6-1扩散问题的有限体积法
第五章——对流-扩散问题的有限体积法
混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优 点，具有守恒性、有界性和迁移性，其缺点是按 Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
边界条件处理：
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
上机课：高速流计算
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
一维稳态对流-扩散问题的有限体积法 举例：考虑一维无源项的稳态对流-扩散问题： （核心区的稳态能量方程） d d d d ( u ) ( ) ( u ) 0 dx dx dx dx
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
W
uw
w
P
x
xwp
ue
e
E
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
P点中心差分
d ( u ) 0 dx
x pe
xWP
xPE
d d ( uA ) e ( uA ) w (A ) e (A ) w dx dx
设： F u
D x
w e De 有： Fw ( u) w Fe ( u ) e Dw xWP xPE
aPP aWW aEE
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
当速度较大时，采用中心差分格式处理边界值， 下游边界条件对数值计算法
离散格式的性质： （1）在数学上，一个离散格式必须要引起很小 的误差才能收敛于精确解，即要求离散格式必 须稳定或网格必须满足稳定性条件。 （2）在物理上，离散格式所计算出的解必须要 具有物理意义，对于得到物理上不真实的解的 离散方程，其数学上精度再高也没有价值
FeE FwP De (E P ) Dw (P W )
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
有限体积法基础
有限体积法基础有限体积法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程。
它将空间分成一系列的体积元，并且将计算结果储存起来，以便在下一个时间步骤进行计算。
在有限体积法中，体积元的边界被称为单元的面。
这些面被用来确定物质过渡的速率。
下面我们将进一步讨论有限体积法的基础知识。
有限体积法的主要思想是基于守恒原理，它认为一个系统内的总质量、物质和能量是不变的，在考虑这个理论模型的时候需要注意到这些变量的变化。
对于流体力学问题，有限体积法的两个基本假设是守恒原理以及描述流动的基本方程式不变。
有限体积法的设计结合了一些不同类型的基本方程式。
最常见的基本方程式是连续性和动量守恒方程式。
连续性方程式是描述物质输送的方程式，它表示了在任何一个小体积元内的物质输送是以恒定的速率进行的。
动量守恒方程式表示了每个小体积元的力学效应，包括压力、动量、重力和摩擦力等。
在计算的过程中，有限体积法将模型划分成一个网格，将每个体积元看作一个节点，控制体积元内的平均值。
在这个模型中，每个节点的值取决于它的邻域，因此在每个时间步骤中都需要重新计算。
这种方法的优点是可以非常准确地记录物质和能量的流动，缺点是计算量较大，但通过高性能计算工具可以得到准确且高效的解决方案。
总而言之，有限体积法是一种强大的数值分析方法，可以应用于流体力学、结构力学等方面。
它可以在不同的工程学领域解决多种不同的问题，如过程建模、边界值问题等。
要求有效地运用有限体积法，在合理的网格分布、合理的边界条件、合理的物理模型以及合理的计算策略下，对于计算速度和准确性都要求高度保证。
有限体积法 中科大
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，广泛应用于解决流体动力学、热传导等物理现象的偏微分方程。
它将求解域划分为有限数量的控制体积，然后通过对控制体积应用质量、动量、能量守恒等物理原理，将偏微分方程转化为代数方程组，最终用数值方法求解。
有限体积法的基本思想包括以下几个步骤：
1.离散化：将求解域划分为有限数量的控制体积，这些体积通常是规则的立方体或六
面体。
2.建立守恒方程：对每个控制体积应用守恒方程，例如质量守恒、动量守恒、能量守
恒等。
这通常涉及将偏微分方程转化为积分形式。
3.积分：对守恒方程进行积分，将守恒方程应用于控制体积的表面，得到在体积上的
积分方程。
4.离散化方程：将积分方程离散化，将连续域上的方程转化为离散的代数方程。
5.求解代数方程组：利用数值方法求解得到的代数方程组，通常采用迭代方法或直接
求解方法。
6.结果后处理：根据求解得到的数值解进行后处理，如可视化、数据分析等。
有限体积法的优势在于其能够自然地处理复杂的几何形状、多相流体、非结构网格等问题。
它在计算流体动力学、热传导、固体力学等领域有着广泛的应用。
5. 有限体积法
控制方程的通用形式
• 表示通用变量
( ) ( u ) ( grad ) s t
( ) ( u ) ( v ) ( w ) t x y z ( ) ( ) ( ) s x x y y z z
其中：通用变量可以代表u、v、w、T等求解变量； 为广义扩散系数； S为广义源项。
控制方程的通用形式
( ) ( u ) ( grad ) s t
非守恒型控制方程
有限体积法入门
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
显式时间积分方案
