截面法绘制梁结构的内力图
合集下载
梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)
6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
02截面法求内力基本方法
例1. 求以下桁架各杆的内力
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
第十一讲 利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图(之二)
ql FS ( x ) = FA − qx = − qx x ∈ (0, l ) 2
x ql q 2 q l ql 2 2 M ( x ) = FA ⋅ x − qx ⋅ = x − x = − ( − x ) + 2 2 2 2 2 8
x ∈ [0, l ]
3根据剪力方程作剪力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程
例4—3
q
剪力图和弯矩图
x
FA qL/2 L FB (+) qL2 /8 M图 (+)
解：1求支反力 由对称性可知: 由对称性可知
FA = FB = ql 2
Mechanic of Materials of
Fs图
(-) qL/2 2建立坐标系如图所
示，求剪力、弯矩方 程（用截面法）
集中力处分荷的始末端杆端部集中力偶处1确定约束力4确定剪力和弯矩方程2确定控制截面和分段3建立坐标系44剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图3步骤
第十一讲的内容、要求、 第十一讲的内容、要求、重难点 内容
Mechanic of Materials of 教学内容： 教学内容：
利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图（ 利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图（M，Fs图）。 图
在集中力偶处剪力图不突变、弯矩图要突变， 在集中力偶处剪力图不突变、弯矩图要突变，左到 顺势而上， 突变的大小为力偶矩的绝对值。 右：顺势而上， 突变的大小为力偶矩的绝对值。
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程
练习1： 练习 ：
剪力图和弯矩图
x
P
D
m = Pa B E
Mechanic of Materials of
解：①求支反力 q0 x
x ql q 2 q l ql 2 2 M ( x ) = FA ⋅ x − qx ⋅ = x − x = − ( − x ) + 2 2 2 2 2 8
x ∈ [0, l ]
3根据剪力方程作剪力图
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程
例4—3
q
剪力图和弯矩图
x
FA qL/2 L FB (+) qL2 /8 M图 (+)
解：1求支反力 由对称性可知: 由对称性可知
FA = FB = ql 2
Mechanic of Materials of
Fs图
(-) qL/2 2建立坐标系如图所
示，求剪力、弯矩方 程（用截面法）
集中力处分荷的始末端杆端部集中力偶处1确定约束力4确定剪力和弯矩方程2确定控制截面和分段3建立坐标系44剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图3步骤
第十一讲的内容、要求、 第十一讲的内容、要求、重难点 内容
Mechanic of Materials of 教学内容： 教学内容：
利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图（ 利用剪力方程、弯矩方程绘梁的内力图（M，Fs图）。 图
在集中力偶处剪力图不突变、弯矩图要突变， 在集中力偶处剪力图不突变、弯矩图要突变，左到 顺势而上， 突变的大小为力偶矩的绝对值。 右：顺势而上， 突变的大小为力偶矩的绝对值。
§ 4.4 剪力方程和弯矩方程
练习1： 练习 ：
剪力图和弯矩图
x
P
D
m = Pa B E
Mechanic of Materials of
解：①求支反力 q0 x
内力分析的基本方法-截面法
8kN 4kN E
4kN D C 4kN
C 4m n 1
A
D 4kN
N4
N1 N2 N3 N4
由结点E可知： N2 = -N3
取m-m截面以上为对象 由∑x= 0 得
解：取n-n截面以上为对象 ∑MD= 0 N1 ×6＋8×3＋4×4 = 0 得： N1 = －6.67 kN
N2=－6.67 kN
所以：
