二项式定理学案
高中数学《二项式定理》教案
二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。
②能正确区分二项式系数和某一项的系数。
③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。
2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。
（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。
难点：二项式定理的发现。
（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。
高中数学《二项式定理》导学案
第一章计数原理第三节二项式定理（第1课时）一、学习目标1.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.【重点、难点】二项式定理；二项式定理的性质.二、学习过程【情景创设】二项式定理研究的是(a+b)n的展开式,如:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=?,(a+b)4=?,(a+b)100=?,那么(a+b)n的展开式是什么?这就是本节课我们将要学习的内容.【导入新课】问题1:(1)二项式定理:(a+b)n= (n∈N+).(2)错误!未找到引用源。
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= (n∈N+).问题2:二项展开式的通项和二项式系数在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,展开式的第r+1项为(r=0,1,2…n),其中的系数错误!未找到引用源。
(r=0,1,2…n)叫作.问题3:使用二项展开式的通项要注意的问题①通项T r+1是第项,不是第r项;②通项T r+1的作用:处理与、、、等有关的问题.③二项展开式中二项式系数与展开项的系数是不同的概念.如:(a+2b)3=错误!未找到引用源。
a3+错误!未找到引用源。
a2·(2b)+错误!未找到引用源。
a·(2b)2+错误!未找到引用源。
(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3,第三项的二项式系数为,第三项的系数为.问题4:使用二项式定理需要注意的问题二项式定理展开式中的a和b的位置不能颠倒,且包括a,b前面的,而且a的次数逐渐,b的次数逐渐,每一项的次数都为.答案：问题1:(1)错误!未找到引用源。
a n+错误!未找到引用源。
a n-1b+错误!未找到引用源。
a n-2b2+…+错误!未找到引用源。
二项式定理的应用导学案
二项式定理的应用导学案一、知识背景1.二项式定理二项式定理又叫做牛顿定理，是代数中的一个基本公式。
它描述的是一个二次幂的多项式被展开后各项系数的规律。
当幂为自然数时，用二项式定理展开后可以帮助我们方便地计算出原式的各项系数。
2.二项式定理的公式(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k其中，C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的不同组合数数目。
3.二项式定理的应用二项式定理最常见的应用是展开幂函数。
在实际应用中，展开幂函数可以简化数学计算，简化问题的形式。
同时，二项式定理也是概率与统计学科中重要的基础知识，通过计算组合数的计算，可以推导出诸多与随机现象相关的公式。
二、应用导学1.现实应用\mathcal{Case\ Study}小云生病了，医生建议她吃一种辅助药。
这种辅助药有两种口味，分别是橙子味和柠檬味，分别标志为O和L。
医生建议小云每天至少吃7粒此类药，而且每天要至少吃3粒橙子味药，另外，为了保持口味新鲜，每天两种药至少要吃一种。
问题是：小云要吃完所有这种辅助药，一共要多少种方案呢？\mathcal{Solution}按照题目中要求的计算，首先给出小云每天至少吃7粒药的方案数：(O+L)^7=C_7^0O^7C_7^1O^6L+C_7^1O^6L^1C_7^1O^6L+C_7^2O^ 5L^2+C_7^3O^4L^3+C_7^4O^3L^4+C_7^5O^2L^5+C_7^6O^1L^6+ C_7^7L^7因为每天要至少吃3粒橙子味药，所以从上述式子中减去：“一天不吃橙子味药”和“一天只吃1粒橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]再从上述式子中减去“每天都只吃柠檬味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1最后，因为每天两种药至少要吃一种，所以要减去“一天只吃柠檬味药”和“一天只吃橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1-\sum\limits_{i= 0}^1C_6^i(O+L)^5将计算结果带入计算器，得到总方案数为14006种。
二项式定理_学案
二项式定理一、知识与方法：1、二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数rn C 叫第1+r 项的________；展开式共有_____项，其中第1+r 项1r n r rr n T C a b -+=(0,1,2,,)r n =称为二项展开式的______，主要用于求指定的项。
解题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？ 2、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，实质是__________； （2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大， 当12n r +≥时,C r n 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n 为偶数时，中间一项（第____项）的二项式系数（ 2n nC）最大值。
当n 为奇数时，中间两项（第______和_______项）的二项式系数（1122n n nnC C-+=）相等并同时取最大值。
（3）二项式系数的和：01r n n n C C C +++___=++n n C ；0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅______=。
注意：此过程体现了“赋值法”，应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和、“奇数 (偶次)项”系数和、以及“偶数 (奇次)项”系数和。
3、二项式定理的应用：主要有近似计算、证明整除性问题或确定余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。
二、例题： 例1、求37(2x的展开式中第三项及常数项。
例2、已知9290129(13)x a a x a x a x -=++++，求（1）0a ； （2）2a ； （3）0129||||a a a a ++++。
三、练习题：1、在52()2x x-的展开式中x1的系数等于（ ） A 、10B 、10-C 、20D 、20-2、若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是（ ） A 、2- B 、22 C 、34 D 、23、在1021⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中，含x 的负整数指数幂的项共有（ ） A 、8项B 、6项C 、4项D 、2项 4、在261()x x+的展开式中，3x 的系数和常数项依次是（ ）A 、20，20B 、15，20C 、20，15D 、15，155、由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 （ ） A 、(1，2，3，4) B 、(0，3，4，0) C 、（-1，0，2，-2） D 、（0，-3，4，-1） 6、对于二项式31()()nx n N x++∈，四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 上述判断中正确的是（ ） A 、①③B 、②③C 、②④D 、）①④7、若41313--+=n n n C C C ，则n 的值为 。
二项式定理学案
二项式定理学案
§1.5.1二项式定理
一、知识要点
二项式定理：
通项：
二项式系数与项的系数：
二、典型例题
例1.展开下列各式：
⑴⑵
例2.求的展开式中第4项的二项式系数和系数.
例3.求的二项展开式中的常数项.
例4.已知在的展开式中，第6项为常数项.
⑴求；⑵求含的项的系数；⑶求展开式中所有的有理项.
三、巩固练习
的展开式为.
的展开式中第3项的二项式系数是，第3项的系数为. 写出的展开式第项为.
的展开式中含的项为.
的展开式中的常数项为.
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
展开式中项的系数为.
的展开式中，含的项的系数是.
在展开式中，项的系数是15，则实数=.
化简=.
的展开式中的常数项为.
若的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则的取值范围是.
展开式中，含项的系数为.
若的展开式中的第3项与第5项的系数相等，求展开式中的系数.9.二项式的展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，求展开式中的常数项.
0.求展开式中的所有的含的有理项.
订正栏：。
6.3.1 二项式定理 教案 人教高中数学选修第三册
典例分析，定理的简单应用
教师：强调规范作答步骤引导学生完成例题。
【例1】求 的展开式．
【例2】（1）求 的展开式的第4项系数；
教师： 展开式的第4项是什么？第4项的二项式系数是多少？第4项的系数是多少？
（2）求 的展开式中 的系数．
学生：思考并在练习本上完成问题。
媒体作用：
学生讲：培养学生的思维与语言表达能力。
课堂小结
学生总结
教师引导学生总结本节学习的知识和数学方法。
设计意图：师生共同回顾总结，引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养，锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．
布置作业
巩固定理，预习新知
学生课后完成分层作业和预习作业。
设计意图：课后练习是对定理的巩固，预习作业为下节内容做好铺垫
学生：
设计意图：
创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．
这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．
新知探究
设置问题，验证猜想
教师：观察 的展开式，思考展开式中的这几种类型的项是如何得到的？
你能推导 ， 的展开式是如何得到的吗？
展开式中的各项的系数是如何确定的？
6.3.1二项式定理
第一课时
一、基本信息
教材、学科
人教A版选择性必修第三册、数学
章节
第六章第3节二项式定理
学时
1课时
年级
高二年级
课型
新授课
教具、学具
二、核心素养目标
1、借助二项式定理的证明，提升学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强了学生的逻辑推理能力。使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
二项式定理优秀导学案
二项式定理教案一、教学目标：1．知识技能：（1）了解二项式定理是代数乘法公式的推广及推导过程；（2）理解并掌握二项式定理。
2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3．情感、态度与价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点：用计数原理分析4)(b a +的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程（一）问题引入：1.在n =1, 2, 3时，写出并研究()nb a +的展开式. ()1b a += b a + ()2b a += ()()b a b a ++=222b ab a ++， ()3b a +=()()()b a b a b a +++ 322333b ab b a a +++=2.思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+= 问题：1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？4a b a 3 22b a 3ab 4b2)．各项前的系数代表着什么？各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数3)．你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c恰有1个取b 的情况有14c 种，则b a 3前的系数为14c恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+（二）知识新授1.二项展开式定理：()+----∈++++++=+N n b a C b a C b a c b a c b ac a c b a n n n m m n m n n n n n n n n n n 0333222110)( 右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式m m n m n b a c -叫做二项展开式的通项，记作1+m T 即1C m n m m m n T ab -+= n n m n n n nc c c c c ,......,,......,,,210 叫做二项式系数注1）．