52.圆锥曲线内接直角三角形的性质
圆锥曲线中的三角形
第15讲圆锥曲线中的三角形高屋建瓴1.阿基米德三角形定义圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫作阿基米德三角形，这条弦叫作阿基米德三角形的底，两切线的交点叫作阿基米德三角形的顶点.特别地，我们把底边过焦点的阿基米德三角形称为阿基米德焦点三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.以抛物线22(0)x py p =>为例，如图151-所示，抛物线上两个不同的点A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，以A ，B 为切点的切线PA ，PB 相交于点P ，我们称弦AB 为阿基米德PAB ∆的底边.2.阿基米德三角形性质性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴且点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明:如图15-2所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为()11x x p y y =+，过B 的切线方程为()22x x p y y =+，联立方程组得，()()221121122222x x p y y x x p y y x py x py ⎧=+⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩，解得两切线交点1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知//PM y 轴.性质2:PM 的中点Q 在抛物线上，且Q 处的切线与AB 平行.【证明】:如图15-3，由性质1知，1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，易得Q 点的坐标为()21212,28x x x x p ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，此点显然在抛物线上.过Q 的切线的斜率为121222x x x x x k y p +=+='=，而221212121212222AB x x y y x x p p k x x x x p --+===--，结论得证.性质3:若阿基米德三角形的底边AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点P 的轨迹一条直线.【证明】如图154-，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质1，122x x x +=，122x x y p =，所以122x x x +=，122x x py =.由A ，B ，C 点共线知2222211011222x x x y p p px x x x --=--，即()0121202x x x x x py +=+，将122x x x +=，122x x py =代入得()00x x p y y =+，即为P 点的轨迹方程.推论:若阿基米德三角形的底边(即弦)AB 过抛物线内一定点()0,(0)C m m >，那么:①另一顶点P 的轨迹方程为y m =-；②2AP BP mk k p⋅=-(定值).性质4:抛物线以C 点为中点的弦平行于P 点的轨迹.证明:如图15-5，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质3得P 点轨迹方程为()00x x p y y =+，它的斜率为0x p .由2112222,2,x py x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减得()2212122x x p y y -=-，即1212122x x y y p x x +-=-，有0AB x k p =.因此该弦与P 点的轨迹直线l 平行.性质5:若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上点为顶点的阿基米德三角形底边过定点.【证明】:如图15-5，设l 的方程为0ax by c ++=，且()11,A x y ，()22,B x y ，弦AB 过点()00,C x y ，由性质3可知P 点的轨迹方程()00x x p y y =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照000x x y y p -++=，0a cx y b b++=可得0ap x b =-，0c y b =，即弦AB 过定点,ap c C b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.性质6:底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p.【证明】:如图15-6所示，AB a =，设P 到AB 的距离为d ，由性质1知()2221212121212222444x x y y x x x x x x d PM p p p p-++=-=-= .设直线AB 方程为y mx n =+，则21a x =-=，所以()2221x x a - ，24a d p ，即3128a S ad p= .推论:PAB ∆的面积3128PABx x S p∆-=.【证明】:因为1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()222121212121222424x x y y x x x x x x PM p p p p -++=-=-=，所以31212128PAB x x S PM x x p∆-=-=.性质7:(1)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点P 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点P 在准线上，则底边过焦点.（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p .【证明】:(2)若底边过焦点，则00x =，02p y =，点P 的轨迹方程为2py =-，即为准线，易验证1PA PB k k ⋅=-，即PA PB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且P 为直角顶点，所以221212224y y x x p PM p ++=+=+2122224242x x p p p p p p p +=+= .而()212121122PAB S PM x x PM x x PM p ∆=-=+- .特别地，若阿基米德三角形的弦AB 过抛物线的焦点，那么:①另一顶点P 的轨迹为准线2py =-；②PA PB ⊥；③PF AB ⊥；④PAB ∆的面积的最小值为2p .性质8:在阿基米德三角形ABP 中，若F 为抛物线的焦点，则2||PF AF BF =⋅.【证明】:()21212122224p p p p AF BF y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭22221212244x x x x p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，222222212121212||222244x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫=+-=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2||PF AF BF =⋅.参考答案解析试题再现1.