6-1扩散问题的有限体积法
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→ r r ∂ (ρφ )dV + ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV ∫ ∂t CV A A CV
总的变 化率
外法线方 向的对流 通量
内法线方 向的扩散 通量
源项引 起的的 增加率
物理意义
因对流而 引起的净 减少量
物理意义
扩散而引 起的净增 加量
流体仿真与应用
第七讲
扩散问题的有限体积法 （一）
扩散问题的有限体积法
◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程
→ ∂ (ρφ ) + div ( ρ U φ ) = div (Γ gradφ ) + S φ ∂t
瞬变项
对流项
扩散项
源项
▼在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求 在应用有限体积法（控制容积法） 解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积 解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积 将微分方程转化为积分方程， 分，将微分方程转化为积分方程，然后采用不同 的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处 的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处 从而得到不同的差分格式。 理，从而得到不同的差分格式。
扩散问题的有限体积法
◆稳态输运方程
→ r r ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV A A CV
◆非稳态输运方程
→ r r ∂ (ρφ )dV dt + ∫ ∫ n • ( ρφ U )dAdt = ∫ ∫ n • (Γ gradφ )dAdt + ∫ ∫ Sφ dV dt ∫ ∂t CV ∫ ∆t ∆t A ∆t A ∆t CV
◆方程的求解
在每个节点都建立上述离散（对于内部节点， 在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个 节点上重复上述过程， 节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节 而对边界节点则须重新按上述过程进行推导， 点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的 边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同）， ），得到一个线 边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线 性方程组。求解该方程组即可得每个节点的 φ 值。 性方程组。
φ − φP dφ ΓA = Γe Ae E dx e δx PE
Γw = ΓW + ΓP 2
φ − φW dφ ΓA = Γw Aw P dx w δxWP
ΓE + ΓP Γe = 2
+ S
中心差分格式
S∆V = S
u
P
φ
P
一维稳态扩散问题的有限体积法
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法求解过程
→ ∂(ρφ ) ∫ ∂t dV + CVdiv( ρ U φ )dV = CVdiv(Γ gradφ )dV + CV Sφ dV ∫ ∫ ∫ CV
高斯定理
r r r div(a )dV = ∫ n • adA ∫
CV
→
A
→ r ∫ div( ρ U φ )dV = ∫ n • ( ρφ U )dA CV A
◆节点划分（P点） 节点划分（ 点
有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。 有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。
一维稳态扩散问题的有限体积法
▼控制容积的取法
方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻 个节点中间 先划分节点） 个节点中间（ 方法 ：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）
◆方程的离散
Γe Ae
φ − φW φE − φP − Γw Aw P + S u + S Pφ P = 0 δx PE δxWP
Γ A + w w φW + Su δxWP
Γe Ae Γw Aw Γ A + − S P φP = e e φE δxPE δxPE δxWP
扩散问题的有限体积法
◆稳态纯扩散
div (Γ gradφ ) + S φ = 0
∫ div(Γ gradφ )dV + ∫ Sφ dV = 0
CV CV
r ∫ n • (Γ gradφ )dA +
A
∫ Sφ dV = 0
CV
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆一维稳态纯扩散方程
d dφ Γ +S =0 dx dx
a Pφ P = a E φ E + aW φW + S u
a P = a E + aW − S P
aW = Γw Aw δxWP
aE =
Γe A e δx PE
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆方程的离散的步骤
首先将微分方程在控制容积上进行积分， 首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体 积分转化为控制容积边界界面上的面积分， 积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面 上的参数的近似而得到最终的离散方程。 上的参数的近似而得到最终的离散方程。 对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心
百度文库
方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划 方法 ：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（ 分控制容积） 分控制容积）
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆方程的离散
∫
CV
d dφ dφ dφ Γ dV + ∫ SdV = ΓA − ΓA + S ∆V = 0 dx dx dx e dx w CV
∫
CV
div ( Γ grad φ ) dV =
∫
A
r n • ( Γ grad φ ) dA