二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数2）．各项中a 的指数从n 起依次减小1，到0为此各项中b 的指数从0起依次增加1，到n 为此特例：当x b a ==,1时有：n n n n r r n n n n x xc x c x c x c x +++++++=+--11221......1)1( 2. 二项式定理(公式)的特点（1）二项式系数规律：n n n n n C C C C ,,,,210（2）指数规律：对于a 为降幂排列，即01,,,a a a n n -；对于b 为升幂排列，即 n b b b ,,,10 ；每一项中b a ,的次数之和都是()()0,1,,1, -==++n n r n r r n（3）项数规律：展开式共有n+1项四、应用（例题）例1 求51⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式. 解50554145323523251415050551111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x=53351510105xx x x x x +++++ 练习1 写出()42y x -的二项展开式.例2 求91()x x-的二项展开式中3x 的系数. 解 展开式的通项为()m m m mm m m x C x x C T 29999111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 依据题意，有329=-m .解得 3=m .所以，3x 的系数是()()84123789113393-=⨯⨯⨯⨯⨯-=-C . 例3 （1）求7(12)x +展开式的第4项；（2）求第4项的二项式系数及第4项的系数. 解 展开式的通项为37333333177C 1(2)C 2T x x -+=⨯⨯=⨯⋅33358280x x =⨯=.所以，第四项为3280x（2）第4项的二项式系数为3537=C ；第4项的系数 2802133737=⨯⨯-C注意:二项式系数为)2,1,0(n m C m n =项的系数为：二项式系数与数字系数的积. 练习2 (1)求6(23)a b +展开式的第3项.(2) 10(1)x -的展开式的第6项的系数（ ）.A.610CB.610C -C.510CD.510C -。
学案5：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理目标导航学习目标重点、难点1.能用计数原理证明二项式定理．2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 重点：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数． 难点：解决与二项式定理有关的简单问题.预习引导 1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项式的展开式，展开式中一共有____项． (3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n 的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝⎛⎭⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．自我感悟在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点课堂合作问题导学一、二项式定理的直接应用 活动探究1求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式． 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．迁移与应用化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．名师点津：熟记二项式(a ＋b )n 的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算 活动探究21．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求． 迁移与应用1． (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15C ．15D ．202． x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)名师点津：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般 需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题) 活动探究3试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开． 迁移与应用证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．名师点津：用二项式定理解决a n ＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a 写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．当堂检测1.⎝⎛⎭⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12 B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10 D ．C 416x 82.在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－403.二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．盘点收获用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领参考答案1．(2)n ＋1 (3)C k n2．T k ＋1＝C k n an －k b k 预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C r n 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5 活动探究1：解法1：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝⎛⎭⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝⎛⎭⎫1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋ C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1.