人教版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换》质量评估
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
高中数学人教版必修四检测：阶段质量检测(三) 三角恒等变换 Word版含解析
阶段质量检测（三） 三角恒等变换(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝2cos 2x2＋1的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：选B ∵y ＝2cos 2x2＋1＝⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＋2＝cos x ＋2， ∴函数的最小正周期T ＝2π. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝23＝6. 3．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫cos x cos π6－sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∵x ∈R ，∴x －π6∈R ，∴f (x )∈[]－3，3.5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α， 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 6．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos 2α＝( )A.179B ．－1710C ．－179D ．1710解析：选A 因为cos α＋sin α＝－13，α∈(0，π)，所以sin 2α＝－89，cos α<0，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， 所以2α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2α＝1－sin 22α＝179. 7．化简：cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选B 依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22.8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，故sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55. 9．化简：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 10．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，若a 与b 的夹角为π3，则cos(α－β)的值为( )A.22 B ．12C.32D ．－12解析：选B 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，所以|a |＝|b |＝1. 又a 与b 的夹角为π3，所以a ·b ＝11cos π3＝12.又a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， 所以cos(α－β)＝12.12．已知0<β<α<π2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝3314，则角β＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7， ∴sin α＝437，cos α＝17.又sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝4371314－173314＝32. ∵0<β<π2，∴β＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin θ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，13，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________. 解析：若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π4. 答案：π414．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 答案：2215.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案：－4 316．若sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－14，则cos 4x ＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x －3π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝14，∴1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＝14， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－12，即sin 2x ＝－12， ∴cos 4x ＝1－2sin 22x ＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知π6＜α＜π2，且cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值． 解：因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝817. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝83＋1534，cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝153－834.18．(本小题满分12分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4的值． 解：(1)由0<α<π2，sin α＝45，得cos α＝35，∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝⎛⎭⎫452＋2×45×353×⎝⎛⎭⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.19．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取f (x )的最大值为1， 所以f (x )的最大值为32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋4π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值．(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋4π3＋1 ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3cos 2π3＋1＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋1 ＝－2cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝2sin π3＋1＝3＋1. (2)由(1)，知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 21．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－27732＋21712＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4，∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714.∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA uuu r＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA uuu r－n )．(1)求向量OA uuu r；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA uuu r＝(cos α，sin α)， ∴OA uuu r－n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA uuu r －n )，∴m ·(OA uuu r －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0. ① 又sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA uuu r ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2⎝⎛⎭⎫－55⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝245－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35⎝⎛⎭⎫－210＋457210＝25250＝22.。
高中数学 第三章 三角恒等变换单元质量评估 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
第三章三角恒等变换(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos230°-sin230°的值是()A. B.- C. D.-【解析】选A.cos230°-sin230°=cos 60°=.2.若sinθ+cosθ=，那么θ为( )A. B. C. D.【解析】选B.sin=，所以sin=，因为0<θ<，所以θ+=，所以θ=.3.(2015·某某高一检测)已知cosα=-，且π<α<，则cos=( )A. B.- C. D.-【解析】选B.因为π<α<，所以<<，cos=-=-=-.4.(2015·某某高一检测)若=3，则cos2θ+sin2θ的值是( )A.-B.-C.D.【解析】选D.因为tanθ=，所以原式=====.【补偿训练】已知sinα=且α∈，那么的值等于( )A.-B.C.-D.【解析】选C.因为sinα=，α∈，所以cosα=-，所以tanα=-.所以==2tanα=-.5.(2015·某某高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.A：y=cos=-sin2x；B：y=sin=cos2x；C：y=sin 2x+cos2x=sin；D：y=sinx+cosx=sin.只有A选项符合要求.6.已知向量a=(sinα，1)，b=(2，2cosα-)(<α<π)，若a⊥b，则sin=()A.-B.-C.D.【解析】选D.因为a=(sinα，1)，b=(2，2cosα-)，a⊥b，所以2sinα+2cosα-=0，即sinα+cosα=，因为sin2α+cos2α=1，<α<π，所以sinα=，cosα=.则sin=(sinα-cosα)=×=.7.(2015·安溪高一检测)在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【解析】选B.sinAsinB=cos2==，展开整理可得cos(A-B)=1，因为-π<A-B<π，故A=B，则△ABC是等腰三角形.8.设p=cosαcosβ，q=cos2，那么p，q的大小关系是( )A.p<qB.p>qC.p≤qD.p≥q【解析】选C.p-q=cosαcosβ-cos2=cosαcosβ-[1+cos(α+β)]=(cosαcosβ+sinαsinβ-1)=[cos(α-β)-1]≤0，所以p≤q.【补偿训练】(2015·某某高一检测)已知a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a，b，c从大到小的关系是________.【解析】a=sin14°+cos14°=sin59°，b=sin61°，c=·sin60°.因为59°<60°<61°，所以a<c<b，即b>c>a.答案：b>c>a9.(2015·石狮高一检测)函数y=cos2的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为( )A.πB.C.D.【解题指南】先将函数利用二倍角公式降幂，然后求出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求出a的最小值.【解析】选D.y=cos2===-sin2x，函数图象向右平移a个单位得到函数y=-sin[2(x-a)]=-sin(2x-2a)，要使函数的图象关于y轴对称，则有-2a=+kπ，k∈Z，即a=--，k∈Z，所以当k=-1时，a有最小值为，10.若0<α<β<，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则( )A.a<bB.a>bC.ab<1D.不确定【解析】选A.因为a=sin，b=sin，又0<α<β<，所以<α+<β+<，且y=sinx在上为增函数，所以sin<sin，即a<b.11.(2015·某某高一检测)当函数y=sin cos(-x)取得最大值时，tanx的值为( )A.1B.±1C.D.-1【解析】选A.y=(cosx+sinx)(cosx+sinx)=(sin2x+cos2x)+sinxcosx+sinxcosx=+sin2x.当sin2x=1时，y max=，此时2x=2kπ+(k∈Z)，x=kπ+(k∈Z)，所以tanx=1.12.已知不等式3sin cos+cos2--m≤0对于任意的-≤x≤恒成立，则实数m的取值X 围是( )A.m≥B.m≤C.m≤-D.-≤m≤【解题指南】将原不等式转化为3sin cos+cos2-≤m，构造函数f=3sin cos+cos2-，只要m≥f即可.【解析】选A.原不等式可化为3sin cos+cos2-≤m，令f=3sin cos+cos2-，则f=sin+-=sin+cos==sin，由-≤x≤得-≤+≤，所以-≤sin≤，所以-≤sin≤，为使m≥f对于任意的-≤x≤恒成立，只需要m≥.【补偿训练】已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)=4sinB·cos2+cos2B，若f(B)-m<2恒成立，则实数m的取值X围是( )A.m<1B.m>-3C.m<3D.m>1【解析】选D. f(B)=4sinBcos2+cos2B=4sinB+cos2B=2sinB(1+sinB)+(1-2sin2B)=2sinB+1.因为f(B)-m<2恒成立，即m>2sinB-1恒成立.因为0<B<π，所以0<sinB≤1.所以-1<2sinB-1≤1，故m>1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若=2016，则+tan2α=________.【解析】+tan2α=====2016.答案：201614.(2015·某某高一检测)若(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β=________.【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒=-1.即tan(α+β)=-1，所以α+β=kπ-，k∈Z.答案：kπ-，k∈Z15.若方程sinx+cosx=a在[0，2π]上恰有两个不同的实数解，则a的取值X围为________.【解析】因为sinx+cosx=a，所以a=2sin，其中x∈[0，2π].画出函数f(x)=2sin，x∈[0，2π]的图象，如图所示.由已知方程sinx+cosx=a在[0，2π]上恰有两个不同的实数解，知函数f(x)=2sin，x∈[0，2π]的图象与直线y=a有两个不同的交点，结合图象易得a的取值X围为(-2，1)∪(1，2).