• f=0时
• 方程稳定性条件
Crank-Nicolson 时间积分方案
• f=1/2时
全隐式时间积分方案
• f=1
有限体积法基本原则
• 1.控制体积界面上的连续性原则 通过某特定界面从一个控制体积所流出的热通量，必须等 于通过该界面进入相邻控制体积的热通量。 • 2. 正系数原则 • 3.源项的负斜率线性化原则
ˆ V ˆ f ˆ f ˆ ˆ f ˆ V ˆ V U 1 2 3 1 2 3 t
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 不足 简单、计算量小、易 于提高精度 有限体积法 本身包含几何信息， 易处理复杂网格
差分离散与几何解耦， 复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
空间分布阶时间分数阶扩散方程的有限体积法
P
(α
k
)
∂αk u ( x,
∂ x αk
t
)
∆ξk
+ο
σ2
结合(1)，(4)，(6)我们可以得到
DOI: 10.12677/pm.2019.93047
353
理论数学
杨莹莹，李景
( ) ( ) n−1
∑ a u ( x, tn ) − u ( x, tn−1 ) + a bj u x, tn− j − u x, tn− j−1 j =1
Finite Volume Method for a Space Distributed-Order Time-Fractional Diffusion Equation
Yingying Yang, Jing Li*
School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science and Technology, Changsha Hunan
∂ xα
=−
2
cos
1
(α
π
2)
∂αu ( x,t )
∂xα
+
∂α u ( x,t ∂ (−x)α
)
,
1
<
α
≤
2
.
其中
∂αu ( x,t )
∂xα
=
1
有限体积法1
P=
ρuδx = F/D 为 Peclet 数，代表了对流项与扩散项之间 Γ
的比值。 显然有 A(0) =1，A(∞) = 0。
16
◆函数 A 可用较简单的逼近式――乘方律公式
(1 − 0.1 P A( P ) = 0
)
5
P ≤ 10 P ≥ 10
当∣P∣> 10 时扩散项可以不计。 其他逼近式 中心差分格式：相当于取 A(|P|)=1－0.5 |P| 迎风格式（逆风格式） ：相当于取 A(|P|)=1 混合格式：取 A(|P|)=max( 0, 1－0.5 |P| )
是单位时间内通过垂直于 xi 轴的单位面积的该物理量的大小。
2
对流项 ρui φ = 随流动输移的物理量通量， 其方向取决于流 动方向，下游对上游没有影响。 扩散项 − Γ
∂φ =物理量由于粘性、分子扩散或紊动等原因 ∂x i
而产生的扩散通量，其方向指向φ小的一侧。Γ为扩散系数， 与动力粘性系数μ具有同样的量纲。
3
将通量式代入控制方程中得: 物理量在流体中随流输移和扩散过程通用形式基本微分方程
∂ ∂ρφ ∂ (ρu j φ) = + ∂x j ∂x j ∂t ∂φ Γ ∂x j +S
例 1：当物理量为流体自身质量时，φ=1，Γ= 0,S = 0（不 存在质量源项时） ，得到连续性方程
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
22
2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
23
(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
6-2扩散问题的有限体积法
多维非稳态扩散问题的有限体积法
◆三维非稳态问题
二维稳态扩散问题的有限体积法
◆控制方程在控制容积上积分
∂ ∂φ ∂ ∂φ Γ + Γ + S = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y
◆高斯定理把体积分转换为面积分得
∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ΓA − ΓA + ΓA − ΓA + S ∆V = 0 ∂x e ∂x w ∂y n ∂y s
t + ∆t t + ∆t ∂T ∂T t + ∆t ∂T ρc dt dV = ∫ λA − λA dt + ∫ S∆Vdt ∫ ∫t t t ∂t ∂x e ∂x w CV
∂T TP − T = ∂t ∆t
0 p
aE =
λe δx PE
的值， 在计算中心节点温度 TP 时，只用到了上一时刻的TW ， E ，TP 的值， T 因此它叫显式格式， 因此它叫显式格式，可直接由初始温度分布计算出其它时刻的温度 分布 。
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆显式格式稳定性条件
a 0 − (a E + aW − S P ) > 0 p
一维非稳态扩散问题的有限体积法
◆全隐式格式
θ =1
a PTP = a E TE + aW TW + a 0 TP0 + S u p
a P = aW + a E + a − S P
0 P
∆x a = ρc ∆t
0 P
aW =
λw δxWP
aE =
λe δx PE
对流扩散方程的特征有限体积两重网格算法与误差估计
有 限体 积 法 （ ｉｉ ｏｕ ｅＭ ｔｏｓ 是 求 解 偏 Ｆｎｔ Ｖ ｌｍ ｅ ｄ ） ｅ ｈ 微 分方程 的新 技术 ， １８ 被 提 出 ， 自 ９ ２年 至今 已获 得 很 大发展 ¨ ， 种 方 法 国 内也 被 称 为 广 义 差 分 法 引 这
