高阶线性微分方程复习
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
高阶线性微分方程复习
解： α=0,
P2(x)=2x2－3
特征方程 r2+1=0, 得 r1,2=i
所以设 y*=Ax2+Bx+C
代入方程得 Ax2+Bx+(2A+C)=2x23
比较得 A=2, B=0, 2A+C= 3
有 A=2, B=0, C= 7
y* 2x2 7
例3. 求方程y－2y＋y=ex 的一个特解.
代入方程(2)得 A B 1
10
y2
*
1 10
(c
os
x
s
in
x)
y* y1 * y2 * 2xe2x 1 (cosx sin x)
y
~y
y*
C1e 2 x
10
C2e3x
2 xe 2 x
1 10
(cosx
sin
x)
谢谢观看！ 2020
5
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例8. 求解方程y 5y 6y 2e2x sin x
解： (1) 先求y：
特征方程 r2–5r＋6＝0
得 r1=2, r2=3 ~y C1e 2x C2e3x (2) 再求y*：
f (x) 2e2x sin x.
有 y 5y 6 y 2e2x
(1)
y 5y 6y sin x. (2)
解：特征方程 r 2 10r 25 0,
(r 5)2 0
得 r1=r2=5 y e5x (C1 C2 x)
例3.求解方程y''2y'5y 0 解：r 2 2r 5 0
得 r1,2 1 2i
y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
例4. 求解方程 y(4)+5y'''+9y''+7y'+2y=0 解：特征方程 r4+5r3+9r2+7r+2=0
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
高阶线性微分方程
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程一、 引例（1）：悬挂在弹簧上的物体在静止状态时，重力和弹性力大小相等，方向相反。
如果物体具有一个初速度00v ≠，那末物体将在平衡位置做振荡运动，且运动轨迹是时间 的函数。
()x x t = 在分析振荡运动时，只考虑弹性恢复力和阻尼介质的阻力作用（使振荡作用逐渐趋近于静止）：弹性恢复力：f cx =−。
C 为弹簧的弹性系数，负号表示与物体位移方向相反。
阻力作用：dx R dtμ=−。
其大小与物体的运动速度成正比。
μ为比例系数，负号表示与物体运动方向相反。
则有公式：22d x dx m cx dt dtμ=−−，如果2u n m =，2c k m =。
则上式化成：22220d x dx n k x dt dt++= 此式表示物体自由振动的全微分方程。
如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力sin F H pt =的作用，则有：2222s d x dx n k x h dt dt++=in pt 其中H h m=，这就是强迫振动的微分方程。
二、 引例（2）RLL di E L dt =−，dq i dt=，q=cu, 则回路KVL 方程为：22sin C C C m d u du LC RC u E wt dt dt++= 令2R L β=，01w =这就是串联电路的振荡方程。
如果撤去电源E ，则方程变为：220C C C d u du LC RC u dt dt++= 三、 二阶线性微分方程由上两个引例。
可得到微分方程的一个共有形式： 22()()()d y dy P x Q x y f x dx dx++=f x≡时，方程为齐次的。
此式叫做二阶线性微分方程，当()0f x≠，方程为非齐次的。
当()0。
第二讲：高阶和线性微分方程及其微分方程的应用(13 题)
( 米/秒) 秒
dv k k ⇒ = − dt ⇒lnv = − t + c1 v m m k − t 10 m 10 10 ⇒v = e ⇒ c1 = ln 由 v(0) = 3 3 3 k − 20 5 10 m ⇒ k = ln2 5 又 v(20) = ( 米/秒) ⇒ = e 秒 m 20 3 3 3 ln2 − t 10 20 10 −2ln2 5 ∴ v= e ⇒ v(40) = e = 3 3 6 ln2 − t ds 10 20 , s(0) = 0 积分得 = e (2) 由 dt 3 ln2 175 (米) − t 200 米 20 ) ⇒ s(60) = s(t ) = (1− e 3ln2 3ln2
π
π
y''cos x − 2 y'sin x + 3y cos x = e x
化简 , 并求出原方程的通解 解
d2 y
dy du = secx + usecxtan x dx dx
du d 2u 3 = 2secx tan x + secx 2 + usecx tan2 x + usec x dx dx2 dx
积分得
1 ln( p −1) = ln y + c1 2
由 x = 0 , y =1, p = 2 ⇒c1 = 0 ⇒ p = 1+ y2
1+ y π 令 x = 0 , y =1 ⇒ c2 = , 4
dy ⇒ =1+ y2 dx
⇒
dy
2
= dx
⇒arctan y = x + c2
所以特解: 所以特解 y = tan( x + )
