四等分圆

从“四等分圆面积”说起
厦门市教育局 任 勇
思维是人类特有的一种精神活动。

孔子说“学而不思则罔”，意思是说“只读书而不思考，就等于没有读书”。

发散思维，即求异思维，是从一到多的思维，它往往是从一个问题、一个条件、一个已知事项出发，沿着不同同的方向，从不同的角度，取寻求不同的答案。

其特殊，表现为思维活动的多向性；
其功能，表现为可不断挖掘深层信息，创新思路和方法；
其操作，表现为由点到线，由线到网，由网到体的思维境界。

由人说，发散思维是“思维与灵魂的对话”，也有人说，发散思维训练，可以让人深深体味到“纸上得来终觉浅，心中悟出方知深”得真谛。

发散思维训练，有许多方法和典型例题，就数学而言，我觉得“四等分圆面积”问题，就是一个很好得“题根”。

问题：将一个半径为r 的圆分成四个面积相等的部分，请尽可能多地设计分割方法，并分析那些方法可以用尺子和圆规作出。

我们相信，图1是全班同学都会向到的分割方法。

图2和图3的分割方法也不是很难想到的。

图1 图2 图3
哲学家哥德曾风趣地说：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸的花，另一只眼睛看到纸的背面。

”
教师要引导学生找规律、抓本质，揭示图1、2、3实质是：由圆心O 与圆周上一点P “任意连线”，将连线连续三次向同一方向旋转90度，即“一般性地解决了这类问题”，再见图4，特别说明，这条“连线”可以是曲线，只要这条曲线尺规能作出，则可以由尺规分割。

这种分割法，其实可以作出无数种。

图4 图5 图6
但，上述方法仍无突破“全等”的情形。

能否突破“全等”的情形，分割成“不全等”的情形呢？ 我相信，学生一定能发现，半径为2r 的圆的面积是原来圆面积的14
沿着这条线索，可得到图5，图6。

教师此时要给学生“极大的鼓励”，因为他有突破。

还能沿着这思维再挖一点吗？
学生跃跃欲试，全班突然安静下来，突然，有个学生叫道“我有了”。

图7 图8 图9
图7的构造令我惊愕！，也令全班同学惊愕！继而全班同学情不自禁地鼓掌，这是“对他智慧的最高赞赏”，从而让学生体会到了“探索的快乐”和“成功的快乐”。

“先告一段落，再往别处想”，教师启发道。

一会儿，就有了图8和图9。

图8是很美丽的，图9是很有创意的。

图1 –图8是可以用尺规作出来的，图9 呢？ 不难算出，23,,0222r r r OA OB C ===如何用尺规出它们呢？OA 是容易作出的，我们就以为2
r 为半径作圆O ，如图10。

图10 图11
直径为AB ，再作线段AB 的垂直平分线交圆O 于CD ，以A 为圆心，2
r 为半径画弧交圆O 于E ，连接AD 、BD 、BE ，则BD=22r ，32
r BE =。

这样，我们就可以以O 为圆心，分别以23,,,222r r r r 为半径作圆，得到图9。

受前面分割的启发，有学生画出了图11，思维简捷，又有创意！但一计算，发现还不能用尺规作出，因为涉及道圆周率。

我风趣地说：“谁能只用尺规作出来，他就再世界上创造了奇迹！”学生们兴奋起来了。

我接这说：“其实，那是不可能的，它是几何三大不可能问题。

”因为我不想让学生再此花费太多的精力。

学生思维打开后，我不失时机进行启发，希望学生再发散、再联想。

于是又又了不少的新发现；图12，图13 ，图14是可以用尺规作出的，图15、图16、图17创意新颖，但不能用尺规作出。

图12 图13 图14
图15 图16 图17
一石激起千层浪。

学生思如泉涌，个个开动脑筋，或组合构造，或令劈蹊径，或“胡思乱想”，又得到如下12个图形。

图18 图19 图20
图21 图22 图23
图24 图25 图26
图27 图28 图29
这时，又有学生指出，许多分割还可以有新的“小变化”，如图18中OA、OB、OC不一定均为线段，也可以是“相似的曲线”；类似地图20中的AB、CD，图19中的OA、OB ，图24中的AB，图21种的最里面的的小圆不一定“同心”，只要“内含”或“内切”即可。

这样说来，我们又可以得到无数种分割方法。

我正得意于、陶醉于这节课的颇多意外收获时，一个学生又大声叫了起来：“老师，有很多图形可以‘动’！”
“哪些图形可以动？又怎么动？”我惊喜，佯装自己也没弄明白，变笑眯眯地问。

