中考数学专题之数形结合

中考数学专题 数形结合

知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．

典型例题

一、在数与式中的应用

【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2

a a

b +-=_________．

【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a <0，b>0且a

【解】 ()2

2a a b a b a a b +-=-+-=-+

【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．

【分析】

由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6(n －1)=(6n+2)根火柴棒． 【解】6n+2

二、在方程、不等式中的应用

【例3】 (08聊城)已知关于x 的不等式组0

20

x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．

【分析】解不等式组得解集为2

x a

x >⎧⎨

<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由

图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．

【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是 ( )

A．

20

3210

x y

x y

+-=

⎧

⎨

--=

⎩

B．

210

3210

x y

x y

--=

⎧

⎨

--=

⎩

C．

210

3250

x y

x y

--=

⎧

⎨

+-=

⎩

D．

20

210

x y

x y

+-=

⎧

⎨

--=

⎩

【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为

1

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，只要将解进行代入检验即可．

【解】D

【例5】

已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ( )

A．k>3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定

【分析】

如果根据b2－4a c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x2+bx+c=k，从而理解

成是两个函数的交点问题，即

2

y ax bx c

y k

⎧=++

⎨

=

⎩

，由图象可知只要y=k<3就一定定与抛物线有两个不同的

交点，所以答案选C．

【解】C

三、在函数中的应用

【例6】 (08安徽)如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下列说法中：

①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大

正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上)

【分析】

由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点，与y轴交于负半轴，则a>0，c<0；由对称性知对称轴x=

【解】①②④

【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中

的最高处距水面

2

10

3

米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成

规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．

【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如

起跳点O(0，0)，入水点(2，－10)，最高点的纵点标为2

3

．

(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，

就是要看当该运动员在距池边水平距离为

3

3

5

米，

33

321

55

x=-=时，

该运动员距水面高度与5米的关系．

【解】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=a x2+bx+c，由图可

知，O，B两点的坐标依次为(0，0)(2，－10)，且顶点A的纵坐标为2

3

，则

2

4210

42

43

c

a b c

ac b

a

⎧

⎪=

⎪⎪

++=-

⎨

⎪-

⎪=

⎪⎩

，解得