1.1.2 余弦定理

课堂小结：
1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的 问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角。
四边形ABCD的面积？
A
30°
B
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝√_1_3___；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_.5_°_. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_.6_°__.
研究题
总结解三角形的方法：已知三角 形边角中哪三个量，有唯一解或多解 或无解？分别用什么方法？
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
b2 c2 a2 cos A
2bc a2 c2 b2 cos B
2bc
cosC a2 b2 c2 2ab
余弦定理可以解决以下两 类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
例3 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.
解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,
cosC
=
DC2 + BC2 – 2DC·BC
BD2=
–
0.30,
C
C ≈ 107.5°.
D
思考：若A= θ, 怎样用θ表示
1.1.2 余弦定理
余弦定 理
课题引入
1、勾股定理：
A
a2 b2 c2
b
c
证明： AB AC CB
C
B
AB AB (AC CB)(AC CB) a
AC AC 2AC CB CB CB
2
2
2
AB AC CB
c2 b2 a2
余弦定 理
当 C 90 时
c2 a2 b2
当 C 90 时
c2 a2 b2
当 C 90 时
c2 a2 b2
A
A
b b
cc
C
B
a
AB边的大小与BC、 AC边的大小和角C的
大小有什么关系呢？ 怎样用它们表示AB 呢？
余弦定 理
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,
CA=b,求AB边c.
A
解： AB AC CB
b
c
AB AB (AC CB)(AC CB)
C
AC AC 2AC CB CB CB
a
B
2
2
2
AB AC 2 AC CB cos(1800 C) CB
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定 理
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. ∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ≈0.7767， 2bc
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
( ) ∵sinA＝a sinC ≈0.6299， c ∴ A=39°或141°(舍).
（2）已知两边和它们的夹 角，求第三边和其他两个 角。
利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.
cosC＝ a2＋b2－c2 2ab
B
a
c
c2=a2＋b2－2abcosC.
C
b
A
例 1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.
解：∵ ∴ ∵
cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
A≈44° cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab
∴ CLeabharlann Baidu36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
c
sinA a
≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，