初中数学浙教版九年级上册《3.3垂径定理2》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

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3.3垂径定理2

直径平分弦所对的弧
直径平分弦
辨一辨
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦的直线，必定过圆心。
（4）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
第二课时
请用文字叙述垂径定理：
垂直弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的弧
几何语言
直径垂直弦如直图径∵C平CD分D⊥是弦A直B,径, 直径平分弦所对的弧
条件
∴AM=BM,
⌒A结C论=⌒BC,
⌒AD
⌒
=BD.
C
A
BM└●O逆命题？D直径垂直弦
直径平分弦（不是直径！）直径平分弦所对的弧
直径垂直弦

浙教版九年级数学上册 3.3《垂径定理》(共20张PPT)

D
O
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦点D,E就是所要求的弦所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长 AB2 r2d2.
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折，将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm，求
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 的半径为2， AB为弦，
OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 3 ，求
CD.
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 中， AB为弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6 ，CD = 1. 求⊙O 的半

浙教版数学九年级上册3.3《垂径定理(2)》参考教案2

3.3 垂径定理（2）教学目标:1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点:垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.教学方法：类比启发教学辅助：投影片教学过程:一、从学生原有的认知结构提出问题1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设结论指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题.二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.已知：在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.求证：CD⊥AB.分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，又因为CD是直径，所以原题可证.2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：(2)若选①④为题设，可得：以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出.最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影打出其它六个命题：3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三个命题，教师板书出垂径定理的推论1.推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.4.垂径定理的推论2.在上面图形的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(学生答)接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.三、应用举例，变式练习练习，填空：在⊙O中(1)若MN⊥AB，MN为直径；则，，；(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则，，；(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则，，；此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.例3 我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.02米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.23米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学习数学的兴趣.关于赵州桥的说明：赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.02米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.23米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.解题过程，参考课本.对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到.四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主要内容?在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形.指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线，在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.六、布置作业1.课内练习2.课本作业题教学反思:本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好.。

初中数学浙教版九年级上册《3.3 垂径定理》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

归纳小结
• 请围绕以下两个方面小结本节课： • 1、从知识上学习了什么？ • ２、从方法上学习了什么？
பைடு நூலகம்
垂径定理（１）垂径定理和勾股定理结合。（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 ——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。（3）方程思想与分类讨论
初中数学浙教版九年级上册《3.3 垂径定理》
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3.3垂径定理
复习
M
O
●
A
1、圆弧：圆上任意两点之间的部分 2、等弧：能够完全重合的圆弧 3、弦：连结圆上任意两点的线段
B
4、圆具有轴对称性
1、取出课前准备的圆，折出这个圆的一条对称轴
2、请用折叠的方法在圆上找到两个对称点
⌒与点E; 2. 作AB的垂直平分线CD,交AB
问题二：
例2：如图已知在⊙ O 中弦AB=16，半径0B=10，求圆心O到弦AB的距离？
A
C
B
O
变式1：
如图，已知在⊙ O中，弦AB=8直径CD ⊥ AB于点E，CE=2，求⊙ O半径？
C A E O B
·
D
变式2：
如图在 ⊙O中，弦AB∥CD．则弧AC与弧BD等吗？
⌒重合. ⌒ AD 和 BD AC和BC重合， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC ＝BC， AD ＝BD.
⌒ ⌒
梳理
A
C M └
●
B
O
D 条件结论 ③AM＝BM ⌒ ⌒＝BC ④AC ⌒ ⌒ ⑤AD＝BD
由①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
归纳小结
定理：垂直于弦的直径平分弦,
C
并且平分弦所对的弧.

3.3 垂径定理(选学)(课件)九年级数学上册(浙教版)

的半径为_________.

解：设弧CED所在圆的半径为r，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
1
∴EM过圆心O，CM= CD=2，
2
如图，连接OC，
∵EM=6，∴OM=6-r，
10
2
2
2
2
2
2
在Rt△OCM中，OC =CM +OM ，即r =2 +(6-r) ，解得：r= ．
3
当堂检测
5.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦， AM=BM，
由题意可知：OD=3，
∵OD⊥AB，

∴BD= AB= (AC+BC)=4（垂径定理），

∴CD=BD-BC=2，
在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2=22+32=13，
∴OC= .
D
当堂检测
3、如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，
则AE的长为（ A ）
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
⌒ ⌒
⌒ =BC,
⌒ AD
∴ AP=BP, AC
=BD.(结论)
O
·
A
P
D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
讲授新课
思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为
没有垂直
典例精析
例1、如图，⨀O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6
，则⨀O的半径长为_________.

