必修一(第二章基本初等函数)导学案

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【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案)

知识点一指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质一般地，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示：R注意(1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用到分类讨论思想.(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0<a<1时，a值越小，图象向上越靠近y轴，递减速度越快.(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.知识点二对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质定义域是(0，＋∞)知识点三对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称.(如图)知识点四幂函数y＝xα的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.题型一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.例1 (1)化简：4133223384-+a a b b a÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 325. 解 (1)原式＝1111333311111122333333(8)(2)2()2-⨯⨯++-a a b aa b b a b a a b＝11113333(8)8-⨯⨯=-a a b a a b a b(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 35＝log 3(4×932×8)－52log 35＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪训练1 (1681)34-＋log 354＋log 345＝________.答案278解析 (1681)34-＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 31＝278＋0＝278.题型二函数的图象函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.例2 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )答案 A解析函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象.跟踪训练2 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析当x >0时，y ＝xa x |x |＝a x .又0<a <1，可排除A 、C ；当x <0时，y ＝xa x|x |＝－a x .又0<a <1，可排除B. 题型三比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决. 例3 设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则( )A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c答案 A解析 a ＝log 213＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.2＜1，c ＝231＞1，故有a ＜b ＜c . 跟踪训练3 设a ＝log 2π，b ＝log 21π，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 21π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b .题型四换元法的应用换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题.本章中，常设u ＝log a x 或u ＝a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u 的取值范围. 例4 求函数y ＝f (x )＝－(12)2x －4(12)x ＋5的值域.解函数的定义域是R .设u ＝(12)x ，由于x ∈R ，则u ∈(0，＋∞).则有y ＝－u 2－4u ＋5＝－(u ＋2)2＋9. ∵u ∈(0，＋∞)，∴y ∈(－∞，5)，故函数y ＝f (x )的值域是(－∞，5).跟踪训练4 已知实数x 满足－3≤log 21x ≤－12，求函数y ＝(log 2x 2)·(log 2x4)的值域.解 y ＝(log 2x 2)·(log 2x4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2.∵－3≤log 21x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.令t ＝log 2x ，则t ∈[12，3]，y ＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－14，∴t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2.故函数的值域为[－14，2].分类讨论思想应用指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论.例5 函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值. 解 y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2.令a x ＝t ，则y ＝(t ＋1)2－2，对称轴方程为t ＝－1. ①当a >1时，因为－1≤x ≤1，所以1a ≤a x ≤a ，即1a ≤t ≤a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝a 时有最大值，所以(a ＋1)2－2＝14，所以a ＝3.②当0<a <1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x ≤1a ，即a ≤t ≤1a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝1a 时有最大值，所以(1a ＋1)2－2＝14，所以a ＝13.所以a 的值为3或13.跟踪训练5 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集.解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎫a a ，＋∞.。

新课标人教A版数学必修一第二章基本初等函数复习导学案

新课标人教A版数学必修1第二章基本初等函数复习导学案一、指数函数：1.指数与指数幕：(1)根式的概念：一般地，如果x" = a ,那么x叫a的n次方根，n>i且n € N*,当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，a的n次方根用符号n a表示，式子：a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是互为相反数，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并成土n a ( a >0)，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作&0 =0。

当n是奇数时，、:a = a，当n是偶数时，，(2)分数指数m m幕：a n=Qa m(a >0，m,N*，n >1)，a_n=^=(a >0，m,n N*，n>1)，零的正分数指数幕为0,零的负分数指■n n a ■. a数幕没有意义，整数指数幕的运算性质可以推广到有理数指数幕，(3)实数指数幕的运算性质：(1) a r a s =a r卡(a x0,r，s己R)，(2) (a r)s = a rs (a a 0，r，SE R)，(3) (a b)r = a r，b r (a a 0,b a 0, r R)。

2.指数函数及其性质：(1)指数函数的概念：一般地，函数y二a x(a 0,且a=1)叫指数函数，x是自变量，函数的定义域为R，(2)指数函数的图象和性质：a>1) y a x(0y —( a (a y — a (u 0时y = a x：> 1,当x c 0时0 < y = a x c 1 减函数，当x > 0 时0 cy = a x c1,当xc0时y = a x>1 二、对数函数：1.对数：(1) 一般地，如果a x=N (a ・0,a =1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = log a N(a叫底数，N 叫真数，log a N叫对数式),a x = N log a N = x ,两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数lg N ,②自然对数：以无理数e=2.71828… 为底的对数ln N ,(2)对数的运算性质：①log a(M N)=log a M log a N,② log a M^log a M -log a N,③ log a M n=n log a M (n R),④换底公式：log a b二誥(a 0 且a=1 , c 0 且c=1, b 0),(1) log a m b^^log a b,(2) log a b=g-a,2.对数函数：(1)对数函数的概念：函数y = log a x(a 0且a=1)叫对数函数，x是自变量，函数的定义域是(0,+ g ),对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，y=2log 2 x, y二log5 5都不是对数函数，只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质：函数图象都在y轴右侧，函数的定义域为(0, ),向y轴正负方向无限延伸，函数的值域为R函数图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(1,0), log a 1 = 0在f(x)=log a x中，总有f(1)=0和f(a)=1增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升当x >1时，y = log a x >0 ,当0 £x 时，y = log a x v0 当0 £x £1时，y = log a x > 0 ,当x a 1时，y=log a x £0三、幕函数:1.定义：一般地，形如y =X〉(a • R)的函数称为幕函数，：•为常数。

高一数学《基本初等函数》导学案(参考答案)

第二章基本初等函数第二节指数函数及其性质（第2课时）参考答案【自主认知】 1.y 与x 之间满足y=2x (x ∈N *).2.y 与x 之间满足y= (x ∈N *).3.因为对于每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系式都可构成函数.它们与函数y=x 2的区别在于前者的自变量都在指数的位置上,而y=x 2的自变量在底数的位置上.y=a x (a>0且a ≠1) 自变量 R【合作探究】不能.因为当a<0时,a x 不一定有意义,如(-2)x ;当a=0时,0x 不一定有意义,如00,0-2,故a 的取值范围不能小于或等于0.2.不一定,当限定a>0且a ≠1时,才是指数函数3.因为指数函数的解析式为y=a x (a>0,且a ≠1),故要确定指数函数的解析式,只需确定a 的值.【典型例题】 1.选B.y=2-x = 故此函数是指数函数,且为减函数,故选B. 2. 要使函数f(x)有意义,需2x -1≥0,即2x ≥1,故x ≥0.答案:[0,+∞)3.【解题指南】(1)观察函数解析式的形式看是否满足指数函数的定义,然后再下结论.(2)已知是指数函数时,需紧扣指数函数解析式的特点,让a x 的系数为1,列出a 的方程,进而求出a 的值,检验可得答案.【解析】(1)选B.函数y=2·3x ,y=3x+1,y=x x 均不符合指数函数解析式的特征,不是指数函数,而y=πx 符合指数函数的定义,是指数函数.(2)由题意a 2-3a+3=1,即a 2-3a+2=0.解得a=1或a=2,而a=1不符合指数函数的定义,故a=2.答案:24.选C.令(a-2)2=1,得a=3或a=1,当a=1时不符合题意舍去,故a=3.【变式拓展】【解题指南】1.取特殊值,令x=1,得到的y 值即为a,b,c,d 的值,通过观察图象即可确定大小关系.2.先考虑去掉绝对值,然后画出函数的图象求解.【解析】1.选D.过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交,可知1<d<c,b<a<1,故b<a<1<d<c.2.当x ≥0时,y=5|x|=5x ;当x<0时,y=5|x|=5-x = .所以函数y=5|x|的图象如图所示.四、随堂检测x 1(),2x 1()5x 1()21. 选C.①不是指数函数,自变量不在指数上;②中2x的系数为-1,故不是指数函数;③自变量不在指数上,不是指数函数;④⑤符合指数函数定义的形式,是指数函数.2. 选D.点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以3a=9,a=2,所以tan=tan60°=.3. 选B.因为3x>0,所以3x+1>1,即函数的值域是(1,+∞).4. 选B.由函数的图象在第一、三、四象限可知,此函数应为递增的,故a>1,又过定点(0,-b),此点应在y轴的负半轴上,则-b<0,即b>0.5. 令t=x2-2x+2,则y=,又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为0≤x≤3,所以当x=1时,t min=1;当x=3时,t max=5.故1≤t≤5,所以≤y≤,故所求函数的值域为.。