答案：(-2，1)∪(1，2)16.(2015·某某高一检测)关于函数f(x)=cos(2x-)+cos，有下列说法：①y=f(x)的最大值为；②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y=f(x)在区间上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合.其中正确说法的序号是________.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)【解析】f(x)=cos+cos=cos-sin=cos，所以f(x)max=，即①正确.T===π，即②正确.f(x)的递减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z).即kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z)，k=0时，≤x≤，所以③正确.将函数y=cos2x向左平移个单位得y=cos≠f(x)，所以④不正确.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014·某某高考)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若α是第二象限角，f=cos cos2α，求cosα-sinα的值.【解题指南】第(1)问，通过整体思想，将3x+看作一个整体，借助y=sinx的单调递增区间，解不等式求出x的X围得到f(x)的单调递增区间，要注意k∈Z不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f，然后利用和角公式展开整理，得到关于sinα+cosα与cosα-sinα的方程，再对sinα+cosα与0的关系进行讨论，得到cosα-sinα的值.【解析】(1)因为函数y=sinx的单调增区间为，k∈Z，由2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z)，得-≤x≤+(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由已知，有sin=cos cos2α，所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α)，即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(cosα+sinα).当sinα+cosα=0时，由α是第二象限角，知α=2kπ+(k∈Z)，此时cosα-sinα=cos-sin=-.当sinα+cosα≠0时，有(cosα-sinα)2=，由α是第二象限角，知cosα-sinα<0，此时cosα-sinα=-.综上，cosα-sinα=-或cosα-sinα=-.【补偿训练】已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期.(2)设α∈，若f=2cos2α，求α的大小.【解析】(1)由2x+≠+kπ，k∈Z，得x≠+，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f=2cos2α得，tan=2cos2α，=2(cos2α-sin2α)，整理得=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为α∈，所以sinα+cosα≠0.因此(cosα-sinα)2=，即sin2α=.由α∈，得2α∈.所以2α=，即α=.18.(12分)已知tanα=-，cosβ=，α，β∈(0，π).(1)求tan(α+β)的值.(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.【解析】(1)由cosβ=，β∈(0，π)，得sinβ=，即tanβ=2.所以tan(α+β)===1.(2)因为tanα=-，α∈(0，π)，所以sinα=，cosα=-.所以f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.19.(12分)(2015·某某高一检测)已知锐角α，β满足tan(α-β)=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ. 【证明】因为tan(α-β)=sin2β，tan(α-β)=，sin2β=2sinβcosβ==，所以=，整理得：tanα=.所以tanα+tanβ===2tan2β.20.(12分)已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A-B)=.(1)求证：tanA=2tanB.(2)设AB=3，求AB边上的高.【解析】(1)因为sin(A+B)=，sin(A-B)=，所以⇒⇒=2.所以tanA=2tanB.(2)因为<A+B<π，sin(A+B)=，所以tan(A+B)=-，即=-.将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0，解得tanB=，舍去负值，得tanB=.所以tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=，由AB=3，得CD=2+.所以AB边上的高等于2+.21.(12分)(2015·某某高考)已知函数f(x)=sin(-x)sinx-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解题指南】(1)化简函数f(x)的解析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)利用正弦函数的图象和性质求解即可.【解析】(1)由题意知f(x)=sin sinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x-≤π，从而当0≤2x-≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当<2x-≤π，即<x≤时，f(x)单调递减，综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.【补偿训练】(2015·某某高一检测)已知函数f(x)=sinx+cosx.(1)若f(x)=2f(-x)，求的值.(2)求函数F(x)=f(x)·f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增区间.【解析】(1)因为f(x)=sinx+cosx，所以f(-x)=cosx-sinx.又因为f(x)=2f(-x)，所以sinx+cosx=2(cosx-sinx)，且cosx≠0，所以tanx=，所以===.(2)由题知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx，所以F(x)=cos2x+sin2x+1，即F(x)=sin+1.当sin=1时，[F(x)]max=+1.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，故所求函数F(x)的单调递增区间为(k∈Z).22.(12分)(2015·某某高考)已知函数f(x)=10sin cos+10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式.②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.【解析】(1)因为f=10sin cos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin+5，所以函数f的最小正周期T=2π.(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a的图象，又已知函数g(x)的最大值为2，所以10+5-a=2，解得a=13.所以g=10sinx-8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0-8>0，即sinx0>.由<知，存在0<α0<，使得sinα0=.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π-α0)时，均有sinx>.因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ+α0，2kπ+π-α0)(k∈Z)时，均有sinx>.因为对任意的整数k，(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>>1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈(2kπ+α0，2kπ+π-α0)，使得sinx k>，亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g>0.。
2016高中数学人教B版必修四第三章《三角恒等变换》质量评估
章末质量评估(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝()．A.2＋64 B.2－64C.6－24 D.24解析sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14°＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋6 4.答案 A2．若1tan θ＝3，则cos2θ＋12sin 2θ的值是()．A．－65B．－45C.45 D.65解析∵tan θ＝1 3，∴原式＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θ1＋tan2θ＝1＋131＋19＝1210＝65.答案 D3．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝()．A.3365 B.6365C．－3365D．－6365解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )．A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b . 答案 A5．在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则△ABC 是 ( )．A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定解析 ∵0<tan A tan B <1，∴0<A ，B <π2， 又tan A tan B ＝sin A cos A ·sin Bcos B <1，∴cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <π2，∴C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形． 答案 A6．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－247. 答案 D7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为 ( )．A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2.答案 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )．A.1925 B.1625 C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案 D9．当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3D ．－1解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x＝34＋12sin 2x . 当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1. 答案 A10．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )．A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________． 解析 原式＝1＋cos 2＋(1－sin 21) ＝2cos 21＋cos 21 ＝3|cos 1|.又0<1<π2，∴cos 1>0， ∴原式＝3cos 1. 答案3cos 112.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案 213．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2.即t 2＋2t －1＝0， ∴t ＝－2±222＝－1±2. 又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2. 答案 22－214．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值． 解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. 16．(10分)求证：(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)sin 2x＝tan x 2. 证明 左式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2sin 2x ＝4sin 2x2cos xsin 2x＝4sin 2x2cos x2sin x cos x ＝2sin 2x 22sin x 2cos x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x2. 17．(10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝24，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22. 又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22.所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＝－1.18．(12分)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2＋2109. 19．(12分)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))， b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.解 (1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cosαsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34. (2)2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。
2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换单元质量评估习题含解析新人教A版必修4