活动探究2：1.【解析】由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r ， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60.∴15a ＝60.∴a ＝4. 【答案】42．【解析】设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6⎝⎛⎭⎫126－r (－2)r x 3－r . 令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝⎛⎭⎫125(－2)＝－38. 【答案】C迁移与应用：1.【解析】设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x－2rx －rx，∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．【解析】⎝⎛⎭⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r .令7－2r ＝3得r ＝2. 因而⎝⎛⎭⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84. 【答案】84活动探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除． 迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82 ＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64， 故32n ＋2－8n －9是64的倍数．当堂检测1．【解析】展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10.【答案】C2．【解析】T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40. 【答案】D3．【解析】展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x20－2r⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r＝8.∴常数项为第9项． 【答案】B 4．【解析】⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的通项为 T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．【解析】∵T r＋1＝3r4C r20x20－r y r(r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．【答案】66．【解析】展开式中的x2项为C14·(－x)1·C23·(－x)2＋C24(－x)2C03＝－6x2.【答案】-6。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
（完整版）二项式定理教案.docx
（完整版）二项式定理教案.docx1.3.1二项式定理（第一课时）一、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计：教学过程设计意图师生活动一、新课讲授引入：展开 (a b)2、 (a b)3XK]让学生写展开式，回顾学生写展开式多项式乘法法则学生完成：(a b) 2a22ab b2利用排列、组合理知识(a b) 3a33a2 b3ab 2b3分析 (a b)2展开式分析 (a b) 2的展开式：(a b) 2(a b)(a b) a22ab b2教学过程设计意图师生活动恰有 1 个因式选b的情况有C12种，所以ab的系数是C12；2 个因式选b的情况有C22种，所以b2的系数是C22；每个因式都不选 b 的情况有C02种，所以a2的系数是C02；(a b)2C02a2C12 ab C22b2类比展开 ( a b)3(a b)3C03a3C13a2b C32ab2 C 33b3①展开式有几项？思考 3 个问题：②展开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一数和有什么特点？项 a ，b 的指数③各项的系数是什和 3.系数么？如何用排列、组合的知学生完成识解释ab2的系数？按照 a 的降幂排列类比展开 ( a b) 4(a b)4 C 04a4C14 a3b C 24a2 b2C 34ab3C44 a4归纳、类比(a b) n?二、二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b C2n a n 2b2L C k n a n k b k LC n n b n(n N* )这个公式叫做二项式定理, 左边的多项式叫做二项式右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式，其中各项的系数 C r n ( k 0,1,2,3,L n) 称为二项式系数，式中的 C k n a n k b k叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第k 1 项，记作：T k 1=C k n a n k b k从以下几方面强调：（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a 的指数由n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；C n k （ 4）通项：第k1项：T k 1C n k a n k b k 让学生类比写展开式，进一步巩固展开式的特点通过前面具体的例子，让学生从项数、项、系数这三个方面来类比(a b) n?（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为 n ，字母 a的指数由 n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n ；（ 3）系数是C n0 ,C n1 ,C n2 ,L ,C n kL ,C n n (k {0,1,2,L , n})生：板演( a b) 4的展开式师：展示通过前面几个例子，类比归纳得到 (a b)n的展开式，学生交流探究以下 3 个问题1.指数：3.系数教学过程设计意图师生活动三、典例分析例例 1、求 (214区别：) 的展开式x展开式中第 2 项的系解：1)4C 40 24 C 41 23( 1) C 41 22( 1) 2 C 432 ( 1)3数，第 2 项二项式系数(2 C 44 ( 1)4xx x xx32 24 8 116 x x 2 x 3 x 4例 2（ 1）求 (12x) 5思考：的展开式中第解：(1 2x)53 项是 T 2 1 C 52 13 (2 x)240 x 3展开式中第 3 项的系的展开式的第，数，第 3 项二项式系数例 3. 