理论力学第十四章 达朗伯原理

Y
FOy
i
0
W l Wsin 0 g 2
FOy
W sin 4
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题4
C
R
O
半径为R、重量为W1的 大圆轮，由绳索牵引， 在重量为W2的重物A的作 用下，在水平地面上作 纯滚动，系统中的小圆 轮重量忽略不计。
W1 A
求：大圆轮与地面 之间的滑动摩擦力
i Ni gi i i
O
R
＝0
i
M
i
(Fi ) M O (FNi ) M O (Fgi )＝M O＝0
i i
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果 —— 主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量 和动量矩之间的关系
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§14-3 刚体惯性力系的简化
质点系的惯性力系
F2
a2
Fg1 , Fg 2 ,, Fgi ,, Fgn
§14-2 质点系的动静法
对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到
F F F ＝0
i Ni gi
M
i
i
O
(Fi ) M O (FNi ) M O (Fgi )＝0
i i
i
i
F F F ＝F
例 题 3
解： 3、应用动静法先求未知运动量 和 ，再计算动约束力：
d dt
3g (1 - cos ) l
X
FOx
i
0
W l 2 Wcos 0 g 2
FOx W (3 - 5cos ) 2
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 3
解： 3、应用动静法先求未知运动量 和 ，再计算动约束力：
m2 Fg1 FgR m1 a1
Fg2
Fgn
a2 m aC mn an
FgR ＝－m a C
M gC ＝0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
n Fgi
ai
Fgi
a in
O
mi
C n FgR
MIO
FgR
m1g
YO
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 3


A

均质杆件OA，A端铰接，在 铅垂位置时受微小扰动运动到 倾斜位置。 求：1、惯性力的简化结果； 2、O处的约束力。
O
动静法应用于刚体的动约束力分析
解：1、运动分析
A
例 题 3
杆件OA绕O轴作定轴转动，假定 转动角速度和角加速度分别为和
。
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加 在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
§14-1 质点的惯性力与动静法 动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg ＝0
Fg ＝－ m a
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
FgR ＝－m a C M gC＝－J C
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系 向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，二者 都位于质量对称平面内。
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系主矢与主矩 与动量和动量矩之间的关系
将达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理相比 较可以得到
W2
动静法应用于刚体的动约束力分析 解：
§14-1 质点的惯性力与动静法
解：
例 题 1
Fx1 0 F
y1
m1l 2 sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
3、应用动静法：
FT2
B F
g
FT3
F´T1
对于重锤 C
C
m2 g
FT1＝FT3 m2 g FT1＝ 2cos FT1＝FT1
FgR ＝ Fgi＝ (－mi a i )＝－m a C
i i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。 1、平动
τ C n C
M gO＝ M O (Fgτi )＝－( mi ri 2 )＝－J O
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
两种特殊情况
1、转轴通过刚体的质心
aC 0
2、刚体作匀速转动
FgR 0
惯性力系简化为一个力偶
M gC J C
0
例 题 1
解： 2、分析运动：施加惯性力。 球绕O1y1轴作等速圆周 FT3 F´T1 FT2 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为 B Fg C 2
Fg＝m1l sin
FT1
m1 g
m2 g
重锤静止，无惯性力。
3、应用动静法：
Xi 0 Y 0
i
m1l 2 sin ( FT 1 FT 2 ) sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
M gO＝ M O (FIτi )＝－( mi ri 2 )＝－J O
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定 轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到 一个合力和一个合力偶。
FgR ＝－m a C ＝－m(a a )
M gO 0
Me
2
惯性力系简化为一个力 FgR
—离心惯性力
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
惯性力系的主矩 —— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。 3、平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚 体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一 平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进 一步简化。
第14章 达朗伯原理
第14章 达朗贝尔原理
§14-1 质点的惯性力与动静法 §14-2 质点系的动静法
§14-3 刚体惯性力系的简化
§14-1 质点的惯性力与动静法
z
非自由质点 A
F
m A a FN FR
m —— 质量；
F —— 主动力； FN —— 约束力； S —— 运动轨迹。
O x
y
s
§14-1 质点的惯性力与动静法
2、受力分析

acn ac
O
假设O处有沿着杆件轴线和垂直 于杆件轴线方向约束力； 杆件上由于定轴转动而产生的分 布惯性力向O处简化的结果为
F ， , M gO F
n g
τ g
动静法应用于刚体的动约束力分析
解： 2、受力分析
例 题 3
惯性力简化结果
W l F g 2
τ g
W l 2 F g 2
求：1、鼓轮的角加速度
2、轴承O处的支反力
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 2
解：1、研究对象为整体。 2、受力分析、运动分析如图。