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
高阶线性微分方程
举例: 证明提示: 注: 我们把方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y′′+y=0的通解, [Y(x)+y*(x)]′′+P(x)[Y(x)+y*(x)]′+Q(x)[Y(x)+y*(x)] y*=x2−2是非齐次方程y′′+y=x2的一个特解, 因此 = [Y ′′+P(x)Y′+Q(x)Y]+[y*′′+P(x)y*′+Q(x)y*] y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程. x+C. sin x+x2−2 y=C1cos =0+f(x)=f(x) 2 是非齐次方程y′′+y=x2的通解.
Jlin Institute of Chemical Technology
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定理2(齐次方程的通解的结构) 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的两个线 性无关的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解, 其中C1、C2是任意常数. •推论 如果y1(x), y2(x), ⋅ ⋅ ⋅, yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n−1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +an−1(x)y′+ an(x)y=0 的n个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 y=C1y1(x)+C2y2(x)+ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnyn(x), 其中C1, C2, ⋅ ⋅ ⋅, Cn为任意常数.
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高阶线性微分方程
"丿第51讲高阶线性微分方程一一线性方程解的结构
二阶齐次线性微分方程
y" + p(x)y' + q(x)y = 0
(*)
定理1若函数和y2(x)是二阶齐次线性方程(*)的两个解, 则它们的线
性组合y =。1无3) +。2光3 )也是该方程的解，其中 和C2是任意常
数.--叠加原理
(CM ++ P(Gyi + C2y^ + q(Ciyi + C2y-^
例1 (1)函数1, COs2的sin2%在整个实轴冊上是线性相关的函数.
(2)函数1, x, x2在任何区间QM)都是线性无关的.
＞两个函数在区间/上线性相关与线性无关的充要条件： %3)，，2(乂)线性相关 存在不全为0的k 1, k2,使
313) + *2,2 3)三 0
% 3) 短 ，亠
布三—稣(无妨设* 1葺)
1)+ …+ Qn_i(x)y' + Qn3)y = f(x) 二阶
线性微分方程
y〃 + p(x)y' + q(x)y = f(x)
— 「 、 「一阶线性方程y' + p(x)y = q(x)的通解为：
[p(X)dX -[p(X)dX
/
[p(X)dX y =
Ce， + q(X)e dX
ft
____
齐次方程通解丫 非齐次方程特解y *
=(。1无"+。2,2〃) + 0(Ciyi' +。2、2‘) + q(Cl、l +。2、2)
B=+ py/ + qyi) + py^ + q，2)= o
高阶线性微分方程汇总
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
高阶线性微分方程
线性无(相)关定义:
设 y1= y1(x), y2= y2(x), , yn= yn(x)是一组定义 在区间I上的函数，如果存在n个不全为零的常数 k1 , k2 , , kn , 使得xI, 恒成立
k1 y1 + y2 + + kn yn = 0
则称y1 , y2 , , yn ,是线性相关的. 否则称它们 是线线性无关的.
y C1 cos x C2 sin x
上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性 方程(8)的情形, 此时特征方程为
r n p1rn1 pn1r pn 0 (11) 特征方程(11)的根对应微分方程(8)的解的 情况如下表
表12-1
特征根
对应的线性无关的特解
(1) 单实根 r
也是(9)的解, 且线性无关, 故(9)的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x)
特征根 两个不等的实根r1, r2 两个相等的实根r1=r2=r
方程的通解 y C1er1x C2er2x
y (C1 C2 x)erx
一对共轭复根r1,2= i
y e (C1 cos x C2 sin x) x
( 0)
例7. 求解方程 y''y' 6y = 0 的通解. 解：特征方程是 r2 r 6 = 0 其根r1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为
y = C1e3x + C2e2x.