第三章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知sin θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( A ) A ．－7226 B.7226 C ．－17226 D.17226解析：∵sin θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－12132＝513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝513×22＋⎝⎛⎭⎫－1213×22＝－7226. 2．已知cos α＝－35，则cos2α等于( B )A.725 B ．－725 C.2425 D ．－2425解析：∵cos α＝－35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－725.3．已知－π4<α<3π4，sin(π4－α)＝55，则sin α＝( A )A.1010 B.255 C.55 D.33解析：∵－π4<α<3π4，∴－π2<π4－α<π2，又sin(π4－α)＝55，∴cos(π4－α)＝255，∴sin α＝sin[π4－(π4－α)]＝1010. 4．已知α，β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( D ) A ．－3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π4解析：∵α，β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，∴cos α＝255，cos β＝31010，且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝65050－5050＝55050＝22，∴α＋β＝π4，故选D.5．已知锐角α的终边上一点P (1＋cos40°，sin40°)，则锐角α＝( C ) A ．80° B ．70° C ．20° D ．10°解析：由三角函数的定义可得tan α＝sin40°1＋cos40°＝2sin20°cos20°2cos 220°＝tan20°，因为α是锐角，所以α＝20°.6．若sin(π－α)＝－53且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α2)＝( B ) A ．－63 B ．－66 C.66 D.63解析：∵sin(π－α)＝sin α＝－53，α∈(π，3π2)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－23.又cos α＝2cos 2α2－1，α2∈(π2，3π4)，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－66，∴sin(π2＋α2)＝cos α2＝－66. 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( B )A ．－45B ．－35 C.35 D.45解析：由题意可知tan θ＝2，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. 8．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( D )A ．－1＋a 2 B ．－1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2解析：∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 9．y ＝sin x cos x ＋sin 2x 可化为( A ) A ．y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 解析：y ＝sin x cos x ＋sin 2x＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin2x －22cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.10．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( C )A.22 B.32C. 2 D ．2 解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴原式＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝ 2.11．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x的最大值是( B )A.223B.233C.43D.263解析：由于函数f (x )的图象关于x ＝5π3对称，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3，∴a ＝－32－a 2，∴a ＝－33， ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，∴g (x )max ＝233. 12．已知不等式f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ≤0，对于任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．m ≥ 3B ．m ≤ 3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤ 3解析：f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ＝322sin x 2＋62(1＋cos x 2)－62＋m ＝322sin x 2＋62cos x2＋m ＝6⎝⎛⎭⎫32sin x 2＋12cos x 2＋m ＝6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋m . 故要使f (x )≤0对任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，只需m ≤－6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6在－5π6≤x ≤π6上恒成立．∵－5π6≤x ≤π6，∴－π4≤x 2＋π6≤π4，∴[－6sin(x 2＋π6)]min ＝－ 3.∴m ≤－ 3.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝22－3.解析：∵tan x ＝2，∴原式＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝1－21＋2＝(1－2)2－1＝22－3.14．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于 3.解析：由sin 2α＋cos2α＝14，得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3. 15．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝5π6.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由0≤x <2π得，－π3≤x －π3<5π3，所以当x －π3＝π2，即x ＝5π6时取得最大值．16．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为π2. 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知α∈(π2，π)，β是第三象限角，且sin α＝35，cos β＝－513.求cos(α－β)和sin(α＋β)的值．解：∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∵β是第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1213. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－45)×(－513)＋35×(－1213)＝－1665；sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×(－513)＋(－45)×(－1213)＝3365.18．(本小题12分)计算：(1)3tan12°－3sin12°(4cos 212°－2)；(2)cos40°＋sin50°(1＋3tan10°)sin70°1＋cos40°.解：(1)原式＝3(sin12°－3cos12°cos12°)sin12°×2(2cos 212°－1)＝3(sin12°－3cos12°)2sin12°cos12°cos24°＝23(sin12°cos60°－cos12°sin60°)sin24°cos24°＝2×23sin (12°－60°)2sin24°cos24°＝－43sin48°sin48°＝－4 3.(2)原式＝cos40°＋sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°sin70°·2cos20°＝cos40°＋sin50°·2cos (60°－10°)cos10°sin70°·2cos20°＝cos40°＋sin100°cos10°2cos 220°＝cos40°＋122(cos40°＋1)＝ 2.19．(本小题12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－45，求sin α的值．解：(1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513. (2)由0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，可知cos β＝35，且0<α－β<π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝1213×35＋513×(－45)＝1665.20．(本小题12分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)将f (x )化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式(A >0，ω>0)； (2)求f (x )的最小正周期；(3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x . (2)由(1)知，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(3)由－π6≤x ≤π2，得－π3≤2x ≤π.所以－32≤sin2x ≤1.所以f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.21．(本小题12分)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝(1，tan(α＋β2))，0<α<π4，且a·b ＝73.(1)求f (x )在区间[2π3，4π3]上的最值；(2)求2cos 2α－sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin(x －π3)＋2，∵x ∈[2π3，4π3]，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π，∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最大值是4，最小值是2. (2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73，∴sin α＝13，又0<α<π4，∴cos α＝223，∴2cos 2α－sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin2αcos α－sin α＝2cos α＝423.22．(本小题12分)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. (ⅰ)求实数m 的取值范围； (ⅱ)证明：cos(α－β)＝2m 25－1.解：方法一：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝2cos(x －π2)的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)(ⅰ)f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5(25sin x ＋15cos x )＝5sin(x ＋φ)(其中sin φ＝15，cos φ＝25)． 依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0,2π)内有两个不同的解α，β当且仅当|m5|<1，故m 的取值范围是(－5，5)．(ⅱ)证明：因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m<5时，α＋β＝2(π2－φ)，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－5<m<1时，α＋β＝2(3π2－φ)，即α－β＝3π－2(β＋φ)，所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2(m5)2－1＝2m25－1.方法二：(1)同方法一．(2)(ⅰ)同方法一．(ⅱ)证明：因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m<5时，α＋β＝2(π2－φ)，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－5<m<1时，α＋β＝2(3π2－φ)，即α＋φ＝3π－(β＋φ)．所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．故cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－[1－(m5)2]＋(m5)2＝2m25－1.。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t Mt N t =-的最小值为（ ） A ．21- B ．1C ．22D ．212-2．若160,0,cos ,sin 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．53B ．3-C ．53-D ．3 3．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-4．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．356．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 7．函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是（ ）A ．(,)()44k k k Z ππππ-+∈ B ．3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C ．(,)()4k k k Z πππ+∈D ．(,)()42k k k Z ππππ++∈8．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 9．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（ ）A ．15B C ．-D10．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（ ）A B ．13C ．13-D ．11．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ）A ．BC ．9-D ．912．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______.14．tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ______ 17．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.18．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=______. 19．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 20．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______.