1.1.2 余弦定理
1.1.2余弦定理课件人教新课标
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
1.1.2余弦定理
2.社会主义本质的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会 发发力刚国和十靠的社主 展展，刚的实大教概会义 才要发建第践关坚育括主本 是求展立一的系2持。，义质 硬、，生，要基》以人一，理 道发大产还务本重发才方从论 理展力力没是成要展资面而把 ，才促，有由果讲社的源强为我 把是进消完中，话会办是调中四们 发（硬先灭全国抓中主法第必国、对 展2道进剥建共住提三义解一）须的科社 生理生削立产“出、经决资采解社学会 产，产，党什（代济前源取放会技主 力是力消还的么1表基进。从和主术义 作）对的除不执是中础科低发义是1的 为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认 社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识 会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提 主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高 义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到 建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了 设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一 的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个 根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新 本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的 任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科 务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学 ，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水 符会一起总持前.和展。律”关社 国个领我始度放发、地主平 合阶要来结社列资才”认这于会 社公域们终形和展社提题。 马级务为。会，本是1识个总主 会有也党是式发更会9出变社 克二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化会 思6、系国义持道3深本线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要本 基.主变事所平化向业1也，整度 制，大要小国家的享本9义。质 本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理 原6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务论 理第质同务题进与本会一党揭.述立 确共，。出社主社和社主基的 ，二理时的行社体主、实示：， 立同确苏“会义会目会3义本提 是节论，基关改会现义社现了.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛出 巩、的我本键造主和改会其社中当 使裕了二会明就会义。义、造盾， 固对重国方是。义根造之所会华代 占，中十主程是主基建中的和为 和第社要针这改本基一承主人中 世这国大义度在义本设国基两进 发一会意。靠不造要本本担义民国 界是共以财的国基制内成特本类一 展节主义的（自仅同求完质的本共一 人我产后富重家本度涵果色完矛步 社、义主2己保时。成理历质和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推 会中本要的证并，论史，国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的进 主国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学改 义特理盾展2社。志五提需是立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革 制色论也。会实着章）出要对，步 一持人出，和理立中够会建国，取开 度社的发的践中把。马到奠 的民要社支经，国社充经设强积放 的会提生稳证国解克社定 东民“会配济是历会分济道调极和 必主出了定明历放思会了 方主以下建4广史主体制路要引社 然义变，.史和主主把制 大专苏义的设大上义现度初严导会 要二建化而党上发义义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、主 求设。且坚长展的改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义 。确道人极持达生重造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度 会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的 ，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建 这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立 是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极 世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大 界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地 社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提 会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高 主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了 义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工 运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人 动、届 业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶 史新社二 的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级 上民会中 社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和 又主全 会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人 性理历中 ，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民 的论史国 党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国
1.1.2余弦定理
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3.4 2 6 3.4 cos120
2 2 o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
在直角三角形 ABD中, 有c 2 AD 2 BD 2
而AD b sinC BD a CD a b cos C
c (b sinC ) (a b cos C )
2 2 2
c
b C
B
a
D
b 2 sin2 C a 2 b 2 cos 2 C 2abcos C
巩固提高
4.在ABC中, 若a b c, 且c a b , 则ABC为（）
2 2 2
A.直角三角形 C .钝角三角形
B .锐角三角形 D.不存在
5.已知一个锐角三角形的 边长分别为 ,3, x, 则x的 2 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2, 且最大角的正 弦值 3 等于 , 则三角形的三 边长为 2
A 2.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 则角C的大小为 _______
C b A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： C cos 2ab
a
B
三.判断三角形的形状
2 2 2
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
1.1.2 余弦定理(A3)
学习 目标
【利用正、余弦定理解决三角形的有关问题】 问题 利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题:如面积、角、边等，你能根据已知条件选择 合适的解决方法吗？
⇔cos B＝ ⇔cos C＝
； .
探究 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 1 已知 sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且 ac＝ b2. 4 5 (1)当 p＝ ，b＝1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围． 4
.