ｓｍｐ ｉ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｄ ｉ ｒ ｖ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｆ ｃｅ ｃ ． ｉ ｌ ｙ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ａ ｍｐ ｅ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ｅ ｉ ｎ ｙ ｆ ｈ ｎ ｏ ｈ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｍ ｎ ｔ ｄ ｄｆ ｓ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ； ｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｎ ｔ ｏｕ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｖ ｃｉ ｏ ｏ ｉ ａｅ － ｉ ｕ ｉ ｑ ａ ｉ ｏ ｏ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｓ ｆ ｉ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅ ｄ；ｔ —ｒ ｉｉ ｉ ｅ ｈ ｗｏ ｇｉ ｄ
网格 △ 上的近似解 （ 。理论分析及数值例子的计算结果均表明， Ｈ＞ ） 在收敛阶保持 不变的情 况下 ， 算法既 可消除 非线性对 流 占优 扩散 问题 数值震 荡现 象 ， 可 简化 计算 ， 高计 算效 率。 此 又 提
关键 词 ： 对流 占优 扩散 方程 ； 特征 有 限体 积 法 ；两重 网格 算法 ； 差估 计 误
ｔｒｓｉ ｎ ｔ ｏｕ ｏｕ ｉｎ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｉ ｉ ｔ ｄ ．Ｔ ｏ ｌｎ ａｉ ｅ ｅ ｅ ｐ ｎ ｅ ｂ ｕｔｔ ｅ ｃ ｓ ｓ ｅｉｔｃ ｆ ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｓ ｌ ｔ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｓｓｕ ｙ ｈｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ｓａ ｘ ａ ｄ ｄ ａ ｏ ｏ ｘ ｅ ｉ ｏ ｈ ｉ ｒ ｈ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｏ ｏ ｖｎ ｏ ｌ ｅ ｒｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄｆ ｓｏ ｑ ａ ｏ ｓｒ ｃ ：Ｆ ｒｓ ｌｉ ｇ ａ ｎ ｎ ｉ ａ ｏ ｖ ｃｉ ｉ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｔ ｎ，ａｔ —ｒｄ ｍｅ ｈ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｃ ａ ａ — ｎ ｏ ｉ ｗｏ ｇ ｉ ｔ ｏ ａ ｅ ｎ ｔ ｈ ｒ ｃ ｈ
对流扩散问题的有限体积法
流体仿真与应用第八讲二、对流-扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）节点增加到20个结果◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。
然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。
因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。
随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
①，即纯扩散，无对流。
②，即纯对流，无扩散。
0=Pe ∞=Pe◆迎风格式迎风格式（Upwind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。
中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上的值取相邻上、下游节点的平均值。
当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ◆迎风格式◆迎风格式在控制容积界面上对流项的取其上游节点处的值EW →φWw φφ=Pe φφ=()()W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ−−−=−()()[]()Ee W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=−+++WE →Pw φφ=Ee φφ=()()[]()Ee e W w Pw e e e w F D D F F F D D φφφ−+=−+−+◆迎风格式通用形式WW E E P P a a a φφφ+=()w e E W P F F a a a −++=EW →ww W F D a +=eE D a =W E →w W D a =ee E F D a −=◆迎风格式的特点迎风格式满足守恒性。
有限体积法双通量模型
有限体积法双通量模型
