第六节 二次函数与幂函数PPT课件

1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应
正确的是
()
1
1
A．①y＝x3 ，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
1
D．①y＝x3 ，②y＝x2 ，③y＝x2，④y＝x－1
5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于
直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
解析：由题意知－a＋2 2＝1， a＋b＝2，
得ab＝ ＝－ 6. 4，
则 f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会 经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的 奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点．
[自主解答] ∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂 函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0， ＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞) 上是增函数． ∴m＝－1. [答案] －1
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：
1．幂函数与指数函数有何不同？ 提示：幂函数的底数是自变量，指数为常数；指数函数的 指数是自变量，底数是常数．
二、幂函数的图象和性质 1．幂函数的图象
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质
函数 特征 性质
y＝x
y＝x3
y＝x2
y＝x
1 2
y＝x－1
图象
定义域 R
R
R {x|x≥0} {x|x≠0}
x∈－∞， －2ba 时递
减，x∈ －2ba，＋∞ 时递增
x∈ －∞，－2ba 时递 增，x∈ －2ba，＋∞ 时递减
[小题能否全取]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2
D．f(x)＝x2
解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．
函数 特征 y＝x 性质
y＝x2
y＝ x3
y＝x
1 2
y＝x－1
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 单调性 公共点
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
增
(－∞，0]减 (0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
(1,1)
二、二次函数
1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
4.运用二次函数、一元二次方 2.对二次函数的考查侧重于求
程及一元二次不等式之间的 解析式，求二次函数在闭区
联系去解决有关问题．
间上的最值等，各种题型都
5.掌握数形结合及等价转化的 可能出现，一般涉及到分类
思想.
讨论思想的运用.
一、幂函数的定义
形如 y＝xα 的函数叫做幂函数，其中
x
是自变量，
α
是常数．
考纲要求
考情分析
1.了解幂函数的概念．
1.对幂函数的考查常以基础知
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝ 识为主，考查定义、图象、
x了3，解y它＝们1x的，变y化＝情x12况的．图象，
性质，有时与函数的基本性 质、二次函数、方程、不等
3.理解并掌握一次函数与二次 式结合，多以选择题、填空
函数的定义、图象及性质． 题形式出现，属容易题．
解析：由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义
域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选 答案：B B.
(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )
A．2a>12a>(0.2)a C.12a>(0.2)a>2a
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3．二次函数的图象和性质
[动漫演示更形象，见配套课件]
a>0
a<0
图象
图象 特点
①对称轴：x＝－2ba；
②顶点：－2ba，4ac4－a b2
定义域
a>0
a<0
x∈R
值域
y∈4ac4－a b2， ＋∞ y∈－∞，4ac4－a b2
性 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
质
单调性
答案：D
2．(教材习题改编)设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 ( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
1
解析：在函数 y＝x－1，y＝x，y＝x 2 ，y＝x3 中，只有
函数 y＝x 和 y＝x3 的定义域是 R，且是奇函数，故 α
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0. [注意] 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0 两种情况．
[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0， ＋∞)上是增函数，则m＝________.
＝1,3.
答案：A
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴
上方，则a的取值范围是
()
A.0，210
B.－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0
得
1 a>20.
答案：C
源自文库
4．(教材习题改编)已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图象上， 则 f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，则 3＝ 33α，得 α ＝－2.故 y＝x－2. 答案：y＝x－2
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选 择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键．