探究 如图所示，设 CB ＝a， CA ＝b， AB ＝c，由 AB ＝ CB － CA 知 c＝a－b.根据这一关系， 试用向量的数量积，求证： c a b 2ab cosC ．
2 2 2
在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60° ，则 c 等于 A. 3 B ．3 C. 5
(
1
例2
已知三角形 ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37，求△ABC 的最大内角．
【当堂训练】 3 1．一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是－ ，则三角形的另一边长为 ( 5 A．52 B．2 13 C．16 D．4 )
小结 已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角． 训练 2 在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
) D．5
例1
在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15° ，求 A.
【利用坐标法证明余弦定理】 问题 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，能否利用平面内 两点间的距离公式来推导余弦定理？
小结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理， 本例中的条件是已知两边及其夹角， 而不是两 边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手． 训练 1 在△ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－5x＋2＝0 的两个根，C＝60° ，求边 c.
#高中数学必修五：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
＝
a2＋42－c2 8a
＝
8－c2＋42－c2 88－c
＝
108－ －2cc.②
由①②知8－ 2cc＝180－－c2c，整理得5c2－36c＋64＝0.
∴c＝156或c＝4(舍)，∴a＝8－c＝254.故a＝254，c＝156.
1．余弦定理的正确理解
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则 角C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2 ＋ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝ a2＋b2－2abcosC.
②确定三角形的形状．
解答本题先由正弦定理将边转化为角，然 后由三角恒等式进行化简，得出结论；也 可先由余弦定理及同角三角函数关系转化 成边之间的关系，然后由边的关系确定三
则 条 件 转 化 为 4R2·sin2C·sin2B ＋ 4R2·sin2C·sin2B
＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC， 又sinB·sinC≠0， ∴sinB·sinC＝cosB·cosC， 即cos(B＋C)＝0. 又0°<B＋C<180°， ∴B＋C＝90°， ∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．
解：∵sinC>0 且 sinC＋cosC<0， ∴cosC<0， 则 cosC＝－ 1－sin2C＝－45. 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC， 得 c2＝4＋25－2×2×5×(－45)＝45， ∴c＝3 5.
[ (c ＋ a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内 角的正弦值．
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
1.1.2余弦定理
知识导图
学法指导 1.重点掌握余弦定理及其推论，并能通过向量法证明此定理． 2．注意弄清楚正、余弦定理的作用，在解三角形中灵活选择， 实现边和角的相互转化.
知识点一 余弦定理及其推论
文字 三角形中任意一边的平__方__等于其他两边的平__方__的_和___
三边(a，b，c)
余弦定理
由余__弦___定__理_求出角___A_，_；B再利用 A＋B＋ C＝180°求出角 C，在有解时只有一解
两边和其中 一边的对角 (如 a，b，A)
由 正__弦__定__理__ 求 出 角 B ； 由
正弦定理、__A_＋__B_＋__C__＝__1_8_0_°_求出角 C；再利用 余弦定理 正__弦__定__理__或_余__弦__定__理_求 c，可有两解、
状元随笔 (1)已知两边和夹角可直接用余弦定理求解．
(2)已知两边和其中一边的对角，求解时既可以先由正弦定理求 另一边对角，也可以由余弦定理得第三边 a 的方程，先求出 a.
(3)由余弦定理可建立 b＋c 与 bc 的关系，从而求出 b、c.
方法归纳
1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定 理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况． (2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方 程的方法求出此边长．
2．已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 特别提醒：解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以 用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，用正弦定理 方便，若只求边，用余弦定理方便．
1.1.2余弦定理
解 法一 在△ABC 中，由 cos2A2＝b＋2cc， 得1＋c2os A＝b＋2cc，∴cos A＝bc. 根据余弦定理，得b2＋2cb2c－a2＝bc. ∴b2＋c2－a2＝2b2，即 a2＋b2＝c2.
∴△ABC 是直角三角形.
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解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6×－12 ＝76， ∴c＝ 76＝2 19. 答案 D
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2.在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
解析 ∵a2－c2＋b2＝ab， ∴c2＝a2＋b2－ab. 又∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴2cos C＝1. ∴cos C＝12.
又由 A∈(0°，180°)，得 A＝60°，故选 C.
答案 C
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2.在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则 AC＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°， AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C， 可得：13＝9＋AC2＋3AC， 解得 AC＝1 或 AC＝－4(舍去).故选 A.