2、突变：在集中力作用处，剪力图有突变，弯矩图 有一尖角；在集中力偶作用处，弯矩图有突变，剪力 图无变化。 3、端值情况
详见教材p98表3-1
18
规律作图方法：
1、水平线图：段内任取截面求内力（一般取段端截面） 2、斜直线图：段内任取两截面求内力（一般取段两端 截面）
3、抛物线图：段内取两端截面及中间截面求弯矩
RA
RB 1、计算支座反力
得: QD= qL/2 Σmc= 0 MD–RA×L+qL×L/2 = 0 得: MD= qL2 取E--E截面右段为对象
ME
E
解得：RA=3qL/2 （竖直向上） RB=qL/2 （竖直向上）
2、取D--D截面左段为对象， 画出受力图 q D
MD
qL2
QE E
RA
D
ΣΎ= 0 Σmc= 0
2.5
=－2kNm（上拉） 静定平面刚架内力计算
一、刚架定义 刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚结点的结构， 其中全部或部分结点为刚结点。如图所示 D P C PC D
A
二、刚架的特点
B
A
B
1、结构内部空间较大，便于利用。 2、刚架的内力、变形峰值比用铰结点连接时小。
3、刚结点能传递力和力矩；而铰结点则只能传递力。
截面法计算内力的步骤
截面法计算内力的步骤截面法计算内力的步骤如下：1.确定截面：根据结构的几何形状和所需计算的截面位置，确定需要计算的截面。
2.建立截面坐标系：在确定的截面处，建立适当的坐标系，通常使用弯矩轴线和剪力轴线作为坐标轴。
3.计算剪力：在截面上计算受力情况，包括剪力和轴向力。
剪力可以通过受力平衡或应力分布方法进行计算。
4.计算弯矩：在截面上计算受力情况，包括弯矩和轴向力。
弯矩可以通过剪力和轴向力的计算结果进行进一步计算。
5.建立平衡方程：根据截面上的剪力和弯矩的计算结果，建立平衡方程。
平衡方程可以根据结构的具体情况建立，通常需要考虑截面上的所有力和力矩的平衡条件。
6.解平衡方程：解平衡方程以确定未知内力。
解方程时可能需要考虑结构的刚度和惯性等物理特性。
7.确定内力值：根据解出的未知内力和已知的剪力和弯矩的计算结果，确定内力值。
内力可以是拉力或压力，也可以是弯矩。
以上步骤可以帮助您使用截面法计算内力。
需要注意的是，具体的计算步骤可能会因结构的不同而有所差异，因此在进行内力分析时需要结合具体情况灵活运用各种方法。
截面法计算内力的优点和缺点如下：优点：1.简单易行：截面法是一种简单直观的方法，易于理解和计算。
2.可适用于多种结构形式：截面法可以适用于多种结构形式，如梁、板、柱等，因此在工程实践中得到广泛应用。
3.可以考虑多种内力：截面法不仅可以计算剪力和弯矩，还可以考虑拉力、压力等其他内力。
4.可用于静力分析和动力分析：截面法不仅可用于静力分析，即求结构在恒定载荷下的内力，还可用于动力分析，即求结构在动载荷下的内力。
缺点：1.精度有限：截面法是一种近似方法，其精度取决于所取的截面和所用的简化假定。
对于复杂结构，可能需要采用更精确的方法进行内力分析。
2.对经验要求高：使用截面法进行内力分析需要具备一定的工程经验和对结构的理解，否则可能会出现误差或遗漏。
3.对初始条件敏感：截面法的计算结果对初始条件（如初始剪力和弯矩）较为敏感，因此在进行内力分析时需要注意初始条件的设定。
截面法求内力讲解
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
M JK J
F QJK
M JK J
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
（3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
《结构力学》第三章 单跨静定梁
l
l/2 l/2
MM
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
M
1 ql2 2
P 1 ql2
4
l
l/2 l/2
l
M
2M
MM
l
l
lM
M
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
1 ql2 2
P 1 ql2
4
q
1 ql2
l
l/2 l/2
2l
l
M
2M
M
MM
M
M
M
M MM
M
l
l
MM
练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图
M图
Q图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 Q图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
Q图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
1 ql2 16
种结构型式?