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值求解偏微分方程的方法，常用于流体力学和热传导等领域。
双通量模型是有限体积法的一种变体，用于处理流体流动中的混合、扩散、反应等复杂过程。
在双通量模型中，流体流动区域被划分为有限数量的控制体积单元（control volumes），每个单元内都有一定量的物质质量、动量和能量。
双通量模型在每个单元内考虑两种流量：通量（flux）和扩散通量（diffusion flux）。
1. 通量（flux）：通量是流体通过控制体积表面的质量、动量或能量流量。
它通常由守恒方程中的对流项给出，表示流体在空间中的流动速度和流向。
2. 扩散通量（diffusion flux）：扩散通量表示由于浓度或温度梯度而引起的质量、动量或能量的传递。
它通常由守恒方程中的扩散项给出，表示流体中由于浓度或温度差异而产生的物质扩散。
在双通量模型中，通过对控制体积单元内的质量、动量和能量进行守恒方程的离散化，可以得到离散方程组。
然后利用数值求解方法，如迭代法、有限差分法或有限元法等，对离散方程组进行求解，从而得到流体流动的数值解。
通过调整通量和扩散通量的参数，可以模拟不同的流动过程，如对流主导的流动、扩散主导的扩散、反应主导的反应等。
总的来说，双通量模型是一种用于处理流体流动中复杂传输过程的数值模型，通过考虑通量和扩散通量的影响，可以更准确地描
述流体流动的行为。
fvm解扩散方程
fvm解扩散方程介绍在科学和工程领域，扩散方程是一个常见的数学模型，用于描述物质传输的过程。
fvm（有限体积法）是一种数值方法，可以用于解析求解扩散方程。
本文将详细介绍fvm方法在解扩散方程中的应用。
fvm方法简介有限体积法是一种基于物理量守恒的数值解方法，适用于在空间上离散模型。
fvm方法在时间和空间上离散方程，通过将求解域划分为不重叠的有限体积单元，并在每个单元上进行局部平均，将连续方程转化为离散方程。
离散化后的方程可以通过迭代求解，得到原始方程的近似解。
扩散方程及数学描述扩散方程是一种描述物质传输的偏微分方程。
在一维情况下，扩散方程可以表示为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²其中，C是物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
该方程描述了物质浓度随时间和空间的变化情况。
fvm方法求解步骤fvm方法求解扩散方程包括以下步骤：1.网格划分：将求解域划分为离散的有限体积单元。
2.方程离散化：将扩散方程离散化为差分方程。
使用中心差分方法进行空间离散化，使用显式或隐式差分方法进行时间离散化。
3.边界条件：确定各个单元的边界条件，包括初始条件和边界条件。
4.代数方程：将离散化得到的差分方程转化为代数方程组。
5.迭代求解：通过迭代求解代数方程组，得到扩散方程的近似解。
fvm方法优势和局限性fvm方法在求解扩散方程中具有以下优势：•适用性广泛：fvm方法适用于各种边界条件和复杂几何形状。
•数值稳定性：fvm方法相对于其他数值方法，具有较好的稳定性。
•精度可控：通过调节网格尺寸和时间步长，可以控制数值解的精度。
然而，fvm方法也存在一些局限性：•存储需求大：由于需要存储每个单元的物理量数据，fvm方法的存储需求较大。
•计算复杂度高：fvm方法在求解大规模问题时，计算复杂度较高。
fvm方法在扩散方程中的应用案例fvm方法广泛应用于各个领域的扩散方程求解。
以下是一些常见的应用案例：污染物传播模拟通过fvm方法，可以模拟污染物在环境中的扩散和传播过程。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程引言有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。
该方法将求解区域分割成有限数量的体积单元，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组，进而求解得出数值解。
有限体积法的基本思想有限体积法的基本思想是根据守恒定律，将求解区域划分为有限数量的体积单元。
每个体积单元内的物理量在时间上的变化以及空间上的梯度变化被积分求和，以体积平均值来表示。
然后，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组。
最终通过求解离散方程组，得到数值解。
有限体积法的基本步骤1. 网格划分：将求解区域划分为有限数量的体积单元，形成网格结构。
常见的网格结构包括结构化网格和非结构化网格。
2. 守恒方程离散化：对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化处理。
一般来说，离散化的方法有梯度法、中心差分法、Godunov方法等。
3. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，确定边界上的物理量。
常见的边界条件有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和周期性边界条件等。
4. 求解离散方程组：将离散化后的方程组表示为矩阵形式，通过数值计算方法求解得到数值解。
5. 后处理：对数值解进行分析和处理，得到所需的物理量。
优点和应用领域有限体积法相比其他数值计算方法具有以下优点：1. 适用性广：适用于各种类型的偏微分方程求解，包括椭圆型、抛物型和双曲型等。
2. 自然的守恒性：有限体积法在离散化过程中能够保持物理量的守恒性，如质量、动量和能量等。