学生答：“图9的每个圆都可以动，不必同心，只要相对内含或内切即可。

”
我惊叹：“哇，动起来真漂亮！”
另外又有不少学生补充说：“那图20中间的圆可沿AB 、CD 所在直线上移动。

”“图21也可动。

” “图11可以动！”一个数学学得不太好平时不善发言的学生，也憋不住发了言。

他还给出了四个变形图：
图30 图31 图32 图33
有学生反驳道：“这几个图尺规作不出。

”我抢过话头，说：“虽然尺规作不出，但想法很有创意，很有价值！”我特别强调“很有”。

学困生的“偶尔闪光”，是需要教师充分表扬和肯定的。

我看“发散”得差不多了，觉得该“收心”了，要归纳总结了，在归纳中类比，在类比中再发现新的分割法。

总结可从面积为圆面积4
1的“基本元素”的组合。

下列图中的阴影部分为“基本元素”：
图34 图35 图36 图37
图38 图39 图40 图41
（1）一个“基本元素”的四次组合：情况太少。

仅有图31、图34这类。

（2）二个“基本元素”的组合：异彩纷呈。

图39—45是同一个“基本图形”的二次使用。

图42 图43 图44 图45
图46 图47 图48
这时有学生说，图46、图47还可以变化：“基本图形”还可以“转”。

见图49、图50。

图49 图50
图45—图54是二个不同的“基本图形”的组合。

图51 图52 图53 图54
一个“直角扇形”与其他“基本图形”的组合已经“眼花缭乱”了。

下面考虑“半径为2
1r 的圆”与其他“基本图形”的组合，前面已经重复的图45、图48等不再列出。

图59 图60
其他“扇形”、“扇环”的组合还有：
图61 图62 图63 图64
（3）三个“基本图形”的组合：巧夺天工。

图65 图66 图67 图68
图69 图70 图71 图72
图73 图74 图75 图76
图77 图78 图79 图80
图81 图82 图83 肯定还有许多新的可用尺规作图的分割法。

我问学生，可否增加一些限制条件，学生纷纷作答。

变1：用尺规将一个圆的面积四等分，且分割线必须通过直径的两个端点A和B。

变2：用尺规将一个圆的面积四等分，且分割后的四个图形全不相同。

……
显然满足变2的分割方案有图71、图74、图75、图76、图77、图78、图83等。

这时，有位前面一直没有发言的学生举手要求发言，说：“老师，可能还有好多新的分割法。

如果把下面图中的阴影也作为‘基本元素’的话。

”
该生索性走上讲台，画了起来。

图84 图85 图86 图87
图88 图89 图90
哇！全班惊叫声一片，我也惊奇、激动。

是啊，这样一来，又可以组合出更多的新的分割方法。

该生再次走上讲台，仅取图90中的“基本元素”，随便画了几个。

一边画还一边说：“图96分割的图形全不同！”
图91 图92 图93 图94
图95 图96 图97
该生还不过瘾，又画了一个图98，还说此图可作，因为r r r 2
32<<。

图98
全班一片掌声。

过了一个多月，一个学生发来邮件，说他又发现了新的分割法，见图99。

图99
该生还通过计算，说明可尺规作图，计算如下： 由4
,41)2(2)23(2222ππππππ==⋅-⋅=x r r x r x S 得阴。

又是一个全新的创举！我激动不已，我准备第二天上课时向全班“庄严宣布”。

我立即打电话，向这位学生祝贺！充分肯定他的探索精神。

我随即把这个新发现，写进自己的教案本。

忽然，我发现这种分割“有问题”！
为了不伤这位学生的心，当晚我没有再给这位学生打电话，我要让他再高兴一个晚上，或让他自己发现“有问题”，他若当晚自己没找出，第二天，我会让他自己找出“漏洞”，他若找到了，我将再赞美他一次。

读者朋友们，你发现“漏洞”了吗？
什么是理想的课堂教学？有许多评价方法。

我认为，就数学课堂而言，学生走进课堂时，应当“满怀希望，面对问题”，而学生走出课堂时，则“充满自信，怀抱好奇”。

因为他们还有许多问题，需要进一步探索，进一步解决。

参考文献
[1] Brian Bolt 著，王荣辉译，《举一反三》，第33页，浙江科学技术出版社，1999年。

[2] 戴再平主编，《初中数学开放题》，第156页，上海教育出版社，2000年。

[3] 易南轩著，《数学美拾趣》，第185页，科学出版社，2004年。