三、解答题21．已知cos α5=，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值．22．已知函数2()cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．23．已知函数2()sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，求ϕ的取值范围．24．如图，在扇形OPQ 中，半径OP =1，圆心角3POQ π∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形.记POC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.25．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.26．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期， 因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为12-． 故选：D ． 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭， 所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++，对上述式子分子分母同除以2cos2θ得：222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 4．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 5．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.6．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==， 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质， 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.8．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cosA 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．9．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-， 所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-， 因为()0,απ∈，所以sin 0α≠， 所以2cos sin αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin 5α=， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题10．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．A解析：A【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin 333ααααααα=-=-+=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+1132=⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解：根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析： 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简，即可得所求的值. 【详解】解：根据两角和的正切公式，可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=，所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为：.【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用，考查化简运算能力，属于基础题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】利用辅助角公式两角差的正弦公式化简解析式：并求出和由条件和正弦函数的最值列出方程求出的表达式由诱导公式求出的值【详解】解：其中依题意可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查辅助角公式诱导公式解析：35【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sin y x ϕ=-，并求出cos ϕ和sin ϕ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sin θ的值． 【详解】解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=依题意可得()5sin 5θϕ-=，即()sin 1θϕ-=，2,2k k Z πθϕπ∴-=+∈所以3sin sin 2cos 25k πθϕπϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力．17．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin ,3522β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得：①②将①和②相加可得：即解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析：5972-【分析】把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值． 【详解】1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，将两式平方可得： 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①， 221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②， 将①和②相加可得：1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=， 即1322cos()36αβ+-=，解得59cos()72αβ-=-. 故答案为：5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.19．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则12=平方得22131424a a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.20．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+=故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ；（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵cos 5α=，()sin 10αβ-=，∴sin α5==，cos （α﹣β）10==， ∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α10=-=（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos α cos （α﹣β）+ sin α sin （α﹣β）2=+=， 又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.22．（1）最小正周期为π，单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题可得T π=，则可解出1ω=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求出单调递减区间；（2）可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间，即可求出a 的范围.【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，T π∴=，则22ππω=，解得1ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）可得()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，()1,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 要使关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根， 只需找出()g x 有两个点相等的区间即可， 当2,662x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭和52,626x πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时满足题意，此时()1,12g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1,12a ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是得出题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间.23．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）08πϕ<≤【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由22T ππω==即可求解.（2）由三角函数的平移变换可得()cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，设()()()212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为()h x 在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，只需22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可. 【详解】（1）()2sin 2()sin cos 1cos 22222x f x x x x x ωωωωω=+-=++-12sin 2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又0>ω，22T ππω==，解得1ω=， 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由题意可得()sin 2cos 2433g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()()()sin 2cos 233h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x ->-恒成立， 即()()12h x h x >恒成立，()h x ∴在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，,66x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，则22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 224222422244k k ππϕπππϕπππϕϕ⎧--≥-+⎪⎪⎪∴-+≤+⎨⎪⎪--<-+⎪⎩，8380k k πϕππϕπϕ⎧≤-⎪⎪⎪∴≤+⎨⎪>⎪⎪⎩，08πϕ∴<≤【点睛】关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为()()()2sin 212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在区间是单调递增函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力. 24．6πα=时，矩形ABCD 的面积，最大面积为36【分析】由题意可得cos sin 3CD αα=-，sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(cos sin )sin 3ααα=-⋅sin(32)623πα=+-，再由03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值 【详解】在Rt OBC 中，sin BC α=，cos OC α=， 在Rt ADO 中，tan 33AD OD π==， 所以sin 333OD AD BC α===， 所以cos sin 3CD OC OD αα=-=-， 设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(cos sin )sin 3ααα=-⋅ 2sin cos sin 3ααα=-1sin 2cos 222323αα=+- sin(32)623πα=+-，由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时， max 36323S ==，因此，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】 关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(cos )sinααα=-⋅2)6πα=+，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ（2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可. 【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T 又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+ 又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =- 所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<， 又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.26．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭ 【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解.【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
2019人教A版数学必修四习题第三章 三角恒等变换 单元质量评估 Word版含答案
单元质量评估
(分钟分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
.设(πθ),则θ( )
.±
.已知<α<,则的值是( )
°°°°的值是 ()
()
.若(πα)且α∈,则( )
.
.若将函数()的图象向右平移φ个单位,所得图象关于轴对称,则φ的最小正值是( )
.
.(·中原名校高三检测)°°的值为( )
.(·淮南高三检测)为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点 ( )
.向右平移个单位.向左平移个单位
.向上平移个单位.向下平移个单位
.已知α,则α( )
.
.在△中,若,则 ( )
.
·· ( )
.
