理论力学第十四章 达朗伯原理
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《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)
F
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT
Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
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爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
理论力学14—达朗贝尔原理
a arccos(rw 2 )
g
14.2设质质点系点的系达由朗贝尔n 原个理质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为 主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点 上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达 朗贝尔原理, 有
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
14.设1 质一点质的达点朗质贝量尔原为理m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma F FN
将上式改写成
FI
m F
F FN ma 0
令
FI ma
FN
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘
度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角 的关系。
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dxx sin )w 2
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFI, 它的大小为
dFI
d m an
Pw 2
gl
sin
x
dx
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
FI
l Pw2 sin x d x P lw2 sin
0 gl
2g
A
an
FAy FAx
A
dFI B
x
FI
PB x
设力FI 的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
l
FI (d cos ) 0 (x cos ) d FI
即
l Pw2 sin x 2 dx
g
14.2设质质点系点的系达由朗贝尔n 原个理质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为 主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点 上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达 朗贝尔原理, 有
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
14.设1 质一点质的达点朗质贝量尔原为理m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma F FN
将上式改写成
FI
m F
F FN ma 0
令
FI ma
FN
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘
度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角 的关系。
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dxx sin )w 2
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFI, 它的大小为
dFI
d m an
Pw 2
gl
sin
x
dx
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
FI
l Pw2 sin x d x P lw2 sin
0 gl
2g
A
an
FAy FAx
A
dFI B
x
FI
PB x
设力FI 的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
l
FI (d cos ) 0 (x cos ) d FI
即
l Pw2 sin x 2 dx
理论力学第十四章 达朗伯原理讲解
FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
§14-2 质点系的动静法
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
Fg2
FN2
Fgi
m2
ai Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F1 ,F2 ,,Fi ,,Fn 质点系的约束力系 FN1 , FN2 ,,FNi ,, FNn 质点系的惯性力系
Fg1, Fg2 ,, Fgi ,, Fgn
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩 惯性力系的主矢
FgR ＝ Fgi＝ (－mi ai )＝－m aC
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
i
i
i
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果
—— 主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量
和动量矩之间的关系
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
Fgi＝－ 对于平面问题m(或ia者i 可以简化为平面问题)，
§14-3 刚体惯性力系的力系的主矩 —— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。
3、平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚 体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一 平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进 一步简化。
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
知识资料理论力学(十四)(新版)(1)
五、达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力知识题的普遍主意。
这种主意将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力知识题可以应用静力学写平衡方程的主意来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。
（一）惯性力当质点受到其他物体的作用而改变其本来运动状态时，因为质点的惯性产生对施力物体的反作使劲，称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。
惯性力的表达式为（二）达朗伯原理在非自由质点M运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力F、约束反力N和该质点的惯性力FI构成一假想的平衡力系。
这就是质点达朗伯原理，其表达式为在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力Fi、约束反力N，和该质点的惯性力FiI构成一假想的平衡力系。
这就是质点系达朗伯原理。
即（三）刚体运动时惯性力系的简化对刚体动力知识题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，使劲系简化的主意，得出简化结果。
这些简化结果与刚体的运动形式有关。
详细结果见表4-3-9。
（四）动静法按照达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯第1 页/共7 页性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的主意求解动力知识题，这种求解动力知识题的主意称为动静法。
必须指出，动静法只是解决动力知识题的一种主意，它并不改变动力知识题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。
动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。
应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。
（五）例题[例4—3—13] 长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。
设薄板在图示位无初速地开始运动，图中α=30°。
求此时绳子中的拉力。
[解](1)对象以平板的为研究对象。
(2)受力分析运动开始时板受重力w、软绳约束反力T1、T2。
理论力学——第14章 达朗贝尔原理
Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 M O (Fi(e) ) M O (FIi ) 0
Fix(e) FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
Fiy(e) FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F (i) i
0,
MO (Fi(i) ) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
MIO ri (miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
l 2
2
0，aCt A
l
2
方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB
aA
a
t BA
aB
aA
aBt A
aBt A aA
ll
aC aA aCt A
B
aBt A
aB
aA
aCt A C
aA
q
A aA
因此得此杆惯性力系得主矢为
FIR
第十四章达朗伯原理
FAy
m
L 2
m2r
mA(F) 0 :
MA
Fg
cos
L 2
Fgn
sin
L 2
M gC
0
MA
m2
L 2
r
1 3
mL2
如果将A处的反力分解成如图的切向和法向,
FA
L Fg
A
C
FAn
θ
MA
a
n C
Fgn θ MgC B
a
C
则有:
F 0 :
FA Fg 0
FA m
L2 4
r2
Fn 0 : FAn Fgn 0
例. 绞车的质量为80kg, 装在钢梁上的铰支座O 上. 梁的两端视为简支. 梁为均 质 , 质量为800kg , 尺寸如图示. 绞车鼓轮对O点的 转动惯量J0 = 1.2 kg.m², 鼓轮的半径r = 0.2 m , 绳索的质量不计. 求: 当绞车以加速度a= 1m/s²提升质量为2000kg 的工件时, 求支座C 、D
mo(F) 0 :
mo
G
L 2
sin
PS
sin
0
L mo (PS G 2 )sin
例二. ( 见书) 飞轮的质量为m , 半径为R , 以匀角速度ω 绕O 轴转动. 设轮缘较 薄, 质量 均匀分布, 轮辐的质量不计. 不考虑重力的影响, 求轮缘横截面的张力.
