hopfield神经网络模型
第五章霍普菲尔德(Hopfield)神经网络
（2）极限环
（3）混沌现象
（4）状态轨迹发散
离散型 Hopfield神经网络
• 1982年,美国加州工学院J.Hopfield提出了可用作联想存储 器和优化计算的反馈网络,这个网络称为Hopfield神经网络 (HNN)模型,也称Hopfield模型.并用它成功地探讨了旅行商 问题(TSP)的求解方法。
HNN是一种循环NN,从输 出到输入有反馈连接. HNN有离散型和连续型 两种.
• 反馈NN由于其输出端有反馈到其输入端,所以,HNN在 输入的激励下,会产生不断的状态变化.
– 当有输入之后,可以求取出HNN的输出,这个输出反馈到 输入从而产生新的输出,这个反馈过程一直进行下去. – 如果HNN是一个能稳定的网络,则这个反馈与迭代的计算 过程所产生的变化越来越小,一旦到达了稳定平衡状态, 那么HNN就会输出一个稳定的恒值. – 对于HNN来说,关键是在于确定它在稳定条件下的权系数. – 应该指出,反馈网络有稳定的,也有不稳定的. • 对于HNN来说,还存在如何判别它是稳定网络,亦或是 不稳定的问题.而判别依据是什么,也是需要确定的.
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可 能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点： （1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态 更新时刻．不需要同步机制； （2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输 出状态，避免不同稳态以等概率出现。 一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转 移序列就确定了。
hopfield神经网络及其应用教学课件
求解人员在旅行时路径最短方案的问题。
3 最短路问题
求解网格地图上从起点到目标的最短路径问题。
Hopfield神经网络在金融风险评估中的应用
应用场景
可用于预测市场波动、分析股票的波动风险、风险 指数的评估等。
数据处理
通过分析历史数据并训练神经网络模型进行预测， 可帮助投资者更好地控制风险。
优点
能够实现自我组织、自我修复和自我学习的功能，具有很强的容错能力。
2
缺点
存在模型建立时间长、计算复杂度高等问题，在大规模网络中应用受到限制。
3
发展趋势
将向更多交叉领域发展，如神经系统科学、人工智能等，同时将致力于提高网络计算效 率和准确度。
Hopfield神经网络及其应用实例介绍
电子显微镜图像处理
Hopfield神经网络在模式恢复与记忆中的应 用
图像恢复
绘画
能够自动去除损伤、扭曲等现象， 对于图像降噪也有一定效果。
将草图转化为具有更多细节和色 彩的绘画作品。
音乐恢复
将不同曲调的曲谱恢复成原音。
Hopfield神经网络在优化问题求解中的 应用
1 逆向工程
能够自动优化物理结构的技术，可应用于电路设计、芯片布局等领域。
Hopfield神经网络在交通流预测中的应 用
应用场景
能够应用于道路交通流预测、车流控制、智能交通系统等实践应用领域。
模型构建
通过分析交通流数据并构建合理的神经网络模型，可以精确预测交通流量及拥堵情况。
优势
较传统交通流预测算法更高效且具有更高的精确度。
Hopfield神经网络的优缺点与发展趋势
1
通过神经网络对显微镜图像进行 优化处理，提高图像清晰度和对 比度。
Hopfield神经网络模型与学习算法
2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实 现
MATLAB中与Hopfield网络有关的重要函数和功能
satlins( ) 功能 对称饱和线性传递函数 格式 A = satlins(N) A输出向量矩阵； N是由网络的输入向量组成的 S*Q矩阵，返回的矩阵 A与N的维数大小一致，A 的元素取值位于区间[0，1]内。当N中的元素介 于-1和1之间时，其输出等于输入；当输入值小 于-1时返回-1；当输入值大于1时返回1。
N N u dv d E d E dvi wij v j i I i i dt dvi dt Rj dt i 1 j 1
将下式代入得：
N dui u Ci wij v j I i i dt Ri j 1 N dE du dv Ci ( i ) i dt dt dt i 1
•在任一时刻，部分神经元或全部神经元的状 态同时改变。
2015/8/11
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
串行(异步)工作方式运行步骤 第一步 对网络进行初始化； 第二步 从网络中随机选取一个神经元； 第三步 按式(2-5)求出该神经元i的输出； 第四步 按式 (2-6) 求出该神经元经激活函数 处理后的输出，此时网络中的其他神经元的输 出保持不变； 第五步 判断网络是否达到稳定状态，若达 到稳定状态或满足给定条件则结束；否则转到 第二步继续运行。
2015/8/11
