哈工大理论力学(第七版)第三章§1-3

投影
M x Mix
M y Miy
M z Miz
M x Mix
M y Miy
M z Miz
合力偶矩矢的大小和方向余弦 大 小
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
方向余弦
(2) 平衡
Mx cos q M
cos b
z
Fz F cosg
Fxy F sin g
第二次投影
Fz
F
g
Fy
Fx F sin g cos
O
y
Fx
x
Fy F sin g sin
Fxy
例3-1
已知： Fn , b ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
Fn F xy y F y b
z F z
x
F x
F Az F Bz
F Ax
F Bx
M x 0 F2 0.4 FBz 0.8 0
M z 0 F1 0.4 FBx 0.8 0
0.4 F1 0.4 3 FAx FBx 1.5( N ) 0.8 0.8 0.4 F2 0.4 5 FAz FBz 2.5( N ) 0.8 0.8
My M
Mz cos g M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即 M M xi M y j M z k 0
M
ix
0
M
iy
0
M
iz
0
--称为空间力偶系的平衡方程.
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m。求:工件所受合力偶矩在x,y,z轴上的投影. 解： 把力偶用力偶矩 矢表示，平行移 到点A 。
Fz 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
§3–2
力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 MO(F )=r×F 其中
z B F
r= xi + yj + zk
例3-2
已知：物重 P=10kN， q =30°；CE=EB=DE=a。 求：杆受力及绳拉力。
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0 F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0 FA sin 30 F1 cos 45 cos 30
F2 cos 45 cos 30 0
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
例3-4
已知：F，l，a，q。求：M x ( F )
a l
q
M y (F )
M z (F )
解：
把力 F 分解如图
Fx F sin q
Fz F cosq
M x (F ) M x (Fz ) (l a) F cosq M y ( F ) M y ( Fz ) l F cosq M z (F ) M z (Fx ) (l a) F sin q
§3–3
空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
M rBA F
M1
F2 F1 ' F2
M2
' F1
F1 F1 F2 F2
空间力偶 的三要素
M1 M 2
M1 M 2
（1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
二.力偶的等效定理 实例
空间力偶的等效定理：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果其力偶矩相等，则它们彼此等效。
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果. 只要保持力偶矩不变，力偶 可在其作用面内任意移转，且可
以同时改变力偶中力的大小与力
偶臂的长短，对刚体的作用效果 不变. 力偶矩矢是自由矢量
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx
方向余弦 cos( FR , i )
FR
cos( FR , j )
Fy
FR
cos( FR , k )
Fz
FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点。
FR Fi F1 F2 Fn
FA= FB= F1= F2 杆AA1受拉，BB1受压。
y
M1
x
(c)
3—6，9 ，12
i i 0 i j k j i k
i i 1
z
k
i j 0
x
O
i
j
y
F2

M
M
x
0
M 1 M 3 cos 45 0

E
D
O C
FB
B
y
0 M 2 M 3 sin 45 0
FA
A
F2' x
y
M1 M 2
设正方体边长为 a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有
F1'
M3
O A
F1 (b)
B M2
F1 F2
M3 FA 2a
F n
F z

x
F xy F y
b
F xy
F x
y
解：
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin β Fn cos α sin β Fy Fxy cos b Fn cos cos b
二、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 FR 0
F1
Fn
x
z
F2
FR (Fx ) (Fy ) (Fz ) 0
2 2 2
Fi
FR F3 F4
y
F
x
0
F
y
0
--称为空间汇交力系的平衡方程
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三 个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x
M O ( F ) zFx xFz M y ( F ) y
§3–1
空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系。
一.力在直角坐标轴上的投影 1.直接投影法
z
F F
Fz
由、b、g 三个方向角确定
F
g
o
b Fy
y
投影
Fx F cos Fy F cos b Fz F cos g

Fx
x
2.间接（二次）投影法 第一次投影
FR F1 F2 F3 Fi
FRx Fix Fx
F1
Fn
x
z
F2
合矢量(合力)投影定理
FRy Fiy Fy
Fi
FR F3 y F4
FRz Fiz Fz
合力的大小
例
已知：正方体上作用两个力偶 ( F 1, F 1 ), ( F 2, F 2 ),
CD // AE ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
F2
A1 A B1 D B
E
F2' x
C
O
y
F1'
F1
(a)
解： 两杆为二力杆，取正方体，画受力图建坐标系如图(b) 以矢量表示力偶，如图(c)
三．力偶系的合成与平衡条件 (1) 合成
Fn Mn Fn
M1
y
M
Mn
F1
F1
F2
F2
=
M1 M2
=
zHale Waihona Puke M2xO
M1 r1 F1
M 2 r2 F2

M n rn Fn
M M i 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
MO(F )
k
三要素：
(1）大小:力 F 与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
x
O
i
r
j
A(x,y,z ) y
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
二.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力对轴的矩是代数量
力与轴相交或与轴平行(力与轴在同一平面内)，力对该轴 的矩为零.
三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) yFz zFy M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx