第六节 二次函数与幂函数PPT课件
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
二次函数与幂函数_PPT课件
增增
时，减x∈(－
经 典
∈(－∞，0]
考
∞，0)时，减
题
时，减
课 时
规
定点
(0,0)，(1,1)
范
(1,1)
训
练
【基础自测】
基
础
知
1．已知点
33，3
3 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是
识 梳 理
聚
焦
()
考 向
透
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x－3
析
感
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝x－12
焦 考
向
(1)求f(x)解析式；
透 析
感
(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．
悟 经
典
【审题视点】 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值
考 题
课
求出系数a即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g(x)解析
时 规
范
式．
训 练
【解】 (1)由于f(x)有两个零点0和－2，
基
础
知
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
识 梳
理
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
聚
焦
考
由于f(x)有最小值－1，
向 透
析
所以必有－a＞a＝0 －1 ，
感 悟 经 典
考
题
解得a＝1.
课
时
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
规 范
训
练
基
础
知
(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点
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二、双基自测
2. 下列函数是幂函数的序号是__④__⑤___．
① y 2x ； ② y 2x1 ； ③ y x 22 ；
④ y 3 x2； ⑤ y 1 .
x
2
解：y 3 x2 x 3 ， y
1
1
x 2 故 ④⑤为幂函数.
x
二、双基自测
图象关于 y 轴对称.
3. 函数 f (x) (m 1)x2 2mx 3为偶函数，则 f (x) 在区间 5,3 上( D ).
解法三（用“零点式”解题） 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8， 即4a(－2a4－a 1)－a2＝8.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法， 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数 解析式的形式
(A) 先减后增 (B)先增后减 (C)单调递减 (D) 单调递增
解: ∵ f (x) (m 1)x2 2mx 3为偶函数， ∴ 2m 0 ，∴m 0 .
则 f (x) x2 3 在 5,3 上是增函数.
二、双基自测
4. 函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间 ,3上是减函数，则
∴n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法， 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数 解析式的形式
∵f(2)＝－1， ∴a2－122＋8＝－1，
解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8
＝－4x2＋4x＋7.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
幂函数_PPT
Δ＝k2－8m>0， ∵f(0)＝2，故需满足0<2km<1，
m>0， f1>0
k2>8m m>0， ⇒0m<－k<k2＋m2，>0，
将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，
因为 m，k 均为整数，结合可行域可知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最
小值为 13.
答案：D
幂函数
幂函数与性质
+ 二、二次函数的表示形式 + 1．一般式：y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ． + 2．顶点式：y＝ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中 (h，k) 为抛物线的顶
点坐标． + 3．零点式：y＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1、x2是抛物线与x轴交
[答案] －21
+ 2．(2013年济南质检)如图是一个二次函数y＝f(x)的图象． + (1)写出这个二次函数的零点； + (2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．
+ 解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1. + (2)可设两点式f(x)＝a(x＋3)(x－1)，又图象过(－1,4)点，代入得a＝
+ (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3， －1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3， －1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
+ ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
+ 在本例(1)的条件下，若存在x∈[－3，－1]使f(x)>x＋k在[－3，－1] 上成立，试求k的取值范围．
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0, ,0 0,
0,
非奇非 偶函数
增函数
,0 0,
奇函数
在 , 0和
0, 上递减
定点
0, 0 , 1,1
1,1
2.二次函数
（1）二次函数的解析式
ax2 bx c
h, k
（2）二次函数的图象与性质
函数
y ax2 bx c (a 0)
图象
y ax2 bx c (a 0)
例1（2）已知
2,1,
1 2
,
1 2
,1,2,3.
若幂函数
f (x) x为奇函数，
且在 (0,) 上递减，则 =____1____.
解:（2）由题意知 α 可取－1，1，3. 又 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取 α＝－1.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
分析： f (x) x2 2ax 1 a
当 a≥1 时 ymax a
当0 a 1时 ymax a2 a 1
当a ≤0 时 ymax 1 a
根据已知条件得
a≥1 a 2
或
0 a 1 a2 a 1 2
或
a≤0 1 a 2
解之得 a 2 或 a 1
五、总结提升
1.与二次函数单调性有关的问题. 2.求二次函数最值的类型及解法. 3.不等式恒成立问题的解法.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数 f (x)满足 f (2) 1, f (1) 1 ，且 f (x) 的最大值是8， 试确定该二次函数的解析式.