.(·洛阳高三检测)设°°°·°,
(°°),则的大小关系是( )
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人教A版数学必修四《第三章-三角恒等变换》质量评估
章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝( )． A.2＋64 B.2－64 C.6－24 D.24解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A2．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )． A ．－65 B ．－45 C.45 D.65 解析 ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝1210＝65. 答案 D3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－6365 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )． A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b . 答案 A5．在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则△ABC 是( )． A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析 ∵0<tan A tan B <1，∴0<A ，B <π2， 又tan A tan B ＝sin A cos A ·sin Bcos B <1，∴cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <π2，∴C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形． 答案 A6．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案 D7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( )． A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2. 答案 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )．A.1925B.1625C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案 D9．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3 D ．－1 解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.答案 A10．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )． A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， ∴y ＝sin x ＋cos x 错误!y ＝sin x －cos x . 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________． 解析 原式＝1＋cos 2＋(1－sin 21)＝2cos 21＋cos 21＝3|cos 1|.又0<1<π2，∴cos 1>0， ∴原式＝3cos 1. 答案3cos 112．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心 的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案 213．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2. 即t 2＋2t －1＝0， ∴t ＝－2±222＝－1±2.又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2. 答案 22－214．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值．解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－ 1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. 16．(10分)求证：(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)sin 2x＝tan x 2. 证明 左式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2sin 2x ＝4sin 2x2cos xsin 2x＝4sin 2x2cos x 2sin x cos x ＝2sin 2x 22sin x 2cos x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x2. 17．(10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝24，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22.所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＝－1.18．(12分)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2＋2109.19．(12分)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))， b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.解 (1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。
人教A版数学必修四单元质量评估(三)第三章：三角恒等变换
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）[精练精析]单元质量评估（三）第三章：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=sinx+cosx的最小正周期是（）（A）（B）π（C）2π（D）4π【解析】选C.∵y=sinx+cosx=2sin(x+),∴T=2π.2.（2009·长春高一检测）化简cos2(-α)-sin2( -α)得( )(A)sin2α (B)-sin2α(C)cos2α (D)-cos2α【解析】选A.原式=cos(-2α)=sin2α.【解析】选A.sin89°cos14°-sin1°cos76°=sin89°cos14°-cos89°sin14°=sin75°=sin(45°+30°)=6.（2009·平遥高一检测）若0<α<β<π4,sinα+cosα=a, sinβ+cosβ=b,则（）（A）a>b （B）a<b （C）ab<1 （D）ab>219.（12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.21.（12分）（2009·新余高一检测）已知函数f(x)=2sin2x+ sinxcosx+1,求：（1）f(x)的最小正周期；（2）f(x)的单调递增区间；（3）f(x)在［0, ］上的最值.22.（12分）（2009·重庆高考）设函数f(x)=sin(x-)-2cos2x+1.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈［0, ］时，y=g(x)的最大值.。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（ ）A 1-B ．1C ．2D ．12-2．已知矩形ABCD 中，AB AD >.设点B 关于AC 的对称点为B '，AB '与CD 交于点P ，若3CP PD =，则tan BCB '∠=（ ）A ．-B ．C ．2-D ．4-3．函数()2cos ||cos 2f x x x =-在[,]x ππ∈-上的单调增区间为（ ） A ．,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（ ）A ．16B ．116C ．512D ．7125．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-6．已知sin cos x x +=，则1tan tan x x +=（ ） A ．6- B ．7-C ．8-D ．9-7．已知cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24258．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．839．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-710．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ） A．9-B．9C ．79-D ．7911．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-712．已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题13．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 14．4cos50tan40-=______．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 16．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.17．已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.18．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．19．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________．20．已知sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2θ=___________． 三、解答题21．已知函数2()cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．22．已知310,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==. （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.23．①角α的终边上有一点()2,4M ；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13；③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.问题：已知角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴上，___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.24．已知300cos 25παβπα<<<<=，，． （1）分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值；（2）若1sin()3αβ+=，求cos β．25．已知函数()22sin cos 1444x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调递减区间﹔ （2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()g x ，若()04g x =，05,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求0sin x 的值. 26．已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间及最小正周期.（3）若(0,)2πα∈，且()22f α=，求sin α.（4）若tan 2β=，求3()cos 22f ββ+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以2()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为212-． 故选：D ． 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】根据对称性可得BAC CAP ACP ∠=∠=∠，设1PD =，可计算出AB 的长，利用勾股定理可得BC 的长，在Rt ABC 中，由ABBC可得tan BCA ∠，再利用正切函数的二倍角公式可得答案. 【详解】如图，由题意得BAC CAP ACP ∠=∠=∠. 不妨设1PD =，则3AP CP ==，4AB CD ==， 在Rt APD 中，223122AD =-=，即22BC AD ==. 在Rt ABC 中，tan 222AB BCA BC ∠===. 则22tan 22tan tan 2221tan 12BCA BCB BCA BCA ∠'∠=∠===--∠-，故选：A.【点睛】本题考查了利用三角函数解决几何图形问题，关键点是利用对称性找到边长之间的关系然后利用正切函数求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．A解析：A【分析】先把函数解析式化简，然后令cos t x =，利用复合函数单调性求解即可 【详解】 当[]0,x π∈时，22()2cos ||cos 2=2cos (2cos 1)2cos 2cos 1f x x x x x x x =---=-++，令cos [1,1]t x t =∈-，，则cos t x =在[]0,x π∈上为减函数；而2221y t t =-++ 对称轴为12t =， ∴2221y t t =-++在1[1,]2t ∈-上单增，在1[,1]2t ∈上单减， ∴()y f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数． 又()2cos ||cos 2f x x x =-为偶函数，其图像关于y 轴对称， ∴()y f x =在,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数． 故()y f x =的单调增区间为,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：A 【点睛】复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为： 内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增)； 内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).4．A解析：A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】因为tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根， 所以有5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=， 因为()tan 1αβ+=，所以有5611a=-，所以16a =，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下：（1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.5．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 6．C解析：C 【分析】将等式sin cos x x +=sin cos x x 的值，利用切化弦可求得1tan tan x x+的值. 【详解】由sin cos x x +=，可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=，得1sin cos 8x x =-，因此，221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.故选：C. 【点睛】方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二．7．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.8．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.10．