【解析】（1）设1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，则2112x y =，由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设()22,B x y ，同理可得222210tx y -+=.故直线AB 的方程为2210tx y -+=，所以直线AB 过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,2,2y tx x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+=.可得2210x tx --=.于是122,x x t +=()21212121y y t x x t +=++=+，121x x =-，因此()212||21AB x t =-==+.设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积21||(32S AB t =+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或评注：第（1）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，设01,2D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则AB 的方程可写为：012x x y =-，所以必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.2.【解析】（1）由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，)0(,2M x p -.由22x py =得22x y p =，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =.因此直线MA 的方程为()102x y p x x p +=-，直线MB 的方程为()202xy p x x p +=-.所以()2111022x x p x x p p +=-①，()0222222x p x x px +=-)②，由①②得121202x x x x x -=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+，所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.（2）由（1）知，当02x =时，将其代入①②并整理得2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又，222112210222AB x x x x p p k x px x P -+===-所以2AB k p =由弦长公式得|AB ==又||AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y=（3）设()33,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为123123,22x x x x x x Q ++++⎛⎫⎝⎭，由阿基米德三角形性质可知直线AB 的方程为0(2)x x p y p =-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，代入得033x y x p =.若()33,D x y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =，即(0,0)D 或20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.①当00x =时，12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意.②当00x ≠时，对于(0,0)D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0AB x k p =，AB CD ⊥，所以22012214AB CD x x x k k p p +⋅=⋅=-，即222124x x p +=-，矛盾.对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴，又00ABx k p =≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾.所以当00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点(0,2)M p -适合题意.评注:第（1）问背景就是阿基米德三角形性质1的应用.3.【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =(负值舍去)，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=.所以抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即2111122x y x y x =+-.因为21114y x =，所以1112x y x y =-.因为点()00,P x y 在切线1l 上，所以10012x y x y =-①.同理，20022xy x y =-②.综合①②得，点()11,A x y ，()22,B x y 的坐标都满足方程002xy x y =-.因为经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线是唯一的，所以直线AB 的方程为002xy x y =-，即02x x y --020y =.（3）由抛物线的定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以()()121212||||111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立2004,220,x y x x y y ⎧⎪⎨⎪=-=⎩-.消去x 得()22200020y y x y y +-+=，所以212002y y x y +=-，2120y y y =.因为0020x y --=，所以()222222000000019||||21221225222AF BF y y x y y y y y y ⎛⎫⋅=-++=-+++=++=++⎪⎝⎭因此当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值92.评注：第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，因为()00,P x y 为直线l 上的定点，所以AB 的方程为()002x x y y =+.4.【解析】（1）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-，所以A 点坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++.因为点()01M y -在切线MA 及抛物线2C 上，于是0113(2244y -=-+=-①，20(12)32222y p p-=-=-②.由①②得2p =.（2）设(,)N x y ，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x ≠.由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22128x x y +=④，切线MA ，MB 的方程为()211124x x y x x =-+⑤，()222224x x y x x =-+⑥.由⑤⑥得MA ，MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204x x y =.因为点()00,M x y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦.