乘法公式

乘法公式

王渝杰

摘要

在我们的日常生活中会遇到大量的多项式乘法运算，如：

实验中学计划将一个边长为a米的正方形花坛改造成长为（a+b）米的长方形花坛，你会计算改造后花坛的面积吗？

某住宅小区要建造一个边长为a米的正方形绿化区，绿化区内有两条纵横交错且宽都为b米的小路，其余的地方都是草坪，求草坪的面积。

面对这种问题，乍一看似乎并无头绪，其实，我们完全可以通过建立数学模型的方法去求取。所谓数学建模，就是从定量的角度分析和研究一个实际问题，在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。

对于需要应用多项式乘法解决的问题，我们可以将其归纳出一种模型——乘法公式，在今后遇到适合乘法公式的乘式或图形，我们不必再按多项式乘多项式的法则来做，而是直接用乘法公式写出结果。关键词：多项式乘法公式

一、模型的创建

模型1：

（a+b）(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2

从而得到平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

特征：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算。

相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式。相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方。

比如：美丽壮观的长方形城市广场，长为803米，宽为797米，用简便方法计算它的面积。

[分析]将803写成800+3，797写成800-3，用平方差公式口算即可得结果，即803×797=（800+3）（800-3）=8002-32=640000-9=639991，所以，这个城市广场的面积为639991平方米。

模型2：

（a+b）2=（a+b）(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

由此得到下面的完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2.

即：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们的积的2倍。

（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

特征：

①两公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符

号不同。右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同。

②公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。

③对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用上述公

式计算。

④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式。

比如：（2a+5b）2=(2a)2+20ab+(5b2)=4a2+20ab+25b2.

模型3：几个其他乘法公式模型：

立方和（差）公式：（a±b）(a2∓ab+b2)=a3+b3,

完全立方公式：（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3，

三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

二、模型结果的分析

（1）公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式。

（2）乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用。

（3）这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为主。

三、对模型的评价与推广

运用数学建模的方法，让我们对于求解某些实际问题有了更加明确的思路和方法。从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，而此过程的关键是建立数学模型。

参考文献：[1]《初中生数学建模能力培养教程》

[2]《关于同一个问题的不同解决方法》