简支梁(两个并列) 多跨静定梁
连续梁
例.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截
面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.
q
A
D
B
C
x
l
l
RD
q
q(l x)2 / 8
RD
B
解: RD q(l x) / 2()
M B qx2 / 2 q(l x)x / 2 q(l x)2 / 8 qx2 / 2 q(l x)x / 2
结构力学静定梁的内力分析
(d)
M M M FQdx m 0
M m
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量 关系。式(e)忽略了一阶微量。
增量关系的几 何意义
在集中力作用点（集中力垂直 与杆轴或有垂直于杆轴的分量） 两侧截面，剪力有突变，突变 值即为该集中力或垂直于杆轴 的分量；弯矩相同。
在集中力偶作用截面两侧，弯矩 有突变，突变值即为该集中力偶； 剪力相同。
a
M
0
M1
1 2
qa 2
FAy a
M
用文字写 明受拉侧
取截面1右侧为隔离体 计算可得同样结果
3.直接法求指定 截面的内力
由例3-1-1内力计算结果 分析，指定截面的内力可 用该截面一侧的外力直接 表示，即：
轴力 （FN）
截面一侧所有外力在指定 截面法线方向投影的代数 和，以与截面外法线方向 相反为正。
剪力 （FQ）
截面一侧所有外力在指定 截面切线方向投影的代数 和，左上、右下为正。
弯矩（M）
截面一侧所有外力对 指定截面形心力矩的 代数和。
例3-1-2 用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸臂梁截 面2上的内力。
M
(a)
解
支座反力计算同例3-1-1。内力 可由右图所示受力图直接计算：
M
F A x F A y
3a 2
FP
4 5
a
(↓)
（箭头标出 实际方向）
MA 0
FBy
3a
M
q 3a
3a 2
FP
4 5
4a
0
(↑) FBy
1 M 3a
q 3a
3a 2
FP
4 4a 5
箭头标出实 际方向
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
q=0 FS M q >0 q<0 当q<0,
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法
m dx
②弯矩的正负号规定
(Sign convention for bending moment)
Mm
M
+
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半
部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
-
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
m （受压）
【例题2-3-3】图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c 和 l 亦均为已知.试求梁在E、F 点处横截面处的剪力和弯矩.
B
l
Fx 0 , FRAx 0
MA 0 ,
FRB
Fa l
FRAxA
F B
Fy 0 ,
FRAy
F (l l
a)
FRAy
FRB
求内力——截面法
Fy 0 , MC 0 ,
FS
FRAy
F
(l l
a)
M FRAy x
FRAx A FRAy
剪力
x
1）受弯构件的内力
弯矩
①弯矩(Bending moment)) M
《材料力学》第3讲 绘制梁内力图的基本方法
土木工程学院 马守才 2020年3月
授课提纲
复习与提问：上一次课中我们学习了哪些这门课程的哪
些内容？其中比较重要的内容是什么？ 新课导入：如何对梁进行内力分析？
讲授新课
2. 杆件的内力分析（本单元共有6节，分5次学习） 2.1 轴力方程与轴力图 （已学习） 2.2 扭矩方程与扭矩图 （已学习） 2.3 绘制梁内力图的基本方法 ？√
n
FS
Fi
i 1左（右）
第一讲 内力及内力图的绘制
（二） 利用截面法确定控制截面 1、梁的分段点； 2、分布载荷段内Fs = 0,的点； 3、集中力作用处； 4、集中力偶作用处。
（三）梁上无分布载荷作用， 剪力图为水平直线：——— ； 弯矩图为斜直线： 剪力为正，弯矩图右上斜直线 剪力为负，弯矩图右下斜直线
＋
； 。
－
（四）梁上有向下的分布载荷作用 剪力图为右下斜直线 。
1、在中间铰处拆开， 求中间铰处的约束反力； 2、绘内力图时 看作两个独立的梁； 结论 1、中间铰只传递剪力 不传递弯矩； 2、若中间铰处没有外力偶，弯矩恒等于零