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2.1.1指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.知识点一根式的定义1.n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次.(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次n.正的n次方根与负的n次方根可以合(3)0的任何次方根都是0(4)负数没有偶次方根.3.根式的定义式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.4.两个等式(1)(na)n＝a(n∈N*).(2)na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数，且n∈N*)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数，且n∈N*).知识点二分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m naa ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：-m n a＝nm a1(a ＞0，m ，n ∈N *, 且n ＞1).(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 思考 (1)分数指数幂m na 能否理解为mn个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式m na ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 答 (1)不能.m na 不可以理解为mn 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法.(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝m na ＝0，无研究价值.②若a <0，mn a ＝na m 不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.知识点三有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q ). 知识点四无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.题型一根式的运算例1 求下列各式的值.(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3). 解 (1)3(－2)3＝－2. (2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪训练1 化简下列各式.(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4. 解 (1)5(－2)5＝－2. (2)4(－10)4＝|－10|＝10. (3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).题型二根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式. (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝a 31·a 41＝a 127.(2)原式＝a 21·a 41·a 81＝a 87. (3)原式＝a 23·a 32＝a136.(4)原式＝(a 31)2·a 21·b 32＝a 76b 32.反思与感悟在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：mna ＝na m 和-m na＝nm a1＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式： (1)3a ·6－a (a ＜0)；(2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)23)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解 (1)原式＝a 31·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0). (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a ＝157322()⋅a b ＝5766a b (a ，b ＞0). (3)原式＝212343⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0).(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝x35-(x ≠0).题型三分数指数幂的运算例3 (1)计算：0.06431-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21；(2)化简：3329-a a÷3a －7·3a 13(a ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝191317113()()32322323[][]⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅a aaa＝937136666-+-a＝a 0＝1.反思与感悟指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪训练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；.解 (1)原式＝(－1)23-⎝⎛⎭⎫33823-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27823-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝133111513322222()[()()]----⋅⋅⋅a a a a＝1513103222()()-⋅⋅a a a＝(a －4)21＝a －2.题型四条件求值例4 已知a 21＋a21-＝3，求下列各式的值.(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122----a a a a.解 (1)将a 21＋a 21-＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方，得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47.(3)33221122----a a a a＝1111122221122()()-----⋅⋅-a a a+a +a a a a＝a ＋a －1＋1＝8.反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过1122-+a a＝3(a >0)解出a 的值代入求值则非常复杂.解决此类问题的一般步骤是：2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如： (1)a －b ＝(a 21)2－(b 21)2＝(a 21＋b 21)(a 21－b 21).(2)a ±b ＝(a 31)3±(b 31)3＝(a 31±b 31)(a 23∓a 31b 31＋b 23). 跟踪训练4 已知a ＋a －1＝5(a >0)，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2；(2)a 21－a21-；(3)a 3＋a －3.解 (1)方法一由a ＋a －1＝5两边平方，得a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23. 方法二 a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23. (2)∵(a 21－a 21-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 21－a21-|＝3，∴a 21－a21-＝± 3.(3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3) ＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3] ＝5×(25－3)＝110.因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误例5 化简：(1－a )[(a －1)－2·(－a )21]21. 错解原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a )41＝－(－a )41. 正解因为(－a )21存在，所以－a ≥0，故a －1<0，原式＝(1－a )(1－a )－1(－a )41＝(－a )41.错误原因因题中有(－a )21，所以－a ≥0，即a ≤0，则[(a －1)－2]21≠(a －1)－1，错解中忽略了这一条件.跟踪训练5 求[(1－2)2]21－(1＋2)－1－1＋213÷47的值. 解原式＝2－1－(2－1)－1＋2－1＝－12.1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝aB.(47)4＝－7C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )；当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( ) A.1－2x B.0 C.2x －1 D.(1－2x )2答案 C解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1. 4.化简－x 3x 的结果是________.答案－－x5.已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 答案 83解析103m －n ＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.1.掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.一、选择题1.下列等式一定成立的是( ) A.a 31·a 32＝a B.a31-·a 31＝0C.(a m )n＝nm aD.a m ÷a n ＝a m －n答案 D解析由指数运算的性质可知D 正确. 2.化简3a a 的结果是( )A.aB.aC.a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 21)31＝(a 32)31＝a 21＝a .3.化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1 B.－1 C.a 2－1a 2＋1 D.a 2＋1a 2－1答案 C 解析(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝(a －a －1)2÷[(a ＋a －1)(a －a －1)]＝a －a －1a ＋a －1＝aa －a －1aa ＋a －1＝a 2－1a 2＋1. 4.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( )A.x ∈RB.x ∈R 且x ≠12C.x ＞12D.x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.5.化简a 3b 23ab 2(a 41b 21)4·3ba(a ，b ＞0)的结果是( )A.b aB.abC.ab D.a 2b 答案 C解析原式＝[a 3b 2(ab 2)13]12÷(a 1b 2b 13a －13)＝1121275247(3)(2)3232333333()+⨯+⨯--÷=⨯aba b ab＝a b. 6.已知x 21＋x21-＝5，则x 2＋1x的值为( )A.5B.23C.25D.27 答案 B解析 x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 21＋x 21-)2－2＝52－2＝23.故选B.二、填空题 7.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823＝________.答案 22－3 解析原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 8.计算：(π)0＋2－2×(214)21＝________.答案118解析原式＝1＋14×(94)21＝1＋14×32＝118.9.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______. 答案 14 215解析利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.10.设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3，所以x ＝3y ＋3.①由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9，所以2y ＝x －9.②由①②联立方程组，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)(0.027)31－⎝⎛⎭⎫61421＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)733－3324－6319＋4333；(3)861552()--⋅a b ·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0).解(1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52221＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝7×331－3323×3－63⎝⎛⎭⎫132＋ 43×331＝7×331－6×331－6×323-＋331＝2×331－2×3×323-＝2×331－2×331＝0. (3)原式＝861431(()())552552⨯--⨯-⋅⋅÷a ba b＝43435555-⋅⋅÷a b a b ＝44335555-+-ab＝a 0b 0＝1.12.已知a ＝－827，b ＝1771，求a 23＋33ab ＋9b 23a 43－27a 13b ÷a313a －33b 的值. 解原式＝a 32＋3a 31·b 31＋(3b 31)2a 31(a －27b )·a 31－3b31a 31＝(a 31)3－(3b 31)3a 32(a －27b )＝a 23-＝(－827)23-＝(－23)－2＝94.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值；第11页共11页 (2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 21－y 21x 21＋y 21的值. 解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)x 21－y 21x 21＋y 21＝(x 21－y 21)2(x 21＋y 21)(x 21－y 21)＝(x ＋y )－2(xy )21x －y.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 21－y 21x 21＋y 21＝12－2×921－63＝－33.。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章导学案