二次函数与幂函数
4 已知函数 f( x) =ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 则 a 的取值范围 是
.
������ -������������
5 幂函数 y=������������
( m∈Z) 的图象如图所示, 则 m 的值为
.
4【 . 解析】 因为 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 所以 Δ=1-20a<0 且 a>0, 解得 a>������������. 【答案】
������ , ������������ ������
+∞
������ -������������
5.【解析】∵y=������������ 即 0<m<4.
(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点, ∴m2-4m<0,
又∵该函数的图象关于 y 轴对称, 且 m∈Z, ∴m2-4m 为偶数, ∴m=2. 【答案】2
1 2
2 3
,b=
1 5
2 3
,c=
1 2
1 3
,则 a,b,c 的大小关系
) B. c<a<b D. b<a<c
(2)因为 y=������ (x>0)是增函数,所以 a= a=
1 2 1 2
2 3 2 3
2 3
> <
1 5 1 2
2 3 1 3
=b.因图像
{x|x≥0} {y|y≥0}
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇
函数 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上 单调递减
奇
函数 在R上
{y|y≥0} 偶
函数 在 (-∞,0) 上 单调递减,
幂函数与二次函数_课件
(6)y＝ x 2 定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数，在(0， ＋∞)上为减函数，对应图(B)．
综上：(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)， (6)↔(B)．
【规律方法】
对于幂函数的图象和性质，考纲只要求了解y＝x，y＝
1
x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 2 的图象和性质，其实我们只要知道
(2)若f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，解得m＝－1. 所以当m＝－1时，f(x)为反比例函数． (3)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1. ∴m＝－1± 2， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m2＋m－1＞0， 即m＞ 52－1或m＜－ 25－1， 所以m＝－1－ 2.
幂函数与二次函数
1.了解幂函数的概念．
考
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
x
1 2
的图
纲 象，了解它们的变化情况．
解 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 读 4.会求二次函数在闭区间上的最值．
5.能用二次函数、一.
主干知识整合
1．一般式： f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ．
2．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n ，顶点为(m，n) ．
3．两根式： f(x)＝a(x－x1)(x－x2) ＝0的两根．
，x1、x2为方程f(x)
五、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
幂函数在第一象限图象的情况，然后根据函数的奇偶性，幂
函数的图象和性质就迎刃而解了．
【变式训练】
1．幂函数y＝xα，当α取不同的正数
第1章 第6节 二次函数与幂函数
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·BSD（理）
命题点2
二次函数在闭区间上的最值问题
[例3] (1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最 大值2，则a的值为________；
解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， 则1－a＝2，即a＝－1. 当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
关，当x＝－
b 2a
不在自变量的取值区间内时，则最值就不能在顶
点处取到最值．
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
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四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x13是幂函数．( × )
(2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( √ )
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二次函数解析式的求法
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
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考点三 二次函数的图像与性质[多维贯通]
命题点1
二次函数图像的识别
[例2] (2018·深圳二模)如图是二次函数y＝
ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，
α＝( C ) ⇐ 源自必修1 P49定义
二次函数与幂函数课件
其定义域[a－1，2a]关于原
点对称
a－1＝－2a, a＝13，
f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数
f(－x)＝f(x),所以 b＝0，
所以 f(x)＝13x2＋1，x∈－23，23，其值域为1，3217．
返回
[知识梳理]
1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R )的函 数称为幂函数，其中底数x是自 变量，α为常数．
____(1_，__1_)____
返回
幂函数的性质
返回
3．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
4．二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
(2)“ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒 成 立 ” 的 充 要 条 件 是 “a<0 ， 且 Δ<0”．
返回
5．已知 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且其定义域为[a－1，
2a]，则 y＝f(x)的值域为________．1，3217
f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数
返回
考向(四) 二次函数中的恒成立问题
[例 5] 已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，
不 等 式 f(x)>2x ＋ m 恒 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
________．
[答案] (－∞，－1)
返回
[解题技法] 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方 法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成 立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)(8)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析：由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1， 所以必有⎩⎨⎧a ＞0，－a ＝－1.解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)， ∴拋物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a 2)21(-x ＋8.∵f (2)＝－1，∴a 2)212(-＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－42)21(-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 解析：设y ＝a (x －2)2－1，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，∴y ＝12(x －2)2－1. 答案：y ＝12(x －2)2－12．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数， ∴ab ＋2a ＝0(a ≠0)，∴b ＝－2，当x ＝0时，2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋3－a 2，关于x ＝－a 对称， ∵x ∈[－4,6]．①当－a ≤－4，即a ≥4时，f (x )在[－4,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－4)＝16－8a ＋3＝19－8a②当－4＜－a ≤6，即－6≤a ＜4时，只有当x ＝－a 时，f (x )min ＝3－a 2， ③当－a ＞6时，即a ＜－6时，f (x )在[－4,6]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (6)＝36＋12a ＋3＝39＋12a . 综上，当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f (x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围． 