→ r r ∂ (ρφ )dV + ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV ∫ ∂t CV A A CV
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法输运方程的物理意义
总的变 化率
外法线方 向的对流 通量
内法线方 向的扩散 通量
源项引 起的的 增加率
物理意义
因对流而 引起的净 减少量
物理意义
扩散而引 起的净增 加量
流体仿真与应用
第七讲
扩散问题的有限体积法 （一）
扩散问题的有限体积法
◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程
→ ∂ (ρφ ) + div ( ρ U φ ) = div (Γ gradφ ) + S φ ∂t
瞬变项
对流项
扩散项
源项
▼在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求 在应用有限体积法（控制容积法） 解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积 解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积 将微分方程转化为积分方程， 分，将微分方程转化为积分方程，然后采用不同 的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处 的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处 从而得到不同的差分格式。 理，从而得到不同的差分格式。
扩散问题的有限体积法
◆稳态输运方程
→ r r ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV A A CV
◆非稳态输运方程
→ r r ∂ (ρφ )dV dt + ∫ ∫ n • ( ρφ U )dAdt = ∫ ∫ n • (Γ gradφ )dAdt + ∫ ∫ Sφ dV dt ∫ ∂t CV ∫ ∆t ∆t A ∆t A ∆t CV
◆方程的求解
在每个节点都建立上述离散（对于内部节点， 在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个 节点上重复上述过程， 节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节 而对边界节点则须重新按上述过程进行推导， 点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的 边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同）， ），得到一个线 边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线 性方程组。求解该方程组即可得每个节点的 φ 值。 性方程组。
φ − φP dφ ΓA = Γe Ae E dx e δx PE
Γw = ΓW + ΓP 2
φ − φW dφ ΓA = Γw Aw P dx w δxWP
ΓE + ΓP Γe = 2
+ S
中心差分格式
S∆V = S
u
P
φ
P
一维稳态扩散问题的有限体积法
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法求解过程
→ ∂(ρφ ) ∫ ∂t dV + CVdiv( ρ U φ )dV = CVdiv(Γ gradφ )dV + CV Sφ dV ∫ ∫ ∫ CV
高斯定理
r r r div(a )dV = ∫ n • adA ∫
CV
→
A
→ r ∫ div( ρ U φ )dV = ∫ n • ( ρφ U )dA CV A
◆节点划分（P点） 节点划分（ 点
有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。 有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。
一维稳态扩散问题的有限体积法
▼控制容积的取法
方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻 个节点中间 先划分节点） 个节点中间（ 方法 ：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）
◆方程的离散
Γe Ae
φ − φW φE − φP − Γw Aw P + S u + S Pφ P = 0 δx PE δxWP
Γ A + w w φW + Su δxWP
Γe Ae Γw Aw Γ A + − S P φP = e e φE δxPE δxPE δxWP
扩散问题的有限体积法
◆稳态纯扩散
div (Γ gradφ ) + S φ = 0
∫ div(Γ gradφ )dV + ∫ Sφ dV = 0
CV CV
r ∫ n • (Γ gradφ )dA +
A
∫ Sφ dV = 0
CV
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆一维稳态纯扩散方程
d dφ Γ +S =0 dx dx
a Pφ P = a E φ E + aW φW + S u
a P = a E + aW − S P
aW = Γw Aw δxWP
aE =
Γe A e δx PE
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆方程的离散的步骤
首先将微分方程在控制容积上进行积分， 首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体 积分转化为控制容积边界界面上的面积分， 积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面 上的参数的近似而得到最终的离散方程。 上的参数的近似而得到最终的离散方程。 对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心
百度文库
方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划 方法 ：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（ 分控制容积） 分控制容积）
一维稳态扩散问题的有限体积法
◆方程的离散
∫
CV
d dφ dφ dφ Γ dV + ∫ SdV = ΓA − ΓA + S ∆V = 0 dx dx dx e dx w CV
∫
CV
div ( Γ grad φ ) dV =
∫
A
r n • ( Γ grad φ ) dA
→ r r ∂ (ρφ )dV + ∫ n • ( ρφ U )dA = ∫ n • (Γ gradφ )dA + ∫ Sφ dV ∫ ∂t CV A A CV
扩散问题的有限体积法
◆有限体积法输运方程的物理意义