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
7-6高阶线性微分方程
非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y1 y2 f ( x ) y1 f ( x ) dx y2 dx . w( x ) w( x )
x 1 例 求方程 y y y x 1 的通解. 1 x 1 x x 1 解 1 0, 1 x 1 x
说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
齐次线性方程解的叠加原理 函数的线性相关与线性无关：
定理1 如果函数y1(x)与
个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件
y (0) 1, y(0) 3 的特解 .
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 x y2 y1 e x 2x 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
2
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时， 二阶齐次线性微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶非齐次线性微分方程n阶线微分方程y( n)
P1 ( x ) y
( n1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
二、二阶齐次线性微分方程的解的结构
x y e , 由刘维尔公式 对应齐方一特解为 1
x dx 1 x 1 x y2 e 2 x e dx x , e
对应齐方通解为 Y C1 x C2e x .
设原方程的通解为 y c1 ( x ) x c2 ( x )e x ,
高阶常系数线性微分方程
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
2.已知y1 e , y2 e 是二阶常系数线性齐次 方程
r1 x r2 x
的解，如何求微分方程 ？
特征根为 特征方程:
则齐次方程为 :
3.已知y xe 是二阶常系数线性齐次 方程的解，
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数)
三、二阶常系数齐次线性微分方程
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r pr q ) e
2
rx
0 r 2 pr q 0
§7.4 高阶线性微分方程
一、二阶微分方程：
d2y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
r1 x
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
高数 第三节 高阶微分方程
线性无关. 线性无关 则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2) = eα x cos β x 1 y2 = 2i ( y1 − y2) = eα x sin β x
因此原方程的通解为
y = eα x (C cos β x +C2 sin β x) 1
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2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
(1+ x )p′ = 2xp
2
分离变量
2
积分得 ln p = ln(1+ x ) + ln C , 1 利用 y′
= 3, 得C = 3,于是有 y′ = 3(1+ x2 ) x =0 1
3
两端再积分得 y = x +3x +C2 利用 y
x =0
, =1, 得C2 =1 因此所求特解为
第三节 高阶微分方程
一、 y
(n)
第六章
= f (x) 型的微分方程
二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数线性齐次微分方程
一、1、y(n) = f (x) 型的微分方程 、
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x)dx + C 1
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程高阶线性微分方程是微积分中的重要部分，其解决了许多实际问题中的数学模型。
本文将介绍高阶线性微分方程的定义、解法和应用。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=g(x)\]的微分方程，其中 $y^{(n)}$ 代表 $y$ 的 $n$ 阶导数，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ 均为常数，$g(x)$ 是已知的函数。
二、高阶线性微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法首先考虑齐次线性微分方程\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y = 0\]将其特征方程设为 $a_n r^n + a_{n-1}r^{(n-1)}+...+a_{1}r+a_{0} = 0$，解出特征方程的 $n$ 个根 $r_1, r_2, ..., r_n$。
根据齐次线性微分方程的性质，可以得出其解的形式为 $y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} + ... + C_n e^{r_nx}$，其中 $C_1, C_2, ...,C_n$ 为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法若已知非齐次线性微分方程的一个特解 $y_p(x)$，则非齐次线性微分方程的通解可以表示为 $y(x) = y_p(x) + y_h(x)$，其中 $y_h(x)$ 为齐次线性微分方程的通解。
为了求得非齐次线性微分方程的特解，可以通过常数变易法、待定系数法等方法。
3. 常数变易法当非齐次线性微分方程的右侧函数 $g(x)$ 为常数时，可采用常数变易法。
假设非齐次线性微分方程的特解为 $y_p(x) = A$，将其代入原方程得到 $a_0 A = g(x)$，解得 $A = \frac{g(x)}{a_0}$，进而得到特解$y_p(x) = \frac{g(x)}{a_0}$。
第十四讲(1) 高阶线性微分方程
的通解.
