矢量代数运算6

第一章 矢量分析
简要介绍矢量分析和场论基础。 简要介绍矢量分析和场论基础。 散度、旋度和梯度的基本概念； 散度、旋度和梯度的基本概念； 算符运算公式； ∇ 算符运算公式； 散度、 散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示 讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。 讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。
u
u + ∆u N
en
M
el
P
2011-2-15 第一章 矢量分析
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2、梯度的定义
du ˆ gradu ( x, y, z ) = ⋅ el dl
v
max
式中： 为垂直于等值面（ 的方向。 式中：el 为垂直于等值面（线）的方向。
3、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数； 1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数； 2)、标量场的梯度表征标量场变化规律： 2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量 场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。 场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
二、矢量代数
1、矢量和 v v v v A+ B = B+ A
v v v v v v A + ( B + C ) = ( A + B) + C
v v v v v v v A⋅ (B +C) = A⋅ B + A⋅C
2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和
v v v v A ⋅ B = B ⋅ A = AB cosθ
2011-2-15 第一章 矢量分析 11
4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中： 在直角坐标系中：
∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ gradu = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
2）在柱面坐标系中： 在柱面坐标系中：
∂u 1 ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ gradu = er + eϕ + ez ∂r r ∂ϕ ∂z
第一章 矢量分析 14
c)
3、矢量场的散度的定义
v v 空间中任意点M 在场 A(r )空间中任意点M
处作一个闭合曲面， 处作一个闭合曲面，所
围的体积为 为：
∆V
，则定义场矢量在M点处的散度 则定义场矢量在M
v v d iv A ( r ) = lim
∫
s
v v v A (r ) ⋅ dS ∆v
15
v ez v er
v eϕ
y
v v v ˆ ˆ ˆ Ar ( r ) eρ + Aϕ ( r ) eϕ + Az ( r ) ez、球面坐标系 ( r ,θ , ϕ )
方向单位矢量： 方向单位矢量：
z
ˆ ˆ ˆ er , eθ , eϕ
位置矢量： 位置矢量：
O x θ0 r0 ψ0 P(r0,θ0,ψ0)
M
C
其边界曲线为C 一面元 S，其边界曲线为C，面元法线方
A
当面元面积无限缩小时， 向为 n ，当面元面积无限缩小时，可定 ˆ vv 在点M 在点M处沿 方向的环量面密度 ˆ n A(r )义
v rotn A = lim
∫
c
v v A ⋅ dl ∆s
∆s →0
v vv rotnA 表示矢量场 Ar) 在点M处沿ˆ 方向的漩涡源密度； n 方向的漩涡源密度； ( 在点M
3. 叉乘（矢量积）－行列式展开
v v v v v v ˆ A × B = AB sin θ u A × B = − B × A v ˆ ˆ ˆ A = A1u1 + A2u2 + A3u3 v v A× B = v ˆ ˆ ˆ B = B1u + B2u2 + B3u3
2011-2-15 第一章 矢量分析
矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向 空间某一区域定义一个矢量函数, 矢量函数 随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。 随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该 区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等. 区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
2011-2-15 第一章 矢量分析 3
v v v v v v v A×(B+C) = A×B+ A×C
ˆ ˆ ˆ u1u 2 u 3 A1 A 2 A 3 B1B 2 B 3
4
4、矢量代数公式
v v v v v v v v v （1） Α⋅ (B×C) = B⋅ (C × A) = C ⋅ ( A× B) v v v v v v （2） ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C )
第一章 矢量分析
5、散度的计算
在直角坐标系下： 1) 在直角坐标系下：