刚架内力图的画法
作刚架内力图的方法和步骤与梁相同；
但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：
弯矩图，画在各杆的受拉一侧； 不注明正、负号。 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧 。
考研是一次人生的历练，是强化所学 知识的基本概念、基本理论和基本方法的 训练，重在强化所学知识的理解和掌握， 掌握获取知识和运用知识的方法，提高获 取知识和运用知识的能力、分析问题和解 决问题的能力。 复习考研如古人曰：故立志者，以学 为心也；以学者，立志为事也。复习考研 是意志的磨练、汗水的浇灌、知识的升华、 能力的提高。
x
FS ＋
O
qa/2
（五）危险截面位置 qa/2
x
qa/2
M －
FS max＝ql
M max＝ ql 2 / 2
－
qa2/2
qa2/2
典型题6
利用微分关系绘制梁的内力图。
q
qa2
B
C a
q
A
a （一）计算梁的支座反力 B FB a
D
qa2
D
C FC
截面内力计算
Ri' =
Ii
n
⋅ P = Ii n
∑ Байду номын сангаасi
∑ Ii
i =1
i =1
(4.7)
(4.8)
式中 n 为主梁根数。
2)偏心力矩M=P˙e=1˙e 的作用
在偏心力矩M=P˙e=1˙e作用下，横梁绕扭转中心o转动一微小的角度ϕ (图 4.6d)，因此
各根主梁产生的竖向挠度可表示为：
wi'' = aitgϕ
(4.5)
主梁所分担的荷载为Ri（见图 4.6c），根据材料力学关于简支梁跨中的荷载与挠度的关 系有：
ω i'
=
Ri'l 3 48EI i
或
Ri'
=
αI
ω'
ii
(4.6)
式中：
α
=
48E l3
=常数(E
为梁体材料的弹性模量)。
由静力平衡条件可得：
∑n Ri′ = P = 1
i =1
联立求解式（4.5）、(4.6)和(4.7)可得：
图 4.6 所示为一座由五片主梁
组成的梁桥的跨中截面，各片主梁
的抗弯刚度Ii、主梁的间距ai都各 不相等，单位竖向集中荷载P=1 作
用在离
截面扭转中心 o 的距离为 e 处。下
面分析荷载在各片主梁上的横向
分布情况。
由于假定横梁是刚体，所以可
以按刚体力学关于力的平移原理
将荷载P移到o点，用一个作用在
扭转中心o上的竖向力P和一个作
车和人群荷载，ηq 和ηr 分别为汽车车轮和每沿米人群荷载集度对应的荷载横向分布影响线
竖标。
杠杆原理法适用于计算荷载位于靠近主梁支点时的荷载横向分布系数，此时主梁的支承刚度 远大于主梁间横向联系的刚度，受力特性 与杠杆原理法接近。此外，该方法也可用 于双主梁桥（见图 4.3b），或横向联系很弱 的无中间横隔梁的桥梁。 （2）计算举例 例 4.1：图 4.4 示—桥面净空为净—7 附 2×0.75m 人行道的钢筋混凝土 T 梁桥， 共设五根主梁。试求荷载位于支点处时 1 号梁和 2 号梁相应于公路—Ⅱ级汽车荷载 和人群荷载的横向分布系数。 解： 当荷载位于支点处时，应按杠杆原理 法计算荷载横向分布系数。
02.2.内力·截面法·及轴力图
FN 图
F +
第15页
武生院建筑工程学院：材料力学
课堂练习：试求出下列图形当中1-1、2-2、 3-3截面上的轴力， 并画出轴力图。.
(1)
1F
2F
3
(2)
10KN
1 1
10KN
2 2
6KN
3 3 6KN
1
2
3
第16页
一般来说：正值的轴力画上轴线上方，负值画在轴线下 方。
第5页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
第6页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
注意：杆受多个轴向外力作用时，应以外力作用点处 的横截面作为特征截面，将梁分成若干段来求整段梁的轴 力。
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
第9页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FNm , a xFN250kN
第10页
武生院建筑工程学院：材料力学
例题2-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第7页
武生院建筑工程学院：材料力学
解：
第二章 向拉伸和压缩
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
第8页
武生院建筑工程学院：材料力学
F +
第15页
武生院建筑工程学院：材料力学
课堂练习：试求出下列图形当中1-1、2-2、 3-3截面上的轴力， 并画出轴力图。.
