高阶线性微分方程复习

λ1, 2 = α ± i β (共轭复根 )
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
λ n + p1λ n −1 + L + pn −1λ + pn = 0
特征根
单实根 λ
通解中的对应项 1项 k项 Ce λ x e λ x (C1 + C2 x + L + Ck x k −1 )
k 实重根 λ
一对共轭复根 λ1, 2 = α ± i β 一对共轭 k 重复根 λ1, 2 = α ± i β
其中： 其中： 当 α 不是特征根时，取 k＝0 ； 不是特征根时，
是单特征根时， 当 α 是单特征根时，取 k＝1 ；
是二重特征根时， 当 α 是二重特征根时，取 k＝2 。
注意: α 可以为复数。
例1. 求方程y ′′ − 3 y ′ + 2 y = e 2 x (4 x + 5)的一个特解. 解： α=2，P 1 (x)=4x+5 特征方程： r2－3r＋2＝0 所以设 y*=xe2x(Ax+B) 得 r1=2, r2=1
y*′=2Ax 2 e 2x +2(A+B)xe 2x +Be 2x y*″=4Ax 2 e 2x +4(2A+B)xe 2x +2(A+2B)e 2x
代入方程化简得 2Ax+(2A+B)=4x+5 比较得 2A=4,
∴
∴
2A+B=5
B =1
A = 2,
y* = (2 x 2 + x )e 2 x
% 解： (1) 先求y：
特征方程 r2–5r＋6＝0 得 r1=2, r2=3 ~ = C e 2x + C e 3x ∴ y 1 2 (2) 再求y*：
Q f ( x) = 2e 2 x + sin x.
有
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2e 2 x
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = sin x.
(1) (2)
′′ − 5 y ′ + 6 y = 2e 2 x y
(1)
r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3
求方程(1)的y1*: 设y1*=Axe2x 代入方程(1)得 A＝–2
∴ y1 * = − 2 xe 2 x
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = sin x.
(2)
r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3 求方程(2)的y2 *: 设 y2 * = A cos x + B sin x
2项
eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
2k 项 eα x [(C1 + C2 x + L + Ck x k −1 ) cos β x
+ ( D1 + D2 x + L + Dk x k −1 ) sin β x]
求解方程y"–2y'–3y=0 例1. 求解方程 解：特征方程 r2–2r –3=0, (r+1)(r –3)=0 得特征根
解： α = 1, β = 1, α ± iβ = 1 ± i 特征方程 r2+1=0, 得r1,2=±i
故设 y* = e x ( A cos x + B sin x)
2 1 解得 A = − , B = 5 5 2 x 1 故 y * = e ( sin x − cos x ) 5 5
例8. 求解方程y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2e 2 x + sin x
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特征根
y′′ + p y′ + q y = 0
λ2 + λ p + q = 0 。
通解形式
λ1 ≠ λ2 (实根 ) λ1 = λ2 (实重根 )
y = C1e λ1 x + C2 e λ2 x y = e λ1 x (C1 + C2 x) y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
α = 0, β = 2, α ± iβ = ± 2i
特征方程
故设
解得
r2+4=0,
得r1,2=±2i
y* = x ( A cos 2 x + B sin 2 x )
1 A = 0, B = 4
∴
1 y * = x sin 2 x 4
例7.
求 y ″ + y = e x s i n x 的一个特解.
1 代入方程(2)得 A = B = 10 1 ∴ y2 * = (cos x + sin x) 10 ∴ y* = y1 * + y2 * = −2xe2x + 1 (cosx + sinx) 10 ~ + y* = C e 2 x + C e 3 x − 2 xe 2 x + 1 (cos x + sin x) ∴y = y 1 2 10
∴ y = C 1 e −2 x + e − x (C 2 + C 3 x + C 4 x 2 )
定理 1
当二阶常系数非齐线性方程
y′′ + p y′ + q y = f ( x) ( 2)
它有下列形式的特解： 它有下列形式的特解： 的右端为 f ( x) = eα x Pn ( x) 时，
y* = x k eα x Qn ( x) ，
∴
r1= –1, r2=3
y = C1e − x + C 2 e 3 x
例2.求解方程 y ' '− 10 y '+ 25 y = 0 解：特征方程 r 2 − 10 r + 25 = 0,
( r − 5) 2 = 0
得 r1=r2=5
∴
y = e 5 x (C1 + C 2 x )
例3.求解方程 y ' '+ 2 y '+ 5 y = 0 解： r 2 + 2 r + 5 = 0 得
∴
r1, 2 = − 1 ± 2 i
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
例4. 求解方程 y(4)+5y'''+9y''+7y'+2y=0 解：特征方程 r4+5r3+9r2+7r+2=0 可求得 r1= −2, r2=r3=r4=−1 则 y1=e−2x, y2=e−x, y3=xe−x, y4=x2e−x
此时方程具有如下形式 的特解： Am (x)，Bm (x)是m次待定多项式， = m {l，n}. m ax
其中
0, α ± iβ 不是特征根
y* = xk eαx[ Am (x) cos βx + Bm (x) sin βx]
k＝
1, α ± iβ 是特征根
例6. 求 y ″ + 4 y = c o s 2 x 的一个特解 解：
C= −7
∴ y* = 2 x 2 − 7
例3. 求方程y″－2y′＋y=ex 的一个特解. 解： α=1, 特征方程 故设 P0(x)=1 r2－2r＋1＝0, r1,2＝1 y*=x2Aex
1 求得 A = , 2
1 2 x ∴ y* = x e 2
( II ) f ( x ) = e α x [Pl ( x ) cos β x + Q n ( x ) sin β x ], 这里 α ， β 是常数， Pl ( x )， Q n ( x ) 分别是 l 次和 n 次多项式。
2 例2. 求方程 y ′′ + y = 2 x − 3的一个特解。
解： α=0, 特征方程
P 2 (x)=2x 2 －3 rHale Waihona Puke Baidu+1=0, 得 r1,2=±i
所以设 y*=Ax2+Bx+C 代入方程得 Ax2+Bx+(2A+C)=2x2−3 比较得 A=2, 有 A=2, B=0, B=0, 2A+C= −3