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【迁移 2】 若三角形三边长之比是 1∶ 3∶2，则其所对角之比
是( A )
A.1∶2∶3
B.1∶ 3∶2
C.1∶ 2∶ 3
D. 2∶ 3∶2
解析 设三角形三边长分别为 m， 3m，2m(m＞0)，最大角为 A，
则 cos A＝m2＋（ 32mm）· 32－m （2m）2＝0，
21-22版：1.1.2 余弦定理(二）（创新设计）
@《创新设计》
7
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@《创新设计》
题型一 正、余弦定理的综合应用 例1 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，
∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.
解 在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°， 设BD＝x， 由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10·xcos 60°， 即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)， ∴BD＝16.
@《创新设计》
4
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[预习导引]
1.正弦定理及其变形
a (1)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝_2_R__(R
为△ABC
外接圆半径).
(2)a＝___2_R_s_in__A___，b＝__2_R_s_i_n__B__，c＝__2_R_s_i_n__C___.
@《创新设计》
5
课前预习
∴等式成立.
17
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方法二 设△ABC外接圆半径为R，
则右边＝2Rsin 2Rsin
C－2Rsin B－2Rsin
B·cos C·cos
A A
＝ssiinn（（AA＋＋CB） ）－ －ssiinn
Bcos Ccos
AA＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边.
@《创新设计》
12
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题型二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC中，有：
1.1.2余弦定理2
§ 1.1.2 余弦定理
引入
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形; (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形.
例1、在ABC中, b 60, c 34, A 41 , 解 三角形 ?
0
新课
如图, 在ABC中, CB a, CA b, AB c.
0
新课
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形;
SSA? AAS,ASA
(2)已知两边和其中一边对角, 解三角形.
余边和它们的夹角, 解三角形; (2)已知三边, 解三角形.
SSS SAS
新课
练习、在ABC中 :
(1)b 8, c 3, A 60 , 求a;
0
(2)a 2, b 2 , c 3 1, 求A.
结束
A
b
c
C
a
B
新课
余弦定理 :
三角形中任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍.即
a 2 b 2 c 2 2bc cos A, b 2 a 2 c 2 2ac cos B, c 2 a 2 b 2 2ab cos C.
新课
余弦定理的推论 :
b c a cos A , 2bc a 2 c2 b2 cos B , 2ac 2 2 2 a b c cos C . 2ab
2 2 2
新课
1、在ABC中, b 60, c 34, A 41 , 解
0
三角形(角度精确到1 , 边长精确到1).
0
2、在ABC中, a 7, b 10, c 6, 解三 角形(角度精确到1 ).
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
1.1.2 余弦定理0
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理
临澧县第一中学 于坤华
知识梳理
1．余弦定理
1.1.2 余弦定理
三 角 形 中 任 何 一 边 的 平方 等 于 其 他 两 边 的 平方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们
的 夹角的余弦的积的 两倍 ．
即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ，c2＝ a2＋b2－2abcos C .
例 2 在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解
因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5， 所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c 最大，cos
C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0，
所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.
思考 余弦定理作为勾股定理的推广，你能否考虑借助勾股定理来证明余弦定理？
C
b
a
当角C为锐角时
A
b
c
当角C为钝角时
A
A
c
BC
aD
BD
小结 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边
与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
例 题 讲 解：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 1.1.2 余弦定理
例 3 在△ABC 中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
第一章 1.1.2 第2课时 正弦定理和余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形 1．正弦定理及常见变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．余弦定理及常见变形 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.知识点二 有关三角形的隐含条件 (1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， (2)由大边对大角可得sin A ＞sin B ⇔A ＞B .(3)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A ＞cos B .1．当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 2．△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B .( √ ) 3．在△ABC 中，恒有a 2＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )．( √ )4．△ABC 中，若c 2－a 2－b 2>0，则角C 为钝角．( √ )题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c cos B ＝b cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值．解 由c cos B ＝b cos C ，结合正弦定理， 得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23，∴由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2·23＝23b 2，得3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306. 引申探究1．对于本例中的条件，c cos B ＝b cos C ，能否使用余弦定理？ 解 由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab .化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .2．本例中的条件c cos B ＝b cos C 的几何意义是什么？ 解 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D . 则c cos B ＝BD ，b cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等． 反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac －bc . (1)求A 的大小； (2)求b sin B c的值．解 (1)由题意及余弦定理知， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab ，∴b sin Bc ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32. 题型二 判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，试判断三角形的形状．