由③④⑦得243x y =，0x ≠，当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足243x y =，因此AB 中点N 的轨迹方程为243x y =.练习巩固1.【解析】（1）设过点C 的直线方程为y kx c =+，所以2(0)x kx c c =+>，即20x kx c --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12x x k +=，12x x c =-，()11,OA x y = ，()22,OB x y = .因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，)22121212(2x x k x x kc x x c ++++=，所以222c k c kc k c --+⋅+=，即220c c --=，解得2c =(舍去1c =-).（2）设过A 的切线为()111y y k x x -=-，2y x '=，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为11,22x c M c x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2k Q c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，为12x x c =-，所以21c x x -=.则12,,222x x k M c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点M 和点Q 重合，因此QA 为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，因为若QA 为此抛物线的切线，则其方程为()21112y x x x x -=-，2112y x x x =-，与y c =-联立，可得点Q 横坐标为2211121211222x c x x x x x x x x -++===.由于PQ 与x 轴垂直，故点P 的横坐标也是为122x x +，即P 为线段AB 的中点.评注：第（2）问的背景就是设过点A ，B 的切线交于点M ，则ABM △为阿基米德三角形，由性质1可知点M的横坐标为122x x +，又弦AB 过定点(0,)C c ，点M 在直线y c =-上，故点M 的坐标为12,2x x c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点M 与点Q 重合，即QA 为此抛物线的切线.2.【解析】（1）设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为1l ，2l 分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线，所以直线1l 的斜率111x x x k y p ='==，直线2l 的斜率222x x xk y p='==.因为12l l ⊥，所以121k k =-，得212x x p =-（1）.因为A ，B 是抛物线C 上的点，所以2112x y p =，2222x y p =，故直线1l 的方程为()21112x x y x x p p-=-，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p -=-.由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎪-=⎧⎪⎪⎨=--⎪⎩-.计算得出12,2,2x x x p y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩=-.所以点D 的纵坐标为2p -.（2）因为F 为抛物线C 的焦点，所以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AF 的斜率为21221111122202AF x p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BF x p p y x p p k x x px ---===-.因为()()222222222112121212222AF BF x x p x x p x p x p k k px px px x ------=-=()()()()22212121212121212022x x x x p x x p x x p x x px x px x -+---+-===所以AF BF k k =，即A ，B ，F ，（3）不存在，证明如下.假设存在与题意相符的圆，设该圆的圆心为M ，根据题意得MA AD ⊥，MB BD ⊥，且||||MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥，所以四边形MADB 是正方形，有||AD BD =.因为点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12p -=-，得2p =，把点3,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l ，得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭，解得(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为A ，B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(4,4)B ，则||AD =||BD =可得||||AD BD ≠，这与||||AD BD =矛盾，所以经过A ，B 两点且与1l ，2l 都相切的圆不存在.3.【解析】（1）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N 为焦点，:2l y =-为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是28x y =.（2）由已知(0,2)N ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由AN = NB λ，得()()1122,2,2x y x y λ--=-，故()1212 22 x x y y λλ⎧⎪⎨⎪--=-⎩=①②，将①式两边平方并把2118x y =，2228x y =代入得212y y λ=③，解②③式得12y λ=，22y λ=，且有21222816x x x y λλ=-=-=-，抛物线方程为218y x =，求导得14y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11114y x x x y =-+，()22214y x x x y =-+，即2111148y x x x =-，2221148y x x x =-，解出两条切线的交点Q 的坐标为121212,,2282x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()22221221212121111,4,402288x x NQ AB x x y y x x x x +⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此NQ AB ⋅ 为定值，其值为0.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.4.【解析】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ，由已知条件，(0,1)F ，所以1b =，32c a =，222a b c =+，解得2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠，与抛物线方程联立，消去y ，并整理得2440x kx --=，所以124x x =-.