(实验数据)3.误差理论和数据处理

0.
30 20 10 0 频数分布图
64
分组值
0. 5 68 0. 5 72 0. 5 76 0. 5 80 0. 5 84 0. 5 88 0. 5 92 5
归纳1、分组的一般步骤:
一、求极差：极差=样本数据中最大值－最小值 二、确定组距与组数 ：（设k=极差÷组距） （1）若k为整数， 则组数=k，
例如甲、乙、丙、丁四人同时测定一铁矿石中的 含量(真实含量37.40％)，各分析四次，测定结 果(％)如表所示。
3. 准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
x4
1.精密度是保证准确度的先决条件;精密 度低：说明所测结果本身就不可靠，当然 准确度也就不高。 2.精密度好,不一定准确度高.
3.2 有效数字及其计算规则
计算机绘制频数分布图



OFFICE-EXCELL 输入120个值，单列。 横坐标次数，纵坐标浓度，折线图。 从小到大排列，分组。 直方图，频数分布图。
折线图
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 20 40 60 Î Ê ´ ý 80 100 120
Ö ¨µ â ¶ ²
频数

【例3-1】测定碱灰的总碱量(Na20%)， 得到5个数据：40.02，40.13，40.15， 40.16，40.20。试问40.02是否应舍去?
1)．4 d 法检验


根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。 即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。



在作直方图时，要注意分组问题。组数的多少 往往影响直方图反映数据分布的效应。 如果组数过多，每组所占的区间就很狭窄，这 不仅造成计算上的麻烦，而且也有可能因随机 因素导致某组内数据稀少，甚至没有； 如果组数过少，那么落在每组内的数据就较多， 从而掩盖了组内数据变化的情况。在实际应用 中，一般当数据多于100个时，宜分为10~20 组，当数据少于50个时，分为5~6组为宜。



用Excel制作频数分布表和直方图
输入数据
对数据进行分组，得到分组结果
调出数据分析工具
工具菜单
加载宏
分析工具库
原始数据+分组结果：
原始数据+分组结果：
工具菜单 数据分析 直方图
输入相关数据项目
得到频数分布表和简易直方图
对直方图进行修饰
频率
10 15 20 25 30 0 1 2 14 19 直方图 26 15 12 7 3 1 0
120次测量结果
Ô ¶ HgCl2Å ¨¶ È 0.86 0.82 0.87 0.77 0.76 0.79 0.82 0.81 0.81 0.75 0.76 0.81 0.8 0.85 0.82 £ g/L© ¨ £ 120´ Î Ö Ø · ´ â ² ¶ ¨½ á ¸ û 0.83 0.77 0.81 0.81 0.81 0.87 0.81 0.77 0.78 0.71 0.95 0.78 0.82 0.8 0.82 0.82 0.79 0.86 0.78 0.73 0.83 0.86 0.82 0.82 0.81 0.74 0.78 0.79 0.85 0.75 0.85 0.73 0.78 0.87 0.83 0.65 0.8 0.77 0.81 0.81 0.77 0.78 0.85 0.84 0.82 0.81 0.82 0.77 0.81 0.84 0.76 0.81 0.78 0.78 0.74 0.81 0.64 0.75 0.82 0.85 0.8 0.78 0.78 0.79 0.79 0.78 0.81 0.84 0.8 0.71 0.79 0.78 0.83 0.84 0.84 0.79 0.8 0.77 0.8 0.9 0.83 0.83 0.84 0.74 0.88 0.77 0.75 0.9 0.85 0.78 0.82 0.81 0.77 0.77 0.82 0.75 0.89 0.84 0.78 0.82 0.78 0.82 0.8 0.84 0.78




由于测量误差的不可避免，有时会发现一 组测量值中总会有一二个值明显偏大或偏 小，这样的测量值称为可疑值（离群值）。 如果可疑值并未超出随机误差的限度，属 正常值应予保留； 如果超出随机误差的限度，应予舍弃。 判断测量值应该保留还是舍弃的过程就是 测量数据的合理性检验。
对于异常数据的取舍一定要慎重，一般 处理原则如下：
（2）若k不为整数， 则组数=[k]+1.
三、分组：分组区间常取左闭右开区间 , 最后一 组取闭区间 说明：样本容量不超过100时常分成5 -12组.