解 方法一 由正弦定理知，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径． ∵a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ， ∴sin A ＋sin B sin A ＝cos B ＋cos Acos B，∴sin A cos B ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin A cos A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，b a ＝cos Acos B，由余弦定理，得cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac＝a b ·b 2＋c 2－a2a 2＋c 2－b 2，∴b a ＝a (b 2＋c 2－a 2)b (a 2＋c 2－b 2). a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4， c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)． ∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理． (2)变形要注意等价性，如sin 2A ＝sin 2B ⇏2A ＝2B . c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2) ⇏c 2＝a 2＋b 2.跟踪训练2 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．题型三 利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明 例3 在△ABC 中，有 (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一 (1)由正弦定理，得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .反思感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝ . 答案 1解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos A c ＝4cos A 3＝1.求三角形一角的值典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6 答案 B解析 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，代入已知等式得2ac ·cos B tan B ＝3ac ， 即sin B ＝32，则B ＝π3或2π3. [素养评析] 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一．运算从一点出发可以有无限个方向．一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实．那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：①公式要熟，如本例至少应知道cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，tan B ＝sin Bcos B .②观察联想，如看到a 2＋c 2－b 2应联想到a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a 2＋c 2－b 2化为2ac cos B 简单.1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴ac ＝－2ac cos B ，cos B ＝－12，又0°<B <180°， ∴B ＝120°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，△ABC 是钝角三角形．3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos B 等于( ) A.1116 B.79 C.2116 D.2916 答案 A解析 依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k ＝1116.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos A ＋a cos C ＝2c ，若a ＝b ，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.34D.32答案 A解析 ∵c cos A ＋a cos C ＝2c ，∴由正弦定理可得sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin C ， ∴sin(A ＋C )＝2sin C ， ∴sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c ， 又a ＝b ，∴a ＝2c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4c 2＋c 2－4c 22×2c 2＝14，∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.1．熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量． 2．对所给条件进行变形，主要有两种方向 (1)化边为角． (2)化角为边．一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为 cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0. 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ， ∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C ) ＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4， ∴ab ＝43.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin Asin B ＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12.∴c ＝2 3.。
1.1.2 余弦定理
• 答案： 钝角三角形
2012-12-9
小结： 余弦定理
a b c 2bc cos A
2 2 2
b2 c2 a2 cos A 2bc
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c a b 2ab cosC
2 2 2
c2 a2 b2 cos B 2ac
• 答案： A
2012-12-9
2．在△ABC 中，a＝4 3，b＝7，c＝ 13，则△ABC 的 最小角为( π A. 6 π C. 4 解析： ∵c<a<b
∴C<A<B a2＋b2－c2 4 32＋72－ 132 3 ∴cos C＝ ＝ ＝ 2ab 2 2×4 3×7 π ∵C∈(0，π)，∴C＝6.
2 2 2bc cos A 即：
2012-12-9
由此可得：余弦定理
a b c 2bc cos A
2 2 2
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c a b 2ab cosC
2 2 2
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2 b2 c2 cosC 2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
2012-12-9
a2 b2 c2
a2 b2 c2 △ABC是直角角三角形
2012-12-9
1．在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝9，C＝150° ，则 c ＝( ) A．7 3 C. 39 B．8 3 D．10 2
解析： 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C 得 c2＝(2 3)2＋92－2· 3×9· 150° 2 cos ∴c2＝147，即 c＝7 3.故选 A.
1.1.2余弦定理
思考
在解三角形的过程中，求某一个角 有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方法有什么利弊呢？
正弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理
(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要 进行判断取舍。 (2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。
（六）课堂小结，类比升华
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB ＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
[解] 在△ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BD· cos∠ ADB， 设 BD＝x，则有 142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ， ∴∠CDB＝30° . 在△BCD 中，由正弦定理得 16 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
定理 内 容 定理
正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ b2＝
b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcosC
； ；
c2 ＝
.
正弦定理 ①已知两角和任一边，求另
余弦定理 ①已知三边，求各
解决的 一角和其他两条边； 问题 ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.
2018/4/12
B
C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C，求边c.