§2.1.1指数与指数幕的运算（1）'7学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.飞亠.学习过程一、课前准备（预习教材P48~ P50,找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为_____________ ；正方体的体积公式为 _______________ 3复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 _________ ，记作_________ ；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的 __________ ，记作 _________ .二、新课导学探学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1.某市人口平均年增长率为 1.25%, 1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题2 :生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量Pt与死亡时碳14关系为P （I）3730 .探究该式意义？2小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察：（2）24，那么2就叫4的_________ ；33 27，那么3就叫27的_________ ；（3）4 81，那么3就叫做81的__________ .依此类推，若x n a ,,那么x叫做a的_____________ .新知：一般地，若x n a ,那么x叫做a的n次方根（n th root ），其中n 1 , n简记：n a .例如：238，则38 2.反思：当n为奇数时，n次方根情况如何？例如：3 27 3 , 3一27 3,记：x n a .当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如：81的4次方根就是_______ ，记：n a .强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,即n 0 0 .试试:b4 a ,则a的4次方根为_____________ ；b3 a，则a的3次方根为____________ .新知：像的式子就叫做根式（radical）,这里n 叫做根指数（radical exponent） , a叫做被开方数（radicand）.试试：计算（V3）2、V43、n，（ 2）n .问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3% ,则x年后GDP为2000年的多少倍？反思：从特殊到一般，（n a）n、的意义及结果?高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数（I ）2变式：计算或化简下列各式• （1）5一32 ；（2）3av1•计算：（1）5 a 10 ；推广：n P a mp np （ a 0） 2. 计算a 3 a 4和a 3 （ 8），它们之间有什么关系? 你能得到什么结论？练 2.化简 2 3 3 1.5 6 12 .二、总结提升探学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质. 探知识拓展1. 整数指数幕满足不等性质：若2. 正整数指数幕满足不等性质： ① 若a 1，则a n 1 ；na nb n 与（a ）n 电，你能把后者归入b b②若0 a 1，则0 a n 1.其中n N*.偶数时，股^ |a |aa (a (a 0) 0).探典型例题例1求下类各式的值:(1)3( a)3 ；(2) 4( 7)4；(3)6 (3 )6 ；(4)2Ga b)2 (ab )7学习评价探自我评价A.很好探当堂检测你完成本节导学案的情况为 B.较好（时量： C. 一般5分钟满分:（）较差D. 10分）计分：1. 4（ 3）4的值是（ A. 3 B. - 32. 625的4次方根是（ A. 5B. - 53. 化简（2_b ）2是（ ). C. 3 ). C. ± 5 ). D. 81D. 25 A. b B. bC. b1 D. b 6'：4.化简贾a b ）=5•计算：（3_5）3 =课后作业探动手试试练1.化简 5 2 61 4 3 ■ 6 4.2.3.对比（ab ）n前者吗？a 0 ,则 a n 0.结论：（ya ）n a.当n 是奇数时，舛a ；当n 是§2.1.1指数与指数幕的运算(2) 反思：：1：^'学习目标---■ 1 1 —— iil 1 -i — - — B - - _ - *_• B1. 理解分数指数幕的概念；2. 掌握根式与分数指数幕的互化；3. 掌握有理数指数幕的运算..;W…学习过程一、课前准备(预习教材P50~ P53，找出疑惑之处)复习1: 一般地，若x n a，则x叫做a的___________ 其中n 1,n .简记为：__________________ .像n a的式子就叫做________________ ，具有如下运算性质：(n a)n= ________ ；n r= _________ ；np a mp= ______ ①0的正分数指数幕为 ________ ；0的负分数指数幕为②分数指数幕有什么运算性质?小结：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.指数幕的运算性质：(a 0,b 0, r,s Q)探典型例题2 4 2例1求值：27^ ; 16乜；(?) 3；(生)乜5 49复习2:整数指数幕的运算性质.(1) a m|a n_________ ； (2) (a m)n_________ : (3) (ab)n__________ .二、新课导学探学习探究探究任务：分数指数幕__ ______ 10引例：a>0 时，N a10#(a2 )5 a2 a5,则类似可得3 a2________________ ；_ —2 2荷费a3)3 a3，类似可得需____________________新知：规定分数指数幕如下m ___a n(a 0,m,n N ,n 1)；mn 1 1 *a = n (a 0,m,n N ,n 1).a下" 变式：化为根式例2用分数指数幕的形式表示下列各式(b 0):(1) b2| . b ；(2) b3]5 b3；(3) 3 b4 b .试试:(1)将下列根式写成分数指数幕形式:23^= _________ ；3孑= ________a m = ___________ (a 0,m2 2(2)求值：83；55；例3计算(式中字母均正)：2 1 1 1 1 5 1 3(1) (3a'b2)( 8a薔)(6a勞)；(2) (m4』)16.(a r) rsa r r s(ab) a a .高一月日班级：姓名:4m八m n"n m n mn A. aa a B. a a a=m nm nn0 nC. aaD. 1 a a32.化简25°的结果是 ( ). A. 5 B. 15 C. 25D.125■•-3.计算12…的结果是（）.小结：在进行指数幕的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幕，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幕的运算法则 . 反思： ①的结果？结论：无理指数幕.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幕意义） ②无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的实数•实数指数幕的运算性质如何？ A. 、2 B . 2 C.—2 D . —22 22 4. 化简27总= ___________ .3m n5. 若 10m 2, 10n 4，则 10^ = ____________ .I■:.…课后作业1. 化简下列各式：：(1) (-)' ； ( 2)代代宵.49 Y b V a Y b%动手试试8 5化成分数指数幕二、总结提升 %学习小结①分数指数幕的意义；②分数指数幕与根式的互化；③有理指数幕的运算性质 .■%知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：m m °e t ，其中t 表示经过的时间，m °表示初始质量，衰减后的小结：例2,运算性质的运用；例 3，单项式运算例4计算: (1) (2)a 3 尹(a3(2m 2n 5)10(0)； m 2n 3)6(m,n(3) (416 3 32) 464.第二章基本初等函数（I ）质量为m ,为正的常数.学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C. 一般D.较差%当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若a 0 ,且m,n 为整数，则下列各式中正确的是（）.练 2.计算：（1） 33|43『27 ； (2)2.计算:3a 4 83 ab3，a 22$ab 4^ a 4练1.把§2.1.1指数与指数幕的运算(练习)小结：① 平方法；② 乘法公式；：1：^'学习目标1. 掌握n 次方根的求解；2. 会用分数指数幕表示根式；3. 掌握根式与分数指数幕的运算吒亠.学习过程一、课前准备(复习教材P 48~ P 53，找出疑惑之处) 复习1：什么叫做根式？运算性质？像苗的式子就叫做 ________________ ,具有性质：(n a)n = ________ ； n ?= ________ ；np a mp = _____________ ③根式的基本性质nP T n a m (a >0)等.注意，a > 0十分重要，无此条件则公式不成立例如，6 (一8)238.1 1变式：已知a 2 a 3，求：1133(1)a 2 a 2 ；(2) a 2 a 2.复习2：分数指数幕如何定义？运算性质？mm① a 〒 _________ ； a n ____________ . 其中 a 0, m, n N *,n 1② a r |a s ___________ ； (a r )s ___________ s(ab) ____________ . 复习3:填空.小结：① 方法：摘要T 审题；探究 T 结论;|x|(x (x 0) 0)② 求下列各式的值:3尹=_ 6育=4孑=_416 = ___15_32 =60V= _例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出 1升，然后用3 水填满，再倒出1升，又用水填满，这样进行5次,3则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？二、新课导学探典型例题1a 2例1已知求下列各式的值:(2)补充：立方和差公式 a 3 b 3(a3a 22 a b)(a 2_ab(3)3a 2 a 2b 2).变式：n 次后?高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数(I )6② 解应用问题四步曲：审题T 建模T 解答T 作答 %动手试试1 1 1 1练 1.化简：(x 2y 2) (x 4y 4).1. 已知 x a 3 b 2,求 4 x 2 2a 3x a 6 的值.练 3.已知 f (x) x , N x 2 0,试求 f (xj f (x 2) 的值.2. 探究：n a n (n a)n 2a 时，实数a 和整数n 所应满足的条件.%学习小结1. 根式与分数指数幕的运算；2. 乘法公式的运用. %知识拓展 1. 立方和差公式： a 3 b 3 (ab)(a 2 ab b 2)； 3322ab (a b)(aab b ).2. 完全立方公式： (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 ；A.很好 %当堂检测B.较好C.(时量：5分钟-般 D.较差满分：10分)计分：练2. (1)已知 x+x -1=3, 1 1求下列各式的值33(2) x 2 x 21.92A. 3 _a 32. -4a的值为( ). B. 3 3 C. 3 (a>0)的值是(A. 1 3.下列各式中成立的是:1A .(巴)7 n 7m 7B. aC.D. 729D.).1710 aB . 12 ( 3)43一3C .贰y (x34. 化简(生)2= ____42 1 1 15. 化简(a 3b 2)( 3a 2b 3)3y)11 5/16 "6 (孑 b)=(a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3.:y-学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为§2.1.2指数函数及其性质(1)• y 学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景, 生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，质(单调性、特殊点).5457复习1：零指数、负指数、分数指数幕怎样定义的? (1) a 0 (2) a rm(3) a n 其中a复习2:有理指数幕的运算性质.(1)_____________ a|a； (2) (a )__________________ (3) (abT __________ . 二、新课导学 %学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例： A .细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2 次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第 x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B •一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数 y a x (a 0,且a 1)叫做指数函数 (exponential function ),其中 x 是自变量，函数的定义域为R.反思：为什么规定a > 0且a 工1呢？否则会出现什么情况呢？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性.作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1 xxy (2) ， y 2讨论：(1)函数y 2x 与y (l)x 的图象有什么关系？如2何由y 2x 的图象画出y (])x 的图象？2(2) 根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质.变底数为3或1后呢？3%典型例题例1函数f(x)a x ( a 0,且a 1)的图象过点(2,),求 f (0) , f ( 1), f(1)的值.试试：举出几个生活中有关指数模型的例子?认识数学与现实掌握指数函数的性0, m, n N ,n 1高一月日班级：姓名:8］空—课后作业练2.比较大小: 0.70.90.8(1) a 0.8 ,b 0.8 ,c 1.2 ；0 八，2.5 0.21.6(2) 1 , 0.4 , 2,2.5 . 1. 求函数y=r的定义域.5厂1二、总结提升 %学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法 .%知识拓展因为y a x (a 0,且a 1)的定义域是R ,所以Iy a f(x) (a 0,且a 1)的定义域与f (x)的定义域相同.而y (a x ) (a 0,且a 1)的定义域，由I小结：①确定指数函数重要要素是 ____________ ②待定系数法. 第二章基本初等函数(I )丄 y (t)的定义域确定.例2比较下列各组中两个值的大小： (1 ) 20.6,20.5 ； (2) 0.9 2,0.9 1.5 (3) 2.10.5,0.52.1 ； ( 4) 2 3与 1. -W-学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为A.很好B.较好C. 一般 %当堂检测(时量： 1. 函数 y (a 3a ( ). A. 1 B. 2 2. 函数 f(x)= a x 2 (). A. (0,1) C. (2,1)-( )C. 一般D.较差 5分钟满分：10分)计分： 3)a x 是指数函数，贝U a 的值为 C. 1或2 D.任意值 1 (a>0,a 丰1)的图象恒过定点小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数 %动手试试练1.已知下列不等式，试比较 m 、n 的大小: (1) (|)m (|)n ； (2) 1.1m 1.1n . B. D. f (x)(0,2)(2,2)xm ，② g(x)3. 指数函数① (2.5)5.5.函数yn x 满足不等式 ).24.比较大小：(2.5)' x1的定义域为2.探究：在［m,n ］上，f(x) a x (a 0且a 1)值域?§2.1.2指数函数及其性质(2)匸SX一…学习目标1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？y学习过程一、课前准备(预习教材P57~ P60,找出疑惑之处)复习1：指数函数的形式是_______________________ 其图象与性质如下小结：指数函数增长模型.设原有量N，每次的增长率为P，则经过x次增长后的总量y= ____________ .我们把形如y ka x (k R,a 0,且a 1)的函数称为指数型函数. 例2求下列函数的定义域、值域：1 (1)y 2x 1; (2) y 3 穴；(3) y 0.4厂.思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律?探典型例题例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口.因此，中国的人口问题是公认的社会问题. 2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策.(1)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？(2)从2000年起到2020年我国人口将达到多少？小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法试试：求函数y J2x *的定义域和值域，并讨论其单调性.x 1 x y 2,y q,yx 1 x x5 , y （一），y 10 , y5（存.10 变式：单调性如何?高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数(I )丄10%动手试试 2 1练1.求指数函数y 2x 的定义域和值域，并讨论其单调性. 行研究.在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.:T .学习评价%自我评价A.很好 %当堂检测 1. 如果函数你完成本节导学案的情况为 ( )B.较好C. 一般D.较差(时量：5分钟满分：10分)计分： y=a x(a>0,a 丰1)的图象与函数y=b x ).练2.已知下列不等式，比较 m,n 的大小. (1) 3 3 ； (2) 0.6 0.6 ； (3) a m a n (a 1) ； (4) a m a n (0 a 1).(b>0,b ^ 1)的图象关于y 轴对称，则有( A. a>b B. a1)在R 上递减 C. 若 a 2 >a 2 1，则 a>1 D. 若 2x >1，则 x 1 4. 比较下列各组数的大小：(2) 5/3、0.76 (——)33 (0.4)2 ； (3) 0.75练3. —片树林中现有木材 30000 m 3,如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材 y m 3,写出x , y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3. 5. 在同一坐标系下，函数y=a x , y=b x , y=c x , y=d x 的图象如右图，贝U a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 ________________ .1课后作业1. 