 0 t x
B
C
重力外波产生的内因：重力与水平运动的辐合、辐散 性。外因：边界面的垂直扰动。
4)滤波条件
a) 固定上下边界； b)假定大气是水平无辐散的； c)假定大气运动是水平的； d)假定大气运动是准地转的。
y
A
x
O
t
t
对某一固定时刻，表 达式给出的是该时刻 波的廓线。
对于固定点，表达式表 示点在作简谐振动。
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速；
(2) 质点振动的最大速度。
解 (1) a. 比较法(与标准形式比较） 标准形式
现以在弹性绳索上传播的一维简谐横波为例，分 析波动传播过程的物理实质。
t T 4 T t 2
t 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
波动分析过程
t
t T
t
3 T 4
5 T 4
L
横
波
y
C
x
波动曲线
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结论
(1) 波的传播过程应是波源振动状态即相位的 传播过程. (2) 振源得以持续振动是外界不断馈入能量所 致,因而波动也是能量的传播过程. (3) 质点并未“随波逐流” , 各质点仅在自身平 衡位置附近作同频率、同方向的振动，只是各 质点的振动相位随波到达的先后而沿波的传播 方向依次落后，因而波动是各质点保持一定相 位联系的集体振动。
小尺度运动及其伴有的天 气 重力波 中尺度运动及伴有的
天气
惯性重力波
大气中的大尺度运动及 其伴有的天气 Rossby波
§1 波动的基本概念 1.波动的表示方法 1)波动定义 定义：大气中的运动可看成是各种不同频率和不同振幅 的简谐波的叠加。
自然界中常有一些物体在它们的平衡位置附近往返运 动，即为振动。最简单、最基本的振动形式是简谐振 动(周期性) ,简谐振动在空间的传播即为简谐波。
y A cos[( kx t ) 0 ]
0.10 50 y 0.04 cos 2π( x t) 2 2
波函数为
比较可得
A 0.04 m
2 L 20 m 0.10
2 T 0.04 s 50
L C 500 m/s T
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系） 振幅 波长
q ( x, t ) Re Aei ( kx t ) 0 Re Qe i ( kx t ) Q Ae
i 0




可推广到三维，实际应 用时常略去符号“Re”。
(复振幅 )
4）波动的分类 水平横波
横波：振动方向与波传播方向垂直的波。
纵波：振动方向与波传播方向一致的。
第五章 大气中的基本波动
§1 波动的基本概念 §2 群速度，波的频散效应 §3微扰法与方程组的线性化 §4大气声波 §5重力外波和重力内波 §6惯性振荡与惯性波 §7水平无辐散的Rossby 波 重点：波参数，微扰法， 重力波和罗斯贝波，相速度和 群速度。
波动 波动是大气中运动的基本形式。 从波动的角度去看， 大气中各种尺度的运动及伴有的天气演变，都是 在一定的大气波动作用下产生的。
2.群速度与波的频散 波包是载波最大振幅点的连线， 波包的移速为Cg称为群速度。
dx d d (kc) dc C g ( ) A常数 ck dt dk dk dk
若相速度c与波数k无关，也就是dC／dk＝0，则Cg＝c，它 表示波的能量随高频载波一起移动，因而能量不频散—称 为非频散波。 如果相速度c与波数k有关，则波群能量的传播速度就与 高频载波的不一致，此现象称为频散（色散）。这种波 群，称为频散（色散）波。
2.基本方程组的线性化 例：对局地直角坐标系无摩擦的水平运动方程进行线性化。