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2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实 现 例2-8 设印刷体数字由10 10点阵构成，就
是将数字分成很多小方块，每个方块就对应数 字的一部分，构成数字本部分的方块用 1 表示， 空白处用-1表示。试设计一个Hopfield网络， 能够正确识别印刷体的数字。
HopfieldNetwork霍普菲尔德网络入门
HopfieldNetwork霍普菲尔德⽹络⼊门简介Hopfield Network (霍普菲尔德⽹络)，是 Hopfield 在1982年提出的⼀种基于能量的模型，发表的⽂章是 Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities。
基本结构如下图所⽰：⾸先我们来看Hopfield Network的⼀句话定义：Hopfield Network is a model that can reconstruct data after being fed with corrupt versions of the same data.也就是说利⽤Hopfield Network的过程是：some data→Hopfield Network→full data可以看到Hopfield Network的⼏个基本特点：只有单层神经元节点之间是全连接的只有输⼊，没有输出主要功能是：联想记忆 associatIve memory，例如重新构建图形。
假设我们在⽹络中存储了右侧的三张图⽚，如果我们只输⼊⼀部分图⽚，例如左侧的六张图⽚，⽹络可以从记忆中取出完整的图像。
Energy Function能量函数：Energy Function，可以看作⼀种代价函数。
这个概念最先在热⼒学中被提出，⽤来描述系统的能量值。
当能量函数求得的能量值达到最⼩值的时候，整个热⼒学系统达到稳定状态。
在深度学习之中，引⼊这个概念也是为了使模型达到稳定的状态。
Energy Based Models利⽤了能量函数的模型被称为Energy Based Models，EBM。
Energy Function for Images对于有d个像素的⿊⽩图像，假设每⼀个图像都有参数x={x j}1≤j≤d，那么我们可以建⽴如下形式的能量函数：如果我们有p个图像，我们就能得到基于E(x)的p个极⼩值。
《hopfield神经网络》课件
神经网络的学习算法
1
Hebbian学习规则
根据同时激活的神经元之间的相关性来更新连接权重。
2
Delta规则
使用反向传播算法根据误差信号来调整连接权重，以逼近期望输出。
3
学习的稳定性
神经网络的学习算法可以保证网络的稳定性和收敛性。
神经网络的应用领域
1 模式识别
2 优化问题
通过学习和存储模式来实现模式识别和分类， 例如图像识别和语音识别。
《hopfield神经网络》PPT 课件
介绍《hopfield神经网络》的PPT课件，包含神经网络的基本概念与应用，学 习算法以及与其他神经网络的比较，展望神经网络未来的发展趋势。
Hopfield神经网络概述
Hopfield神经网络是一种用于模式识别和优化问题的反馈神经网络，基于神 经元之间的相互连接和信号传递。
Kohonen网络
Kohonen神经网络适用于聚类和自组织特征映射， 常用于无监督学习和可视化。
神经网络中的记忆与自组织
记忆
Hopfield神经网络可以学习和存储输入模式，并能够通过模式关联实现模式识别和记忆恢复。
自组织
神经网络中的神经元可以自动组织为有效的连接结构，以适应不同问题的处理和学习需求。
神经网络的基本形式
结构
Hopfield神经网络由神经元和它们之间的连接组成， 形成一个全连接的反馈网络结构。
激活函数
神经元通过激活函数将输入信号转换为输出信号， 常用的激活函数包括Sigmoid函数和ReLU函数。
反向传播算法
Hopfield神经网络使用反向传播算法来量函数
能量函数是Hopfield神经网络的核心概念，它通过计算网络状态的能量来衡 量模式之间的关联性和稳定性。
连续型Hopfield神经网络
CHENLI
3
CHENLI
4
CHENLI
5
神经元具有以下特点： ➢ 神经元是一多输入、单输出元件。 ➢ 它具有非线性的输入、输出特性。
➢ 它具有可塑性，其塑性变化的部分主要是权值 的变化，这相当于生物神经元的突触部分的变 化。
➢ 神经元的输出响应是各个输入值的综合作用的 结果。
➢ 输入分为兴奋型（正值）和抑制型（负值）两 种。
1) 递归网络 此类网络中，多个神经元互连组织成一个互连神经网络。 有些神经网络输出被反馈至同层或前层神经元。因此， 信号能从正向和反向流通。Hopfield 网络、Elmman 网 络和Jordan 网络是递归网络中具有代表性的例子。递 归网络又叫反馈网络。
CHENLI
8
图a 单层反馈型网络
CHENLI
CHENLI
6
国际著名的神经网络研究专家， 第一家 神经计算机公司的创立者与领导人HechtNielsen 给人工神经网络下的定义就是： “人工神经网络是由人工建立的、以有向 图为拓扑结构的动态系统，它通过对连续 或断续的输入作状态响应而进行信息处 理。”