解：取半圆环为研究对象
ω O
mo (F ) 0 : T1 T2 X 0： cdFgx 2T1 0
ω
设在定轴转动的刚体上任取一质点mk ( xk yk zk ) , 某一时
α
刻, mk 的转动半径 rk 与Ox 轴的夹角为φk , 其达朗伯惯性 力如图示. 将刚体上所有质点的惯性力向O 点简化, 于是
达朗伯原理
解：以整个系统为研究对象
FB
作受力图（包括惯性力）
B
FI ma
M IO
J
J
a R
mg FI
FI ma
M IO J
J
a R
α
M IO
O FA
对系统应用动静法
MB 0
mgl2 FIl2 Pl3 MIO FAl1 l2 0
Fy 0
l3
FB FA FB mg P F1 0
偏心状态
r FRA 1
FI1
m
FRB
A r2 m B
FI 2
r1 r2
FI1 FI2
FRA 0 FRB 0
偏角状态
FI1
m
A r1
FRB
r FRA 2
B
r1 r2
FI1 FI2
m FI 2
FRA 0 FRB 0
既偏心又偏角状态
FI1
A r1
m FRB
r FRA 2
m
r1 r2
FIRn
maCn
（3）转轴通过质心，且为
匀速转动 FIR 0
FIRn 0
M IO 0
四、刚体作平面运动
刚体平面运动 = 随质心的平移 + 绕质心的转动
将惯性力系向质心简化：
平移部分的惯性力系
合力
FIR maC
绕质心转动的惯性力系
合力偶 M IC＝－JC
结论：
刚 通体 过作 质平 心面的运合动力时F，I R惯性力m系a简C化为，一以个及 一个合力偶： M IC＝－JC
主矢和主矩和加速度、角加速度的方向相反
4、列出静平衡方程求解
FIR
在m静a平C 衡方程F中IRn ，惯m性a力Cn不加负号M，I直O＝接J代z入
014第十四章达朗伯原理
第14章 达朗伯原理（动静法）§14-1 达朗伯原理例 1. 质量10kg m =的物块A 沿与铅垂面夹角060θ=的悬臂梁下滑，如图所示。
不计梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O 的距离0.6m l =，加速度22m/s a =时固定端O 的约束反力。
解：取物块和悬臂梁一起为研究对象，受有主动力W ，固定端O 处的反力Ox F 、Oy F 及O M 。
施加惯性力g F 如图所示，g F ma =，方向与a图14-3相反，加在物块上。
根据达朗伯原理，列形式上的平衡方程0 sin 00 cos 0()0 sin 0Ox g Oy g O iO X F F Y F W F m F M Wl θθθ⎧=-=⎪=-+=⎨⎪=-=⎩∑∑∑可解得sin 17.32N Ox g F F θ== cos 88N Oy g F W F θ=-= sin 50.92N m O M Wl θ==⋅从本例可见，应用质点达朗伯原理求解时，在受力图上惯性力的方向要与加速度方向相反，惯性力的大小为g F ma =，不带负号。
例1.如图所示，物块A 、B 的重量均为W ，系在绳子的两端，滑轮的半径为R ，不计绳重及滑轮重，斜面光滑，斜面的倾角为θ，试求物块A 下降的加速度及轴承O 处的约束反力。
图14-4解：先取物块B 为研究对象，所受的外力为绳索的拉力T 、重力W 、光滑斜面的约束反力B N ，虚加的惯性力为gB F ，如图所示。
取图所示坐标系，根据质点达朗伯原理，可列出平衡方程为 0Y '=∑ cos 0BNW θ-=可得c o s B N W θ= 再取物块A 、B 及滑轮和绳索所组成的系统为研究对象。
质点系的外力有两个物块的重力W ，轴承O 的约束反力O X 和O Y ，及光滑斜面的约束反力B N 。
虚加上惯性力gA F 和gB F ，如图所示。
惯性力的大小为gA gB WF F a g==。
理论力学 第十四章
x
FRyOB M Ix FIy OB
FBx
1 AB
1
M
y
FRxOA M Ix FIx OA
FBy
AB
M
x
FRyOA M Ix FIy OA
FBz FRz
由 F , M 引起的轴承约束力称动约束力, IR IO
2ห้องสมุดไป่ตู้
1.96 N
v
FT l sin m
2.1 m
s
§ 14-2
质点系的达朗贝尔原理
i 1,2,, n
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系.
记 F (e ) 为作用于第i个质点上外力的合力. i (i ) Fi 为作用于第i个质点上内力的合力.
解:
t Ii
FI 1 m1a, FI 2 m2 a
,
F mi
n Ii
F mi r mi a
v
2
r
M
由
O
0,
m1 g m1a m2 g m2 a r mi ar 0
m ar m ar mar
i i
解得
a
m1 m2 m1 m2 m
FBz FR z 0
FB y OB FA y OA M x M I x 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
M
x
0 0
M
y
解得
FAx
1 AB
M
14达朗贝尔原理
解：1、以杆为研究 对象，受力分析如图 对象， 、 F ⅠC 刚好离开地面时，地面约束力为零。 刚好离开地面时，地面约束力为零。
= m2 a
∑M
A
= 0 m aRsin 30 −m gRcos30 = 0 2 2
o o
a = 3g
2、以整体为研究对象，受力分析如图 、以整体为研究对象， 得
1 2 a FA = ma, MIA = m R I 1 1 2 R
aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC
绳BO刚剪断瞬时，杆角速度ω = 0 ，角加速度α ≠0。 BO刚剪断瞬时 杆角速度ω 刚剪断瞬时， 角加速度α
anAC = AC ·ω2 = 0
atAC = lα／2
t aAC
t aA
O
把 aA 投影到点A轨迹的法线 AO上 投影到点A AO上
MIx = ∑ x (F ) = ∑ x Fi +∑ x Fn M Ii M Ii M Ii
( )
( )
= ∑ irαcosθi zi +∑ −mrω2 sinθi zi ) mi ( ii