因为抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11112y y x x x -=-，222)1(2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-，解得两条切线的交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭.()2221212121,,4x x AB x x y y x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，21,22x x MF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22222121022x x x x AB MF --⋅=-+= ，0AB MF ⋅= ，所以AB MF⊥（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)-.设过点M '且与抛物线C 相切的直线方程为()00012y y x x x -=-，其中点()00,x y 为切点，令0x =，1y =-，得()2000111042x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1)A '-，(2,1)B '，即直线A B ''过点F .综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，M B ''(A '，B '为切点)，能使直线A B ''过点F ，此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.。
圆锥曲线内接直角三角形性质初探Microsoft_Word_文档
圆锥曲线内接直角三角形性质初探一、问题的提出:以圆锥曲线的一个顶点为端点作两条互相垂直的射线交圆锥曲线于两点（不是顶点），那么由这两点确定的直线有怎样的性质呢？ 二、问题的探究: （一）、抛物线 例1：已知抛物线2:C y x =，O 是坐标原点，作射线OA OB 、交抛物线C 于A B 、，OA OB ⊥.求证：直线AB 过定点.证明：如图1,显然直线AB 斜率不是0，设直线AB 的方程为x y m λ=+，联立2y x =得：20y y m λ--=，显然0m ≠，240m λ∆=+≠，设1122((A x B x ,y )、,y )，则12λ+=y y ，12m =-y y ，又OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x =+y y ，又211y x =，222y x =， ∴21212)0+=(y y y y ，∴20m m -=，解得0m =，或1m =.当0m =时, 直线AB 的方程为x y λ=,直线AB 过定点(0,0),不符合题意. 当1m =时,直线AB 的方程为1x y λ=+，显然直线AB 过定点(1,0). 综上, 直线AB 过定点(1,0). （二）、椭圆：例2：已知椭圆22:12x C y +=，(0,1)M 是C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，M A M B ⊥.求证：直线AB 过定点.证明：如图2,显然直线AB 有斜率，设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2212x y +=得：222(21)4220k x kmx m +++-=，当0∆>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，则2121222422,,2121km m x x x x k k -+=-=++ 又M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=， 即12120x x =+(y -1)(y -1)，121212()10x x y y y y +-++=，图1图2又1y kx m =+，2y kx m =+，∴221212(1)(1)()210k x x k m x x m m ++-++-+=，把2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++代入上式得： 22222224(1)(1)2102121m km k k m m m k k -+⋅--⋅+-+=++，注意到1m =显然不合题意，于是上式化为：2222(1)4(1)(1)02121m km k k m k k ++⋅-⋅+-=++，整理得310m +=，∴13m =-.即直线AB 的方程为13y kx =-，显然直线AB 过定点1(0,)3-.（三）、双曲线：例3：已知等轴双曲线22:1C x y -=，(1,0)M 是等轴双曲线C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，M A M B ⊥.试探求直线AB 是否过定点.解：如图3,当直线AB 没有斜率时，容易计算90AMB ∠≠︒，当直线AB 有斜率时，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立221x y -=得：222(1)210k x kmx m ----=，当210k -≠，0∆>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，则212122221,,11km m x x x x k k ++=-=-- 又M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=， 即1212(1)(1)0x x --=+y y ， 又1y kx m =+，2y kx m =+，∴221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，把212122221,,11km m x x x x k k ++=-=--代入上式化简得20k km +=， 解得：0k =，或k m =-.当0k =时, 直线AB 的方程为(0)y m m =≠,直线AB 平行于x 轴，不过定点.当k m =-时,直线AB 的方程为y mx m =-+，显然直线AB 过定点(1,0)，不合题意.综上, 直线AB 不过定点.例4：已知双曲线22:12y C x -=，(1,0)M 是双曲线C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，M A M B ⊥.试探求直线AB 是否过定点.解：如图4, 当直线AB 没有斜率时，容易计算90AMB ∠≠︒，当直线AB 有斜率时，设直线AB 的方程为y kx m =+，图3联立2212y x -=得：222(2)220k x kmx m ----=， 当220k -≠，0∆>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，则212122222,,22km m x x x x k k ++=-=-- 又M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=， 即1212(1)(1)0x x --=+y y ， 又1y kx m =+，2y kx m =+，∴221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，把212122222,,22km m x x x x k k ++=-=--代入上式化简得22230m km k --=， 解得：m k =-，或3m k =.当m k =-时, 直线AB 的方程为y kx k =-,直线AB 过定点(1,0),不合题意. 当3m k =时,直线AB 的方程为3y kx k =+，显然直线AB 过定点(3,0)-. 综上, 直线AB 过定点(3,0)-.例5：已知双曲线22:21C x y -=，(1,0)M 是双曲线C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，M A M B ⊥.