2004年考研数学三真题及答案解析

2004年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则a =______，b =______.

(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ? 0，则2f

u v ∂=

∂∂.

(3) 设⎪⎩

⎪⎨⎧≥

-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.

(4) 二次型2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .

(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.

(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2

2σμN ,1,,21n X X X Λ和 2

,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则

12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤

-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑∑.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2

)

2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (?1 , 0).

(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3). [ ]

(8) 设f (x )在(?? , +?)内有定义，且a x f x =∞

→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00

,)1()(x x x f x g ，则

(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.

(C) x = 0必是g (x )的连续点.

(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 ? x )|，则

(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.

(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：

(1) 若

∑∞=-+1

212)(n n n u u 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛.

(2) 若

∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞

=+1

1000n n u 收敛.

(3) 若1lim

1

>+∞→n

n n u u ，则∑∞

=1

n n u 发散. (4) 若

∑∞=+1

)(n n n v u 收敛，则∑∞=1

n n u ，∑∞

=1

n n v 都收敛.

则以上命题中正确的是

(A) (1) (2). (B) (2) (3).

(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ]

(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .

(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.

[ D ]

(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有

(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*

≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

[ ]

(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,

若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2

αu . (B) 2

1αu

-. (C) 2

1αu -. (D) αu -1. [ ]

三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)

求)cos sin 1(lim 2220x

x

x x -→. (16) (本题满分8分)