能量和动量的综合应用(超详细)

【本讲主要内容】

能量和动量的综合应用

相互作用过程中的能量转化及动量守恒的问题

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 应用动量和能量的观点求解的问题综述：

该部分是力学中综合面最广，灵活性最大，内容最为丰富的部分。要牢固树立能的转化和守恒思想，许多综合题中，当物体发生相互作用时，常常伴随多种能量的转化和重新分配的过程。因此，必须牢固地以守恒（系统总能量不变）为指导，这样才能正确无误地写出能的转化和分配表达式。

2. 有关机械能方面的综述：

（1）机械能守恒的情况：

例如，两木块夹弹簧在光滑水平面上的运动，过程中弹性势能和木块的动能相互转化；木块冲上放在光滑面上的光滑曲面小车的过程，上冲过程中，木块的动能减少，转化成木块的重力势能和小车的动能。等等……

（2）机械能增加的情况：

例如，炸弹爆炸的过程，燃料的化学能转化成弹片的机械能；光滑冰面上两个人相互推开的过程，生物能转化成机械能。等等…… （3）机械能减少的情况：

例如，“子弹击木块”模型，包括“木块在木板上滑动”模型等；这类模型为什么动量守恒，而机械能不守恒（总能量守恒），请看下面的分析：

如图1所示，一质量为M 的长木板B 静止在光滑水平面上，一质量为m 的小滑块A 以水平速度v 0从长木板的一端开始在长木板上滑动，最终二者相对静止以共同速度一起滑行。

滑块A 在木板B 上滑动时，A 与B 之间存在着相互作用的滑动摩擦力，大小相等，方向相反，设大小为f 。

因水平面光滑，合外力为零，以A 、B 为系统，动量守恒。（过程中两个滑动摩擦力大小相等，方向相反，作用时间相同，对系统总动量没有影响，即系统的内力不影响总动量）。 由动量守恒定律可求出共同速度0

v m M m v += 上述过程中，设滑块A 对地的位移为s A ，B 对地位移为s B 。由图可知，s A ≠s B ， 且s A ＝（s B +Δs ），根据动能定理：

对A ：W fA ＝2020202B 2

1)(212121)(mv m M mv m mv mv s s f -+=-=∆+-

对B ：202B fB )(21021m

M mv M Mv fs W +=-== 以上两式表明：滑动摩擦力对A 做负功，对B 做正功，使A 的动能减少了，使B 的动能增加了。我们计算一下系统机械能的变化量：

)21(2

1))((212

1)(21202020202mv m M M mv m M mv m M mv v m M E +-=-++=-+=

∆ 我们再研究一下W fA 和W fB 的代数和

W fA +W fB s f fs s s f ∆-=+∆+-=B B )(

又W fA +W fB )2

1(21)2121

(202202mv m M M Mv mv mv +-=+-= 从中可以看出：本题中一对滑动摩擦力做功的代数和（为负值）恰为系统机械能的变化量，其绝对值即s f ∆正是系统机械能的减少量，即“摩擦生热”。

即A 的动能减少了，B 的动能增加了，但二者的变化的绝对值并不等，其差值｜W fA ｜－｜W fB ｜＝f （s A -s B ）＝f Δs ，等于A 和B 系统的机械能减少量，即“摩擦生热”，即系统的初始机械能（木块A 的动能）等于系统末态机械能（木板的动能和木块的动能）加上产生的内能。

可以认为摩擦力对滑块A 做负功使其动能减少，一部分通过摩擦力对木板B 做正功，转移给木板B ，另一部分转化为系统的内能。

简言之，相互作用的滑动摩擦力对A 、B 作用时间相同，而A 、B 发生的位移不同，使得系统动量守恒而机械能不守恒。

【解题方法指导】

例1. 两个木块A 和B 的质量分别为m A ＝3kg ，m B ＝2kg ，A 、B 之间用一轻弹簧连接在一起。A 靠在墙壁上，用力F 推B 使两木块之间弹簧压缩，地面光滑，如图2所示。当轻弹簧具有8J 的势能时，突然撤去力F 将木块B 由静止释放。求：

（1）撤去力F 后木块B 能够达到的最大速度是多大？

（2）木块A 离开墙壁后，弹簧能够具有的弹性势能的最大值多大？

分析：本题第一问，撤去力F 后木块B 只在弹簧弹力作用下运动，木块A 不动，弹簧的弹性势能转化为木块B 的动能，弹簧第一次恢复原长时，木块B 有最大速度。

弹簧第一次恢复原长后，由于惯性，木块B 将继续运动，弹簧被拉长，木块A 将离开墙壁。木块A 离开墙壁后，只有弹簧弹力做功，三者组成的系统机械能仍守恒，且墙壁对此系统不再施加外力，所以此系统的动量也守恒。此后当木块A 和B 具有相同的速度时，

弹簧形变最大，弹簧具有最大弹性势能。

解答：（1）设撤去力F 后，木块B 的最大速度v 0，根据机械能守恒有

2021v m E B = B

02m E v =∴＝22m/s （2）设两木块具有的相同速度为v ，根据动量守恒定律

有m B v 0＝（m A +m B ）v

2 礼花弹在爆炸过程中，化学能转化成机械能的大小即为弹片动能的改变量， 222212

1221221mv v m v m E -+=∆ 解得ΔE ＝180J

评价：该题是机械能增加的情况：炸弹爆炸的过程，燃料的化学能转化成弹片的机械能；光滑冰面上两个人相互推开的过程，生物能转化成机械能。

【考点突破】

【考点指要】

动量和能量的综合问题，是高中力学最重要的综合问题，也是难度较大的问题，分析这类问题时，应首先建立清晰的物理图景，抽象出物理模型，选择物理规律，建立方程进行求解。

例3. 在水平桌面上固定有一块质量为M的木块，一粒质量为m，速度为v0的子弹沿水平方向射入木块，子弹深入木块d后停在其中。若将该木块放在光滑水平面上，仍用原来的子弹射击木块，求子弹射入木块的深度d′多大？有多少机械能转化为内能？设两种情况下子弹

相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图3所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后，A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。