试探求直线AB 是否过定点.解：如图5, 当直线AB 没有斜率时，容易计算90AMB ∠≠︒，当直线AB 有斜率时，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2221x y -=得： 222(12)4210k x kmx m ----=，当2120k -≠，0∆>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，则2121222421,,2121km m x x x x k k ++=-=-- 又M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=， 即1212(1)(1)0x x --=+y y ， 又1y kx m =+，2y kx m =+，∴221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，图5把2121222421,,2121km m x x x x k k ++=-=--代入上式化简得22430m km k ++=， 解得：m k =-，或3m k =-.当m k =-时, 直线AB 的方程为y kx k =-,直线AB 过定点(1,0),不合题意. 当3m k =-时,直线AB 的方程为3y kx k =-，显然直线AB 过定点(3,0). 综上, 直线AB 过定点(3,0).三、问题的总结:通过上面的例题可以得到如下的结论：圆锥曲线内接直角三角形,当直角顶点是圆锥曲线的顶点时，斜边有如下性质： 1、当圆锥曲线为等轴双曲线时，斜边所在的直线互相平行；2、当圆锥曲线为抛物线、椭圆、非等轴双曲线时，斜边所在的直线过定点. 四、问题的再探究:1、圆是特殊的圆锥曲线，类似的性质显然是90︒的圆周角所对的弦是直径（过圆心）.2、在解题方法上，以上解法都是先设两个动点A B 、所在直线方程 ，然后寻求所设直线方程中两个参数的关系；我们也可以先设MA MB 、的方程，设方程时要利用M A M B ⊥，即MA MB 、的斜率都存在且不为0时，其乘积为1-，即若,MA k k = 则 1MB k k=-，然后可以用k 表示A B 、的坐标，进一步可以用k 表示AB 所在直线方程，这种方法的计算量对于有些情形可能大一些.3、上面的研究仅仅利用了特殊的圆锥曲线，至于一般的含参数的圆锥曲线，斜边所过的定点如何求解，留给有兴趣的读者探究，例如,对于抛物线2:2C y px =，O 是坐标原点，作射线OA OB 、交抛物线C 于A B 、，若OA OB ⊥，则直线AB 过定点(2,0)p .4、当圆锥曲线内接直角三角形的直角顶点不是圆锥曲线的顶点时，是否也有类似的性质，这个问题供有兴趣的读者进一步探究.。
圆锥曲线几何性质总汇
圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪⇒+++=⎬+=⎪⎭即24ABF Ca =2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan2θ∙b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F 中∵ 22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅∴ ()2121212c o s 2P F P F P F P F P Fθ⋅=+-⋅∴ 21221cos b PF PF θ⋅=+∴ 1222112sin cos tan 21cos 2PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ （2）（S ⊿PF1F2）max =max 122c h bc ⨯⨯= （3 ()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ 当0x =0时 cos θ有最小值2222a c a- 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OMxxx由已知有 1P F F P = M 为1F F 中点 ∴ 212O M F F ==()1212PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 222x y a +=4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。
令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()2111112222PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵1212121222F R F R F R F R I R ce P I P F P F P F P F a +=====+ ∴IRPI= e6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。
52.圆锥曲线内接直角三角形的性质
[中国高考数学母题一千题](第0001号)圆锥曲线内接直角三角形的性质圆锥曲线的弦过定点的母题由圆内接直角三角形的斜边恒过定点(圆心),可类比猜测圆锥曲线内接直角三角形的斜边恒过定点;利用构造二次齐次方程的方法易证猜测正确,该猜测是生成一类高考试题的母题.[母题结构]:过圆锥曲线G 上任意一点P(x 0,y 0)作两条互相垂直的直线PA 、PB,分别交圆锥曲线于A 、B 两点,求证:直线AB 经过定点.①当曲线G 是抛物线G:y 2=2px(p>0)时,直线AB 恒过定点M(x 0+2p,-y 0);②当曲线G 是椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)时,直线AB 恒过定点M(2222b a b a +-x 0,-2222b a b a +-y 0);③当曲线G 是双曲线G:22a x -22b y =1(a>0,b>0)时,直线AB 恒过定点M(2222b a b a -+x 0,-2222b a b a -+y 0).[母题解析]:仅证②:设直线AB:y=kx+m,则y-y 0=k(x-x 0)+m+kx 0-y 0⇒1=0000)()(y kx m x x k y y -+---;由22ax +22by =1,220ax +220by =1⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=2a 2b 2-2(b 2x 0x+a 2y 0y)⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=2[(b 2x 02+a 2y 02)-(b 2x 0x+a 2y 0y)]⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=-2[b 2x 0(x-x 0)+a 2y 0(y-y 0)]⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2+00022y kx m x b -+[(x-x 0)(y-y 0)-k(x-x 0)2]+00022y kx m y a -+⋅[(y-y 0)2-k(x-x 0)(y-y 0)]=0⇒a 2(m+kx 0+y 0)(00x x y y --)2+2(b 2x 0-a 2ky 0)00x x y y --+b 2(m-kx 0-y 0)=0;由k {A k :B =-1⇒22ab ⋅0000y kx m y kx m ++-- =-1⇒m=-2222b a b a +-kx 0-2222b a b a +-y 0⇒直线AB:y=k(x-2222b a b a +-x 0)-2222b a b a +-y 0⇒直线AB 恒过定点M(2222b a b a +-x 0,-2222b a b a +-y 0);同理可证①③.1.