浙教版数学九年级上册《3.3垂径定理》说课稿2

浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》说课稿2一. 教材分析《垂径定理》是浙教版数学九年级上册第三章第三节的内容。

这一节主要介绍了圆中的一个重要定理——垂径定理。

垂径定理是指：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，是圆的基本性质之一。

在教材中，垂径定理是通过探究活动来引导学生发现的。

首先，学生通过观察和动手操作，发现垂直于弦的直径能够平分弦。

然后，学生通过推理和证明，得出垂径定理的一般性结论。

这样的设计既有利于学生直观地理解垂径定理，又能培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，对数学的基本概念、基本性质和基本定理有一定的了解。

他们在学习垂径定理之前，已经学习了圆的基本概念、圆的性质和圆的运算。

这些知识为基础，学生应该能够顺利地学习垂径定理。

然而，九年级的学生在学习过程中可能会遇到一些问题。

首先，垂径定理的概念比较抽象，学生可能难以理解和接受。

其次，证明过程需要一定的逻辑推理能力，学生可能在这方面遇到困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、动手操作、推理和证明等过程，培养观察能力、动手能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强对数学学科的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。

2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决与圆相关的问题，并能够进行推理和证明。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下方法和手段：1.探究法：引导学生通过观察、动手操作、推理和证明等方法，自主发现和理解垂径定理。

2.讲解法：在学生自主探究的基础上，进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。

浙教版数学九年级上册3.3《垂径定理》ppt课件1PPT20页

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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
浙教版数学九பைடு நூலகம்级上册3.3《垂径定理》 ppt课件1
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

浙教版-数学-九年级上册-3.3 垂径定理(2) 教案

3.3 垂径定理（2）教学目标知识目标1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力．情感目标：经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．教学重点难点重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用．难点：利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题．课堂教与学互动设计创设情境，引入新课1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？2．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？3．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？合作交流，探究新知一、自主探索1．垂直于弦的直径平分这条弦的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？2．平分弦的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试．二、叙一叙定理1：_______弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分_______．【答案】平分弦所对应的弧定理2：平分弦的直径________平分弦所对的________．【答案】垂直弦三、证一证已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，弧AC=弧BC.证明：连结OA,OB,则AO=BO∴△AOB是等腰三角形∵AP=BP∴CD⊥AB∴弧AC=弧BC例题解析，当堂练习例1如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是AB和AC的中点，求∠MON 的度数．w&ww.z*zste%^~hslx3y3h∵OC⊥AB，∴AB=2AD=2×56=112mm．。

3.3垂径定理(2)课件公开课课件教案教学设计

2.如图所示，AB 是半圆的直径，E 是B︵C的中点， OE 交弦 BC 于点 D.已知 BC＝8 cm，DE＝2 cm，则 AB 的长为__1_0___cm.
【解析】 E 是B︵C的中点，OE 交弦 BC 于点 D，∴ OE⊥BC，CD＝BD＝4 cm.设 OB＝x cm，则 OD＝(x－ 2)cm.在 Rt△ODB 中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42 ＝x2，解得 x＝5，2x＝10.
定理2 平分弧的直径垂直于弧所对的弦.
⌒⌒
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB 证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形⌒⌒ ∵ຫໍສະໝຸດ C=BC∴∠AOC=∠BOC
∴CD⊥AB
新知讲解
典例精讲
例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高 (桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
并且AM=BM.
你能说说这样找的理由？
●M ●O
想一想垂径定理的逆命题是什么？
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．
C
探索规律
AB是⊙O的一条弦，且AM=BM．过点M作直径CD．右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说说你的想法和理由．
4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为 1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?

【优质课件】初中浙教版数学九年级上册3.3.2垂径定理的逆定理优秀课件.ppt

(4)若A︵M＝B︵M，MN 为直径，则 A︵N＝B︵N，AC＝BC，MN⊥AB ．
7．(4分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 (－1，0) ．
8．(8 分)如图所示，⊙O 的半径为 3.75 cm，弦 AB＝6 cm，点 C 是A︵B的中点，求 AC 的长．
解：连结 OA，OC，OC 交 AB 于点 D，∵点 C 是A︵B的中点，AB＝6 cm， ∴OC⊥AB，AD＝BD＝3 cm，∴OD＝ OA2－AD2＝ 3.752－32＝94 cm，∴CD ＝OC－OD＝3.75－94＝32 cm，∴AC＝ AD2＋CD2＝ 32＋（32）2＝325 cm.
9．(10 分)如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得A︵B＝B︵C，并测得 B 到 AC 的距离为 15 米， AC 的长为 60 米，请你帮他们求出人工湖的半径．
14．(15分)如图甲所示，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相
同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个
△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点……最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在⊙O上．
(1)如图乙，当n＝1时，求正三角形的边长a1； (2)如图丙，当n＝2时，求正三角形的边长a2； (3)如图甲，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)．
12．(12 分)已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求 AB，CD 之间的距离．

