刚体角动量守恒定律

转动动能定理、角动量守恒原理

一，转动动能定理：

1， 力矩的功

设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：

ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(

所以力矩的功为：

⎰⎰==2

1

ϕϕϕMd dA A

2， 转动动能定理

设M 为作用刚体上的合外力矩。将转动定律应用于功的定义中：

2

22

121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：

2

22

121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量

22

1

ωJ E K =

为刚体在t 时刻的转动动能。是时刻量。 （2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。

【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。

解：取细棒为研究对象，视之为刚体。细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。由功的定义：

2

cos 2)90sin(2900l mg d l mg d l

mg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ

由转动动能定理：

l

g

ml J l mg 331210212222=

∴

⎪⎭

⎫

⎝⎛=-=ωωω

二，角动量守恒定律

设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：

dt

dL

dt J d dt d J J M =

===)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为

00

L L dL Mdt L

L t

t -==⎰⎰

特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。 即刚体定轴转动角动量守恒定律为：

常矢==L M 0

说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。

（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。

（3）⎩

⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L

（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。不仅适用宏观领域，

也适用微观领域。

【例】质量为m 的人站在质量为M ，半径为R 的水平匀质圆盘边沿，随圆盘以角速度0Ω旋转，当他运动到半径r 处时，系统的角速度变为多少？

解：系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩，故系统角动量守恒。

2

22

22022220222)2()

2

1()21()2

1

()21(Ω++=+Ω+=ΩΩ+=Ω+

MR

mr R M m MR mr MR mR MR mr MR mR

【例】：质量为M 、半径为R 的水平圆盘可绕通过圆心的铅直轴转动，盘上 距轴r(r

解：设圆盘角速度为Ω，系统转动过程中所受外力：重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩， 故系统角动量守恒。

人对盘的角速度：r u =ω， 人对地的角速度：ωϖ-Ω=

)2/(2210)(212222222mr MR mur mr MR r u mr mr MR +=ΩΩ⎪⎭

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Ω+Ωω

【例】：质量为

M 长度为l 的匀质细棒静止在铅垂位置，一质量为m 的子弹以速度v 水平地射入细棒下端，试求细棒（含子弹）上摆高度h=?

解：子弹射入细棒的过程很快完成，故认为细棒来不及运动。系统所受

外力有：重力Mg 、mg 以及悬挂点支持力N ，它们对o 均不成矩。故过程的角动量守恒：

)

1.......()

3

1

(.)3

1

(2222Ml ml mvl

Ml ml mvl +=+=ωω

)

2.........()2

1

(21)cos 2

2()cos ()31(21222h Mg mg Mgh mgh l

l Mg l l mg Ml ml +=+-+-=+θθω

联立（1）、（2）得：

)

2

1)(31(2)(222

Mg mg Ml ml mvl h ++=

【例】：转动惯量为J 1、角速度为ω0的飞轮与半径相同转动惯量为J 2的静

止飞轮接触后，角速度将变为多少？

解：设接触Δt 时间后角速度分别为ω1、ω2，接触过程中各自受力如图。但 对各自的转轴具有力矩的只有f 12、f 21。

)1( (22110121)

1222210

11112ωωωωωωJ J J f f J t R f J J t R f -=∴-==∆-=∆

2

11

2121ωωω

ωωωωJ J J R

R -=∴==∴=

思考：1，有人认为（1）式也可以利用系统角动量守恒定律得出，对吗？ 上例中的两轮换成下图所示情况，可以利用定轴转动角动量守恒定律求解吗？

2，试分析单摆和圆锥摆中质点的动能、动量和角动量的守恒情况。

2山

1山ω