抛物线内接直角三角形子题类型Ⅰ:(2005年山东高考试题)己知动圆过定点(2p ,0),且与直线x=-2p相切,其中p>0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明:直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.[解析]:(Ⅰ)如图,设动圆圆心为M,点F(2p ,0),过点M 作直线l:x=-2p 的垂线,垂足为N,则|MF|=|MN|⇒点M 的轨迹是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线,方程为y 2=2px(p>0);(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:y=kx+m,则tan α=11x y ,tan β=22x y;由tan(α+β)=tan θNF(p2,0)M ABx=-p 2oyx⇒tan α+tan β=(1-tan αtan β)tan θ⇒11x y +22x y =(1-11x y ⋅22x y )tan θ;又由y=kx+m 与y 2=2px ⇒my 2=2px(y-kx)⇒m(xy )2 -2p ⋅x y +2pk=0⇒11x y +22x y =m p 2,11x y ⋅22x y=m pk 2⇒m p 2=(1-mpk 2)tan θ⇒m=2pk+2pcot θ⇒直线AB:y=k(x+2p)+2pcot θ⇒恒过定点(-2p,2pcot θ).[点评]:对于抛物线G:y 2=2px(p>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ时,直线AB 过定点M(x 0-λp 2,-y 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ2y ,λp2-y 0).2.椭圆内接直角三角形子题类型Ⅱ:(2007年山东高考试题)己知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.[解析]:(Ⅰ)设椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0),则a+c=3,a-c=1⇒a=2,c=1⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)由右顶点N(2,0),直线l:y=kx+m ⇒y=k(x-2)+m+2k ⇒1=km x k y 2)2(+--;椭圆C:3x 2+4y 2=12⇒3(x-2)2+4y 2+12(x-2)=0⇒3(x-2)2+4y 2+12(x-2)k m x k y 2)2(+--=0⇒4(2-x y )2+k m 212+⋅2-x y +km k m 263+-=0;由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点N ⇒k NA ⋅k NB =-1⇒)2(463k m k m +-=-1⇒m=-72k ⇒直线l:y=k(x-72)过定点(72,0).[点评]:对于椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ(λ≠22a b )时,直线AB 过定点M(2222b a b a -+λλx 0,-2222b a b a -+λλy 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ2y ,λ222a b x 0-y 0).3.双曲线内接直角三角形子题类型Ⅲ:(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)如图,已知两点A(-5,0), B(5,0),△ABC 的内切圆的圆心在直线x=2上移动. (Ⅰ)求点C 的轨迹方程;(Ⅱ)过点M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于P,Q 两点,且MP ⋅MQ =0,求证:直线PQ 必过定点.[解析]:(Ⅰ)如图,设△ABC 内切圆分别在AB,BC,AC 上的切点为G,F,E,由切线长定理知,|AG|=|AE|,|CE|=|CF|,|BG|=|BF|⇒|AC|-|BC|=|AG|-|BG|=4<|AB|⇒点C 是以A,B 为焦点,实轴长 为4的双曲线右支,其方程为:42x -y 2=1(x>2); (Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线PQ:y=k(x-2)+m(m ≠0)⇒k MP =211-x y ,k MQ =222-x y ,1=mx k y )2(--;由x 2-4y 2=4⇒(x-2)2-4y 2+4(x-2)=0⇒(x-2)2-4y 2+4(x-2)⋅m x k y )2(--=0⇒4(2-x y )2-m 4⋅2-x y +(mk 4-1)=0⇒211-x y ⋅222-x y =m k -41;由MP ⋅MQ = 0⇒211-x y ⋅222-x y =-1⇒m k -41=-1⇒m=-34k ⇒直线PQ:y=k(x-310)过定点(310,0). [点评]:对于双曲线G:22a x -22b y =1(a>0,b>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ(λ≠22a b )时,直线AB 过定点M(2222b a b a +-λλx 0,-2222b a b a +-λλy 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ2y ,λ222a b x 0-y 0).4.子题系列:1.(2005年山东高考文科试题)己知动圆过定点(2p ,0),且与直线x=-2p相切,其中p>0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时,证明:直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.2.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线C:y 2=4x,以M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB.(Ⅰ)求证:直线AB 过定点;(Ⅱ)过点M 作AB 的垂线交AB 于点N,求点N 的轨迹方程.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点N 的轨迹是以PM 为直径的圆(除去点(1,±2)),其方程为(x-3)2+y 2=8(x ≠1).3.(1999年全国高中数学联赛试题)已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B,C,那么,△ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定4.(2012年第三届世界数学锦标赛(青年组)试题)已知抛物线y=x 2上三点A(1,1)、B 、C,满足AB ⊥BC.求△ABC 的外接圆面积的最小值. 5.子题详解:1.解:(Ⅰ)如图,设动圆圆心为M,点F(2p ,0),过点M 作直线l:x=-2p的垂线,垂足为N,则|MF|=|MN|⇒点M 的轨迹是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线,方程为y 2=2px(p>0);(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:y=kx+m,则tan α=11x y ,tan β=22x y;由tan(α+β)=tan 4π⇒tan α+tan β=1-tan αtan β⇒11x y +22x y =(1-11x y ⋅22x y )tan θ;又由y=kx+m 与y 2=2px ⇒my 2=2px(y-kx)⇒m(x y )2-2p ⋅x y +2pk=0⇒11x y +22x y =m p 2,11x y ⋅22x y=m pk 2⇒m p 2=1-mpk 2 ⇒m=2pk+2p ⇒直线AB:y=k(x+2p)+2p ⇒恒过定点(-2p,2p).2.