归纳 2 、画频率分布直方图步骤： 作频率分布直方图的方法：
1、把横轴等分成若干段，每段对应每组组距；
2、依次以组距为宽、频率/组距为高作出矩形。 3、每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形 就构成频率分布直方图。
标准正态分布曲线 N (0,1)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3s -2s -s m-3s m-2s m-s
-3
-2
-1
0
m
68.3% 95.5% 99.7%
0
s 2s 3s m+s m+2s m+3s
1
2
3
4
x-m x
u

由前面的分析已知，总体的平均偏差为
1 n xi m n i 1
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源


设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类

系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差


系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。 当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
有效数字就是在测量中所能得到的有实 际意义的数字 (只作定位用的”0”除外)。
在确定有效数字时要注意：
（1）数字“0”有时为有效数字，有时 只起定位作用，例如20.50就有4为有效 数字，其中的“0”都是有效数字；再如 0.108就只有3位有效数字，其中前一个 “0”只起定位作用。




（2）有些数字如48000、0.00051等， 有效数字位数不定，为明确其有效数字， 可采用如下表达形式。 例如48000若记为4.8×104，就表示有 两为有效数字；记为4.80×104，则表示 有3位有效数字。 0.00051若记为5.1×10－3，表示有2位 有效数字，记为5.10×10－3，则表示有3 位有效数字。
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理 1.数据的归类整理 2.数据的分组整理


3.3.2 分布为了对某个随机变量的分布规律作出判断， 最基本的方法就是在对该变量进行大量观测 的基础上，对观测结果进行统计分析，将其 绘制成为图形，从而估计其总体分布规律或 直接给出其函数形式，进而求得随机变量的 概率密度函数f（x）。

对于n个测量数据，样本的平均偏差为
d d1 d 2 d n n

在正态分布下
0.8s

这样就有
3s 4



缺点：由于 d 所以替代会产生误差。 优点：4 d 法比较简便，不用查表。 用4d法判定异常值时： （1）先将可疑异常值除去后，计算其余（n－1） 个测量值的平均值及平均偏差 d 。 （2）如果可疑异常值χ与 x 之差的绝对值不小 于4 d ，即 x x 4d 则该值为异常值应舍去，否则为正常值应保留。
3.4 测量数据的合理性检验
虽然从理论上讲，测量中的系统误差、随 机误差与过失误差性质各异不难分辨。但 在实际过程中，这几种误差总是纠缠在一 起而难以区分。实验数据的合理性检验就 是利用数理统计方法对误差进行分析，从 而正确地评价测量数据，并对如何有效改 进实验提供有用的信息。

3.4.1 可疑值检验
(2) 随机误差（偶然误差)


随机误差又称偶然误差，它是由一些随机 的、偶然的原因造成的。 由于偶然误差是由一些不确定的偶然原因 造成的，因而是可变的，有时大，有时小， 有时正，有时负，所以又称不定误差。偶 然误差在分析操作中是无法避免的。偶然 误差的产生难以找出确定的原因，似乎没 有规律性，但如果进行很多次测定，便会 发现数据的分布符合正态分布规律。
(3)过失误差
由粗心大意引起, 可以避免。
重做!
3.1.2

准确度和精密度
准确度：表示分析结果与真实值接近的程 度。


精密度：表示各次分析结果相互接近的程 度。 精密度高不一定准确度高，因为这时可能 有较大的系统误差。
准确度和精密度都好
准确度差、精密度好
准确度差、精密度差
准确度和精密度都差





在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原 因，及时纠正错误； 试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则 应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍； 在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因， 则应对数据进行统计处理再做取舍； 对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。