3. 网格自由度：有限体积法不依赖于特定的网格结构，可以使用结构化网格和非结构化网格。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域的数值计算。
例如，在流体力学中，有限体积法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的流动行为。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程【原创实用版】目录1.有限体积法简介2.偏微分方程概述3.有限体积法求解偏微分方程4.有限体积法的应用与优缺点正文1.有限体积法简介有限体积法是一种广泛应用于求解偏微分方程的数值方法。
该方法将求解域进行网格划分，通过离散化处理，将偏微分方程转化为代数方程组，从而实现求解。
有限体积法具有计算简便、稳定性高等优点，适用于多种物理问题的求解。
2.偏微分方程概述偏微分方程是描述物理现象的数学模型，其求解对于了解现象的发展和预测具有重要意义。
偏微分方程可以涉及多个变量和较高阶导数，因此求解过程较为复杂。
有限体积法作为一种数值方法，为求解偏微分方程提供了有效手段。
3.有限体积法求解偏微分方程有限体积法求解偏微分方程的过程主要包括以下几个步骤：（1）将求解域进行网格划分。
根据问题的实际情况，选择合适的网格类型和网格尺寸。
（2）对偏微分方程进行离散化处理。
在网格节点上，对偏微分方程的各项导数进行离散化，得到一组代数方程。
（3）构建代数方程组。
将离散化后的代数方程进行组合，形成一个线性或非线性代数方程组。
（4）求解代数方程组。
利用数值方法（如迭代法、直接解法等）求解代数方程组，得到网格节点上的变量值。
（5）后处理。
对求解结果进行分析和处理，如绘制等值线图、计算物理量的时空分布等。
4.有限体积法的应用与优缺点有限体积法广泛应用于各种领域，如流体力学、传热、电磁场等。
该方法具有以下优点：（1）适用性广。
有限体积法可以求解多种类型的偏微分方程，适用于不同领域的问题。
（2）稳定性高。
有限体积法的求解过程具有较好的稳定性，能够较好地处理激波、接触面等复杂现象。
（3）计算简便。
有限体积法通过离散化处理，将偏微分方程转化为代数方程组，计算过程较为简便。
然而，有限体积法也存在一定的局限性，如求解过程中可能出现网格依赖现象，即求解结果与网格尺寸和网格类型有关。
第四章——扩散问题的有限体积法
第四章 扩散问题的有限体积法
A
1
2
x
3
4
w
5
P
B
e
x / 2
a 同理，在右侧得： PTP aW TW aETE Su
A a 0 a a a S A A aW P W E P E x x / 2 x A A SP Su TA x / 2 x / 2
第四章 扩散问题的有限体积法
高斯公式：
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy S ( P cos Q cos R cos )ds
第四章 扩散问题的有限体积法
有限体积法——控制容积法——平衡法
x pe
xWP
x PE
P
P
先有节点，后有控制容积
先有控制容积，后有节点
第四章 扩散问题的有限体积法
方程离散：
CV
_ d d d d ( )dV SdV (A ) (A ) w S V 0 CV dx dx dx e dx
d E P (A ) e e Ae dx xPE
d P (A ) w w Aw dx xWP
P E e 2
W P w 2
S V Su S PP
_
第四章 扩散问题的有限体积法
方程离散：
E P P W (e Ae ) (w Aw ) ( Su S PP ) 0 xPE xWP
A
w
1
P
e
2
x
3
4
5
B
x / 2
d dT dT dT CV dx ( dx )dV (A dx )e (A dx ) w 0 dT TE TP dT TP TA (A ) e e Ae (A ) w w Aw dx x dx x / 2 A A A A ( )TP 0 TW TE TA x x / 2 x x / 2
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Γe Ae
φ − φW φE − φP − Γw Aw P + S u + S Pφ P = 0 δx PE δxWP
Γ A + w w φW + Su δxWP
Γe Ae Γw Aw Γ A + − S P φP = e e φE δxPE δxPE δxWP
扩散问题的有限体积法
◆稳态纯扩散
div (Γ gradφ ) + S φ = 0
∫ div(Γ gradφ )dV + ∫ Sφ dV = 0
CV CV
r ∫ n • (Γ gradφ )dA +
A
∫ Sφ dV = 0
CV
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆一维稳态纯扩散方程
d dφ Γ +S =0 dx dx
∫
CV
div ( Γ grad φ ) dV =
∫
A
r n • ( Γ grad φ ) dA
→ r r ∂ (ρφ )dV + ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV ∫ ∂t CV A A CV
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法输运方程的物理意义
◆节点划分（P点） 节点划分（源自点有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。 有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。