CHENLI
7
人工神经网络的结构分类
人工神经网络的结构基本上分为两类，即递归 网络和前馈网络。
9
2) 前馈网络
前馈网络具有递阶分层结构，由一些同层神经 元不存在互连的层级组成。从输入层至输出层 的信号通过单向连接流通；神经元从一层连接 至下一层，不存在同层神经元间的连接，前馈 网络的例子有多层感知器(MLP)，学习矢量化 (LVQ)网络、小脑膜型连接控制(CMCA)网络和数 据处理(GMDH)网络等。
CHENLI
17
Hopfield网络分为离散型和连续型两种， 都是对称互连网络（Wij=Wji）,根据节点状 态的取值来划分是离散型的还是连续型。 离散网络节点取{-1，+1}或{0，+1}，连 续网络节点状态在某个随机区间内连续取 值。
人工神经网络-连续型Hopfield神经网络
两点说明：
1）能量函数为反馈网络的重要概念。 根据能量函数可以方便的判断系统的稳定 性； 2）Hopfield选择的能量函数，只是保 证系统稳定和渐进稳定的充分条件，而不 是必要条件，其能量函数也不是唯一的。
* CHNN的几点结论
1）具有良好的收敛性； 2）具有有限个平衡点； 3）如果平衡点是稳定的，那么它也一定是渐进稳 定的； 4）渐进稳定平衡点为其能量函数的局部极小点； 5）能将任意一组希望存储的正交化矢量综合为网 络的渐进平衡点； 6）网络的存储信息表现为神经元之间互连的分布 式动态存储； 7）网络以大规模、非线性、连续时间并行方式处 理信息，其计算时间就是网络趋于平衡点的时间。
E 1 WijVj I i Ui Vi Ri j
由连续Hopfield运行方程可得
dVi d E dU i dU i C i C i C i f 1 i V dt dV Vi dt dVi i
将上式代入原式可得：
dV i dE C i dt dt j 1 f i V
WijViVj
i 1 j 1
n
n
ViIi
i 1
n
R i i
1
n
1
Vi
0
f 1 dV V
求取 其中：
dE
dt
dE dt
i
E dV i Vi dt
E 1 Vi 2
1 WijVj 2 j
W jiVj j
Ii
1
Ri
Ui
• 由于Wij=Wji 则有：
提 出
其原理与离散型Hopfield神经网络相似，它以模拟 量作为网络的输入输出量，各神经元采用并行方式工作
霍普菲尔德(Hopfield)神经网络概述
Hopfield网络的提出
1982年，美国加州理工学院物理学家 J .J.Hopfield教授提出一种单层反馈神经网 络，后来人们将这种反馈网络称为Hopfield 网络。 1985年，J.J.Hopfield和D.W.Tank用模拟电 子线路实现了Hopfield网络，并用它成功地 求解了旅行商问题(TSP)的求解方法。
Hopfield网络的特点
单层反馈式网络
x1 o1 W x2 o2 … … xn
on
Hopfield网络的特点
灌输式学习方式 灌输式学习中网络权值不是通过训练逐渐 形成的，而是通过某种设计方法得到的。 权值一旦设计好就一次灌输给网络，不再 变动， 这种学习是死记硬背式的，而不是训练式 的。
Hopfield网络的特点
权值一旦设计好就一次灌输给网络不再变动考虑了输入与输出的延迟因素hopfield网络的分类离散型hopfield神经网络dhnn连续型hopfield神经网络chnnnetnetnetnet组合优化tsp问题组合优化问题就是在给定约束条件下求出使目标函数极小或极大的变量组合问题
霍普菲尔德（Βιβλιοθήκη opfield Hopfield） Hopfield 神经网络概述
旅行商问题(TSP)
旅行商问题（Traveling Saleman Problem， TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题， 简称为TSP问题，是最基本的路线问题。
是指一名推销员要拜访多个地点时，如何 找到在拜访每个地 TSP问题点一次后再回 到起点的最短路径。
旅行商问题(TSP)
旅行商问题(TSP)
Hopfield网络的应用
分类、模式识别
联想记忆
各神经元的状态在运行中不断更新
神经网络-- Hopfield网络
Hopfield 神经网络前馈（前向）网络和反馈网络是当前人工神经网络研究中最基本的两种网络模型。
1982年到1986年，美国物理学家Hopfield 陆续发表文章报导了对反馈神经网络理论与应用的研究成果，引起了人们广泛的兴趣，并且将这种单层反馈网络称为Hopfield 网络。
在单层全反馈网络中（基本Hopfield 网络中），节点之间相互连接，每个节点接收来自其它节点的输入，同时又输出给其它节点，每个神经元没有到自身的连接。
由于引入反馈，所以它是一个非线性动力学系统。
其结构如下所示：n1n32y y（a ） （b ）图1 Hopfield 网络基本结构前馈网络大多表达的是输出与输入间的映射关系，一般不考虑输出与输入间在时间上的滞后效应；反馈网络需要考虑输出与输入间在时间上的延时，需要利用动态方程（差分方程或微分方程）描述神经元和系统的数学模型。
前馈网络的学习（训练）主要采用误差修正法，计算时间较长，收敛速度较慢；反馈网络（如Hopfield 网络）的学习主要采用Hebb 规则，收敛速度较快。