2已知函数 f(x)=a —¥ (a € R)，求证：对任何2 1R , f(x)为增函数.二、总结提升 %学习小结 1. 指数函数应用模型 y ka x (k R,a 0且a 1)； 2. 定义域与值域； 2.单调性应用(比大小). %知识拓展 I 形如y a f(x) (a 0,且a 1)的函数值域的研究，先求得f (x)的值域，再根据 a t 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视 y a f(x) 0.而形如 y (a x ) (a 0,且a 1)的函数值域的研究，易知a x 0，再结合函数⑴进x2.求函数y U 的定义域和值域，并讨论函数2x 1的单调性、奇偶性.§21对数与对数运算(1)匚匕］….学习目标1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.新知：一般地，如果a x N (a 0,a 1)，那么数x 叫做以a 为底N的对数(logarithm ).记作x log a N，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数.试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式学习过程一、课前准备(预习教材P62~ P64，找出疑惑之处)复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭(1 )取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm )，并把常用对数log10N简记为IgN. 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N简记作lnN试试：分别说说lg5、Ig3.5、In10、ln3的意义.复习2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元, 如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？(只列式)反思：(1 )指数与对数间的关系？a 0, a 1 时，a x N ___________________ .(2 )负数与零是否有对数？为什么？(3) ____________ log a1______________ , log a a ____________%典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式%学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？1(1) 53 125 : (2) 2 7: (3) 3a 27 :128(4) 10 20.01 ；(5) log1 32 5 ；~2(6) lg0.001= 3 ；(7) ln 100=4.606.变式：log! 32 ? lg0.00仁？讨论：(1 )问题具有怎样的共性？(2)已知底数和幕的值，求指数.怎样求呢？例如: 由1.01x m ,求x.2高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数（I ）12学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.3. 对数式log a 2（5 a ） b 中，实数a 的取值范围是（）.二、总结提升探学习小结①对数概念；②IgN 与lnN ；③指对互化；④如何求对数值探知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家一一纳皮尔（ Napier , 1550-1617 年）男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文 2. 计算：(1) Iog g 27 ；(2) log 3 243 ；(3) log.4381 ；(3)log (2 .3)(23) ； (4) log 兮 625.小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体例2求下列各式中 x 的值：(1) log 64 x 2 ；3(2) log x 8 6 ；(3) lg x 4 ；(4) 3ln e x.A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测（时量： 5分钟满分: 10分）计分 1.若 log 2 x 3，则x ().A. 41. 6 C ；.8D. 92. log( n , n)（芦 n)= ( ).A. 1B.-1 C. 2D. -2小结：应用指对互化求 x. 探动手试试练1.求下列各式的值 (1) log 5 25 ；(3) lg 10000.A . ( ,5)B . (2,5)C . (2,)D . (2,3)(3,5)4.计算:log 21(3 2.2)5.若 log x ( . 21)1 , 贝U x=,若:log 匹 8 y ，贝V y= ___________ .”课后作业1.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式1(1) 35 243 ； (2) 2 5 — ； (3) 4a 3032 (4) (l)m 1.03 ；(5) log/64 ；2 2 (6) log 2128 7 ；(7) log 3 27 a .练2.探究log a a nlog a Na探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.(2) log a M log a M log a N ；N(3)log a M n n 也皿(n R).§§?.2.1对数与对数运算(2)二鱼匚_学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题 ..学习过程一、课前准备(预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处) 复习1：(1) 对数定义：如果 a x N (a 0, a 1)，那么数x 叫做 _______________ ，记作 _____________ .(2) 指数式与对数式的互化：xa N _______________ .反思：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路? (运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幕运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式.) %典型例题例1用log a x, log a y, log a z 表示下列各式： (1) log a 马；(2)loga^^ .z即z%学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由a p a q a p q ,如何探讨log a MN 和log a M 、 log a N 之间的关系？问题：设 log a M p, log a N q ,由对数的定义可得： M=aP , N= a q -••• MN=a P a q =a p q ,log a MN=p+q ，即得 log a MN = log a M + log a N- 根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0, a 1, M > 0, N > 0 ,贝U (1) log a (MN) log a M log a N ；(1) m n a la m ；(2) (a ) ； (3) (abT 复习 3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答： (1) 设 log a2 m , log a3 n ,求 a m n； (2) 设 log a M m , log a N n ，试利用m 、n 表复习2:幕的运算性质示 log a (M • N).例2计算：(1) log 5 25 ； (2) log °.4 1 ； (3) log 2 (48 25) ；(4) lg 9100.探究：根据对数的定义推导换底公式 log a b 卫验log c a(a 0 ,且 a 1 ； c 0 ,且 c 1 ； b 0 ).高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数（I ）14试试:2000年人口数13亿，年平均增长率 1 %, 多少年后可以达到18亿？ %动手试试练 1.设 lg2 a , lg3 b ，试用 a 、b 表示 log 512 .变式：已知 lg2 = 0.3010, lg3 = 0.4771，求 lg6、lg12. lg 3的值.③ 对数恒等式：log a nN n log a N ,log a mN n—log a N , log a^log b dlog c a 1.m 1 T冬仝学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C. 一般 %当堂检测（时量：5分钟满分: 1.下列等式成立的是（）A . Iog 2(3 5) log 2 3 log 2 5B .log 2( 10)2 2log 2( 10) C . ilog 2(3 5) log 2^log 2 5 D . log 2( 5)3log 2 532.如果 lgx=lga+3lgb — 5lgc，那么( 3abB. x —— 5c练 3.计算：(1)|g14 2lg - lg73丄w.课后作业1. 计算：__(1) lg 厉 lg8 3lg 10lg1.2 (2) lg 22 lg2 lg5 lg5 .%学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③ 换底公式.2. 设a 、b 、c 为正数，且3a 4b 6c ，求证:1 1 1_ ___ c a 2b②对数的倒数公式log a b1log b aC . x 练2.运用换底公式推导下列结论 n n(1) log a m b log a b ； (2) log a b m 1 log b a3. 若 2lg A . y C .y 4. 计算： (2) 5.计算:3ab~5" cy 2x lgx B . y D . y D . x=a+ b 3— c 3lg y ，那么（）.2x3x (1) Iog g 3 Iog g 27 1Iog 2$ log 224x lg丄lg§ 2 3D.较差10分）计分：A . x=a+3b — c lg 243 lg9lg18 (2)%知识拓展①对数的换底公式log a Nlog b N log b a§.2.1对数与对数运算(3):_学习目标1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.咽*学习过程一、课前准备(预习教材P66〜P69,找出疑惑之处) 复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0, a 1, M > 0, N > 0 ,贝U(1)log a(MN) ____________________ ；M(2)也-N(3)叽M n ______________________ .换底公式log a b _______________ .复习2：已知Iog23 = a, log3 7 = b,用a, b 表示log 42 56.复习3: 1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在 1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？(用式子表示)准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？(精确到1)小结：读题摘要T寻找数量关系T利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”•根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系.回答下列问题：(1)求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？(2)已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？(3)长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？探典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M lg A lg A D，其中A是被测地震的最大振幅，A o是“标准地震”的振幅(使用标高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数(I )16反思：① P 和t 之间的对应关系是—对应； ② P 关于t 的指数函数P (5730 J)x ，则t 关于P 的函数为 __________ . %动手试试练1.计算： (1) 51 log °'23 ； (2) log 4 3 log 9 2 log 1 4 32 . f(X 1 X 2)f(xj f(X 2)2 2在给定区间内，若函数则函数f(x)在该区间上为f(X 1) f(x 2)21- 学习评价练2.我国的GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？ f (x)的图象向下凹进，凹函数，结合图象易得到%自我评价你完成本节导学案的情况为 A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差%当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：: log 5( a)21.書5(a * 0)化简得结果是().A . — aB . a^C . | a | D. a1:2.若 log 7 :log 3 (log 2X ) = 0，则 x 2 =( ).A. 3B. 2 3C. 2,2D. 3 2-b 1 13. 已知3 5 m ，且一一 2，贝U m 之值为a b( ). A . 15 B .15 C . ±, 15 D . 2254. 若 3a= 2,则 log 38 — 2log 36 用 a 表示为 _______ . 5.已知lg2 lg2.50.3010 , -----------；lg1.071812^00.0301，则 1.化简:22 2C 1)lg5 -lg8 lg5lg20 (lg2)；3(2) log 2 5+log 40.2 log 5 2+log 250.5三、总结提升 %学习小结1. 应用建模思想(审题T 设未知数T 建立x 与y 之间的关系-求解-验证)； 2. 用数学结果解释现象. :%知识拓展在给定区间内，若函数 f (x)的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到2.若 lg X y lg X 2y 的值.xlg 2 lg X lg y ,求一y§2.2.2对数函数及其性质(1):…学习目标1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法学习过程一、课前准备(预习教材P70~ P72，找出疑惑之处)复习1:画出y 2x、y (l)x的图象，并以这两2个函数为例，说说指数函数的性质.t log 1 P，生物死亡年数t都有唯一的值与之对5730应，从而t是P的函数) 新知：一般地，当a > 0且a丰1时，函数y log a x 叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x；函数的定义域是(0，+s).反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：y 2log 2 x，y log5 (5x)都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制(a 0,且a 1).探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.y log?% ；y log0.5x.复习2:生物机体内碳14的“半衰期”为5730 年, 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代(列式)二、新课导学探学习探究探究任务一：对数函数的概念问题：根据上题，用计算器可以完成下表:讨论：t与P的关系？(对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系反思：探典型例题例1求下列函数的定义域：2(1) y log a x ； (2) y log a(3 x)；高一月日班级：姓名:第二章基本初等函数（I ）18%知识拓展对数函数凹凸性：函数f （x ） log a x, （a 0,a 1）,为,X 2是任意两个正实数.变式：求函数y .Iog 2(3—x)的定义域.例2比较大小： (1) In3.4, In8.5 ；(2) log °.3 2.8, log °.3 2.7 ；(3) log a 5.1, log a 5.9.当a 1时，丄凶血 f （x 刈）；2 2 '当0 a 1时，丄凶些f （兰x 2）.2 2:*住.……学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B.较好C. 一般D.较差 % 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：小结：利用单调性比大小；注意格式规范 . %动手试试练1.求下列函数的定义域. （1） y log °.2（ x 6）；（2） y 3Iog2^1 . 1.当a>1时，在同一坐标系中，函数 y a x 与y log a x 的图象是（）2.函数y 2 Iog 2x （x > 1）的值域为（）A. (2, )B. ( ,2)C. 2,D. 3, A. (2,) B. (0,2)1 B.(夕) D. （0,1）4.比大小：(1)log 67 log 76 ；(2) log 31.5 log 2 0.813.不等式的log 4X -解集是（）25.函数y log （x-1）（3-x ）的定义域是 _______________练2.比较下列各题中两个数值的大小 . (1) log 23和 Iog 2 3.5 ； (2) log 0.3 4和 log 0.20.7 ； (3) Iog 0.71.6和 log 0.71.8 ； (4) log ? 3和 Iog 3 2 .课后作业1.已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：(1)log s m v log 3 n ;(2) log °.3m > log 0.3 n ;(3) log a m > log a n (a > 1)二、总结提升 %学习小结 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.2.求下列函数的定义域：(1) y Iog 2(3x 5) ； (2) y . Iog e.54x 3.反思：函数X log 2 y 由y 2X 解出，是把指数函数§2.2.2对数函数及其性质(2)1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.y 2X 中的自变量与因变量对调位置而得出的 .习惯上我们通常用 x 表示自变量，y 表示函数，即写为 ylog 2 x .新知：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数 (in verse fun ctio n )x例如：指数函数 y 2与对数函数y log 2x 互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 y 2X 及其反函数y log 2x 图象，发现什么性质?学习过程一、课前准备(预习教材P 72~ P 73，找出疑惑之处)aC 1) log 10 7 与 log 1012 ； ( 2)log“0.7 与 log 0.5 0.8.反思：(1)如果巳化』。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.2.2 第1课时