(浙教版)九年级上学期数学课件：3.3垂径定理

3.3.1垂径定理
导入新课同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我
国古代劳动人民的创造智慧。
导入新课赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
新课讲解教学目
标
现在你会解决导入环节的问题了吗？赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
新课讲解教学目
标
解：如下图所示： AB为跨度37.4m，CD为拱高7.2m
课堂小结教学目
标
垂径定理：
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
3.3.2 垂径定理
导入新课教学目
标
问题：谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
新课讲解教学目
标
请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？
点C与点D重合，CP与DP重合，
BC＝BD，AC＝AD．你能将你的发现归纳成一般结论吗？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

2022年浙教初中数学九上《垂径定理》PPT课件3

解：连结 OA，OC，OC 交 AB 于点 D，∵点 C 是A︵B的中点，AB＝6 cm， ∴OC⊥AB，AD＝BD＝3 cm，∴OD＝ OA2－AD2＝ 3.752－32＝94 cm，∴CD ＝OC－OD＝3.75－94＝32 cm，∴AC＝ AD2＋CD2＝ 32＋（32）2＝325 cm.
9．(10 分)如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得A︵B＝B︵C，并测得 B 到 AC 的距离为 15 米， AC 的长为 60 米，请你帮他们求出人工湖的半径．
解：(1)在图乙中，设 PQ 与 B1C1 交于点 D，连结 OB1，则 OD＝A1D－OA1 ＝ 23a1－1.在 Rt△OB1D 中，OB12＝B1D2＋OD2，即 12＝(12a1)2＋( 23a1－1)2，解得 a1＝ 3. (2)在图丙中，设 PQ 与 B2C2 交于点 E，连结 OB2，则 OE＝2A1A2－OA1 ＝ 3a2－1.在 Rt△OB2E 中，OB22＝B2E2＋OE2，即 12＝(12a2)2＋( 3a2－1)2，解得 a2＝8133. (3)在图甲中，设 PQ 与 BnCn 交于点 F，连结 OBn，则 OF＝ 23nan－1.
【解析】 ∵用煲饭的 30 min 可同时完成擦窗、洗菜、炒菜， ∴小慧同学完成以上五项家务活，至少需要 3＋30＝33(min)．
【答案】 33
【跟踪练习 2】小颖中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水 2 min；②洗菜 3 min；③准备面条及佐料 2 min；④用锅把水烧开 7 min；⑤用烧开的水煮面条和菜 3 min.以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，小颖要将面条煮好，最少用 ____min.

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C O E D
B
例 1.如图⊙O 的直径 AB 平分弦 CD， CD＝8 cm ，OP=3,求 OC 的长。
A
C
P O
B
D
变一变：如图⊙O 的直径 AB 平分弦 CD， C CD＝8 cm ，AP＝2.求⊙O 的半径．
A P O B
D
练习 2：如图，A，B，C 为⊙O 上的三点，D，E 分别为 AB,AC 的中点，连结 DE 分别交 AB，AC 于点 F ，G ．求证：AF ＝AG ．
初中数学浙教版九年级上册
《3.3垂径定理2》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
想一想
平分弦的直径垂直于弦吗？
画一画 A AB是⊙O的一条弦, 且AM=BM. 过点M作直径CD.

C
●
A
C
M
B

由
① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
分弦所对的弧.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC.
证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=BD，AC=BC （垂径定理） A
练习 3.如图，在一直径为 8 m 的圆形戏水池中搭有两座浮桥 AB ，CD.已知 C 是 AB 的中点，浮桥 CD 的长为 4 3 m ，设 O 为圆心， AB ， CD 交于点 P，试求∠APC 的度数．
练习4.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
图中相等的劣弧有:
M
B E O F C N D
.
.
A
2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,
EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· 0
G
D
B
E
F
C
3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）
4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD，求证：EC＝DF.
里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦吗？
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
B
O
A E C
.
D F
G
M
A
. O
B A O E
.
C A D B
.O
N
D B
C
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂为应用垂径定理创造条件。
线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，
1、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为
7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船
舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这
拓展提高
已知圆O的半径为5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是__________cm F 4 4
C
5 4
●
O
5
3
D
A
3
E
3
B
C A
●
5 4
O
5
D B
F
3
谈谈你的收获
1.垂径三定理：
定理1：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。定理2：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
所夹的弧相等
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
（1）两条弦在圆心的同侧（2）两条弦在圆心的异侧
F A O A B
●
●
O D
B
C
E
D
C E
垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
练一练
垂足为E,交弦CD于点F.
1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,
图中相等的线段有 :
①CD为直径 ③CD平分弦AB ④CD平分弧 AB
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
谈谈你的收获
二.辅助线的添法
拓展提高在同一平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线 y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C 两点，则弦BC的长的最小值为．
5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