Hopfield 网络在应用上除可作为联想记忆与分类外，还可用于优化计算。
可以认为，Hopfield 网络的联想记忆和优化计算这两种功能是对偶的：当用于联想记忆时，通过样本模式的输入给定网络的稳定状态，经学习求得联接权值W ；当用于优化计算时，以目标函数和约束条件建立系统的能量函数来确定联接权值，当网络演变至稳定状态时即可得出优化计算问题的解。
Hopfield 网络神经元模型可以是离散变量，也可以连续取值。
一．离散Hopfield 网络 1．网络结构及性能描述：离散Hopfield 网络模型如图1所示。
设共有N 个神经元，ij 表示从神经元j 到神经元i 的联接权，j s 表示神经元j 的状态（取＋1或－1），j v 表示神经元j 的净输入，有：⎪⎩⎪⎨⎧=+-⋅=∑=)](sgn[)1()()(1t v t s t s t v j j jNi i ji j θω，即：⎩⎨⎧<->+=+0)(,10)(,1)1(t v t v t s j j j （1） 或：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=+0)(,10)(),(0)(,1)1(t v t v t s t v t s j j j j j当0)(=t v j 时可认为神经元的状态保持不变。
Hopfield神经网络综述
Hopfield神经⽹络综述题⽬： Hopfield神经⽹络综述⼀、概述：1.什么是⼈⼯神经⽹络（Artificial Neural Network，ANN)⼈⼯神经⽹络是⼀个并⾏和分布式的信息处理⽹络结构，该⽹络结构⼀般由许多个神经元组成，每个神经元有⼀个单⼀的输出，它可以连接到很多其他的神经元，其输⼊有多个连接通路，每个连接通路对应⼀个连接权系数。
⼈⼯神经⽹络系统是以⼯程技术⼿段来模拟⼈脑神经元（包括细胞体，树突，轴突）⽹络的结构与特征的系统。
利⽤⼈⼯神经元可以构成各种不同拓扑结构的神经⽹络，它是⽣物神经⽹络的⼀种模拟和近似。
主要从两个⽅⾯进⾏模拟：⼀是结构和实现机理；⼆是从功能上加以模拟。
根据神经⽹络的主要连接型式⽽⾔，⽬前已有数⼗种不同的神经⽹络模型，其中前馈型⽹络和反馈型⽹络是两种典型的结构模型。
1）反馈神经⽹络(Recurrent Network)反馈神经⽹络，⼜称⾃联想记忆⽹络，其⽬的是为了设计⼀个⽹络，储存⼀组平衡点，使得当给⽹络⼀组初始值时，⽹络通过⾃⾏运⾏⽽最终收敛到这个设计的平衡点上。
反馈神经⽹络是⼀种将输出经过⼀步时移再接⼊到输⼊层的神经⽹络系统。
反馈⽹络能够表现出⾮线性动⼒学系统的动态特性。
它所具有的主要特性为以下两点：（1）.⽹络系统具有若⼲个稳定状态。
当⽹络从某⼀初始状态开始运动，⽹络系统总可以收敛到某⼀个稳定的平衡状态；（2）.系统稳定的平衡状态可以通过设计⽹络的权值⽽被存储到⽹络中。
反馈⽹络是⼀种动态⽹络，它需要⼯作⼀段时间才能达到稳定。
该⽹络主要⽤于联想记忆和优化计算。
在这种⽹络中，每个神经元同时将⾃⾝的输出信号作为输⼊信号反馈给其他神经元，它需要⼯作⼀段时间才能达到稳定。
2.Hopfield神经⽹络Hopfield⽹络是神经⽹络发展历史上的⼀个重要的⾥程碑。
由美国加州理⼯学院物理学家J.J.Hopfield 教授于1982年提出，是⼀种单层反馈神经⽹络。
Hopfield神经⽹络是反馈⽹络中最简单且应⽤⼴泛的模型，它具有联想记忆的功能。
hopfield网络
Hopfield最早提出的网络是二值神经网 络，输出只取1和0，所以也称离散 Hopfield神经网络。输出的离散值1和0分 别表示神经元处于激活和抑制状态。
1、网络结构
DNHH是一种单层的、其输入/输出为二值的反 馈网络。如图：由三个神经元组成的离散 hopfield神经网络。
第0层
第1层
x1
x2
网络，期望值向量T＝[－1 －1 1；1 －1 1]’
构建一个Hopfield网络。 net=newhop(T); Ai=T; [Y,Pf,Af]=sim(net,2,[],Ai); Y
可见网络设计确实能够做到设计点稳 定，下面输入不同于设计点的其他初始值 再来验证: Ai={[-0.9;-0.8;0.7]}; [Y,Pf,Af]=sim(net,{1 5},{},Ai); Y{1}
Hopfield网络
1.1 离散hopfield网络（DHNN） 1.2 连续hopfield网络（CHNN） 1.3 Hopfield网络的设计
Hopfield神经网络模型是一种循环神经 网络，从输出到输入有反馈连接。分为离 散型和连续型。
稳定的 反馈网络：
不稳定的
1.1离散hopfield网络（DHNN）
Coben和Grossberg在1983年给出了关于hopfield网络 稳定的充分条件：如果hopfield网络的权系数矩阵W是一 个对称矩阵，并且对角线元素为0，则这个网络是稳定的。
霍普菲尔德Hopfield神经网络
2、激活函数为非线性函数时
当激活函数为线性函数时，即
vi ui 此时系统的状态方程：为
U AU B 其中A 1 WB。
R 此系统的特征方程为：
AI 0 其中I为单位对角阵。通过解对出的特征值1，2，，r 的不同情况，可以得不到同的系统解的情况。