(1)
1F
2F
3
(2)
10KN
1 1
10KN
2 2
6KN
3 3 6KN
1
2
3
第16页
一般来说：正值的轴力画上轴线上方，负值画在轴线下 方。
第5页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
第6页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
注意：杆受多个轴向外力作用时，应以外力作用点处 的横截面作为特征截面，将梁分成若干段来求整段梁的轴 力。
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
第9页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FNm , a xFN250kN
第10页
武生院建筑工程学院：材料力学
例题2-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第7页
武生院建筑工程学院：材料力学
解：
第二章 向拉伸和压缩
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
第8页
武生院建筑工程学院：材料力学
梁的内力图-剪力图和弯矩_OK
2021/9/10
2
2021/9/10
返回 3
返回
2. 直梁在简单荷载作用下的内力图特征 直梁在简单荷载作用下的内力图特征见表4-2。
2021/9/10
4
返回
3. 梁内力图的规律 （1） 无荷载区：剪力图为零线，弯矩图为水平直线；剪力图为 水平直线，弯矩图为斜直线。 （2） 集中力作用处：剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的 大小，突变的方向与集中力方向相同；弯矩图折成尖角，尖角 方向与集中力方向相同。 （3） 集中力偶作用处：剪力图无变化；弯矩图突变，突变的绝 对值等于力偶矩的大小，突变的方向为顺时针力偶向下降，逆 时针力偶向上升。 （4） 均布荷载区：当均布荷载作用方向向下时，剪力图为下倾 斜直线，变化的绝对值等于均布荷载的合力；弯矩图为向下凸 的抛物线。 （5） 剪力与弯矩的关系：当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方； 当剪力图为负时，弯矩图斜向右上方；剪力为零的截面，弯矩 有极值；梁后控制截面弯矩等于前控制截面弯矩加上前后截面 间剪力图的“面积”。
通过观察本例 可以发现：因为该外伸梁结构的几何 形状、受到的竖向荷载均左右相同，具有对称性， 所以弯矩图在对称位置的弯矩数值和符号相等，具 有对称性（工程上把这种对称称为正对称），剪力 图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有 对称性（工程上把这种对称称为反对称）。土木工 程中对称结构使用非常广泛，一方面对称美符合人 们的审美要求，另一方面结构受力合理，不仅可以 简化计算，而且也可以简化设计计算和提高施工的 效率。
15
2021/9/10
5
返回
记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。
截面法求内力讲解
l
l
(a ? x ? l)
x A FAy
M0
C
B
a
l
b FBy
? MA ? 0
? Fy ? 0
FBy
?
?
M0 l
FAy
?
M0 l
M0 l
+
FQ图
M 0b l
M0a l
M图
A M0 l
FQ
M
FQ
FQ
?
M0 l
M M ? M0 x
l
(0 ? x ? a) (0 ? x ? a)
B
FQ
?