解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎨⎧f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立，即2a ＞－)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－)3(xx +，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号．∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝.答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．3 解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·xm 2＋m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m 2＋m －3＞0，∴m ＝2. 答案：B(3)已知f (x )＝21x ，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f )1(a ＜f )1(bB ．f )1(a ＜f )1(b＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(aD ．f )1(a ＜f (a )＜f )1(b＜f (b )解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜b ＜1b ＜1a ，又f (x )＝21x 为增函数， ∴f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(a.答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a ＞b ＞c ＞d .故选B. 2．若3131)23()1(---<+a a ，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.答案：(－∞，－1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决． [典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在]1,0[a上递减，在]1,1[a上递增． ∴f (x )min ＝f )1(a＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a >0和a <0.第三层：对称轴x ＝1a 与区间[0,1]的位置关系，左、内、右． (2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知342=a ，323=b ，3125=c 则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b解析：选A.，323442==a ，3231525==c 而函数32x y =在(0，＋∞)上单调递增，所以323232543<<，即b ＜a ＜c ，故选A.2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解析：选C.由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c ，故选C.3．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C.A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝x e )1(是非奇非偶函数，B 不正确；C中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C.4．(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x ＜1，e x －1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．答案：(－∞，8]5．(2015·高考天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由已知条件得b ＝8a ，令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，则f (a )＝log 2a ·log 216a ＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2＋4， 当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值． 答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C.设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图象得：a ＜0，b ＜0，c ＞0.选C.2．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析：选A.设f (x )＝x a, 又f (4)＝3f (2)，∴4a ＝3×2a ，解得a ＝log 23，∴)21(f ＝3log 2)21(3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b 2a ＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．－2＜a ＜2C ．a ＞2或a ＜－2D ．1＜a ＜3解析：选C.∵f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，∴Δ＝a 2－4＞0，则a ＞2或a ＜－2.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14. 答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎨⎧a ＞0，ac －4＝0. 答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为),8[+∞m ，所以m 8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝2)22(--k x ＋1－(k －2)24. 由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c .若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( )A ．f (p ＋1)＞0B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)＞0，f (p )＜0，∴－1＜p ＜0，p ＋1＞0，∴f (p ＋1)＞0.3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b 2a＝－1，∴2a －b ＝0. 当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0.∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b .4．已知幂函数f (x )＝21-x ，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝21-x ＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎨⎧ a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5) 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。
幂函数与二次函数 PPT
2，则有：
y1 y2
1 2a
log 1 2
2
3 a2 0,
43解a 2得 0,
4
2 3
a
2,
a
23 3
,
即 2 <3 a≤2,所以实数a的取值范围是(
3
答案：( 2 ，3 2]
3
，2 23 ].
3
2.(2014·成都模拟)函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数, 则a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,3]
D.[3,+∞)
【解析】选B.当0≤x≤2时,函数t=g(x)=6-ax单调递减,所以要
使函数f(x)为减函数,所以函数y=logat为增函数,所以有a>1且 g(2)=6-2a>0,即1<a<3,所以a的取值范围是(1,3).
3.(2014·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若
记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c
=x2+(2b+1)x-b-1,
g3 5 7b＞0,
则
g2 1 5b＜0, g0 1 b＜0,
1＜b＜5 57
,
g1 b 1＞0
即b的取值范围为 ( 1 ， 5 ) .
57
【通关锦囊】
【加固训练】
1.(2014·广州模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5在(-∞,2]上是减
幂函数与二次函数
(2)根据题意，作出函数y=f(x)+ 3 a 2
4
的图象，
《二次函数》PPT优秀课件
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
定
二
次
函
数
义
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，
还有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
例2 y m 3 x
m2 7
.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m 2 7 1,
.
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(C
A . m,n是常数,且m≠0
B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C
y
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．y
)
2
x
1
1
2
x
)
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
的二次式表示的.
