分类加法计数原理知识分享

分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案， 在第一类方案中有m种不同的方法， 在第二类方案中有n种不同的方法。 那么完成这件事共有
N＝m+n 种不同的方法。
例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学 各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
当A是四元集{1,2,3,4}时,此时B为{1,2},共1种情况.
根据分类加法计数原理,共有4+2+2+1=9种情 况,故符合此条件的“理想配集”有9个.
例:将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一排,要求自左向右排列, 且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试写出 他们四个人所有不同的排法.
2）要适当根据具体的问题确定一个分类标 准，在分类标准下进行分类，并对每类方法 计数.
例：在所有的两位数中,个位数字大于十位 数字的两位数共有多少个?
完成的是哪一件事？ 组成个位数字大于十位数字的两位数
完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？ 不易回答 分 将个析位个数位字数比字十位,可数分字以大的下两几位类数:一一写出:
由 67,分68,类69,加法计数原理知,满足条件的两位数有 178+,729+,3+4+5+6+7+8=36(个)
89. 注：当分类不易说明时，多数是需要进行分类讨论
例：A与B是I={1,2,3,4}的子集,若A∩B={1,2},则称(A,B)为
一个理想配集,若将(A,B)与(B,A)看成不同的“理想配集”,则符合
有4种情况,如下表:
第1 第2 第3 第4 第5 第6 第7 第8 枪中 枪中 枪中 枪中 枪中 枪中 枪中 枪中
框图法
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若第2,3,4枪连中,则命中的另一枪应处于第6,7,8枪的位置,有3种情况
若第3,4,5枪连中,则命中的另一枪应处于第1,7,8枪的位置,有3种情况; 若第4,5,6枪连中,则命中的另一枪应处于第1,2,8枪的位置,有3种情况; 若第5,6,7枪连中,则命中的另一枪应处于第1,2,3枪的位置,有3种情况; 若第6,7,8枪连中,则命中的另一枪应处于第1,2,3,4枪的位置,有4种情况.
编一个号码可以分成两类
N=26＋10=36
引例3
两个袋子里分别装有40个不同的红球，60个不同的白球，从中任 取一个球，有多少种取法？
取一个球可以分成两类，
一类是从装红球的袋子里取出一个 红球，有40种取法
另一类是从装白球的袋子里取出一 个白球，有60种取法
40个 60个
因此取法种数共有40+60=100种
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？
完成的是哪一件事？ 选择一个专业
完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？
N=5+4=9
例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自 己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？
在这个例题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可 以选择，B大学有4个专业可以选择，那么用分类计数原理，得到这名同学 可能的专业选择种数为6+4=10，对吗？
完成这件事的两类办法中的各种方法是互不相同的,无论哪类办 法中的哪种方法都可以单独完成这件事
12,13,14,15,16,17,18,19,
个 2按3,位 十24,数位25,字数26,是 上27,的92,8则数,29十字, 位分数别字是可1,以2,3是,4,15,,26,,37,,…8的,8情中况的分一成个8,故有8个; 个 3类4,位,3在5,数3每6,字3一7,是3类8,83中,9则,满十足位题数目字条可件以的是两1,位2,3数,…分,7别中有的8一个个,7 ,故有7个; 同 字 45个 符56,,理 是 合,45667个,,题,245个的78,,,5意45位个只89,,的4数,有94,两个字1个位,是3个.数7的,共2个有有,618个个+7;,+个由6位+分5数+类4字加+3是法+26计+的1数=有3原65(个理个;知)…,;个位数
【方法指导】按照排列的要求,排在第一的只能是排除A以外 的三个,因此可分为三类.
【解析】因为A不排在第一,所以第一只能排B,C,D中的一个, 据此可分为三类:
树状图法
由此可知,四个人共有9种不同的排法.
例：射击8枪,其中4枪命中,恰有3枪连中的情况有多少种? 分析：3枪连中有以下几种情况
若第1,2,3枪连中,则命中的另一枪应处于第5,6,7,8枪的位置,
N=6+4-1=9
1.如图所示的是一个电路图,从左到右可通电的线路共有( ).
A.4条
B.5条 C.6条
D.9条
完成的是哪一件事？ 完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？
N=3+2=5
2.现有一年级的学生3名，二年级的学生5名，三年级 的学生4名.从中任选1人参加接待外宾的活动，有多 少种不同的选法？
完成的是哪一件事？ 完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？
N=3+5+4=12
完成一件事，有n类办法. 在第1类
办法中有m1种不同的方法，在第2类方
法中有m2种不同的方法，……，在第n
类方法中有mn种不同的方法，则完成
这件事共有 N=
说明 种不同的方法
m1+m2+…
+mn
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成 这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数 相加,因此称分类加法计数原理。
分类加法计数原理
引例1
从杭州到北京，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，汽车有3班， 火车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从杭州到北京共有多 少种不同的走法？
1
汽车 杭州
2
3
1
火车 杭州
2
北京 3种
3+2=5种
北京 2种
引例2
用一个大写的英文字母或一个阿 拉伯数字给教室里的座位编号， 总共能够编出多少种不同的号码？
此条件的Biblioteka Baidu理想配集”的个数是( ).
A.4 B.8 C.9 D.16 对子集A进行分类讨论.
枚举法
当A是二元集{1,2}时,B可以{1,2,3,4},{1,2,4},{1,2,3},{1,2},共4种情况;
当A是三元集{1,2,3}时,B可以为{1,2,4},{1,2},共2种情况;
当A是三元集{1,2,4}时,B可以为{1,2,3},{1,2},共2种情况;