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．11．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.12．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，二、填空题13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得．【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-， ∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．14．【详解】故答案为考点：三角函数诱导公式切割化弦思想【详解】4sin 40cos 40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,1sin102cos 40⎫-⎪⎝⎭=40340==.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.16．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈所以()2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．17．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系 解析：75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=.因此，22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+. 故答案为：75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.18．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.19．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y，则sin tan (0)yx xααα===≠； 20．【分析】根据可得的值将平方结合正弦的二倍角公式即可计算出的值【详解】因为所以所以所以且所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开得到的值再根据与之间的关系：去完成求解解析：23【分析】根据sin 46πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得sin cos θθ-的值，将sin cos θθ-平方结合正弦的二倍角公式即可计算出sin 2θ的值. 【详解】因为sin 46πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()sin cos 26θθ-=，所以sin cos 3θθ-=，所以()21sin cos 3θθ-=且22sin cos 1θθ+=， 所以112sin cos 3θθ-=，所以2sin 23θ=， 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开sin 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭得到sin cos θθ-的值，再根据sin cos θθ-与sin 2θ之间的关系：()2sin cos 1sin 2θθθ-=-去完成求解. 三、解答题21．（1）最小正周期为π，单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题可得T π=，则可解出1ω=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求出单调递减区间； （2）可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间，即可求出a 的范围.【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，T π∴=，则22ππω=，解得1ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）可得()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，()1,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 要使关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根， 只需找出()g x 有两个点相等的区间即可， 当2,662x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭和52,626x πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时满足题意，此时()1,12g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1,12a ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是得出题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间.22．（1；（2）74π. 【分析】（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算； （2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+ 【详解】 因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以sin α=cos α=sin β=322πβπ<<，所以cos β===.（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=⎝⎭=（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛= ⎝⎭2=-. 因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=． 【点睛】方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角． 23．答案见解析 【分析】选条件①，则根据三角函数定义得cosα=，sin α=，进而根据二倍角公式得3cos25α=-，4sin 25α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件②，由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=，sin 3α=，进而根据二倍角公式得7cos 29α=-，sin 29α=，再结合余弦的和角公式求解即可； 选条件③，由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--，并结合题意得1tan 22α=，故cos 2α=，sin 2α=【详解】解：方案一：选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-，4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3145252=-⨯-⨯= 方案二：选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13，所以1cos 3α=，sin α==所以27cos 22cos 19αα=-=-，sin 22sin cos 9ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭719292=-⨯-⨯=. 方案三：选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---，结合2α为锐角，解得1tan 22α=，所以cos 2α=，sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12==. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题. 24．（1）724cos 2,sin 2,sin 25252ααα=-==；（2． 【分析】 （1）先由30cos 25παα<<=，，求出sin α，然后分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值； （2）先判断αβ+的范围，再凑角()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式即可求解． 【详解】 （1）因为30,cos 25παα<<=，所以24sin 1cos 5αα．所以27cos 22cos 1,2524sin 22sin cos ,25sin 2αααααα=-=-====；（2）因为0,02παβπ<<<<，所以302παβ<+<，因为14sin()sin 35αβα+=<=，所以αβ+不可能是锐角，所以cos()αβ+==，所以4cos cos[()]cos()cos sin()sin 15βαβααβααβα-=+-=+++=． 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 25．（1）最小正周期为4π，单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）. 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简()f x ，再求最小正周期及()f x 的单调递减区间；（2）求出()f x 的图象变换后的解析式，再求出04x π-的正余弦值利用凑角可得答案.【详解】()22sin cos 112sin cos 1cos 1444442x x x x x x f x ⎛⎫⎫=+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎭1sin 2sin 2sin 22222223x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）()f x 的最小正周期为4T π=， 由3222232x k k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，解得5114433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，得到函数62sin 2sin 2324x x y πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()2sin 4g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，据题意有0sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭03,44x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则0cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭则0000sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦822=⨯-=. 【点睛】 本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.26．（11（2）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，π（3）6（4）15+ 【分析】（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可； （3）先求出cos()3πα-，sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可； （4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】 （1）2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1cos21cos22x x x =-+-3cos212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，函数()f x 的周期为22T ππ==. （3）(0,)2πα∈，且()22f α=，())1223f απα=-+=，即sin()33πα-=， 因为(0,)2πα∈，所以cos()33πα-=， 故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=（4）33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3221cos 22βββ=-++211β=+=+1=+1= 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.。
人教A版数学必修四单元质量评估(三)第三章：三角恒等变换.doc
[精练精析]单元质量评估（三）第三章：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=sinx+cosx的最小正周期是（）（A）（B）π（C）2π（D）4π【解析】选C.∵y=sinx+cosx=2sin(x+),∴T=2π.2.（2009·长春高一检测）化简cos2(-α)-sin2( -α)得( )(A)sin2α (B)-sin2α(C)cos2α (D)-cos2α【解析】选A.原式=cos(-2α)=sin2α.【解析】选A.sin89°cos14°-sin1°cos76°=sin89°cos14°-cos89°sin14°=sin75°=sin(45°+30°)=6.（2009·平遥高一检测）若0<α<β<π4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则（）（A）a>b （B）a<b （C）ab<1 （D）ab>219.（12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.21.（12分）（2009·新余高一检测）已知函数f(x)=2sin2x+ sinxcosx+1,求：（1）f(x)的最小正周期；（2）f(x)的单调递增区间；（3）f(x)在［0, ］上的最值.22.（12分）（2009·重庆高考）设函数f(x)=sin(x-)-2cos2x+1.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈［0, ］时，y=g(x)的最大值.。
高中数学 第3章 三角恒等变换单元评估验收 新人教A版必修4