一维稳态扩散问题的有限体积法
▼控制容积的取法
方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻 个节点中间 先划分节点） 个节点中间（ 方法 ：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）
扩散问题的有限体积法
◆稳态输运方程
→ r r ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV A A CV
◆非稳态输运方程
→ r r ∂ (ρφ )dV dt + ∫ ∫ n • ( ρφ U )dAdt = ∫ ∫ n • (Γ gradφ )dAdt + ∫ ∫ Sφ dV dt ∫ ∂t CV ∫ ∆t ∆t A ∆t A ∆t CV
◆方程的求解
在每个节点都建立上述离散（对于内部节点， 在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个 节点上重复上述过程， 节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节 而对边界节点则须重新按上述过程进行推导， 点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的 边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同）， ），得到一个线 边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线 性方程组。求解该方程组即可得每个节点的 φ 值。 性方程组。
流体仿真与应用
第七讲
扩散问题的有限体积法 （一）
扩散问题的有限体积法
◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程
→ ∂ (ρφ ) + div ( ρ U φ ) = div (Γ gradφ ) + S φ ∂t
瞬变项
对流项
扩散项
源项
▼在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求 在应用有限体积法（控制容积法） 解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积 解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积 将微分方程转化为积分方程， 分，将微分方程转化为积分方程，然后采用不同 的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处 的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处 从而得到不同的差分格式。 理，从而得到不同的差分格式。
方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划 方法 ：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（ 分控制容积） 分控制容积）
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆方程的离散
∫
CV
d dφ dφ dφ Γ dV + ∫ SdV = ΓA − ΓA + S ∆V = 0 dx dx dx e dx w CV
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法求解过程
→ ∂(ρφ ) ∫ ∂t dV + CVdiv( ρ U φ )dV = CVdiv(Γ gradφ )dV + CV Sφ dV ∫ ∫ ∫ CV
高斯定理
r r r div(a )dV = ∫ n • adA ∫
CV
→
A
→ r ∫ div( ρ U φ )dV = ∫ n • ( ρφ U )dA CV A
→ r r ∂ (ρφ )dV + ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV ∫ ∂t CV A A CV
总的变 化率
外法线方 向的对流 通量
内法线方 向的扩散 通量
源项引 起的的 增加率
物理意义
因对流而 引起的净 减少量
物理意义
扩散而引 起的净增 加量
a Pφ P = a E φ E + aW φW + S u
a P = a E + aW − S P
aW = Γw Aw δxWP
aE =
Γe A e δx PE
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆方程的离散的步骤
首先将微分方程在控制容积上进行积分， 首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体 积分转化为控制容积边界界面上的面积分， 积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面 上的参数的近似而得到最终的离散方程。 上的参数的近似而得到最终的离散方程。 对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心
φ − φP dφ ΓA = Γe Ae E dx e δx PE
Γw = ΓW + ΓP 2
φ − φW dφ ΓA = Γw Aw P dx w δxWP
ΓE + ΓP Γe = 2
+ S
中心差分格式
S∆V = S
u
P
φ
P
一维稳态扩散问题的有限体积法