由
xi yi cos θi = , sinθi = 有 MI x =α∑mi x i z i−ω2∑mi y i z ri ri
第十四章 达朗贝尔原理(动静法) 达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 惯性力·质点的达朗贝尔原理
m = F +F a N
F + F −m = 0 a N
令 有
F = −m a I
惯性力
F + FN + F = 0 I
14达朗伯原理
v2 T man m l
v R O FT
M an
M 绳
FT'
图14.2 小球作圆周运动
14.4
第14章 达朗伯原理
14.1 惯性力的概念
同时，小球对绳子必作用有一反作用力，这个力就是小球的惯性力，它 是由于小球的惯性运动遭到破坏而表现出其惯性的力，若没有绳子拉住小球， 它将沿切线方向作匀速直线运动。显然，小球的惯性力 。 FT man 综上所述，可将惯性力概括如下：质点惯性力的大小等于质点的质量与 加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，它不作用于运动质点本身，而是 质点作用于周围施力物体上的力。用统一符号FⅠ来表示惯性力，即惯性力
ma F FN
或 令 则有
(14.1) (14.2) (14.3)
FI M F a FN FR
F + FN ma 0
FI ma
F FN FI 0
上式在形式上是力系的平衡方程。实际上质 点并没有受到惯性力FⅠ的作用，它也不处于平 衡状态，即“平衡力系”并不存在，但当质点上 假想地加上惯性力后，则作用于质点的主动力F、 约束反力FN和惯性力FⅠ就构成一个假想的平衡 力系。
F ma
F' F
a
图14.1 用手推车
14.3
第14章 达朗伯原理
14.1 惯性力的概念
同时，车对工人的手作用一反作用力F‘，根据作用力与反作用力的关 系有
F F ma
这个反作用力F' 就是小车的惯性力。 再如图14.2所示，用绳的一端系住质量为m的小球，另一端固结于光滑 水平平台的O点，让小球在平台上作圆周运动。设绳长为l，在绳子拉力FT 的作用下，小球以速度v在水平面内作匀速圆周运动，则有
理论力学达朗贝尔原理
又有 miai mac ，故有
FIR mac
（14－6）
理论力学电子教程
第十四章 达朗伯原理
即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘 积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论 均成立。
至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的 运动形式有关。
现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下 刚体惯性力系的简化结果。
理论力学电子教程
第十四章 达朗伯原理
达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普 遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动 力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系 虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平 衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。
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第十四章 达朗伯原理
a
FI1
M1 M2
＝
C
FI 2
M3
FIR
FI 3
由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心c之 合力。
FIR FIi (mia) ( mi )a
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第十四章 达朗伯原理
即
FIR ma
（14－7）
此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心c简化为一 力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与
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第十四章 达朗伯原理
例14-1 如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内 悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角 ，相对于车厢静止。试求车厢的加速度a。
a
M
(a)
F
FI (bP)
F
F(I c) P
【解】以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样， 有向右的加速度。则摆锤上作用的力有：
FIR mac
（14－6）
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第十四章 达朗伯原理
即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘 积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论 均成立。
至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的 运动形式有关。
现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下 刚体惯性力系的简化结果。
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第十四章 达朗伯原理