M0 l
(a ? x ? l)
FAy 70 +
A
A
4m
2m 2m
FBy
A
EC D 10 10 -
B 70
50 50
FQ
FQ图（单位kN）
M
F
EC D
B
q FQ FQ ? 70 ? 20x
M ? 70x ? 10x2
M
40 B
FQ ? ?10
50 M ? 160 ? 10x
(0 ? x ? 4) (0 ? x ? 4)
(4 ? x ? 6) (4 ? x ? 6)
100 120 100 122.5
M图（单位kN.m）
FQ M
FQ ? ?50 (6 ? x ? 8)
B 50 M ? 400 ? 50x (6 ? x ? 8)
叠加法
条件：结构线弹性、小变形
荷载叠加法： 当结构上同时作用有许多荷载
时，先分别作出各荷载单独作用 下的内力图，再将各个内力图的 竖标相叠加（代数和），便得到 各荷载共同作用下的内力图。
简支梁的内力包络图及绝对最大
在实际计算中，常常可以估计出哪个荷 载或哪几个荷载需要考察。因为简支梁绝对最 大弯矩总是发生在中点附近的截面上，所以使 梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载，通常就 是产生绝对最大弯矩的荷载。因此，计算简支 梁的绝对最大弯矩可按以下述步骤进行：
（1）确定使梁跨中截面上发生最大弯矩的临界 荷载Fcr 。
同理，可求得F3作用在截面C时产生的最大弯矩， 由对称性可知，其值与上相同。
(a)
2) 求吊车梁的绝对最大弯矩。 由于F2和F3都是产生绝对最大弯矩的临界荷载， 并且对称于梁的中点。所以只需考虑F2作为临界荷 载的情况。为此，使F2与梁上荷载的合力FR对称于 梁的中点布置。
(a)
当F2在合力的左边时[图(c)]，梁上有四个荷载，
1.1 简支梁的内力包络图
用上节介绍的在移动荷载作用下，计算静 定梁任一指定截面上最大内力的方法，可以求 出简支梁所有截面上内力的最大值（或最小 值）。如果把求得的各截面上内力的最大（或 最小）值按同一比例标在图上，然后连成曲线， 则这一曲线图形就称为内力包络图。
内力包络图表示静定梁所有截面上内力变 化的极限值，是吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁 结构设计的重要依据。
下面先以简支梁在单个移动集中荷载作用 下的弯矩包络图为例，说明内力包络图的绘制 方法。
如图(a)所示的简支梁受单个移动集中荷载作用， 某个截面C上弯矩的影响线如图(b)所示。
(a) (b) MC影响线
由影响线可以判定，当荷载正好作用于C点时，MC
值为最大：M C
ab l
F
。由此可见，荷载由A向B移动时，只
而梁上荷载组的合力FR至Fi的距离为a，如图所示。
由 M,得B 支0 座A处的约束反力为
FA y
梁的支座反力计算和内力图绘制的简便方法
梁的支座反力计算和内力图绘制的简便方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1梁的支座反力计算和内力图绘制的简便方法1计算支座反力的简便方法（1）悬臂梁的支座反力在竖向荷载作用下，悬臂梁的固定端支座反力值就是加在梁上所有竖向荷载的代数和，其方向与荷载方向相反。
固定端的反力偶的值等于竖向荷载对固定端的力矩、其方向与竖向荷载对固定端的力矩方向相反。
（2）简支梁和外伸梁的支座反力①对称荷载作用下的简支梁，支座反力可用一句话表示：“对称荷载对半分”，即两支座各承担荷载的一半。
②偏向荷载作用下的简支梁，可以用这样一句话求支座反力即：“偏向荷载成反比”。
梁一端的支座反力等于荷载的作用点到另一支座的距离和梁跨长度的比值再乘以荷载的大小。
③力偶荷载作用下的简支梁。
根据力偶的性质，力偶只能用力偶平衡。
因此，两支座反力必须组成一个转向与力偶荷载转向相反的力偶。
这两个支座反力方向相反，大小相等，其值等于力偶荷载与梁跨长度之比。
这种计算方法可以归结为这样两句话：力偶荷载反向转，大小等于偶跨比。
④外伸荷载作用下的简支外伸梁的支座反力求解，可以假想将远离外伸荷载的支座解除，使梁成为一个以另一支座为支点的杠杆、利用杠杆原理求出被解除支座的反力，而充当支点的支座反力值是荷载和被解除支座的反力之和，方向与二者相反。
所谓“外伸荷载选支点，杠杆原理求反力”。
⑤复杂荷载作用下的简支梁和外伸梁支座反力的求解，只不过是先将复杂荷载分别分解成各个简单荷载单独作用的情形，分别求出各简单荷载单独作用下引起的支座反力，然后求各支座反力的代数和，即求出应求的反力简单地说即为：“荷载分解，反力合成”。