解:(Ⅰ)设直线AB:y-2=k(x-1)+m(m ≠0)⇒1=mx k y )1()2(---;由y 2=4x ⇒(y-2)2-4(x-1)+4(y-2)=0⇒(y-2)2-4(x-1)⋅m x k y )1()2(---+4(y-2)⋅m x k y )1()2(---=0⇒(m+4)(12--x y )2-4(k+1)⋅12--x y +4k=0⇒44+m k=-1⇒m=-4k-4⇒直线AB:y+2=k(x-5)过定点T(5,-2);)0,2(p F 2px =3.解:设直线BC:y-2=k(x-1)+m,则m=-4k-4,1=mx k y )1()2(---;由y 2=4x ⇒(y-2)2-4(x-1)+4(y-2)=0⇒(y-2)2-4(x-1)⋅m x k y )1()2(---+4(y-2)⋅m x k y )1()2(---=0⇒-4k(12--x y )2-4(k+1)⋅12--x y +4k=0⇒k AB k AC =-1.故选(C).4.解:设B(t,t 2),C(a,a 2),则AB =(t-1,t 2-1),BC =(a-t,a 2-t 2);因AB ⊥BC ⇔AB ⋅BC =0⇔(t-1)(a-t)+(t 2-1)(a 2-t 2)=0 (t ≠1,a)⇔t 2+(a+1)t+(a+1)=0⇔(a+1)2-4(a+1)2≥0⇔a ≤-1,或a ≥3;又因|AC|2=(a-1)2+(a 2-1)2=(a-1)2[1+(a+1)2];①当a ≤-1时,(a-1)2≥4,(a+1)2≥0⇒|AC|2≥4;②当a ≥3时,(a-1)2≥4,(a+1)2≥16⇒|AC|2≥68.综上,|AC|的最小值=2⇒外接圆半径的最小值=1⇒△ABC 的外接圆面积的最小值=π.。
圆锥曲线内接三角形的又一组性质
圆锥曲线内接三角形的又一组性质蒋 利 敏浙江省临海市回浦中学，317000文[1]中的四个结论的确是一组优美的结论.笔者很受启发，也一直在思考，如果内接ABC ∆的顶点A 不是圆锥曲线的顶点，而是圆锥曲线上的任意一点时，直线BC 是否恒过定点呢？于是，笔者进行了如下的探究.结论1 若椭圆12222=+b y a x 的内接ABC ∆的两条边AC AB ,所在直线的斜率之积)(22ab m m k k ACAB ≠=⋅为定值，其中),(00y x A ，则直线BC 恒过定点),(022*******y mab b ma x b ma b ma -+-+ 证明 设),(),,(2211y x C y x B ，直线BC 的方程为21k x y k +=，把直线BC 的方程代入椭圆方程得：02)(2222222122221=-+-+b a b k y b k k y a b k ， 所以2221221212a b k b k k y y +=+，22212222221ab k b a b k y y +-=⋅ 所以2221222212122)(ab k a k k y y k x x +-=-+=+ 22212221222222121212122121121)())((a b k b a k a k k y y k k y y k k y k k y k x x +-=++-=--=m y k x k a x y k k b y k x k a x y k k b a b k x x a k b a k a k a b k y y b k k b a b k x x x x x x y y y y y y x x x x y y y y k k ACAB =++--=-+--=+++-++--=++-++-=----=⋅)()(])[(])[()(2)(2)()())(())((010*********212022202012222212002222212222221200221222222002121200212102010201所以012222022222)()(y k bma b ma x b ma b ma k -+--+-=所以直线BC 的方程可化为02222022221)(x b ma b ma x y b ma b ma y k -+-=-++ 所以直线BC 恒过定点),(0222202222y mab b ma x b ma b ma -+-+. 结论2 若椭圆12222=-b y a x 的内接ABC ∆的两条边AC AB ,所在直线的斜率之积)(22ab m m k k ACAB -≠=⋅为定值，其中),(00y x A ，则直线BC 恒过定点),(022*******y bma b ma x b ma b ma ++-+-. 结论3 若抛物线)0(22>=p px y 的内接ABC ∆的两条边AC AB ,所在直线的斜率之积)0(≠=⋅m m k k AC AB 为定值，其中),(00y x A ，则直线BC 恒过定点),2(00y x mp-+-. 双曲线与抛物线同理证明.结论 4 若圆)0(222>=+a a y x 的内接ABC ∆的两条边AC AB ,所在直线的斜率之积)1(≠=⋅m m k k AC AB 为定值，其中),(00y x A ，则直线BC 恒过定点)11,11(00y mmx m m -+-+-. 证明 设),(),,(2211y x C y x B ，直线BC 的方程为21k x y k +=，把直线BC 的方程代入圆方程得：02)1(22221221=-+-+a k y k k y k所以12212121+=+k k k y y ，12122221+-=⋅k a k y y所以122)(21222121+-=-+=+k k k y y k x x 1)())((2122122222121212122121121+-=++-=--=k a k k k y y k k y y k k y k k y k x xmy k x k x y k k y k x k x y k k k x x k a k k k y y k k a k x x x x x x y y y y y y x x x x y y y y k k ACAB =++--=-+--=+++-++--=++-++-=----=⋅)()(])[(])[()1(2)1(2)()())(())((010*******212022020122120022212221200212222002121200212102010201所以01021111y k mmx m m k -++-+=所以直线BC 的方程可化为00111)11(x mmx y m m y k -++=-+- 所以直线BC 恒过定点)11,11(00y mmx m m -+-+-.参考文献1 黄德彪. 圆锥曲线内接三角形的一组性质[J]. 数学通讯，2008，14,16。
圆锥曲线三角形abf1周长最大值
圆锥曲线三角形是高等数学中的一个重要概念，其性质和应用涉及到许多数学领域，具有广泛的研究价值。
本文将从圆锥曲线三角形的定义、性质、周长最大值等方面展开论述，力求深入浅出地解析这一数学问题。
一、圆锥曲线三角形的定义圆锥曲线三角形是由圆锥曲线上三个点构成的三角形，其中圆锥曲线是平面上的一条曲线，其定义通常可以用数学方程来描述。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等，每种曲线都有其特定的性质和形状。
通过选取圆锥曲线上的三个点，可以构成一个圆锥曲线三角形，其性质和特点与普通三角形略有不同。
二、圆锥曲线三角形的性质1. 椭圆三角形：当选择的三个点都在同一条椭圆上时，所构成的三角形称为椭圆三角形。
椭圆三角形的性质与普通三角形有所不同，其内角和通常大于180度，边长关系也存在差异。
2. 双曲线三角形：同理，如果三个点都在同一条双曲线上，则构成的三角形为双曲线三角形，其性质也与普通三角形有所区别。
3. 抛物线三角形：同理，抛物线上的三个点构成的三角形被称为抛物线三角形，其性质同样各具特点。
三、圆锥曲线三角形的周长最大值1. 椭圆三角形的周长最大值：在给定椭圆的情况下，我们希望找到一个椭圆三角形，其周长达到最大值。
这一问题涉及到最优化理论和微积分等数学知识，需要通过数学方法来求解。
