52.圆锥曲线内接直角三角形的性质

[中国高考数学母题一千题](第0001号)

圆锥曲线内接直角三角形的性质

圆锥曲线的弦过定点的母题

由圆内接直角三角形的斜边恒过定点(圆心),可类比猜测圆锥曲线内接直角三角形的斜边恒过定点;利用构造二次齐次方程的方法易证猜测正确,该猜测是生成一类高考试题的母题.

[母题结构]:过圆锥曲线G 上任意一点P(x 0,y 0)作两条互相垂直的直线PA 、PB,分别交圆锥曲线于A 、B 两点,求证:直线

AB 经过定点.①当曲线G 是抛物线G:y 2

=2px(p>0)时,直线AB 恒过定点M(x 0+2p,-y 0);②当曲线G 是椭圆G:2

2a x +

2

2b y =1(a>b

>0)时,直线AB 恒过定点M(2

222b a b a +-x 0,-

2

222b a b a +-y 0);③当曲线G 是双曲线G:

2

2a x -

2

2b y =1(a>0,b>0)时,直线AB 恒过定点

M(

2

222b a b a -+x 0,-

2

222b a b a -+y 0).

[母题解析]:仅证②:设直线AB:y=kx+m,则y-y 0=k(x-x 0)+m+kx 0-y 0⇒1=0

000)()(y kx m x x k y y -+---;

由

2

2a

x +

2

2b

y =1,

2

20a

x +

2

20b

y =1⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=2a 2b 2-2(b 2x 0x+a 2y 0y)⇒b 2(x-x 0)2

+a 2

(y-y 0)2=2[(b 2x 02+a 2y 02)-(b 2x 0x+a 2

y 0y)]

⇒b 2

(x-x 0)2

+a 2

(y-y 0)2

=-2[b 2

x 0(x-x 0)+a 2

y 0(y-y 0)]⇒b 2

(x-x 0)2

+a 2

(y-y 0)2

+0

0022y kx m x b -+[(x-x 0)(y-y 0)-k(x-x 0)2

]+00022y kx m y a -+⋅

[(y-y 0)2-k(x-x 0)(y-y 0)]=0⇒a 2

(m+kx 0+y 0)(

00x x y y --)2+2(b 2x 0-a 2ky 0)00x x y y --+b 2

(m-kx 0-y 0)=0;由k {A k :B =-1⇒22a

b ⋅0000y kx m y kx m ++-- =-1⇒m=-2

222b a b a +-kx 0-2

222b a b a +-y 0⇒直线AB:y=k(x-2

222b a b a +-x 0)-

2

222b a b a +-y 0⇒直线AB 恒过定点M(

2

222b a b a +-x 0,-

2

222b a b a +-y 0);

同理可证①③.

1.抛物线内接直角三角形

子题类型Ⅰ:(2005年山东高考试题)己知动圆过定点(2p ,0),且与直线x=-2

p

相切,其中p>0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明:直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.

[解析]:(Ⅰ)如图,设动圆圆心为M,点F(2p ,0),过点M 作直线l:x=-2

p 的垂线,垂足为N,

则|MF|=|MN|⇒点M 的轨迹是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线,方程为y 2

=2px(p>0);

(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:y=kx+m,则tan α=11x y ,tan β=2

2

x y

;由tan(α+β)=tan θ

N

F(p

2

,0)M A

B

x=-p 2

o

y

x

⇒tan α+tan β=(1-tan αtan β)tan θ⇒

11x y +22x y =(1-11x y ⋅22x y )tan θ;又由y=kx+m 与y 2=2px ⇒my 2

=2px(y-kx)⇒m(x

y )2 -2p ⋅

x y +2pk=0⇒11x y +22x y =m p 2,11x y ⋅22x y

=

m pk 2⇒m p 2=(1-m

pk 2)tan θ⇒m=2pk+2pcot θ⇒直线AB:y=k(x+2p)+2pcot θ⇒恒过定点(-2p,2pcot θ).

[点评]:对于抛物线G:y 2=2px(p>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ时,直线AB 过定点M(x 0-λ

p 2,-y 0);当k PA +

k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ

2y ,

λ

p

2-y 0).

2.椭圆内接直角三角形

子题类型Ⅱ:(2007年山东高考试题)己知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

[解析]:(Ⅰ)设椭圆C:

2

2a x +

2

2b y =1(a>b>0),则a+c=3,a-c=1⇒a=2,c=1⇒椭圆C:

4

2x +32

y =1; (Ⅱ)由右顶点N(2,0),直线l:y=kx+m ⇒y=k(x-2)+m+2k ⇒1=k

m x k y 2)2(+--;椭圆C:3x 2+4y 2=12⇒3(x-2)2+4y 2

+12(x-2)=0⇒

3(x-2)2

+4y 2

+12(x-2)

k m x k y 2)2(+--=0⇒4(2-x y )2

+k m 212+⋅

2-x y +k

m k m 263+-=0;由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点N ⇒k NA ⋅k NB =-1⇒

)2(463k m k m +-=-1⇒m=-72k ⇒直线l:y=k(x-72)过定点(7

2

,0).

[点评]:对于椭圆G:

2

2a x +

2

2b y =1(a>b>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ(λ≠

2

2a b )时,直线AB 过定点

M(

2

222b a b a -+λλx 0,-

2

222b a b a -+λλy 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-

λ

2y ,

λ

222a b x 0-y 0).

3.双曲线内接直角三角形

子题类型Ⅲ:(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)如图,已知两点A(-5,0), B(5,0),△ABC 的内切圆的圆心在直线x=2上移动. (Ⅰ)求点C 的轨迹方程;

(Ⅱ)过点M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于P,Q 两点,且MP ⋅MQ =0,求证:直线PQ 必过定点.

[解析]:(Ⅰ)如图,设△ABC 内切圆分别在AB,BC,AC 上的切点为G,F,E,由切线长定理知,|AG|

=|AE|,|CE|=|CF|,|BG|=|BF|⇒|AC|-|BC|=|AG|-|BG|=4<|AB|⇒点C 是以A,B 为焦点,实轴长 为4的双曲线右支,其方程为:

4

2x -y 2

=1(x>2); (Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线PQ:y=k(x-2)+m(m ≠0)⇒k MP =

211-x y ,k MQ =222-x y ,1=m

x k y )2(--;由x 2-4y 2=4⇒(x-2)2-4y 2

+