达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普 遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动 力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系 虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平 衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。
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第十四章 达朗伯原理
a
FI1
M1 M2
＝
C
FI 2
M3
FIR
FI 3
由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心c之 合力。
FIR FIi (mia) ( mi )a
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第十四章 达朗伯原理
即
FIR ma
（14－7）
此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心c简化为一 力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与
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第十四章 达朗伯原理
例14-1 如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内 悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角 ，相对于车厢静止。试求车厢的加速度a。
a
M
(a)
F
FI (bP)
F
F(I c) P
【解】以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样， 有向右的加速度。则摆锤上作用的力有：
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dp FgR ＝－m a C ＝－ dt
dLO M gO＝－J O＝－ dt
§14-3 刚体惯性力系的简化
dp FgR ＝－m a C ＝－ dt
dLO M gO＝－J O＝－ dt dLC M gC＝－J C＝－ dt
刚体惯性力系主矢与主矩 与动量和动量矩之间的关系
F －ma
e i
C
＝0
M gO 0
Me
2
惯性力系简化为一个力 FgR
—离心惯性力
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
惯性力系的主矩 —— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。 3、平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚 体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一 平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进 一步简化。
§14-3 刚体惯性力系的简化
3、平面运动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
以质心C为基点，将平面运动 分解为跟随基点的平移和绕基 点的转动。对于刚体上的任意 质点，
aC
C
aC
a ir
－牵连加速度
n mi a ir
ri
a ir －相对切向加速度
aC
a
n ir
－相对法向加速度
§14-3 刚体惯性力系的简化
M gC
aC
FgR ＝－m a C
M gC＝ M C (FgiC ) M C (Fgτir ) M C (Fgnir )
i i i
＝ M C (F )＝－( mi ri )＝－J C
gir
2 i i
§14-3 刚体惯性力系的简化
3、平面运动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
Fgi＝－ miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
§14-3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矢
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
根据牛顿定律
z
m a ＝ F + FN
F
m a FN FR
Fg
F + FN － m a ＝0 Fg ＝－ m a
O x
y
F + FN ＋ Fg ＝0 —— 此即非自由质点的达朗贝尔原理
§14-1 质点的惯性力与动静法
Fg ＝－ m a
—— 质点的惯性力
F + FN ＋ Fg ＝0
—— 非自由质点的达朗贝尔原理
质点系的惯性力系
F2
a2
Fg1 , Fg 2 ,, Fgi ,, Fgn
§14-2 质点系的动静法
对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到
F F F ＝0
i Ni gi
M
i
i
O
(Fi ) M O (FNi ) M O (Fgi )＝0
i i
i
i
F F F ＝F
§14-1 质点的惯性力与动静法
解：
例 题 1
Fx1 0 F
y1
m1l 2 sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
3、应用动静法：
FT2
B F
g
FT3
F´T1
对于重锤 C
C
m2 g
FT1＝FT3 m2 g FT1＝ 2cos FT1＝FT1
m1g
m1r1 m2 r2 2 2 m1r1 m2 r2 J