对于非线性系统进展稳定性分析，方 法之一就是在系统的平衡点附近对系统 进展线性化处理。也可以基于网络的能 量函数。下面介绍Hopfield能量函数法。
W XK
XK
T
I
k1
m
wij xik xkj
k1
wii 0 i 1~ n
例 设计DHNN，并考察其联想性能。
1 1 1 X T 1 1 1
1 1 1
解：
W
3
XK
XK
T
I
0 1
1 1 0 3
K 1
1 3 0
验证： Y1 sgn WX 1 T !
Y2 sgn WX 2 T 2
在MATLAB中，用函数newhop.m来设计一 个Hopfield网络：
net = newhop(T)
权值设计的方法
权值设计的方法有外积法、伪逆法、正
交设计法等。下面仅介绍外积法，它是
一种比较简单，在一定条件下行之有效
给的定方输法X入 。K, K 1~ m, X Rn, I为nn单位阵，则
m
DHNN的稳定工作点
Xi(t+1)= Xi(t)=sgn(∑j=1nWijXi(t)-θi ) i=1,2,…,n
网络的稳定性分析
DHNN的能量函数定义为：
E
1 2
n i1
n
w ij x i x j
Hopfield神经网络
Hopfield神经⽹络神经⽹络分类多层神经⽹络：模式识别相互连接型⽹络：通过联想记忆去除数据中的噪声1982年提出的Hopfield神经⽹络是最典型的相互连结型⽹络。
联想记忆当输⼊模式为某种状态时，输出端要给出与之相应的输出模式。
如果输⼊模式与输出模式⼀致，称为⾃联想记忆，否则，称为异联想记忆。
Hopfield⽹络结构上，Hopfield神经⽹络是⼀种单层互相全连接的反馈型神经⽹络。
每个神经元既是输⼊也是输出，⽹络中的每⼀个神经元都将⾃⼰的输出通过连接权传送给所有其它神经元，同时⼜都接收所有其它神经元传递过来的信息。
即：⽹络中的神经元在t时刻的输出状态实际上间接地与⾃⼰t-1时刻的输出状态有关。
神经元之间互连接，所以得到的权重矩阵将是对称矩阵。
假设有n个单元组成的Hopfield神经⽹络，第i个单元在t时刻的输⼊记作ui(t)，输出记作xi(t)，连接权重为wij，阈值为bi(t)，则t+1时刻i单元的输出xi(t+1)可表⽰为：在Hopfield神经⽹络中，每个时刻都只有⼀个随机选择的单元会发⽣状态变化。
由于神经元随机更新，所以称此模型为离散随机型。
对于⼀个由n个单元组成的⽹络，如果要完成全部单元的状态变化，⾄少需要n个时刻。
根据输⼊模式联想输出模式时，需要事先确定连接权重wij，⽽连接权重wij要对输⼊模式的训练样本进⾏训练后才能确定。
和多层神经⽹络⼀样，⼀次训练并不能确定连接权重，⽽是要不断重复这个过程，直到满⾜终⽌判断条件，⽽这个指标就是Hopfield神经⽹络的能量函数E。
当输⼊模式与输出模式⼀致时，能量函数E的结果是0。
根据前⾯定义的状态变化规则改变⽹络状态时，上式中定义的能量函数E总是⾮递增的，即随时间的不断增加⽽逐渐减⼩，直到⽹络达到稳定状态为⽌。
Hopfield⽹络的优点单元之间的连接权重对称 (wij = wji)每个单元没有到⾃⾝的连接 (wii = 0)单元的状态采⽤随机异步更新⽅式，每次只有⼀个单元改变状态n个⼆值单元做成的⼆值神经⽹络，每个单元的输出只能是0或1的两个值问题当需要记忆的模式之间较为相似，或者需要记忆的模式太多时，Hopfield神经⽹络就不能正确地辨别模式。
了解Hopfield神经网络算法的实现原理
了解Hopfield神经网络算法的实现原理Hopfield神经网络算法是一种基于神经网络的求解最优化问题的算法。
它可以用于解决诸如图像处理、模式识别、最优化问题等应用领域。
Hopfield神经网络算法最初由J. J. Hopfield在1982年提出，其理论基础来源于生物学领域中的神经元行为研究。
Hopfield神经网络算法的实现原理主要包括四个方面：神经元模型、神经网络结构、网络训练方法以及应用场景。
1. 神经元模型在Hopfield神经网络算法中，每个神经元都是一个二值状态（取值为+1或-1）的模型。
这种模型通常称为McCulloch- Pitts模型。
其原理是在神经元内部通过大量的来自其他神经元的输入，进行累加、加权、激活等操作后产生输出。
在Hopfield神经网络中，每个神经元之间的连接按照一定的权重系数进行连接，这些权重系数通常由网络训练时产生。
2. 神经网络结构Hopfield神经网络结构通常是一个全连接的反馈神经网络。
这种结构下的每个神经元都被连接到其他所有神经元，并且这些连接是双向的。
当网络被激活时，输入信号的影响被传递给其他所有神经元，并且这些神经元的状态也会影响到其他神经元的状态。
由于Hopfield神经网络具有全连接的属性，因此在处理较大规模的问题时，网络的计算量非常大，这是其计算效率相对较低的原因之一。
3. 网络训练Hopfield神经网络的训练通常是指对神经元之间的连接权重进行调整，使得网络在接收到输入时能够达到预期的输出。
这种训练方法被称为Hebbian学习规则。
在Hopfield神经网络中，权重矩阵W的元素一般由下式计算：W(i，j) = ∑( xi *xj )其中，xi和xj分别表示神经元i和神经元j的状态，可以取值为+1或-1。
通过反复进行这种权重更新，最终可以得到一个合理的网络权重矩阵W。