1.1.2余弦定理
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
b 2 a 2 c 2 2 ac cos B
(3 3) 2 2 2 2 3 3 2 cos150
3 27 4 12 3 ( ) 2
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
解：由例2可知 A=45°
方法二： 方法一：
，
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？ 余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
b ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc a cos A 解： 2bc
2 2 2
( 2) 2 ( 3 1) 2 2 2 2 2 ( 3 1)
242 34 2( 3 1) 2 2 ( 3 1) 2 2( 3 1)
2 1 2 2
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知c a=2 3 1,b= 解三角形。 2
b
A c B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边； 2.已知三边，求三个角。 例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
3, c 6 2,
3.在△ABC中，已知 a 2 , b 2 , A=45°，求边长c，B，C。
在△ABC中， a 7, b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
第一部分 第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴| AB |＝ 7 . 问题4：由问题3的推导方法，能否用b，c，A表示a?
提示：能．
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1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和 公式表达 cosA a2＝ b2＋c2－2bc· cosB b2＝ a2＋c2－2ac· cosC c2＝ a2＋b2－2ab·
1.1 第 一 章 解 三 角 形 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1.1. 2
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余 弦 定 理
应用创新演练
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△ABC中，若AC＝2，BC＝3，C＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定． 问题2：能否直接利用正弦定理求得AB? 提示：不能．
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[精解详析]
(1)由余弦定理得
b2＋c2－a2 2 22＋ 6＋ 22－2 32 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝2， 2×2 2× 6＋ 2 a2＋c2－b2 2 32＋ 6＋ 22－2 22 2 cos B＝ 2ac ＝ ＝2， 2×2 3× 6＋ 2 ∴A＝60° ，B＝45° ， ∴C＝180° －A－B＝180° －60° －45° ＝75° .
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6＋ 2 当 c＝ 2 时，由余弦定理得 6＋ 2 2 b2＋c2－a2 2＋ 2 －3 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝ . 6＋ 2 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝60° .∴C＝75° . 6－ 2 当 c＝ 2 时，由余弦定理得
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6－ 2 2 b2＋c2－a2 2＋ 2 －3 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 6－ 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝120° ，C＝15° . 6＋ 2 6－ 2 故 c＝ 2 ，A＝60° ，C＝75° c＝ 2 ，A＝120° 或 ， C＝15° .
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余弦定 理
课题引入
1、勾股定理：
A
a2 b2 c2
b
c
证明： AB AC CB
C
B
AB AAC CB CB CB
2
2
2
AB AC CB
c2 b2 a2
余弦定 理
当 C 90 时
c2 a2 b2
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
b2 c2 a2 cos A
2bc a2 c2 b2 cos B
2bc
cosC a2 b2 c2 2ab
余弦定理可以解决以下两 类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
c
AB AB (AC CB)(AC CB)
C
AC AC 2AC CB CB CB
a
B
2
2
2
AB AC 2 AC CB cos(1800 C) CB
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定 理
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. ∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ≈0.7767， 2bc
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
( ) ∵sinA＝a sinC ≈0.6299， c ∴ A=39°或141°(舍).
课堂小结：
1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的 问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角。
例3 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.
解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,
cosC
=
DC2 + BC2 – 2DC·BC
BD2=
–
0.30,
C
C ≈ 107.5°.
D
思考：若A= θ, 怎样用θ表示
cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
A≈44° cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab
∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
c
sinA a
≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
当 C 90 时
c2 a2 b2
当 C 90 时
c2 a2 b2
A
A
b b
cc
C
B
a
AB边的大小与BC、 AC边的大小和角C的
大小有什么关系呢？ 怎样用它们表示AB 呢？
余弦定 理
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,
CA=b,求AB边c.
A
解： AB AC CB
b
四边形ABCD的面积？
A
30°
B
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝√_1_3___；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_.5_°_. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_.6_°__.
研究题
总结解三角形的方法：已知三角 形边角中哪三个量，有唯一解或多解 或无解？分别用什么方法？
（2）已知两边和它们的夹 角，求第三边和其他两个 角。
利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.
cosC＝ a2＋b2－c2 2ab
B
a
c
c2=a2＋b2－2abcosC.
C
b
A
例 1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.
解：∵ ∴ ∵