求 ( x1)9 的展开式中 x 3 的系数x通过例题让学生更好解：∵ ( x 1)9的展开式的通项是的理解二项式定理xTk 1C 9r x9 k( 1) k C 9k x 9 2k，x强调：通项公式的应用∴ 92k3 ，∴ x 3 的系数 C 9384课堂检测：1. (2 a b)4 的展开式中的第 2 项 . 解： T 2 1 C 41 (2a)3 b 32a 3b ，2. (x 10的展开式的第 6 项的系数（D ）进一步巩固二项式定1)C 106C 106C. C 105C 105理A. B.D.3. (1x)5 的展开式中 x 2 的系数为（ C ）25A.10B. 5C.D. 12四、小结学生应用二项式定理明确通项的作用五、作业：课本 37 页 A 组 2 、 3 题板书设计：1.3.1二项式定理一 .二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n( n N * )1.项数：n1项；2.指数：字母a，b的指数和为n ，a的指数由 n 递减至0，b的指数由 0 递增至n；3.二项式系数：C n0 , C1n , C n2 ,L , C n k L , C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1 项：T k 1C n k a n k b k二.典例三 .作业。
二项式定理学案
1.3 二项式定理1. 3.1 二项式定理备课人：于春兰一、 学习目标• 1．记住二项式定理及其应该注意的要点（通项、二项式系数、系数）． • 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二、学习过程（一）问题引入(1)今天是星期三，那么7天后的这一天是星期几呢?(2)如果是22天后的这一天呢？(3)如果是1008天后的这一天呢？（二）自主学习、完成尝试练习1．二项式定理公式()n a b +＝______________________________________ (n ∈N *)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1)()n a b +展开式共有______项,其中__________________________________叫做二项式系数(2)()n a b +展开式的第_____项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝________.3、写出的展开式. （三）小组讨论、合作释疑1、写出4的展开式. 2、化简32(1)3(1)3(1)1x x x -+-+-+.3、2532()x x -展开式中常数项是第几项，常数项的值是多少？第4项的系数与二项式系数分别是多少？ 4、今天是星期三，那么 天后是星期几？ （四）小组展示、教师点拨1、注意二项式定理 中二项展开式的特征公式:011()+n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++…… *()n N ∈①项数：共n+1项,是关于a 与b 的齐次多项式10087(1)x -②指数: a 的指数从n 逐项递减到0,是降幂排列；b 的指数从0逐项递增到n ，是升幂排列.③ 通项（第k+1项）：1k n k k k n T C a b -+= (*,n N k N ∈∈)④ 第k+1项的二项式系数：k n C2、区别二项式系数，项的系数.三、当堂检测（五）巩固练习1.（2013.新课标II ）已5(1)(1)ax x ++的展开式中含2x 的项的系数为5，则a 等于( )A ．-4B ．-3C ．-2D ．-12.（2013.四川理）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是______（用数字作答）.3.已知在21(2n x 的展开式中，第9项为常数项，求： (1).n 的值；(2).展开式中5x 的系数.（六）拓展提升(2013.陕西理)设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则当0x >时，[]()f f x 表达式中常数项为 （ ）A. -20B. 20C. -15 D 15课后作业必做题：习题1.3 A 组 4（1）、（2）,5选做题：习题1.3 B 组 第1题。
二项式定理学案
1.3.1 二项式定理鹤壁高中数学组 郝天琪一、学习目标1. 能从特殊到一般理解二项式定理；2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念二、学习重点、难点重点：参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式，系数，字母的幂次，展开式项数的规律；应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程三.学习思路利用从特殊到一般的思想方法，观察、归纳、大胆猜想、证明从而得出二项式定理四、学习过程一、课前准备（预习教材P29~ P31，找出疑惑之处） 复习：在n=2,3时，写出 nb a )(+的展开式.2)(b a +=_______________________________________ 3)(b a += ______________________________________二、新课导学探究任务： 二项式定理问题1：4个不同容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，有_____种不同的结果，其中取到4个红球有 ____ 种不同取法，取到3个红球1个黑球有____ 种不同取法，取到2个红球2个黑球有_____种不同取法，取到1个红球3个黑球有 ，取到4个黑球有_____种不同取法.问题2： 观察4)(b a +的展开式，并回答下列问题：①展开式中有哪些项？ ②展开式中各项的系数是什么？ 猜想：n)(b a +=证明可从以下两个方面：①n)(b a +展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？新知：二项式定理=+n b a )( ____________________________________________（*,,N n N k n k ∈∈≤）上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，其中kn C （k ＝0，1，2，…，n ）叫做___________，____________叫做二项展开式的通项，用符号 ________表示，即通项为展开式的第_____项。
二项式定理(学案)
五、回顾反思归纳总结
知识方面：
思想方法：
六、布置作业：