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 2
m1r1 m2 r2 2 2 m1r1 m2 r2 J
Yo O o P Fg2 Xo
J
X
i
0
XO 0
a1
Fg1
a2
m2g
Y 0
i
YO P (m1 m2 ) g Fg1 Fg 2 0
Y
FOy
i
0
W l Wsin 0 g 2
FOy
W sin 4
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题4
C
R
O
半径为R、重量为W1的 大圆轮，由绳索牵引， 在重量为W2的重物A的作 用下，在水平地面上作 纯滚动，系统中的小圆 轮重量忽略不计。
W1 A
求：大圆轮与地面 之间的滑动摩擦力
3、平面运动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
FgiC
FgR
C C
Fgir
n mi a ir
ri
aC
a ir
M gC
aC
F
n gir
aC
§14-3 刚体惯性力系的简化
3、平面运动
FgR
C
τ gi
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
n gi
Fgi ＝(FgiC , F , F )
＝(－mi a C ,－mi ri τ, －mi ri 2 n )
m2 Fg1 FgR m1 a1
Fg2
Fgn
a2 m aC mn an
FgR ＝－m a C
M gC ＝0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
n Fgi
ai
Fgi
a in
O
mi
C n FgR
MIO
FgR
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加 在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
§14-1 质点的惯性力与动静法 动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg ＝0
Fg ＝－ m a
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
O1
l l A l
x1
y1
§14-1 质点的惯性力与动静法
O1
l l A l C FT1 y1 m1 g x1
例 题 1
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT2
l
B
FT3 B
C
F´T1
m2 g
§14-1 质点的惯性力与动静法
FgR ＝－m a C M gC＝－J C
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系 向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，二者 都位于质量对称平面内。
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系主矢与主矩 与动量和动量矩之间的关系
将达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理相比 较可以得到
τ C n C
M gO＝ M O (Fgτi )＝－( mi ri 2 )＝－J O
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
两种特殊情况
1、转轴通过刚体的质心
aC 0
2、刚体作匀速转动
FgR 0
惯性力系简化为一个力偶
M gC J C
0
§14-1 质点的惯性力与动静法
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx Fx 0 Fy FNy Fgy Fy 0 Fz FNz Fgz Fz 0
i i i
§14-1 质点的惯性力与动静法
例 题 1
离心调速器
B l C 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
例 题 3
解： 3、应用动静法先求未知运动量 和 ，再计算动约束力：
d dt
3g (1 - cos ) l
X
FOx
i
0
W l 2 Wcos 0 g 2
FOx W (3 - 5cos ) 2
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 3
解： 3、应用动静法先求未知运动量 和 ，再计算动约束力：
n g
M gO J O
W－杆件重力
动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 3
3、应用动静法先求未知运动量和 ，再计算动约束力：
M
O
(F) 0
l J O －W sin 0 2
3g sin 2l
d dt 3g (1 - cos ) l
动静法应用于刚体的动约束力分析
M
O
(Fi )－J O＝0
e
M C (Fi e )－J C＝0
达朗贝尔原理与相关的动量定理和动量矩定理 相一致。
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动静法应用于刚体的动约束力分析
例 题 2
O
质量为m1和m2的两重物，分 别挂在两条绳上，绳又分别 绕在半径为r1和r2并装在同 一轴的重为P的两鼓轮上。 已知两鼓轮对转轴O的转动 惯量为J，系统在重力作用下 发生运动。
M gO＝ M O (FIτi )＝－( mi ri 2 )＝－J O
§14-3 刚体惯性力系的简化
2、定轴转动
刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩
具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定 轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到 一个合力和一个合力偶。