2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.知识点一对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).思考根据对数函数的定义，你能总结出对数函数具有哪些特点吗？答(1)底数a>0，且a≠1.(2)自变量x在真数位置上，且x>0.(3)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须是x.知识点二对数函数的图象与性质(0，＋∞)知识点三反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.题型一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1.解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数. (3)自变量在底数位置上，不是对数函数. (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数.反思与感悟判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x .跟踪训练1 下列函数为对数函数的是( ) A.y ＝log 1x B.y ＝3log 2x C.y ＝log 2(x ＋1) D.y ＝log 2x答案 D题型二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的a 值依次为( ) A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35答案 A解析在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大，∴c 4<c 3<c 2<c 1，故c 1，c 2，c 3，c 4各值依次为3，43，35，110，故选A.反思与感悟对数函数图象特点：(1)底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0小于1，图象呈下降趋势.(2)在第一象限，各图象对应的对数函数底数顺时针增大.底数越小，在第一象限图象越靠近y 轴；底数越大，在第一象限图象越靠近x 轴.跟踪训练2 如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( ) A.0<a b >1 D.b >a >1答案 B解析两图象均呈下降趋势，所以a ，b 均小于1.结合第一象限图象特征得b <a ，所以0<b <a <1. 例3 函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1) 答案 D解析令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1).反思与感悟求解对数型函数过定点问题，一般先令真数等于1，求出横坐标x ，再求出纵坐标值y ，即可得定点坐标.跟踪训练3 函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0，a ≠1)的图象必过定点的坐标为_______. 答案 (0,2)解析当x ＝0时，f (x )＝2，所以函数f (x )的图象必过定点(0,2). 题型三对数函数的定义域例4 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)D.(－∞，＋∞)(2)若f (x )＝121log (21)+x ，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1解得x ＞－12且x ≠0.反思与感悟求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 跟踪训练4 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4). 题型四对数函数与指数函数的反函数例5 (1)y ＝(12)x 的反函数为________.(2)y ＝log 7x 的反函数为________.(3)点(4,16)在函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象上，则a ＝________. 答案 (1)y ＝log 21x (2)y ＝7x (3)2解析 (1)∵指数函数y ＝(12)x 的底数为12，∴它的反函数为对数函数y ＝log 21x .(2)∵对数函数y ＝log 7x 的底数为7. ∴它的反函数为指数函数y ＝7x .(3)∵函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数是y ＝a x (a >0，且a ≠1)，又∵点(4,16)在函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上. ∴16＝a 4，∴a ＝2.反思与感悟 1.同底的对数函数与指数函数互为反函数. 2.互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称.跟踪训练5 点(2,4)在函数f (x )＝log a x 的反函数的图象上，则f (12)等于( )A.－2B.2C.－1D.1 答案 C解析因为点(2,4)在函数f (x )＝log a x 的反函数图象上，所以点(4,2)在函数f (x )＝log a x 的图象上，所以2＝log a 4，即a 2＝4，得a ＝2，所以f (12)＝log 212＝－1.求解对数函数定义域考虑不全致误例6 求函数y ＝log (x ＋1)(16－4x )的定义域. 错解由16－4x >0，解得x <2， ∴函数定义域为(－∞，2). 正解由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x ≠0. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2).纠错心得求对数函数的定义域，要满足：(1)真数大于零；(2)底数大于零且不等于1.注意要同时满足这两个条件，不能漏掉其中一个. 跟踪训练6 求函数f (x )＝log (2x －4)(10－2x )的定义域. 解由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10－2x >0，2x －4>0，2x －4≠1，解得2<x <52或52<x <5，∴函数f (x )的定义域为(2，52)∪(52，5).1.下列函数是对数函数的是( ) A.y ＝log a (2x ) B.y ＝log 22x C.y ＝log 2x ＋1 D.y ＝lg x答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合. 2.函数f (x )＝11－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.(－13，＋∞)B.(－∞，－13)C.(－13，13)D.(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案A解析函数y＝－log a x恒过定点(1,0)，排除B项；当a＞1时，y＝a x是增函数，y＝－log a x 是减函数，当0<a<1时，y＝a x是减函数，y＝－log a x是增函数，排除C项和D项，A项正确.4.若a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x－1)＋1的图象恒过定点________.答案(2,1)解析函数图象过定点，则与a无关，故log a(x－1)＝0，∴x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝log a(x－1)＋1过定点(2,1).5.若函数f(x)＝a x－1的反函数的图象过点(4,2)，则a＝________.答案4解析∵f(x)的反函数图象过(4,2)，∴f(x)的图象过(2,4)，∴a2－1＝4，∴a＝4.1.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、选择题1.函数f(x)＝lg(x－1)＋4－x的定义域为()A.(1,4]B.(1,4)C.[1,4]D.[1,4)答案A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.2.如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.c ＞b ＞aC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 3.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2,1). 4.函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1).5.函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )答案 A6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f [f (14)]等于( )A.－19B.19 C.－9 D.9答案 B解析 ∵14>0，∴f (14)＝log 214＝－2，∴f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19.7.已知f (x )为对数函数，f (12)＝－2，则f (34)＝________.答案 43解析设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝， ∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.8.函数y ＝log (2x －1)(3－4x )的定义域是________. 答案 {x |12<x <34}解析要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2x －1≠1，3－4x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ≠1，x <34，解得12<x <34.所以函数的定义域为{x |12<x <34}.9.函数y ＝log 2(x ＋k )的图象恒过(0,0)点，则函数y ＝log 21 (x －k )的图象恒过定点的坐标为________. 答案 (2,0)10.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)的值等于______. 答案 16解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 013) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 013＝log a (x 1x 2x 3…x 2 013)2 ＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 013) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 013)， ∴原式＝2×8＝16.11.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0，f (x )的大致图象如图所示：12.已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，必须3－2a >0，a <32.又a 是底数，∴a ∈(0,1)∪(1，32).(2)令t ＝3－ax ，则t 在[1,2]上递减，要使f (x )在[1,2]上为减函数，必须a >1，而t 在x ∈[1,2]上必须恒大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，3－2a >0.∴1<a <32.∵f (1)＝log a (3－a )＝1，∴3－a ＝a . ∴a ＝32.∴不存在这样的a ，使得f (x )在[1,2]上为减函数且最大值为1. 13.已知函数f (x )＝log 21(x 2－2ax ＋3).(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2. (2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，且y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[1,2).。