Yo O oO P Fg2
Xo
J
Fg1 m1r1 Fg 2 m2r2
3、列平衡方程
M
a2
m2g
O
(Fi ) 0
a1
Fg1
m1gr m2 gr2 Fg1r1 Fg 2r2 J 0 1
M gC
aC
FgR ＝－m a C
M gC＝ M C (FgiC ) M C (Fgτir ) M C (Fgnir )
i i i
＝ M C (F )＝－( mi ri )＝－J C
gir
2 i i
§14-3 刚体惯性力系的简化
3、平面运动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
n g
M gO J O
W－杆件重力
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 3
3、应用动静法先求未知运动量和 ，再计算动约束力：
M
O
(F) 0
l J O －W sin 0 2
3g sin 2l
d dt 3g (1 - cos ) l
动静法应用于刚体的动约束力分析
刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
Fgi＝－ miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
§14-3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矢
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
3、平面运动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
FgiC

FgR
C C
Fgir
n mi a ir
ri
aC
a ir
M gC
aC
F
n gir
aC
§14-3 刚体惯性力系的简化
3、平面运动
FgR
C
τ gi
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
n gi
Fgi ＝(FgiC , F , F )
＝(－mi a C ,－mi ri τ, －mi ri 2 n )
M
O
(Fi )－J O＝0
e
M C (Fi e )－J C＝0
达朗贝尔原理与相关的动量定理和动量矩定理 相一致。
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动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 2
O
质量为m1和m2的两重物，分 别挂在两条绳上，绳又分别 绕在半径为r1和r2并装在同 一轴的重为P的两鼓轮上。 已知两鼓轮对转轴O的转动 惯量为J，系统在重力作用下 发生运动。
dp FgR ＝－m a C ＝－ dt
dLO M gO＝－J O＝－ dt
§14-3 刚体惯性力系的简化
dp FgR ＝－m a C ＝－ dt
dLO M gO＝－J O＝－ dt dLC M gC＝－J C＝－ dt
刚体惯性力系主矢与主矩 与动量和动量矩之间的关系
F －ma
e i
C
＝0
FT1
m1 g
m1 m2 cos g 2 m1l
§14-2 质点系的动静法
F1 m1 a1 FN2 Fg2 m2 Fgi
质点系的主动力系
Fg1
FN1 FNi mi Fi ai
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn
§14-1 质点的惯性力与动静法
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx Fx 0 Fy FNy Fgy Fy 0 Fz FNz Fgz Fz 0
i i i
§14-1 质点的惯性力与动静法
例 题 1
离心调速器
B l C 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1
l l A l
x1

y1
§14-1 质点的惯性力与动静法
O1
l l A l C FT1 y1 m1 g x1
例 题 1
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT2

l
B
FT3 B
C
F´T1
m2 g
§14-1 质点的惯性力与动静法
m1g
m1r1 m2 r2 2 2 m1r1 m2 r2 J
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 2
m1r1 m2 r2 2 2 m1r1 m2 r2 J

Yo O o P Fg2 Xo
J
X
i
0
XO 0
a1
Fg1
a2
m2g
Y 0
i
YO P (m1 m2 ) g Fg1 Fg 2 0
C O
FgR
FgR
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
Fgi ＝(F , F )＝(－mi a ,－mi a )
n gi n i
τ gi
τ i
C
O
＝(－mi ri τ, －mi ri n )
2
FgR
FgR ＝－m a C ＝－m(a a )
τ C n C
根据牛顿定律
z
m a ＝ F + FN
F
m a FN FR
Fg
F + FN － m a ＝0 Fg ＝－ m a
O x
y
F + FN ＋ Fg ＝0 —— 此即非自由质点的达朗贝尔原理
§14-1 质点的惯性力与动静法
Fg ＝－ m a
—— 质点的惯性力
F + FN ＋ Fg ＝0
—— 非自由质点的达朗贝尔原理
§14-3 刚体惯性力系的简化
3、平面运动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
以质心C为基点，将平面运动 分解为跟随基点的平移和绕基 点的转动。对于刚体上的任意 质点，

aC
C
aC
a ir
－牵连加速度
n mi a ir
ri
a ir －相对切向加速度
aC
a
n ir
－相对法向加速度
§14-3 刚体惯性力系的简化