4. 应用场景Hopfield神经网络算法被广泛应用于图像处理、模式识别以及最优化问题的求解。
带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析
带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析神经元网络模型是研究神经科学和认知科学的重要工具之一。
其中，带有时滞的神经元网络模型更能够模拟实际生物系统中的动态行为。
本文将介绍带有时滞的HR（Hodgkin-Huxley）模型和Hopfield神经元网络模型，并通过Hopf分岔分析探讨这两种模型的动态特性。
首先介绍HR神经元模型。
HR模型是由Hodgkin和Huxley 在1952年提出的，用于描述神经细胞的电生理特性。
该模型由四个非线性微分方程组成，分别描述细胞膜电压、钠离子电流、钾离子电流和漏电流之间的关系。
HR模型的一个重要特征是其具有时滞项，即模拟信息传递过程中信号传导的时间延迟。
这种时滞项的引入更能够模拟真实生物细胞中神经冲动传导的过程。
接下来介绍Hopfield神经元网络模型。
Hopfield模型是由美国物理学家约翰·霍普菲尔德于1982年提出的，用于解决优化问题。
该模型的基本单元是一个二值神经元，通过相互连接的权重矩阵来模拟神经网络中神经元之间的相互作用。
Hopfield模型的一个显著特点是其在离散时间步骤下的动力学行为，即模拟网络中神经元状态的演化过程。
此外，Hopfield模型可实现存储和提取模式的功能，并在信息处理中具有一定的应用潜力。
在对带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型进行Hopf分岔分析前，我们先简要介绍一下Hopf分岔理论。
Hopf分岔是非线性动力学中一种常见的分岔现象，描述了系统参数变化时平衡态向周期解变化的过程。
Hopf分岔点是系统从平衡状态突然产生与时间周期相关的周期运动的临界点。
对于连续时间系统，Hopf分岔可以通过线性稳定性分析和中心流形定理进行判定。
在考虑时滞的情况下，我们用变量 u 表示HR模型中的膜电压，用变量 x 表示Hopfield模型中的神经元状态。
霍普菲尔德(Hopfield)
DHNN的稳定工作点
Xi(t+1)= Xi(t)=sgn(∑j=1nWijXi(t)-θi ) i=1,2,…,n
网络的稳定性分析
DHNN的能量函数定义为：
n 1 n n E wij xi x j i xi 2 i 1 j 1 i 1 1 T X WX X T 2 n 1 n n E wij xi x j i xi 2 i 1 j 1 i 1 n 1 n n wij i 2 i 1 j 1 i 1 E有界
Hopfield网络结构
图2.8.1
非线性系统状态演变的形式
在Hopfield网络中，由于反馈的存在，其加 权 输入和ui，i=1~n为网络状态，网络的输出为 y1~yn， 则u,y的变化过程为一个非线性动力学 系统。可用非线性差（微）分方程来描述。一 般有如下的几种状态演变形式： （1）渐进稳定 （2）极限环 （3）混沌现象 （4）状态轨迹发散
正交化权值设计
这一方法的基本思想和出发点是为了满足下 面四个要求： 1）保证系统在异步工作时的稳定性，即它的 权值是对称的； 2）保证所有要求记忆的稳定平衡点都能收敛 到自己； 3）使伪稳定点的数目尽可能的少； 4）使稳定点的吸引域尽可能的大。 MATLAB函数 [w,b]=solvehop(T);
当激活函数为线性函数时，即
v i ui 此时系统的状态方程为： U AU B 1 其中A WB。 R 此系统的特征方程为： A I 0 其中I为单位对角阵。通过对解出的特征值1， 2， ， r 的不同情况，可以得到不同的系统解的情况。
对于非线性系统进行稳定性分析，方 法之一就是在系统的平衡点附近对系统 进行线性化处理。也可以基于网络的能 量函数。下面介绍Hopfield能量函数法。
第5讲：Hopfield神经网络
第5讲 反馈型Hopfield神经网络 Nhomakorabea
Hopfield 递 归 网 络 是 美 国 加 洲 理 工 学 院 物 理 学 家 J.J.Hopfield教授于1983年提出的,他对神经网络学科的发 展史颇具影响。作为一个著名的物理学家，J.J.Hopfield在 早期学术活动中，他曾研究光和固体之间的相互作用。后来， 他集中精力研究生物分子间的电子转移机制。他在数学和物 理学上的学术研究和他后来在生物学上经验的结合，为他在 神经网络上提出的概念和所作出的贡献奠定了基础。 J.J.Hopfield分别在1982年和1984年发表了两篇非常有 影响的研究论文 [1-2]，在这两篇文章中集中了许多前人的观 点 ， 如 MP 神 经 网 络 模 型 [ 3 ] ， Grossberg 的 改 进 模 型 [ 4 ] ， Anderson和 Kohonen的线性联想器模型等 [5-6] ，并把一些重 要思想结合起来进行简明的数学分析，其重要内容之一就是 在反馈神经网络中引入了“能量函数”的概念，这一概念的 提出对神经网络的研究有重大意义，它使神经网络运行稳定 性的判定有了可靠的依据。并应用Hopfield网络成功地求解 了优化组合问题中最有代表性的TSP问题 [7] ，从而开创了神 经网络用于智能信息处理的新途径。