指数函数与指数幂的运算(优秀经典导学案)

必修一第二章基本初等函数（Ι） 2. 1指数函数 2. 1. 1 指数与指数幂的运算第1课时根式一、课时目标：1. 理解n 次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)预习案阅读教材P 48～P 50例1的有关内容，完成下列问题： 1．如果 ()*∈>Nn n ,1，那么x 叫做a 的n 次方根.2．式子n a 叫做，这里n 叫做，a 叫做 . 3．根式的性质：(1)n 0＝ (n ∈N *，且n >1)； (2) ()nnaN n 时，*∈= ； (3) n a n＝⎪⎩⎪⎨⎧为偶数)(为奇数)(n a n a .自测练习1．(1)若x 3＝8，则x ＝________； (2)若x 2＝4，则x ＝________. 2. 判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)：(1)(－2)2＝－2 ( ) (2)(3a 3)＝a ( ) (3)(416)＝±2 ( ) 3．化简()()33233--+x x 得（）A ．6B ．x 2C ．6或-x 2D ．-x 2或6或x 24．化简下列各式：（1）()332-；（2）327-；（3）()()4433238-+-；（4）()44b a -.互动探究例1．求下列各式的值．(1)(5)2； (2)(3－3)3； (3)4(－2)4； (4)(3－π)2.[变式训练1] 已知4(a ＋1)4＝－a －1，则实数a 的取值范围是________．例2 . 若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4.[变式训练2] 设9612,3322++-+-<<-x x x x x 求的值．课堂检测1．481的运算结果是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A .4m 2B .5mC .6m D .5－m3．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ．①③④ B ．②③④ C ．②③ D ．③④ 4．计算下列各式的值：(1)(3－5)3＝________； (2)(－b )2＝________. 5．当8< x <10时，化简：(x －8)2＋(x －10)2.6．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1) 3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2) (x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.第2课时指数幂及运算学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解分数指数幂的含义．(难点)2．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)3．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点) 分数指数幂的意义预习案阅读教材P 50～P 53“思考”的有关内容，完成下列问题：1．（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：nm a = ()1,0>∈>*n N m n a ，且、；（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：nm a -= = ()1,0>∈>*n N m n a ，且、；（3）0的正分数指数幂为，0的负分数指数幂． 2．有理数指数幂的运算性质：（1）=s r a a ()Q s r a ∈>、,0；（2）()=s ra ()Q s r a ∈>、,0；（3）()=rab ()Q r b a ∈>>,0,0．3. 一般地，无理数指数幂a α (a >0，α是无理数) 是一个确定的，的运算性质同样适用于无理数指数幂．自测练习1．用根式表示下列各式 (式中a 均为正数)：(1) 31a ＝________； (2) 54a ＝________； (3) 23-a ＝________.2. 化简： (1) 12743aa ⋅＝________； (2)b 2b＝________； (3) 331)(ab ＝________.互动探究例1．将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)； (2) 3252)(1x x ( x >0 )； (3) 32432)(--b( b >0 )．[变式训练1] (1)用根式表示下列各式：53x ，53-x ；(2)用分数指数幂表示下列各式：a 2a ，a . (式中a 均为正数)例2. 化简下列各式 (其中字母均表示正数)： (1) 2175.034303101.016])2[()87()064.0(-++-+-----； (2))3(6)(2(656131212132b a b a b a -÷-．[变式训练2] 化简：4xy yx x 3234461)3(-÷⋅-⋅.例3. 已知21a ＋21-a＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3) 21212323----aa a a .[变式训练3] 已知21a ＋21-a ＝3，在题设条件不变的情况下，求a 2 －a－2的值．课堂检测1．下列运算正确的是( )A ．a ·a 2＝ a 2B ．(ab )3＝ab 3C ．(a 2)3＝a 6D ．a 10÷a 2＝a 5 2．233可化为( )A . 2B .33C .327D .273. 41)62581(-的值是________． 4．化简下列各式 (a >0，b >0)：(1)3a ·4a ； (2)a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3.5．已知x ＋y ＝12，x y ＝9，且x < y ，求21212121yx y x +-的值．2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象和性质学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解指数函数的概念和意义．(重点)2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．(难点) 3．初步掌握指数函数的有关性质．(重点、难点)预习案阅读教材P 54～P 56的有关内容，完成下列问题：1．一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 . 2．完成下表：a >1 0<a <1自测练习1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A ．(4)xy =- B ．xy π= C ．4xy =- D ．2x y a +=()10≠>a a ，且2. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数x y 2=的定义域为(0，＋∞)．( ) (2)函数xy -=2在定义域内是增函数．( )(3)函数x y 3=y ＝3x 与x y )31(=的图象关于y 轴对称．( )互动探究当底数a 大小不定时，必须分“a >1”和“0< a < 1”两种情形讨论．指数函数y ＝a x 的图象如图所示，由指数函数y ＝a x 的图象与x ＝1相交于点(1，a )可知：图中的底数的大小关系为0 < a 4 < a 3 < 1 < a 2 < a 1 .①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即当a >1时，底越大，图象越靠近y 轴； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即当0< a < 1时，底越小，图象越靠近y 轴．例1．若指数函数f (x )的图象经过点(2, 9)，求f (x )及f (－1)．[变式训练1] 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________.例2. 若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0，且a ≠1) 的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0< a < 1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0< a < 1，且b < 0D ．a >1，且b <0[变式训练2] 函数y ＝a x ＋3＋2 (a >0，且a ≠1) 的图象过定点________．例3. 求下列函数的定义域与值域：(1) 114.0-=x y ； (2) 153-=x y ； (3) y ＝2x ＋1.[变式训练3] 求下列函数的定义域和值域：(1) 4-12x y =； (2) 2)31(-=x y .课堂检测1．下列函数是指数函数的是( )A ．y ＝(－2)xB ．y ＝x 3C ．y ＝－2xD ．y ＝2x 2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图所示，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,00且a ≠1) 恒过定点 ________．4．下列函数是指数函数吗？分别求函数的定义域、值域：(1)y ＝165+x ； (2)y ＝x 3)21(； (3)y ＝x 17.0； (4)y ＝π－x ； (5)y ＝xa )12(- ⎝⎛⎭⎫a >12且a ≠1.第2课时指数函数及其性质的应用学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解指数函数单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．(重点、难点) 2．会解指数函数型的应用题．(重点) 3．掌握指数函数的图象变换．(易错点)预习案阅读教材P 57～P 58的有关内容，完成下列问题：1．a >10<a <1R2．如图是指数函数 ①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a ≠且）的函数是一种，这是非常有用的函数模型.互动探究例1．比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)0.60.4和0.70.4.[变式训练1] 已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m ) > f (n )，则m ，n 的大小关系为________．例2. 如果a －5x > a x ＋7(a > 0且a ≠1)，求x 的取值范围．[变式训练2] 若a x ＋1> x a35)1(- (a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．例3. 已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f (x )为奇函数，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求f (x )在区间 [1,5] 上的最小值．[变式训练3] 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明：f (x )为奇函数． (2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明． (3)求f (x )的值域．课堂检测1．若a ＝21)5.0(，b ＝31)5.0(，c ＝41)5.0(，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a c >bD ．b <c <a 2．若函数f (x )＝x x -+33与g (x )＝x x --33的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 3．函数f (x )＝x )21(在区间 [－1,2] 上的最大值是________．4．画出函数y ＝12+x 的图象，并根据图象指出它的单调区间．2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点) 2．理解对数的底数和真数的范围．(易混点) 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)预习案阅读教材P 62～P 63的有关内容，完成下列问题：1．定义：一般地，如果 (0,1)a a >≠，那么x 叫做，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做 .2．定义：我们通常将以10为底的对数叫做，并把常用对数简记作；在科学技术中常使用以无理数e = 2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫，并把自然对数简记作 .3．指数与对数间的关系：当0,1a a >≠时， ⇔ .4．对数的性质： ⑴ 没有对数； ⑵ ； ⑶ =a a log .自测练习1．(1) 2x ＝3，则x ＝________； (2) 10x ＝5，则x ＝________； (3)4log 3=b a ，则 . 2. 判断正误 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3( ) (2)对数运算的实质是求幂指数( ) 3. (1)2713=x 的对数表达式为，x = ；(2) x =16log 2的指数表达式为，x = .4．计算：21log 16= ， 2.5log 2.5= ，0.4log 1= . 互动探究例1．求下列各式中x 的值：(1) 2327log =x ； (2) 32log 2-=x ； (3) 91log 27=x ； (4) 16log 21=x .[变式训练1] 求下列各式中x 的值：(1) log x 81＝2； (2) x ＝log 8 4； (3) lg x ＝－2； (4) 5 lg x ＝25.例2. 求下列各式中x 的值：(1) log 2 (log 5 x )＝0； (2) log 3 (lg x )＝1； (3) x =+-2231log )12(.[变式训练2] 若lg (ln x )＝1，则x ＝________.课堂检测1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．010＝1与lg1＝0 B ．312731=-与3131log 27-= C ．9log 3＝2与219＝3 D ．5log 5＝1与51＝5 2．在b ＝log 3 (m －1) 中，实数m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)3．ln e ＋ lg 1＝____ ____.4．若312log 19x-=，则x = ．5．求下列各式的值：(1) log 3 27； (2) 1)3-2()32(log -+.第2课时对数的运算学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)预习案阅读教材P 64～P 67“思考”的有关内容，完成下列问题： 1．对数的运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a ，那么（1）a log (MN)= ；（2）aMlog =N；（3）n a log M = . 2. 换底公式： (1) ＝ log c b log c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1)； (2)log log m n a a nb b m =；(3) log a b ·log b a ＝ (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．自测练习1．判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)：(1)log a (－2)＋log a (－4) ＝log a 8 ( ) (2)log a b 2 ＝2log a b ( )(3)log a (M ＋N ) ＝log a M ＋log a N ( ) (4)log a M N＝log a M ÷log a N ( )2. 若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 2 3＝________.互动探究例1．求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5 log 53； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[变式训练1] 计算：(1)2log 122＋log 123； (2)lg 500－lg 5； (3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg 45.例2. 已知log 189＝a ,18b ＝5，则a ，b 表示log 3645的值．[变式训练2] (1) (log 29)·(log 34)＝( )A .14B .12C ．2D ．4(2) 已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________.例3. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字) (lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)?[变式训练3] 抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)．课堂检测1．log 23·log 32的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 2．设a >0，a ≠1，且x > y >0，n ≥2，n ∈N *，考虑下列等式：①(log a x )n ＝n log a x ； ②log a (xy )＝(log a x )(log a y )； ③log a x y ＝log a x log a y ； ④log a nx ＝1nlog a x ； ⑤a log a x ＝x ；⑥log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ； ⑦log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y.其中正确等式的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________.4．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)log 535＋2log 122－log 5150－log 514.2. 2. 2 对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解对数函数的概念．(易错点)2. 掌握对数函数的图象及性质．(重点、难点)预习案阅读教材P 70～P 71的有关内容，完成下列问题：1. 一般地，函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 . 2 a >1 0< a<1定义域为，值域为 .自测练习1．下列函数中，是对数函数的是________(1) y ＝log a x (a >0，且a ≠1)； (2) y ＝log 2 x ＋2； (3) y ＝8log 2 (x ＋1)； (4) y ＝log x 6 (x >0，且x ≠1)； (5) y ＝log 6x .2. 判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)： (1)若f (x )是对数函数，则f (1)＝0 ( ) (2)函数y ＝log 2 x 在R 上是增函数 ( )(3)函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 的图象一定位于y 轴的右侧 ( )互动探究当底数a 大小不定时，必须分“a >1”和“0< a < 1”两种情形讨论．对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，由对数函数y ＝log a x 的图象与y ＝1相交于点(a ，1)可知：图中的底数的大小关系为0 < c < d < 1 < a 1时，底越大，图象越靠近x 轴；② 在x 轴下侧，图象从下左到右相应的底数由大变小，即当0< a < 1时，底越小，图象越靠近x 轴．例1．求下列函数的定义域：(1) y ＝lg (2－x )； (2) y ＝1log 3(3x －2)； (3) y ＝log (2x －1) (－4x ＋8)．y=log b x y=log c x[变式训练1] 函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 例2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1) y ＝log 3(x －2)； (2) y ＝|x 21log |.[变式训练2] (1) 函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )(2) 函数y＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．课堂检测1．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x ) (a >0，且a ≠1)B ．y ＝log a (x 2＋1) (a >0，且a ≠1)C ．y ＝x a1log (a >0，且a ≠1) D ．y ＝2lg x2．图中曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A .3，43，35，110B .3，43，110，35C . 43，3，35，110D . 43，3，110，353．函数y ＝log a (x －2) (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________． 4．求下列函数的定义域：(1) f (x )＝lg (4－x )x －3； (2) y ＝log 0.1(4x －3).第2课时对数函数及其性质的应用学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．(易混点) 2．理解并掌握对数函数的性质．(重点、难点)预习案阅读教材P 72~P 73的有关内容，完成下列问题：1．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且和指数函数(0,1)x y a a a =>≠且互为 . 特点是： .2. 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.3. 若函数y ＝f (x )图象上有一点 (a ，b )，则 (b ，a ) 必在其反函数图象上．反之，若 (b ，a ) 在反函数图象上，则 (a ，b ) 必在原函数图象上．自测练习 1．(1)y ＝10x 的反函数是________； (2)y ＝x )54(的反函数是________； (3)y ＝x 31log 的反函数是________； (4)y ＝log 2 x 的反函数是________．2．若函数x y lg =与函数y ＝x a 的图象关于直线x y =对称，则a =______.互动探究例1．比较下列各组数的大小．(1)log 1245与log 1267； (2)log 123与log 153； (3)log a 2与log a 3； (4)log 120.4与log 40.6.[变式训练1] 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b例2. 解下列不等式：(1) log 2 (2x ＋3) > log 2 (5x －6)； (2) log x 12 >1.[变式训练2] 若实数a 满足log a 23< 1，求a 的取值范围．例3. 已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0，且a ≠1，m ≠1) 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)探究函数f (x )在 (1，＋∞) 上的单调性； (3)若a ＝2，试求函数f (x )在 [3,5] 上的值域．[变式训练3] 若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1) 在区间 [a ,2a ] 上的最大值是最小值的3倍，求a 的值．课堂检测1．函数y ＝x 21log (x >0)的反函数是( )A ．y ＝21x ，x >0 B ．y ＝x )21(，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈R D ．y ＝2x ，x ∈R 2．函数y ＝log 3 x (1≤ x ≤ 9) 的值域为( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．(－∞，2]D ．[0,2]3．比较下列各组数的大小：(1)log 22________log 23； (2)log 32________1；(3)log 134________0；(4)log 43________log 34.4．若log a 25< 1 (a >0，且a ≠1)，求a 的取值范围．2. 3 幂函数学校：澜沧一中学科：数学年级：高一主备教师：沈琼梅参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 了解幂函数的概念．(易错点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况．(重点)预习案阅读教材P 77～P 78的有关内容，完成下列问题：1．幂函数的概念：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.2321－1y ＝x3.（1）幂函数的图象不过第象限，都过点；（2）当α＞0时，幂函数在上是；当α＜ 0时，幂函数在上是；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是 .自测练习1．下列函数是幂函数的是________．①y ＝2x 2 ②y ＝2x ③y ＝x 3 ④y ＝x －1 2．如图所示是幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 互动探究例1．已知函数y ＝(m 2＋2m －2) x m ＋2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[变式训练1] 已知函数f (x )＝(m 2＋2m )xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数？ (2)反比例函数？ (3)二次函数？ (4)幂函数？例2. 已知幂函数的图象过点P ⎝⎛⎭⎫12，4. 讨论y ＝f (x )的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图．[0,)+∞(0,)+∞2,2α=-11,1,3,3α=-α[变式训练2] 已知函数y ＝32x .(1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．例3. 比较下列各组数中两个数的大小．(1)5.0)52(与5.0)31(； (2) 1)32(--与1)53(--； (3) 43)32(与32)43(.[变式训练3] 比较大小：(1) 535.1________537.1； (2)0.71.5________0.61.5； (3) 32-2.2________32-8.1； (4)0.15－1.2________0.17－1.2；(5)0.20.6________0.30.4；(6) 87-9________76)98(.课堂检测1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x ＋22．函数y ＝35x 的图象大致是图中的( )3．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数4．比较下列各题中数值的大小：(1)1.33,1.43； (2)0.26－1,0.27－1； (3)(－5.2)2，(－5.3)2； (4)2，3，0.72.。