解 :特征方程为 r 2 3r 2 0
常 微 分 方 程
解得
r1 1, r2 2
则所求方程通解为 y C1e x C2e2 x
杨建新
高阶线性微分方程
6 解:
求
2 y y y 2e x
2
的通解 .
常 微 分 方 程
特征方程为 2r r 1 0, 特征根为 1 r1 1, r2 齐次方程的通解: y C1e x C2e x /2 2 f ( x) 2e x , p( x) 2 是零次多项式 ，
x
代入 f "( x) f ( x) 2e
x
x f ( x ) e c 0 得 ,于是
杨建新
高阶线性微分方程
(2)
由于 y f ( x ) f (t )dt e
2 2 0 x2
x
x2
x
0
e dt
t 2
则 y ' 2 xe
常 微 分 方 程
x
0
e dt 1
再由
f '( x) f ( x) 2e x 得 2C1e x C2 1, C2 0. 故
f ( x) e x
杨建新
高阶线性微分方程
3
解方程
y 6 y 9 y 0
解 : 特征方程
r 6r 9 0 解得
2
r1 r2 3
9
已知函数 f ( x) 满足方程 f "( x) f ( x) 2e x ,
f "( x) f '( x) 2 f ( x) 0.
(1)求 f ( x) 的表达式;
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r1, 2 = − 1 ± 2 i
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
例4. 求解方程 y(4)+5y'''+9y''+7y'+2y=0 解：特征方程 r4+5r3+9r2+7r+2=0 可求得 r1= −2, r2=r3=r4=−1 则 y1=e−2x, y2=e−x, y3=xe−x, y4=x2e−x
% 解： (1) 先求y：
特征方程 r2–5r＋6＝0 得 r1=2, r2=3 ~ = C e 2x + C e 3x ∴ y 1 2 (2) 再求y*：
Q f ( x) = 2e 2 x + sin x.
有
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2e 2 x
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = sin x.
∴ y = C 1 e −2 x + e − x (C 2 + C 3 x + C 4 x 2 )
定理 1
当二阶常系数非齐线性方程
y′′ + p y′ + q y = f ( x) ( 2)
它有下列形式的特解： 它有下列形式的特解： 的右端为 f ( x) = eα x Pn ( x) 时，
y* = x k eα x Qn ( x) ，
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特征根
y′′ + p y′ + q y = 0
λ2 + λ p + q = 0 。
通解形式
λ1 ≠ λ2 (实根 ) λ1 = λ2 (实重根 )
y = C1e λ1 x + C2 e λ2 x y = e λ1 x (C1 + C2 x) y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
α = 0, β = 2, α ± iβ = ± 2i
特征方程
故设
解得
r2+4=0,
得r1,2=±2i
y* = x ( A cos 2 x + B sin 2 x )
1 A = 0, B = 4
∴
1 y * = x sin 2 x 4
例7.
求 y ″ + y = e x s i n x 的一个特解.
