正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理

1．内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -

面积公式:

111

sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=

== 在三角形中大边对大角，反之亦然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)

形式二：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)

形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四：

sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =

==

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2

2

2

2cos a b c bc A =+- 2

2

2

2cos b c a ca B =+- 222

2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具)

形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222

cos 2a b c C ab +-=

二、方法归纳

(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c

A B C ==

，可求出角C ，再求b 、c .

(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2

-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .

(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .

(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b

A B =

，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b

A B =

求B 时，可能出一解，两解或无解的情况

a =

b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解

三、课堂精讲例题

问题一：利用正弦定理解三角形

【例1】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=

,1sin 3A =，则a =

.3

【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

【解析】 ∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B

a sin =2

45sin 3︒ =23,

则A 为60°或120°.

①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=

B

C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.

②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=B

C

b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.

故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=

226+或A=120°,C=15°, c =2

2

6-. 【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =

2

3

,在(0,)π上显然有两个解。sin y x =在(0,)π上的值域为（0,1】，

sin 1x =在(0,)π只有

2x π

=

一解。

【适时导练】

1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ; （2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a. 【解析】（1）由正弦定理得B b A a sin sin =.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒

︒

⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. （2）由正弦定理得sinC=

4

30sin 8sin ︒

=b B c =1.又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°. ∴A=180°-(B+C)=60°, a =2

2b c -=43.

问题二：利用余弦定理解三角形

【例3】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4

1

cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.

【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力 【解析】（Ⅰ）∵44

1

441cos 22

2

2

=⨯

-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a . （Ⅱ）∵41cos =

C ，∴415411cos 1sin 2

2

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8

152415

sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 2

2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=A A