人教新课标版数学高三-高中数学必修一导学案第二章函数概念与基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数【教学目标】1．复习函数的有关概念及几种初等函数的性质；2．培养学生的综合能力．【知识回顾】1．指数与对数的关系、指对数运算公式、法则；2．比较大小的方法；3．处理指数对数函数问题要注意什么？处理对数问题要注意什么？【应用数学】例1 求下列函数有意义的x的范围及y的取值范围．⑴43y x-=；⑵54y x=；⑶35y x-=；⑷12y x-=．例2 比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小.分析：根据三个数式的特点，选择y＝x2，y＝log2x，y＝2x三个函数的图象和性质加以比较．课堂训练：1.1.0lg10lg5lg2lg125lg8lg⋅--+＝________.,2．函数221y x ax=-+，⑴若它的增区间是[2,)+∞，则a=_______________；⑵若它在区间[2,)+∞上递增，则a的取值范围是_______________．3. 已知：()y f x=是定义在Ｒ上的奇函数，0x≥时，2()2f x x x=-，则在x<0上()f x的表达式是．4.已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．第二章函数概念与基本初等函数【教学目标】1．复习函数与方程及函数的应用以及函数的有关综合问题；2．培养学生分析函数问题和解决综合函数问题的能力．【课前导学】知识回顾：1．什么是函数零点？2．二分法求方程的近似解的基本程序？3．函数模型及其应用的步骤？【例题分析】例1： f(x)＝9x－3x＋a，x∈[1,2]的最大值为5，求其最小值．例2．函数f(x)＝2x＋2x－6的零点个数为．课堂训练1．不论m为何值时，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有．2．已知22(1)()(12)2(2)x xf x x xx x+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x=，则x的值是．3．设f(x)＝(]()813,,1log,1,x xx x-⎧∈-∞⎪⎨∈+∞⎪⎩，则满足f(x)＝41的x值为________4. 某商店将原价 2 640元的彩电以9折售出后仍可获利20%，则该种彩电每台的进价为________元．5．不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0对x∈R恒成立，则a的取值范围是．4．求值⑴若a+1-a=3,求2121-+aa及2323-+aa的值⑵求536lg27lg321240lg9lg211+--++1的值．。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.1.2 第2课时

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.知识点一指数型复合函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的单调性(1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.知识点二指数型函数y＝k·a x(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型1.指数增长模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).2.指数减少模型设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N).题型一利用指数型函数的单调性比较大小例1比较下列各组中两个值的大小：(1)1.72.5，1.73；(2)0.6－1.2，0.6－1.5；(3)2.3－0.28，0.67－3.1.解(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的.又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R 上是减少的.因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)(中间量法)由指数型函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.反思与感悟 1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断.2.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断.3.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较.4.对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小.跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小： (1)0.8－0.1，0.8－0.2；(2)(13)23-，235-；(3)3－x ，0.5－x (－1<x <0).解 (1)由指数型函数的性质知，y ＝0.8x 是减函数，－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(2)由指数函数的性质知(13)23->1,0<235-<1，所以(13)23->235-.(3)∵－1<x <0，∴0<－x <1. 而3>1，因此有3－x >1，又0<0.5<1，∴有0<0.5－x <1， ∴3－x >0.5－x (－1<x <0).题型二利用指数型函数的单调性解不等式例2 (1)解不等式(12)3x －1≤2；(2)已知23+1-x x a<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围.解 (1)∵2＝(12)－1，∴原不等式可以转化为(12)3x －1≤(12)－1.∵y ＝(12)x 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}. (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.反思与感悟 1.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.2.解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.跟踪训练2 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)设0<a <1，关于x 的不等式223+7-xx a>222-3+x x a的解集是________.答案 (1){x |x <12} (2){x |x >2}解析 (1)由4x <42－3x，得x <2－3x ，即x <12，所以不等式的解集为{x |x <12}.(2)因为0<a <1，所以y ＝a x 在R 上是减函数. 又223+7-x x a>222-3+x x a，所以2x 2－3x ＋7<2x 2＋2x －3，解得x >2. 所以不等式的解集是{x |x >2}. 题型三指数型函数的单调性例3 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3].反思与感悟 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪训练3 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+xx在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y ＝222-+xx的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].题型四指数型函数的综合应用例4 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数， ∴f (0)＝0，即a ＋12＝0，a ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝－12＋14x ＋1，故f (x )在R 上为减函数. (3)∵f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0可化为f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0对于一切t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k <0，得k <－13，∴k 的取值范围是(－∞，－13).反思与感悟 1.由f (x )为奇函数求参数值，常用赋值法：若0在定义域内，则利用f (0)＝0；若0不在定义域内，可考虑使用f (1)＋f (－1)＝0.而由f (x )为偶函数求参数值，则常常利用f (1)－f (－1)＝0.2.指数型函数是一种基本的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪训练4 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ， ∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立. 由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e 1x －e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0， ∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.利用图象解决复合函数的单调性例5 已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝|(12)x －1|，求f (g (x ))的单调区间.解由已知，得f (g (x ))＝|(12)x －1|2＋1，则f (g (x ))可以看作u ＝|(12)x －1|与f (u )＝u 2＋1的复合函数.因为u ≥0，所以f (u )是增函数.所以f (g (x ))的单调递增区间就是u ＝|(12)x －1|的单调递增区间，f (g (x ))的单调递减区间就是u＝|(12)x －1|的单调递减区间.作出函数u ＝|(12)x －1|的图象，如图所示，可知u ＝|(12)x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)，所以f (g (x ))的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0].反思与感悟求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间时，如果内函数y ＝g (x )的图象容易画出，那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间，从而简化解题过程. 跟踪训练5 已知函数y ＝(12)|x ＋2|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出，当x 取什么值时，函数有最大值或最小值.解 (1)由解析式可得y ＝(12)|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋2(x ≥－2)，2x ＋2(x <－2)，其图象分成两部分：一部分是y ＝(12)x＋2(x ≥－2)的图象，由下列变换可得到，y ＝(12)x ―――――――→向左平移2个单位y ＝(12)x ＋2；另一部分y ＝2x ＋2(x <－2)的图象由下列变换可得到：y ＝2x ―――――――→向左平移2个单位y ＝2x ＋2，如图为函数y ＝(12)|x ＋2|的图象.(2)由图象观察知函数在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数. (3)由图象观察知x ＝－2时，函数y ＝(12)|x ＋2|有最大值，最大值为1，没有最小值.1.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析先由函数y ＝0.8x 判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1) 答案 A解析定义域为R .设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上为减函数. 又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A. 4.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为______. 答案 m <n 解析 ∵0<a ＝5－12<1， ∴f (x )为R 上的减函数， ∴由f (m )>f (n )可知m <n .故填m <n . 5.已知函数f (x )＝a －12x＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数， ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数型函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数型函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .一、选择题1.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3 D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2，故选D.2.若(14)2a ＋1<(14)8－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(74，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，74)答案 A解析函数y ＝(14)x 在R 上为减函数，所以2a ＋1>8－2a ，所以a >74.故选A.3.函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析由已知得a 0＋a 1＝3，所以1＋a ＝3，所以a ＝2. 4.设14<(14)b <(14)a <1，那么( )A.a a <a b a b ，根据y ＝x a 的单调性可知a a 0时，f (x )＝(12)x 在(0，＋∞)上单调递减.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)答案 D解析由题意可知，f (x )在R 上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a2＞0，a ＞1，4－a 2＋2≤a ，解得4≤a ＜8，故选D.二、填空题7.函数y ＝2－x 2＋ax 在(－∞，1)内单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 [2，＋∞)解析由复合函数的单调性知，－x 2＋ax 的对称轴x ＝a2≥1，即a ≥2.8.若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x ＜0，(13)x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集为________.答案 {x |0≤x ≤1}解析 (1)当x ≥0时，由f (x )≥13得(13)x ≥13，∴0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知，不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}.9.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次. 答案 4解析设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝⎛⎭⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫143，……，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫14x，故解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫14x .由题意，⎝⎛⎭⎫14x ≤1100，4x ≥100，2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次.10.设函数y ＝1＋2x ＋a ·4x ，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a 的取值范围是_____. 答案 [－34，＋∞)解析设t ＝2x ，∵x ∈(－∞，1]，∴0<t ≤2.则原函数有意义等价于1＋t ＋at 2≥0在t ∈(0,2]上恒成立， ∴a ≥－t ＋1t 2，设f (t )＝－1＋tt 2，则f (t )＝－1＋t t 2＝－(1t ＋12)2＋14，∵0<t ≤2，所以1t ∈[12，＋∞)，∴f (t )≤f (12)＝－34，∴a ≥－34.三、解答题11.已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数. (1)解 f (x )＝1＋22x －1，∵2x －1≠0，∴x ≠0.∴ 函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}. (2)证明设任意x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)＝221x －1－222x －1＝2(22x －21x )(21x －1)(22x －1). ∵x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2，∴22x ＞21x 且21x ＜1,22x ＜1.∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2).∴函数f (x )在(－∞，0)上为减函数.12.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝24313--+⎛⎫ ⎪⎝⎭x x ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.13.已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域、值域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；(4)若f (x )<2b ＋1恒成立，求b 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ∈R }，由f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1， ∵a x >0，∴a x ＋1>1，∴0<1a x ＋1<1，∴－2<－2a x ＋1<0，∴－1<1－2a x ＋1<1. ∴f (x )的值域为(－1,1).(2)∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，又x ∈R ，∴f (x )为奇函数.(3)方法一当a >1时，∵y ＝a x ＋1为增函数，且a x ＋1>0，∴y ＝2a x ＋1为减函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数. 同理可得，当0<a <1时，f (x )＝a x －1a x ＋1为减函数. 方法二任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝a 2x －1a 2x ＋1－a 1x －1a 1x ＋1＝2(a 2x －a 1x )(a 2x ＋1)(a 1x ＋1)，当a >1时，∵x 2>x 1，∴a 2x >a 1x ，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴当a >1时，f (x )在R 上单调递增，同理，当0<a <1时，f (x )在R 上单调递减.(4)由f (x )<2b ＋1恒成立，得f (x )max <2b ＋1， ∴2b ＋1≥1，∴b ≥0.。