λ1, 2 = α ± i β (共轭复根 )
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
λ n + p1λ n −1 + L + pn −1λ + pn = 0
特征根
单实根 λ
通解中的对应项 1项 k项 Ce λ x e λ x (C1 + C2 x + L + Ck x k −1 )
k 实重根 λ
一对共轭复根 λ1, 2 = α ± i β 一对共轭 k 重复根 λ1, 2 = α ± i β
其中： 其中： 当 α 不是特征根时，取 k＝0 ； 不是特征根时，
是单特征根时， 当 α 是单特征根时，取 k＝1 ；
是二重特征根时， 当 α 是二重特征根时，取 k＝2 。
注意: α 可以为复数。
例1. 求方程y ′′ − 3 y ′ + 2 y = e 2 x (4 x + 5)的一个特解. 解： α=2，P 1 (x)=4x+5 特征方程： r2－3r＋2＝0 所以设 y*=xe2x(Ax+B) 得 r1=2, r2=1
解： α = 1, β = 1, α ± iβ = 1 ± i 特征方程 r2+1=0, 得r1,2=±i
故设 y* = e x ( A cos x + B sin x)
2 1 解得 A = − , B = 5 5 2 x 1 故 y * = e ( sin x − cos x ) 5 5
例8. 求解方程y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2e 2 x + sin x
∴
r1= –1, r2=3
y = C1e − x + C 2 e 3 x
例2.求解方程 y ' '− 10 y '+ 25 y = 0 解：特征方程 r 2 − 10 r + 25 = 0,
( r − 5) 2 = 0
得 r1=r2=5
∴
y = e 5 x (C1 + C 2 x )
例3.求解方程 y ' '+ 2 y '+ 5 y = 0 解： r 2 + 2 r + 5 = 0 得
2 例2. 求方程 y ′′ + y = 2 x − 3的一个特解。
解： α=0, 特征方程
P 2 (x)=2x 2 －3 r2+1=0, 得 r1,2=±i
所以设 y*=Ax2+Bx+C 代入方程得 Ax2+Bx+(2A+C)=2x2−3 比较得 A=2, 有 A=2, B=0, B=0, 2A+C= −3
C= −7
∴ y* = 2 x 2 − 7
例3. 求方程y″－2y′＋y=ex 的一个特解. 解： α=1, 特征方程 故设 P0(x)=1 r2－2r＋1＝0, r1,2＝1 y*=x2Aex
1 求得 A = , 2
1 2 x ∴ y* = x e 2
( II ) f ( x ) = e α x [Pl ( x ) cos β x + Q n ( x ) sin β x ], 这里 α ， β 是常数， Pl ( x )， Q n ( x ) 分别是 l 次和 n 次多项式。
y*′=2Ax 2 e 2x +2(A+B)xe 2x +Be 2x y*″=4Ax 2 e 2x +4(2A+B)xe 2x +2(A+2B)e 2x
代入方程化简得 2Ax+(2A+B)=4x+5 比较得 2A=4,
∴
∴
2A+B=5
B =1
A = 2,
y* = (2 x 2 + x )e 2 x
此时方程具有如下形式 的特解： Am (x)，Bm (x)是m次待定多项式， = m {l，n}. m ax
其中
0, α ± iβ 不是特征根
y* = xk eαx[ Am (x) cos βx + Bm (x) sin βx]
k＝
1, α ± iβ 是特征根
例6. 求 y ″ + 4 y = c o s 2 x 的一个特解 解：
1 代入方程(2)得 A = B = 10 1 ∴ y2 * = (cos x + sin x) 10 ∴ y* = y1 * + y2 * = −2xe2x + 1 (cosx + sinx) 10 ~ + y* = C e 2 x + C e 3 x − 2 xe 2 x + 1 (cos x + sin x) ∴y = y 1 2 10
(1) (2 2 x y
(1)
r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3
求方程(1)的y1*: 设y1*=Axe2x 代入方程(1)得 A＝–2
∴ y1 * = − 2 xe 2 x
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = sin x.
(2)
r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3 求方程(2)的y2 *: 设 y2 * = A cos x + B sin x
2项
eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
2k 项 eα x [(C1 + C2 x + L + Ck x k −1 ) cos β x
+ ( D1 + D2 x + L + Dk x k −1 ) sin β x]
求解方程y"–2y'–3y=0 例1. 求解方程 解：特征方程 r2–2r –3=0, (r+1)(r –3)=0 得特征根