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Hopfield网络按网络输入和输出的数字形式不同可分为离散 型和连续型两种网络,即： ① 离 散 型 Hopfield 神 经 网 络 — — DHNN(Discrete Hopfield Neural Network)； ②连续型Hopfield神经网络——CHNN(Continues Hopfield Neural Network)。 下面介绍其原理与结构。 3.1 离散Hopfield神经网络模型 3.1.1 DHNN结构与工作方式 1.DHNN结构 它是一种单层全反馈网络,共有个神经元。每个神经元都通过 连接权接收所有其它神经元输出反馈来的信息，其目的是为 了让任一神经元的输出能接受所有神经元输出的控制,从而使 各神经元能相互制约。其结构如图3-1所示。
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j
bi vi
i 1
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
网络中神经元能量函数变化量
Ei 1
w v v 2
ij i i 1 i j
n
j
bi vi
E i E i (t 1) E i (t ) 1
8 2012-7-7
2.9.1离散Hopfield 神经网络
稳定状态
若网络从某一时刻以后，状态不再发生变化， 则称网络处于稳定状态
v(t t ) v(t ) t 0
网络为对称连接，即；神经元自身无连接 能量函数在网络运行中不断降低，最后达到 n 稳定 1 n n
E
w v v 2
13 2012-7-7
2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实现
MATLAB中Hopfield网络的重要函数和功能
函 数 名
功
能
satlin( ) 饱和线性传递函数
satlins( ) 对称饱和线性传递函数
newhop( ) 生成一个Hopfield回归网络
nnt2hop( ) 更新NNT 2.0 Hopfield回归 网络
14 2012-7-7
2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实现
MATLAB中与Hopfield网络有关的重要函数和功能
newhop( )
功能 生成一个Hopfield回归网络。 格式 net = newhop(T) 说明 net为生成的神经网络，具有在T中的向量上稳 定的点；T是具有Q个目标向量的R*Q矩阵（元素必须为 -1或1）。Hopfield神经网络经常被应用于模式的联想 记忆中。Hopfield神经网络仅有一层，其激活函数用 satlins( )函数，层中的神经元有来自它自身的连接 权和阈值。
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2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实现
例2-8 设印刷体数字由10 10点阵构成，就 是将数字分成很多小方块，每个方块就对应数 字的一部分，构成数字本部分的方块用1表示， 空白处用-1表示。试设计一个Hopfield网络， 能够正确识别印刷体的数字。
由点阵构成 的数字1 由点阵构成 的数字2
Hopfield网络状态向着能量函数减小的 方向演化。由于能量函数有界，所以系 统必然会趋于稳定状态 。
w v (t 1)v 2
ij i i 1 i j
n
j
bi vi (t 1)
1
w v (t )v －b v (t ) 2
ij i j i i i 1 i j
n
n 1 ＝ vi (t 1) vi (t ) wij v j bi 2 i 1 i j
在任一时刻，部分神经元或全部神经元 的状态同时改变。
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
串行(异步)工作方式运行步骤 第一步 对网络进行初始化； 第二步 从网络中随机选取一个神经元； 第三步 按式(2-5)求出该神经元i的输出； 第四步 按式(2-6)求出该神经元经激活函 数处理后的输出，此时网络中的其他神经元 的输出保持不变； 第五步 判断网络是否达到稳定状态，若 达到稳定状态或满足给定条件则结束；否则 转到第二步继续运行。
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2.9.3 Hopfield 神经网络的MATLAB实现
MATLAB中与Hopfield网络有关的重要函数和功能
satlins( ) 功能 对称饱和线性传递函数 格式 A = satlins(N) A输出向量矩阵；N是由网络的输入向量组成 的S*Q矩阵，返回的矩阵A与N的维数大小一致， A的元素取值位于区间[0，1]内。当N中的元 素介于-1和1之间时，其输出等于输入；当输 入值小于-1时返回-1；当输入值大于1时返回 1。