v v ∂Fx ∂Fy ∂Fz divF (r ) = + + ∂x ∂y ∂z
∂ v ∂ v ∂ v v v v = ( ex + e y + ez ) ( Fx ex + Fy e y + Fz ez ) ∂x ∂y ∂z
2011-2-15 第一章 矢量分析
v ˆ r = r0 er
矢量表示： 矢量表示：
v eθ
v eϕ v y e r
v v v ˆ ˆ ˆ Ar ( r )er + Aθ ( r )eθ + Aϕ ( r ) eϕ
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4、坐标变换
圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
ˆ ˆ ˆ eρ = ex cos ϕ + e y sin ϕ
v v 正源) ( divF (r ) = ρ > 0 正源)
v v divF (r ) = ρ < 0负源)
v v 无源） ( divF (r ) = 0 无源）
讨论：在矢量场中， 讨论：在矢量场中， v v 则该矢量场称为有源场， 为源密度； 1）若 divA(r ) = ρ ≠ 0 ，则该矢量场称为有源场，ρ为源密度； v v 2011-2-15 若 divA( r ) = 0 处处成立，则该矢量场称为无源场。 16 处处成立，则该矢量场称为无源场。 2）
2011-2-15 第一章 矢量分析 6
2、圆柱坐标系 ( ρ , ϕ , z )
方向单位矢量： 方向单位矢量：
z r0 z0 O ψ0 x
ˆ ˆ ˆ eυ , eϕ , ez
位置矢量： 位置矢量：
P(r0,ψ0,z0)
v ˆ ˆ r = r0 eρ + z0 ez
矢量表示： 矢量表示：
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s
物理意义： 物理意义：表示穿入和穿出闭 合面S的矢量通量的代数和。 合面S的矢量通量的代数和。 v 讨论： 定义； 讨论：1）面元 dS 定义； v v 2） Φ = ∫ A(r ) cos θ ( r ) ds
s
矢量场的通量
3) a) b)
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通过闭合面S的通量的物理意义： 通过闭合面S的通量的物理意义： 闭合面内有产生矢量线的正源； 若Φ > 0 ，闭合面内有产生矢量线的正源； 闭合面内有吸收矢量线的负源； 若Φ < 0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源； 闭合面无源。 若Φ = 0 ，闭合面无源。
∆v→ 0
2011-2-15 第一章 矢量分析
4、散度的物理意义
矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 矢量场的散度是一个标量； 2) 矢量场的散度是一个标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。 4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。
v v v v v v （3） A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C v v v v v v v v v （4） Α × (Β × C ) = (Α ⋅ C )Β − (Α ⋅ B )C
2011-2-15 第一章 矢量分析 5
三、常用坐标系
1、直角坐标系（x,y,z） 、直角坐标系（ ）
3）在球面坐标系中： 在球面坐标系中：
∂u 1 ∂u 1 ∂u ˆ ˆ ˆ g ra d u = er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
2011-2-15 第一章 矢量分析
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二、 矢量场的通量 散度
1、矢量线（力线） 矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场 的方向； 的方向；
2、矢量场的通量
若矢量场 则定义：
v v A(r ) v v A(r )
分布于空间中，在空间中存在任意曲面S 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，
v v v Φ = ∫S A(r ) ⋅ dS
沿有向曲面S 的通量。 沿有向曲面S 的通量。
13 第一章 矢量分析
为矢量
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若S为闭合曲面 v v v Φ = ∫ A (r ) ⋅ dS
2011-2-15 第一章 矢量分析 9
1.2 场论——梯度、散度和旋度
一、 标量场的梯度
等值面（ 1. 等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若 则等值面方程为： 标量函数为 u = u ( x, y, z ) ，则等值面方程为：
u ( x, y, z ) = c = const
ˆ ˆ ˆ eϕ = −ex sin ϕ + e y cos ϕ
ˆ ˆ ez = ez
球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
ˆ ˆ ˆ ˆ er = ex sin θ cos ϕ + e y sin θ sin ϕ + ez cos θ ˆ ˆ ˆ eϕ = −ex sin ϕ + e y cos ϕ ˆ ˆ ˆ ˆ eθ = ex cos θ cos ϕ + e y cos θ sin ϕ − ez sin θ