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题第3章 三角恒等变换单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：2sin 215°－1＝－(1－2sin 215°)＝－cos 30°＝－32. 答案：D2．在△ABC 中，已知sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰三角形解析：sin A sin B ＜cos A cos B ，即sin A sin B －cos A cos B ＜0，－cos(A ＋B )＜0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：B 3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( ) A.2425B.1225C ．－1225D ．－2425解析：由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.答案：D4．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 解析：因为f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期和振幅分别是π，1，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°， 所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝ 3(1－tan A tan B )＝233.所以tan A tan B ＝13.答案：B6．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( )A ．－3B ．－17C ．－43D ．－7解析：由α为锐角，cos α＝55，得sin α＝255，所以tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－431＋43＝－17，选B. 答案：B7．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26 B.4＋26 C.718 D.23解析：由题意可得，α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin π4＝223×22－13×22 ＝4－26. 答案：A8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α－1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－8解析：将方程sin α－cos α＝－52两边平方，可得1－sin 2α＝54，即sin 2α＝－14，则 tan α＋1tan α＝tan 2＋1tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α2＋1sin αcos α＝2sin 2α＝2－14＝－8.答案：D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A.－43－310B.43－310 C.12D.32解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0<x <π，得0<x ＋π6<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：B10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝( )A ．－78 B.78 C.18 D ．－18解析：由题意可得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π10＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝2cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α－1＝－78.答案：A11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的最大值为( )A.12 B.14 C ．1D.22解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时函数有最大值，最大值为12，故选A.答案：A12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增 解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （ωx ＋φ）·cos π4＋sin （ωx ＋φ）·sin π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（ωx ＋φ）－π4 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4 因为f (x )的最小正周期为π， 所以2πω＝π，ω＝2.又f (－x )＝f (x )，即f (x )是偶函数， 所以φ－π4＝k π(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2cos 2x ，由0＜2x ＜π得0＜x ＜π2，此时，f (x )单调递减，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知2cos2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________． 解析：因为2cos2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 114．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，解得tan α＝75. 答案：7515．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22·sin 2x 的最小正周期是________．解析：由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x2 ＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故最小正周期为π. 答案：π16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．解析：题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3，4.则cos θ＝45，cos 2θ＝2cos2θ－1＝725.答案：725三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35.所以sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α＝sin2α＋2sin αcos α3cos2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－45.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425.cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x . (1)求f (x )的最大值；(2)若tan α＝23，求f (α)的值． 解：(1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 当2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π3，k ∈Z 时．f (x )的最大值为1.(2)f (α)＝3sin 2α－2cos 2α ＝23sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝23tan α－2tan 2α＋1， 因为tan α＝23，所以f (α)＝23×23－24×3＋1＝1013.20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .22． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝ sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。
高中数学 第三章 三角恒等变换单元质量评估 新人教A版
第三章三角恒等变换(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos230°-sin230°的值是( )A. B.- C. D.-【解析】选A.cos230°-sin230°=cos 60°=.2.若sinθ+cosθ=，那么θ为( )A. B. C. D.【解析】选B.sin=，所以sin=，因为0<θ<，所以θ+=，所以θ=.3.(2015·中山高一检测)已知cosα=-，且π<α<，则cos=( )A. B.- C. D.-【解析】选B.因为π<α<，所以<<，cos=-=-=-.4.(2015·遵义高一检测)若=3，则cos2θ+sin2θ的值是( )A.-B.-C.D.【解析】选D.因为tanθ=，所以原式=====.【补偿训练】已知sinα=且α∈，那么的值等于( )A.-B.C.-D.【解析】选C.因为sinα=，α∈，所以cosα=-，所以tanα=-.所以==2tanα=-.5.(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.A：y=cos=-sin2x；B：y=sin=cos2x；C：y=sin 2x+cos2x=sin；D：y=sinx+cosx=sin.只有A选项符合要求.6.已知向量a=(sinα，1)，b=(2，2cosα-)(<α<π)，若a⊥b，则sin=( )A.-B.-C.D.【解析】选D.因为a=(sinα，1)，b=(2，2cosα-)，a⊥b，所以2sinα+2cosα-=0，即sinα+cosα=，因为sin2α+cos2α=1，<α<π，所以sinα=，cosα=.则sin=(sinα-cosα)=×=.7.(2015·安溪高一检测)在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【解析】选B.sinAsinB=cos2==，展开整理可得cos(A-B)=1，因为-π<A-B<π，故A=B，则△ABC是等腰三角形.8.设p=cosαcosβ，q=cos2，那么p，q的大小关系是( )A.p<qB.p>qC.p≤qD.p≥q【解析】选C.p-q=cosαcosβ-cos2=cosαcosβ-[1+cos(α+β)]=(cosαcosβ+sinαsinβ-1)=[cos(α-β)-1]≤0，所以p≤q.【补偿训练】(2015·台州高一检测)已知a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a，b，c从大到小的关系是________.【解析】a=sin14°+cos14°=sin59°，b=sin61°，c=·sin60°.因为59°<60°<61°，所以a<c<b，即b>c>a.答案：b>c>a9.(2015·石狮高一检测)函数y=cos2的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为( )A.πB.C.D.【解题指南】先将函数利用二倍角公式降幂，然后求出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求出a的最小值.【解析】选D.y=cos2===-sin2x，函数图象向右平移a个单位得到函数y=-sin[2(x-a)]=-sin(2x-2a)，要使函数的图象关于y轴对称，则有-2a=+kπ，k∈Z，即a=--，k∈Z，所以当k=-1时，a有最小值为，10.若0<α<β<，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则( )A.a<bB.a>bC.ab<1D.不确定【解析】选A.因为a=sin，b=sin，又0<α<β<，所以<α+<β+<，且y=sinx在上为增函数，所以sin<sin，即a<b.11.(2015·承德高一检测)当函数y=sin cos(-x)取得最大值时，tanx的值为( )A.1B.±1C.D.-1【解析】选A.y=(cosx+sinx)(cosx+sinx)=(sin2x+cos2x)+sinxcosx+sinxcosx=+sin2x.当sin2x=1时，y max=，此时2x=2kπ+(k∈Z)，x=kπ+(k∈Z)，所以tanx=1.12.已知不等式3sin cos+cos2--m≤0对于任意的-≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )A.m≥B.m≤C.m≤-D.-≤m≤【解题指南】将原不等式转化为3sin cos+cos2-≤m，构造函数f=3sin cos+cos2-，只要m≥f即可.【解析】选A.原不等式可化为3sin cos+cos2-≤m，令f=3sin cos+cos2-，则f=sin+-=sin+cos==sin，由-≤x≤得-≤+≤，所以-≤sin≤，所以-≤sin≤，为使m≥f对于任意的-≤x≤恒成立，只需要m≥.【补偿训练】已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)=4sinB·cos2+cos2B，若f(B)-m<2恒成立，则实数m的取值范围是( )A.m<1B.m>-3C.m<3D.m>1【解析】选D. f(B)=4sinBcos2+cos2B=4sinB+cos2B=2sinB(1+sinB)+(1-2sin2B)=2sinB+1.因为f(B)-m<2恒成立，即m>2sinB-1恒成立.因为0<B<π，所以0<sinB≤1.所以-1<2sinB-1≤1，故m>1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若=2016，则+tan2α=________.【解析】+tan2α=====2016.答案：201614.(2015·杭州高一检测)若(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β=________.【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒=-1.即tan(α+β)=-1，所以α+β=kπ-，k∈Z.答案：kπ-，k∈Z15.若方程sinx+cosx=a在[0，2π]上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为________.【解析】因为sinx+cosx=a，所以a=2sin，其中x∈[0，2π].画出函数f(x)=2sin，x∈[0，2π]的图象，如图所示.由已知方程sinx+cosx=a在[0，2π]上恰有两个不同的实数解，知函数f(x)=2sin，x∈[0，2π]的图象与直线y=a有两个不同的交点，结合图象易得a的取值范围为(-2，1)∪(1，2).答案：(-2，1)∪(1，2)16.(2015·长沙高一检测)关于函数f(x)=cos(2x-)+cos，有下列说法：①y=f(x)的最大值为；②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y=f(x)在区间上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合.其中正确说法的序号是________.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)【解析】f(x)=cos+cos=cos-sin=cos，所以f(x)max=，即①正确.T===π，即②正确.f(x)的递减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z).即kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z)，k=0时，≤x≤，所以③正确.将函数y=cos2x向左平移个单位得y=cos≠f(x)，所以④不正确.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014·四川高考)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若α是第二象限角，f=cos cos2α，求cosα-sinα的值.【解题指南】第(1)问，通过整体思想，将3x+看作一个整体，借助y=sinx的单调递增区间，解不等式求出x的范围得到f(x)的单调递增区间，要注意k∈Z不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f，然后利用和角公式展开整理，得到关于sinα+cosα与cosα-sinα的方程，再对sinα+cosα与0的关系进行讨论，得到cosα-sinα的值.【解析】(1)因为函数y=sinx的单调增区间为，k∈Z，由2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z)，得-≤x≤+(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由已知，有sin=cos cos2α，所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α)，即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(cosα+sinα).当sinα+cosα=0时，由α是第二象限角，知α=2kπ+(k∈Z)，此时cosα-sinα=cos-sin=-.当sinα+cosα≠0时，有(cosα-sinα)2=，由α是第二象限角，知cosα-sinα<0，此时cosα-sinα=-.综上，cosα-sinα=-或cosα-sinα=-.【补偿训练】已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期.(2)设α∈，若f=2cos2α，求α的大小.【解析】(1)由2x+≠+kπ，k∈Z，得x≠+，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f=2cos2α得，tan=2cos2α，=2(cos2α-sin2α)，整理得=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为α∈，所以sinα+cosα≠0.因此(cosα-sinα)2=，即sin2α=.由α∈，得2α∈.所以2α=，即α=.18.(12分)已知tanα=-，cosβ=，α，β∈(0，π).(1)求tan(α+β)的值.