稳定性分析
dE N u dvi wij v j i I i dt dvi dt Rj dt i 1 j 1 dE dvi
N
将下式代入得：
Ci dui dt wij v j I i
j 1
N
N
ui Ri
1
因为
df (vi ) dvi 0, 又 0, Ci 0, dvi
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2.9.2 连续Hopfield 神经网络
连续Hopfield网络模型的主要特性 1)连续Hopfield网络的神经元作为I/O转换，其传输 特性具有Sigmoid特性； 2)具有时空整合作用； 3)在神经元之间存在着大量的兴奋性和抑制性连接， 这种联接主要是通过反馈来实现。 4)具有既代表产生动作电位的神经元，又有代表按 渐进方式工作的神经元，即保留了动态和非线性两 个最重要的计算特性。 Hopfield神经网络设计的目标就是使得网络存储一些 特定的平衡点，当给定网络一个初始条件时，网络最后 会在这样的点上停下来
Ei 0
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2.9.2 连续Hopfield 神经网络
网络模型
w 11
+
I1
R 10
u1
1
v 1
C1
wi1 Ii
+
ui
Ri 0 Ci
i
vi
w j1
+
I
j
uj
j
vj
Rj0
Cj
wN1
+
IN RN 0
uN
N
vN
CN
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2.9.2 连续Hopfield 神经网络
17 2012-7-7
例2-8程序
%数 字 1的 点 阵 表 示 one=[-1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1]; %数 字 2的 点 阵 表 示 two=[1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1]; %设 定 网 络 的 目 标 向 量 T=[one;two]'; %创 建 一 个 Hopfield神 经 网 络2 NhomakorabeadE
du dv Ci ( i ) i dt dt dt i 1
Ci
i 1 N
df
1
(vi ) dvi dt
dvi
dt
df
1
dE
Ci
i 1
N
( vi ) dvi dt
0
Ci
i 1
N
df
(vi ) dvi 2 ( ) dvi dt
1
dvi
dt 连续Hopfield网络模型是稳定的
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
网络模型表示法一
z
1
z
1
z
1 1
z
1
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
网络模型表示法二
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2.9.1离散Hopfield 神经网络
相关参数说明 任意神经元 i与 j间的突触权值 wij 为，神经元之间 连接是对称的，神经元自身无连接. 每个神经元都同其他的神经元相连,其输出信号经 过其他神经元又有可能反馈给自己 设Hopfield网络中有n个神经元，其中任意神经元 的输入用 u i 表示，输出 v i用表示，它们都是时间的 函数，其中 v (t )也称为神经元在时刻 t 的状态。
Hopfield神经网络模型与学习算法
智能中国网提供学习支持
概述
Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的 里程碑。由美国加州理工学院物理学家J.J.Hopfield教 授于1982年提出，是一种单层反馈神经网络。 Hopfield网络是一种由非线性元件构成的反馈系统，其 稳定状态的分析比前向神经网络要复杂得多。1984年， Hello,I’m John Hopfield设计并研制了网络模型的电路，并成功地解决 Hopfield 了旅行商(TSP)计算难题(优化问题)。 Hopfield网络分为离散型和连续型两种网络模型， 分别记作DHNN (Discrete Hopfield Neural Network) 和CHNN (Continues Hopfield Neural Network) 。
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小结
概述 离散Hopfield神经网络及工作过程 连续Hopfield神经网络 稳定性分析 Hopfield神经网络的MATLAB实现 实例分析
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谢谢！
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w v
ij j 1 j i
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