2绘制内力图的简便方法用截面法列内力方程求各截面内力很繁琐，特别是不连续荷载作用的梁必须分段来列方程，计算量很大，同时很容易搞错。
但是，我们在做题时不难发现，荷载种类不同‘作用情况不同，剪力和弯矩的变化是有一定规律的，利用这些规律可使计算工作量大大减少。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用截面法计算任一截面上的弯矩和剪力。
计算步骤： 1. 截取：用假想平面沿垂直于轴线方向将杆件截成两部分， 保留一部分，去掉一部分（一般选择荷载较少的部分为研究 对象，以便于计算）；
2.代替：对保留的梁段进行受力分析，在其上画出已知外力， 在保留部分的截面上按正符号规定画出剪力和弯矩（设正 法）；
x 1 l, M 1 ql 2
2
8
工程力学
ql Qmax 2 M max pl
三.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况
有荷载段
q<0 (向下)
剪力图 ↘(向下斜直线) 上的特征
弯矩图 上的特征
(下凸抛物线)
最大弯矩 可 能的 截面位置
剪力为零的截面
无荷载段 水平线 斜直线
集中力F 作用处
有突变， 突变值为F
有尖点
剪力突变的 截面
集中力偶M 作用处 不变
有突变， 突变值为M 弯矩突变的
某一侧
2.其它规律：
①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ②荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称； 荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。
3.平衡：列力的平衡方程求剪力；以截面形心为矩心列力矩 平衡方程求弯矩。
工程力学
一、学习任务
工程力学
Q(x) P ——剪力方程
M (x) Px 0 x l
——弯矩方程
剪力图 弯矩图
x 0, M 0 x l, M Pl
二．梁的内力图
1.剪力方程和弯矩方程 一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位
解：（1）计算支座反力
RA
RB
1 ql 2
（2）列剪力方程和弯矩方程
1 Q(x) RA qx 2 ql qx (0<x<l )
M (x)
RAx
1 qx2 2
1 qlx 2
1 qx2 2
(0≤x ≤l )
（3）绘剪力图和弯矩图
x 0, Q 1 ql 2
x l,Q 1 ql 2
x 0, M 0 x l, M 0
置不同而改变。如取梁的轴线为轴，以坐 标表示梁的横截面位置，则剪力和弯矩可 表示为的函数，即：
Q Q(x) ——剪力方程
M M (x) ——弯矩方程
工程力学
二．梁的内力图
2.剪力图和弯矩图 取横坐标代表截面的位置，纵坐标表示各
个横截面的剪力和弯矩的数值，表示剪力和 弯矩随截面位置变化而改变的图形称为剪力 图和弯矩图。
工程力学
四.利用规律作单跨梁的M图、Q图
M
M
l
l
bM l
aM
工程力学
l
Qmax
M l
M
max
aM l
四.利用规律作单跨梁的M图、Q图
工程力学
Qmax 12kNm M max 16kNm
• 阅读：P.111-P.114 • 习题：7-26.27.28.7-37(a)(b) • 预习：M(x)、Q(x)、q(x)间的微分关系
4.作图：根据剪力方程和弯矩方程分段画 出Q图和M图。
工程力学
三．用方程法绘制梁的内力图
• 例题分析1. 简支梁受集 中力作用如 图所示，求 梁的剪力方 程和弯矩方
程，画出Q、
M图并确定 最大剪力和 最大弯矩。
工程力学
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程，
画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
规定：土建工程中习惯上把正的剪力画在轴的 上方，负的剪力画在轴的下方； 弯矩图规定把正的弯矩画在轴的下方。
工程力学
三．用方程法绘制梁的内力图
计算和作图步骤： 1.计算支座反力 2.分段：按集中力或集中力偶的作用点。 线分布荷载分布长度的端点来分；
3.列方程：在各段任取一截面按截面法求 Q(x)和M(x)得到剪力方程、弯矩方程；