(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.【解析】(1)由cosβ=，β∈(0，π)，得sinβ=，即tanβ=2.所以tan(α+β)===1.(2)因为tanα=-，α∈(0，π)，所以sinα=，cosα=-.所以f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.19.(12分)(2015·哈尔滨高一检测)已知锐角α，β满足tan(α-β)=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tan β.【证明】因为tan(α-β)=sin2β，tan(α-β)=，sin2β=2sinβcosβ==，所以=，整理得：tanα=.所以tanα+tanβ===2tan2β.20.(12分)已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A-B)=.(1)求证：tanA=2tanB.(2)设AB=3，求AB边上的高.【解析】(1)因为sin(A+B)=，sin(A-B)=，所以⇒⇒=2.所以tanA=2tanB.(2)因为<A+B<π，sin(A+B)=，所以tan(A+B)=-，即=-.将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0，解得tanB=，舍去负值，得tanB=.所以tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=，由AB=3，得CD=2+.所以AB边上的高等于2+.21.(12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)=sin(-x)sinx-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解题指南】(1)化简函数f(x)的解析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)利用正弦函数的图象和性质求解即可.【解析】(1)由题意知f(x)=sin sinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x-≤π，从而当0≤2x-≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当<2x-≤π，即<x≤时，f(x)单调递减，综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.【补偿训练】(2015·汕头高一检测)已知函数f(x)=sinx+cosx.(1)若f(x)=2f(-x)，求的值.(2)求函数F(x)=f(x)·f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增区间.【解析】(1)因为f(x)=sinx+cosx，所以f(-x)=cosx-sinx.又因为f(x)=2f(-x)，所以sinx+cosx=2(cosx-sinx)，且cosx≠0，所以tanx=，所以===.(2)由题知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx，所以F(x)=cos2x+sin2x+1，即F(x)=sin+1.当sin=1时，[F(x)]max=+1.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，故所求函数F(x)的单调递增区间为(k∈Z).22.(12分)(2015·福建高考)已知函数f(x)=10sin cos+10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式.②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.【解析】(1)因为f=10sin cos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin+5，所以函数f的最小正周期T=2π.(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a的图象，又已知函数g(x)的最大值为2，所以10+5-a=2，解得a=13.所以g=10sinx-8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0-8>0，即sinx0>.由<知，存在0<α0<，使得sinα0=.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π-α0)时，均有sinx>.因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ+α0，2kπ+π-α0)(k∈Z)时，均有sinx>.因为对任意的整数k，(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>>1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈(2kπ+α0，2kπ+π-α0)，使得sinx k>，亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g>0.。
人教版高考数学必修四第三章：三角恒等变换单元质量评估
单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设sin(π-θ)=,则cos 2θ= ( B )A.±B.C.-D.-2.已知sin=,-<α<0,则cos的值是( C )A. B. C.- D.13.sin 14°cos16°+sin76°cos74°的值是 ( B )A. B. C.- D.-4.-= ( D )A.4B.2C.-2D.-45.若sin(π-α)=-且α∈,则sin= ( A )A.-B.-C.D.6.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是( C )A. B. C. D.7.(2018·中原名校高三检测)cos 375°+sin 375°的值为( A )A. B. C.- D.-8.(2018·淮南高三检测)为了得到函数y=2cos2的图象,只需把函数y=-sin 2x的图象上所有的点( C )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位9.已知cos 2α=,则tan2α= ( D )A. B.2 C. D.10.在△ABC中,若cos A=,cos B=,则cos C= ( C )A. B. C. D.11.cos ·cos ·cos= ( A )A.-B.-C.D.12.(2018·洛阳高三检测)设a=cos 50°cos127°+cos40°·cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是( D )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知tan α=3,则cos 2α=-.14.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是π.15.(2018·广东珠海六校联考)已知tan(α+β)=,tan β=,则tan的值为.16.已知cos4α-sin4α=,且α∈,则cos=.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值.(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,|a|=|b|,得4sin2x=1,又x∈,从而sin x=,所以x=.(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x=sin 2x-cos2x+=sin+,当x=∈时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.18.(本小题满分12分)(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以sin≥sin=-,所以当x∈时,f(x)≥-.19.(本小题满分12分)已知cos α=-,α∈.(1)求cos的值.(2)求tan 2α的值.【解析】(1)因为cos α=-,α∈,所以sin α==,所以cos=cos αcos +sin αsin=-×+×=.(2)因为tan α===-,所以tan 2α===.20.(本小题满分12分)已知α∈,且sin +cos =.(1)求cos α的值. (2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.【解析】(1)将sin +cos =两边同时平方,得1+sin α=,则sin α=.又<α<π,所以cos α=-=-.(2)因为<α<π,<β<π,所以-<α-β<.所以由sin(α-β)=-得cos(α-β)=, 所以cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×+×=-.21.(本小题满分12分)(2018·济南高三检测)已知函数f(x)=-2cos2+.(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在[0,π]上的值域.【解析】(1)f(x)=1+sin x-cos x=1+2sin.由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得f(x)的单调递增区间为,k∈Z,由2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,得f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(2)x∈[0,π],则x-∈,sin∈,2sin∈[-,2],所以f(x)在[0,π]上的值域为[1-,3].22.(本小题满分12分)已知向量m=,n=,其中α∈,且m⊥n.(1)求sin 2α和cos 2α的值.(2)若sin=,且β∈,求角β.【解析】(1)因为m⊥n,所以2cos α-sin α=0,即sin α=2cos α.代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,又α∈,则cos α=,sin α=.则sin 2α=2sin αcos α=2××=.cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.(2)因为α∈,β∈,所以α-β∈.又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.由β∈,得β=.关闭Word文档返回原板块。
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章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝( )． A.2＋64 B.2－64 C.6－24 D.24解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A2．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )． A ．－65 B ．－45 C.45 D.65解析 ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝1210＝65. 答案 D3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－6365 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )． A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b . 答案 A5．在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则△ABC 是( )． A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析 ∵0<tan A tan B <1，∴0<A ，B <π2， 又tan A tan B ＝sin A cos A ·sin Bcos B <1，∴cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <π2，∴C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形． 答案 A6．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案 D7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( )． A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2. 答案 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )．A.1925B.1625C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案 D9．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3 D ．－1 解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.答案 A10．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )． A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， ∴y ＝sin x ＋cos x 错误!y ＝sin x －cos x . 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________． 解析 原式＝1＋cos 2＋(1－sin 21)＝2cos 21＋cos 21＝3|cos 1|.又0<1<π2，∴cos 1>0， ∴原式＝3cos 1. 答案3cos 112．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →， 它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心 的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)， B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案 213．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2. 即t 2＋2t －1＝0， ∴t ＝－2±222＝－1±2.又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2.答案 22－214．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值．解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－ 1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. 16．(10分)求证：(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)sin 2x＝tan x 2. 证明 左式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2sin 2x ＝4sin 2x2cos xsin 2x＝4sin 2x2cos x 2sin x cos x ＝2sin 2x 22sin x 2cos x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x2. 17．(10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝24，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22.所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＝－1.18．(12分)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2＋2109.19．(12分)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))， b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.解 (1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。