1、课本36页习题1.3 A组1、2、3
2、思维拓展型作业：
(1)探究二项式系数 有何性质．
(2)探究( 的展开式中， 的系数为___________.（2015年新课标I ,10）
课题
§1.3.1二项式定理
学习
目标
知识
目标
学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题
能力
目标
学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．
牛顿虽然顺从了母亲的意思，但据牛顿的同侪后来的叙述，耕作工作让牛顿相当不快乐。所幸金格斯皇家中学的校长亨利.斯托克斯（HenryStokes）说服了牛顿的母亲，牛顿又被送回了学校以完成他的学业。他在18岁时完成了中学的学业，并得到了一份完美的毕业报告。
1661年6月3日，他进入了剑桥大学的三一学院。在那时，该学院的教学基于亚里士多德的学说，但牛顿更喜欢阅读一些笛卡尔等现代哲学家以及伽利略、哥白尼和开普勒等天文学家更先进的思想。
教学手段
多媒体
教学过程
一、创设情境引入课题
艾萨克-牛顿（1643-1727，英国）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一,不仅是伟大的物理学家、天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22岁的牛顿，在数学方面就有了第一项创造性成果，就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。
二项式定理就是研究 是如何展开的。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
二项式定理教案
二项式定理教案一、教学目标1. 了解二项式定理的概念和公式。
2. 掌握使用二项式定理计算组合数。
3. 能够应用二项式定理解决实际问题。
二、教学重点1. 理解二项式定理的概念。
2. 掌握使用二项式定理求解组合数的方法。
三、教学难点1. 灵活运用二项式定理解决实际问题。
2. 深入理解二项式定理的证明过程。
四、教学准备1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、多媒体设备。
2. 学生准备：笔记本、习题集。
五、教学过程第一步：导入（约5分钟）通过提问方式引入，复习组合数的概念和计算方法。
例如：某班有10位学生，要从中选出3位代表参加活动，共有多少种选法？第二步：二项式定理的概念（约10分钟）1. 打开多媒体设备，展示二项式定理的公式。
2. 解释二项式定理的含义：表示一个二项式的n次方的展开式中，每一项的系数就是组合数。
3. 引导学生思考二项式定理的应用场景，与之前复习的组合数有何关联。
第三步：二项式定理的计算方法（约20分钟）1. 以具体的例子引导学生理解二项式定理的计算方法。
例如：计算 (a + b)^3 和 (a - b)^4。
2. 通过展示计算步骤，引导学生掌握二项式定理的展开式计算方法。
第四步：二项式定理的应用（约25分钟）1. 给出实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
例如：某公司有10个岗位需要安排员工，其中3个岗位需要安排女性，有多少种不同的安排方式？2. 鼓励学生积极思考，尝试解决实际问题。
第五步：二项式定理的证明（约15分钟）介绍二项式定理的证明过程，以培养学生对数学思维的训练和探究能力。
教师可以通过推导和演算的方式，以简单的情形为例，向学生阐述证明的思路和方法。
第六步：归纳总结（约5分钟）1. 鼓励学生自主总结二项式定理的关键点和计算步骤。
2. 提醒学生复习并掌握二项式定理的应用和证明过程。
六、作业布置1. 课后作业：完成课堂练习题。
2. 预习下节课内容：学习二项式定理的扩展应用。
七、教学反思本节课通过引入实际问题和计算方法的讲解，帮助学生理解和运用二项式定理。
21.2.1《二项式定理》学案
21．2．1《二项式定理》学案一、复习回顾：1.一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．2. 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示。
3.组合数性质1：组合数性质2：4.组合数公式：；。
（其中，）二、问题探究：1.试一试请观察这4个展开式，说说它们有哪些规律？2.规律探究展开式的项数：每个展开式的项数恰好比(a+b)的次数。
a与b在各项中的次数：a在每项中的次数是排列，最高次数恰好 (a+b)的次数，最低次数为；b在每项中的次数是排列，最低次数为零，最高次数等于(a+b)的次数，且展开式中每一项a与b的次数和都 (a+b)的次数。
展开式系数的规律：(a+b)2展开式有三项，它们的系数分别为1,2,1，也就是(a+b)3展开式有四项，它们的系数分别为1,3,3,1，也就是(a+b)4展开式有五项，它们的系数分别为1,4,6,4,1，也就是总之，展开式中各项的系数都可用组合数来表示，其中n恰好 (a+b)的次数，m恰好等于展开式中的次数。
根据以上分析，可以写出(a+b)5的展开式为5+=。
a b()三、新知学习：1.二项式定理：一般地，有 0111(),.n n n m n m m n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --++=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈2. (a+b)n 的二项展开式：3.二项式系数：4.二项展开式的通项公式： ，是二项展开式的第m+1项。
四、典型例题：(例1、例2涉及到二项展开式的运用)例1 求 51()x x +的二项展开式。
例2 求（1+x)5+(1-x)5的展开式。
（例3、例4、例5涉及到通项公式的运用）例3 求 10的二项展开式的第6项。
例4 求 91()x x -的二项展开式中x 3的系数。
（注意二项式系数与系数的区别）例5 求6的展开式中的常数项。
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1．3．1二项式定理（1）
（一）教学目标
1、知识与技能: 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
2、过程与方法:通过学生熟悉的多项式的乘法引入，让学生归纳猜想出二项式定理，发挥例题的示范作用使学生能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
3、情态与价值：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力
（二）教学重、难点
重点：二项式定理和二项展开式的通项公式。
难点：二项式定理和二项展开式的通项公式。
（三）教学设想
、问题情境
1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n 的展开式.