定义
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫
做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项
系数、一次项系数和常数项.
2.6二次函数与幂函数
解析：C [令 f(x)＝xα，则 4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.]
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
A．b<a<c C．b<c<a
B．a<b<c D．c<a<b
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
3．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
[命题角度 4] 二次函数中恒成立问题
4．设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足 1＜x＜4 的一切 x 值都有
f(x)＞0，则实数 a 的取值范围为 ________ . 解析：由 f(x)＞0，即 ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得 a＞－x22＋2x在
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
[小题查验] 1．(2019·济南市诊断)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，
则 k＋α＝( )
1 A.2
B．1
3 C.2
D．2
解析：C [由幂函数的定义知 k＝1.又 f12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.]
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
4．二次函数的图象与 x 轴只有一个公共点，对称轴为 x＝3，与 y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为 __________ .
答案：y＝13x2－2x＋3
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
5．若幂函数 y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2 的图象不经过原点，则 实数 m 的值为 ________ .
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考情分析
1.了解幂函数的概念．
1.对幂函数的考查常以基础知
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝ 识为主，考查定义、图象、
x了3，解y它＝们1x的，变y化＝情x12况的．图象，
性质，有时与函数的基本性 质、二次函数、方程、不等
3.理解并掌握一次函数与二次 式结合，多以选择题、填空
函数的定义、图象及性质． 题形式出现，属容易题．
x∈－∞， －2ba 时递
减，x∈ －2ba，＋∞ 时递增
x∈ －∞，－2ba 时递 增，x∈ －2ba，＋∞ 时递减
[小题能否全取]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2
D．f(x)＝x2
解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．
5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于
直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
解析：由题意知－a＋2 2＝1， a＋b＝2，
得ab＝ ＝－ 6. 4，
则 f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会 经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的 奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点．
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0. [注意] 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0 两种情况．
[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0， ＋∞)上是增函数，则m＝________.
解析：由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义
域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选 答案：B B.
(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )
A．2a>12a>(0.2)a C.12a>(0.2)a>2a
＝1,3.
答案：A
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴
上方，则a的取值范围是
()
A.0，210
B.－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0
得
1 a>20.
答案：C
4．(教材习题改编)已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图象上， 则 f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，则 3＝ 33α，得 α ＝－2.故 y＝x－2. 答案：y＝x－2
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选 择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键．
1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应
正确的是
()
1
1
A．①y＝x3 ，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2 ，④y＝x－1
1
1
D．①y＝x3 ，②y＝x2 ，③y＝x2，④y＝x－1
函数 特征 y＝x 性质
y＝x2
y＝ x3
y＝x
1 2
y＝x－1
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 单调性 公共点
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
增
(－∞，0]减 (0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
(1,1)
二、二次函数
1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
答案：D
2．(教材习题改编)设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 ( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
1
解析：在函数 y＝x－1，y＝x，y＝x 2 ，y＝x3 中，只有
函数 y＝x 和 y＝x3 的定义域是 R，且是奇函数，故 α
[自主解答] ∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂 函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0， ＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞) 上是增函数． ∴m＝－1. [答案] －1
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：
1．幂函数与指数函数有何不同？ 提示：幂函数的底数是自变量，指数为常数；指数函数的 指数是自变量，底数是常数．
二、幂函数的图象和性质 1．幂函数的图象
[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质
函数 特征 性质
y＝x
y＝x3
y＝x2
y＝x
1 2
y＝x－1
图象
定义域 R
R
R {x|x≥0} {x|x≠0}
4.运用二次函数、一元二次方 2.对二次函数的考查侧重于求
程及一元二次不等式之间的 解析式，求二次函数在闭区
联系去解决有关问题．
间上的最值等，各种题型都
5.掌握数形结合及等价转化的 可能出现，一般涉及到分类
思想.
讨论思想的运用.
一、幂函数的定义
形如 y＝xα 的函数叫做幂函数，其中
x
是自变量，
α
是常数．
超链接
3．二次函数的图象和性质
[动漫演示更形象，见配套课件]
a>0
a<0
图象
图象 特点
①对称轴：x＝－2ba；
②顶点：－2ba，4ac4－a b2
定义域
a>0
a<0
x∈R
值域
y∈4ac4－a b2， ＋∞ y∈－∞，4ac4－a b2
性 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
质
单调性