高一数学导学案：第二章基本初等函数Ⅰ(复习)(人教A版必修1)

第二章基本初等函数Ⅰ（复习）1. 掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质；2. 了解五个幂函数的图象及性质.4883复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？复习2：已知0＜a ＜1，试比较a a ，()a a a ，()a a a 的大小.二、新课导学※ 典型例题例1 求下列函数的定义域：（1） y = （2）21()log (1)3f x x =+- ；（3）2()log x f x -=例2已知函数1010()1010x xx xf x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性.例 3 已知定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若1()02f =，求不等式()4log 0f x >的解集.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域与值域.（1）1218x y -=；（2）y =练2. 讨论函数2321()2x x y -+=的单调性.练3. 函数()()log 0,01a x b f x a b a x b+=>>≠-且．（1）求()f x 的定义域；（2）讨论()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性．三、总结提升※ 学习小结1. 幂、指、对函数的图象与性质；2. 指数、对数运算；3. 函数定义域与值域；4. 函数单调性与奇偶性；5. 应用建模问题.※ 知识拓展1. 图象平移变换：①水平平移：y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左或右平移a 个单位得到. ②竖直平移：y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上或向下平移b 个单位而得到.2. 图象翻折变换：①y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数2322x x y --+=的单调递增区间为（）.A. 3(,)2-∞B. 3(,)2+∞ C. 3(,)2-∞- D. 3(,)2-+∞ 2. 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值是（）.A. 128B. 256C. 512D. 83. 函数2log (y x =+的奇偶性为（）.A ．奇函数而非偶函数B ．偶函数而非奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇且偶函数4. 函数2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是 . 5. 若函数12(log )x y a =为减函数，则a 的取值范围是 .1. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？2. 某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去. 为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后设法将该商品的生产量翻两番，求平均每月生产量的增长率.。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.2.1 第2课时

第2课时对数的运算[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.知识点一对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).思考当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？答不一定成立. 知识点二换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b >0).知识点三常用结论由换底公式可以得到以下常用结论： (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1； (3)log n a b n ＝log a b ； (4)log n a b m ＝mn log a b ；(5)log 1ab ＝－log a b .题型一利用对数的运算性质化简、求值例1 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 反思与感悟 1.对于同底的对数的化简，常用方法是 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式. 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.题型二利用换底公式化简、求值例2 计算： (1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52). 解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2.(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52) ＝(log 253＋log 2252＋log 325)·(log 3523＋log 2522＋log 52) ＝(3＋1＋13)log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.反思与感悟 1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式. 2.常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log n a b m ＝m n log a b ，log a b ＝1log b a 等.跟踪训练2 (1)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.12C.2D.4 (2)log 2125·log 318·log 519＝________.答案 (1)D (2)－12解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322) ＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4.(2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg19lg 5＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3)lg 2lg 3lg 5＝－12.题型三换底公式、对数运算性质的综合运用例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a .反思与感悟 1.这类问题一般利用换底公式、对数的运算性质求解.2.解题时应观察要求值与已知式子中底数与真数的关系，如log 182＝log 18189＝1－log 189.跟踪训练3 已知log 147＝a ，log 145＝b ，则log 3528＝________.答案2－aa ＋b解析 log 3528＝log 1428log 1435＝log 147＋log 144log 147＋log 145＝a ＋2log 142a ＋b＝a ＋2log 14147a ＋b ＝a ＋2(1－log 147)a ＋b ＝a ＋2(1－a )a ＋b ＝2－aa ＋b .题型四利用对数式与指数式的互化解题例4 (1)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值；(2)已知2x ＝3y ＝5z ，且1x ＋1y ＋1z ＝1，求x ，y ，z .解 (1)方法一由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b ＝log 364，∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 方法二由3a ＝4b ＝36，两边取以6为底数的对数，得 a log 63＝b log 64＝log 636＝2， ∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b ＝log 63＋log 62＝log 66＝1. (2)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 5，由1x ＋1y ＋1z ＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1， ∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56.反思与感悟 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.2.对于这类连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.跟踪训练4 已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1b＝2，则M ＝____.答案 15解析由3a ＝5b ＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ，故1a ＋1b ＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2， ∴M ＝15.忽视对数的限制条件致误例5 若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy 的值.错解因为lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg [(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，所以(x －2y )(x ＋y )＝0，所以x y ＝2或xy＝－1.正解前同错解，得x y ＝2或xy ＝－1.因为x >0，y >0，所以x y >0，故舍去xy ＝－1，所以xy ＝2.易错警示错误原因纠错心得对数等式中，若含字母参数，要注意隐含条件，此题应有x －y >0，x ＋2y >0，x >0，y >0，由此可得x >y >0，得x y >0，故xy＝－1应舍去.多个变量出现在同一个关系式中时，变量的取值范围会受到相互限制，因此应特别注意变量之间的相关性.跟踪训练5 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求2y的值. 解由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为(x y )2－5xy ＋4＝0，解得x y ＝1或xy＝4.又x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2，∴xy＝4，∴xy＝4＝log 216＝4.1.若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子正确的个数为( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A.0B.1C.2D.3 答案 A解析根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确.故选A. 2.lg 8＋3lg 5的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案 D解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125 ＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3.3.已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则(lg ab )2的值是( )A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4.若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________. 答案 81解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________.答案 1解析因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg 10＝1.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).一、选择题 1.log 2716log 34的值为( ) A.2 B.32 C.1 D.23答案 D解析原式＝3233log 4log 4＝23log 34log 34＝23，故选D.2.化简12log 612－2log 62的结果为( )A.6 2B.12 2C.log 6 3D.12答案 C解析原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 3.11451111log log 93等于( )A.lg 3B.－lg 3C.1lg 3D.－1lg 3答案 C解析原式＝log 9114＋log 3115＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3，故选C.4.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312等于( ) A.2a ＋b b B.2a ＋b a C.a 2a ＋b D.b2a ＋b答案 A解析 log 312＝lg 12lg 3＝2lg 2＋lg 3lg 3＝2a ＋bb .5.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy ).故选D.6.如果方程(lg x )2－(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2lg 3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1x 2的值为( ) A.5 B.6 C.lg 2lg 3 D.lg 2＋lg 3答案 B解析由题意得lg x 1＋lg x 2＝lg 2＋lg 3＝lg 6， ∴x 1x 2＝6. 二、填空题7.lg 5＋lg 20的值是________. 答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 8.化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析原式＝(log 23log 24＋log 23log 28)(1log 23＋1log 232)＝56log 23·32log 23＝54. 9.若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于________. 答案b ＋2a1－a解析 log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝b ＋2a1－a.10.已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12 016)＝4，则f (2 016)＝________.答案 0解析由f (12 016)＝a log 212 016＋b log 312 016＋2＝4，得－a log 22 016－b log 32 016＝2. ∴a log 22 016＋b log 32 016＝－2.∴f (2 016)＝a log 22 016＋b log 32 016＋2＝－2＋2＝0. 三、解答题11.计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1.(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.12.(1)求2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1的值； (2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值.解 (1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. (2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.又因为log 3[l og 4(log 2y )]＝0，所以log 4(log 2y )＝1，所以log 2y ＝4，所以y ＝24＝16，所以x ＋y ＝80.13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p ； (2)求证1z －1x ＝12y.(1)解设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k . 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34.∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2，又12y ＝12log k 4＝log k 2， ∴1z －1x ＝12y .。

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