(a+b)1= ,
(a+b)2= ,
(a+b)3= ,
(a+b)4= .
构建数学
(a+b) ｎ = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其
中r n C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.
数学应用
例1用二项式定理展开：
（1）93)b a (+； （2）7)x
22x (-
例2求（1+2x ）7的展开式中第4项的二项式系数和系数
例3求（x-
8)21x
的二项展开式中的常数项。
n n n r r n r n n n n n n n b
C b a C b a C b a C a C ++++++---ΛΛ2221110
练习：
1. 求（2a+3b ）6的展开式的第3项.
2. 求（3b+2a ）6的展开式的第3项.
3.写出的 展开式的第r+1项.
4选择题
（1）62)x a a x
(-的展开式中，第五项是………………………………………（ ）
A .x 15-
B .32a x 6-
C .x 20
D .x
15 （2）153)a 1
a (-的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项
A .7
B .8
C .9
D .6
（3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ）
A .4032
B .-4032
C .126
D .-126
（4）若n )111
x (-的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ）
A .4
B .4或-3
C .12
D .3
（5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ）
A .120
B .-120
C .100
D .-100
5.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数.
6.求二项式73)213(+
的展开式中的有理项.
7.二项式n 4
)x 1x x (+
的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.
n x x )21(33-
8.
已知n +的展开式的前三项系数的和为129，问这个展开式中是否存在常数项？是否存在有理项？如有，求出这些项；没有，说明理由。
9. n x x )2
3(-展开式中第9项是常数项，则n 的值是………………… （ ）
A.13
B.12
C.11
D.10 10.2475)53(+的展开式中的整数项是…………………………………（ ）
A.第12项
B. 第13项
C. 第14项
D. 第15项
11. 在(x 2+3x+2)5的展开式中，x 的系数为…………………………（ ）
A .160
B .240
C .360
D .800
二项式系数的性质
写出(a+b)n
的展开式的二项式系数
ｎ＝1时为 1 1
ｎ＝2时为 1 2 1
ｎ＝3时为 1 3 3 1
ｎ＝4时为 1 4 6 4 1
ｎ＝5时为 1 5 10 10 5 1
ｎ＝6时为 1 6 15 20 15 6 1
………………………………………………………………………
二项式系数的特点：（二项式系数的性质）
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一性质可直接由公式m n n m n C C -= 得到．
（2）增减性与最大值
k
k n C C k n k n 11+-=-, 2
1+<
n k 时二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
因此，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且最大。
（3）各二项式系数的和 ?210=++++n n n n n C C C C Λ在
=+n b a )(n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C ++++++---ΛΛ2221110中令1==b a 得
n n n n n n C C C C 2210=++++Λ.
（4）在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例1、用二项式定理证明：9910-1能被1000整除
例2、设1002100012100
(2)a a x a x a x -=++++L ，求下列各式的值。
（1）
0a ；
（2）
012100a a a a ++++L ；
（3）1
3599a a a a ++++L ;
(4) 202100()a a a +++-L 213599()a a a a ++++L ;
(5)
012100a a a a ++++L .
例3、 已知2(1)n x -展开式的各项二项系数和等于1024，
（1）求展开式中含6x 的项。
(2)求展开式中二项式系数最大的项。