2. 双曲线三角形的周长最大值：类似地，对于给定的双曲线，我们也可以研究在该曲线上构成的三角形中，周长的最大取值情况。
这同样需要利用数学工具进行分析和计算。
3. 抛物线三角形的周长最大值：对于抛物线三角形，我们也可以探讨其周长的最大值，这需要运用数学推导和计算来得出结论。
结论在高等数学领域中，圆锥曲线三角形是一个值得深入研究的数学问题。
通过对其定义、性质和周长最大值的探讨，我们可以更好地理解这一概念，同时也可以运用数学方法解决相关问题。
希望本文的讨论可以对读者有所启发，促进对数学知识的深入理解和应用。
在圆锥曲线三角形的研究中，椭圆、双曲线和抛物线是最为常见的圆锥曲线类型，它们在数学、物理学和工程学等领域中都具有重要的应用价值。
圆锥曲线知识要点及重要结论
圆锥曲线知识要点及重要结论圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种特殊的曲线形状。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和重要结论，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个可移动的点P和两个固定点F1、F2组成的。
对于椭圆和双曲线而言，这两个固定点称为焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥线还有一个固定的直线L，称为准线，通过焦点F1、F2的垂线交于准线上的点称为顶点。
圆锥曲线的定义可以用以下公式表示：椭圆：PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的大半轴长度；双曲线：|PF1 - PF2| = 2a，其中a为双曲线的距离焦点到准线的距离；抛物线：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线。
2. 圆锥曲线的性质2.1 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数2a，其中a为椭圆的大半轴长度；- 椭圆的长轴是焦点的连线，短轴是准线的连线；- 椭圆是一个封闭曲线，对称于长轴和短轴。
2.2 双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有双曲线上的点到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a为焦点到准线距离的一半；- 双曲线的两支分别相交于点F1、F2，这两个点称为焦点；- 双曲线是一个非封闭曲线，它与准线之间没有交点。
2.3 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；- 抛物线是一个非封闭曲线，它与准线相切于顶点。
3. 圆锥曲线的重要结论3.1 椭圆的离心率椭圆的离心率是用来衡量椭圆形状扁度的指标，其定义为离心距与长轴长度的比值。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，而当离心率为1时，椭圆变成了一个线段。
3.2 双曲线的离心率双曲线的离心率也是衡量其形状的指标，其定义为离心距与焦点距离之差的比值。
离心率的取值范围大于1，当离心率趋近于无穷大时，双曲线的形状趋近于两个平行线。
第52讲 圆锥曲线(一)
常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究．
1．各曲线的定义
(1)椭圆：{P| |PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|，F1、F2为定点，2a为正常数}；
(2)双曲线：{P| ||PF1|－|PF2||＝2a，2a＜|F1F2|，F1、F2为定点，2a为正常数}；
证明设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得y＝2px0，y＝2px1，y＝2px2．
由于kAB＝＝＝，则直线AB方程为y－y1＝(x－x1)，即(y1＋y2)y－y1y2＝2px．⑩
因为PA⊥PB，故有·＝－1，但＝，于是就有(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4p2，即y1y2＋(y1＋y2)y0＋y02＝－4p2．
例2．设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．(1996年全国高考题)
解法一因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，c＞a，
则离心率e＝＞＞，故排除选项C、D．
因为直线l过点(a，0)、(0，b)，原点到直线l的距离为c，则c2＝ab，检验A、B分支，选A．
C类例题
例7．点P(x0，y0)是抛物线y2=2px上的任意一定点，PA、PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点．
分析由于PA⊥PB，故可考虑引入参数k(斜率)．
证明设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的斜率为k，则PA的方程：y－y0=k(x－x0)．
则y－y0＝k(x－x0)，可得x＝＋x0，①
将⑨代入⑤，并以y02＝2px0代入得：(y1＋y2)y＋(y1＋y2)y0＋2px0＋4p2－2px＝0，就是⑧式．
圆锥曲线重要结论
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段（长为2b ）2 21已知动点P 在椭圆—L 4 3 1上，F i , F 2为椭圆之左右焦点，点 G F 1PF 2内心，试求点G 的轨迹方程 x 2 2 •已知动点P 在双曲线一 4 3 仝 1上，F 1, F 2为双曲线之左右焦点,圆G 是厶F 1PF 2的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之• 性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 IAF 1 | |BF 1 |ep|AF | |BF | epAB 在同支时I AR | | BF 1 | ep—AB 在异支时ep性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数此求四边形ABCD 面积的最小值•性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值X 2 y 25.已知椭圆-冷1,点F 1为椭圆之左焦点，过点F 1的直线11分别交椭圆于A , B 两点,II设直线AB 与 y 轴于点M , MA AFtMB BF 1,试求性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AB AC 其共线向量比之和为定值. 即AF 1 F 1 B AF 2 F 2C12 1F A?FB 恒成立•并由此求I ABI 的最小值•椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数2 e 2双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep|AB||CD ||2 e 2|2ep2 e 2|AB||CD|2ep24.已知椭圆—4 2红 1 , F 1为椭圆之左焦点，过点 F 1的直线11,12分别交椭圆于 A, B 两3点和C, D 两点，且 I 112 ,是否存在实常数，使的值.实常数 ，恒成立•并由⑴求椭圆C 的方程;⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点 F i , F 2的弦分别为ES, ET ,设圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N( t,0 )的一条弦端点与对应点Y ，0的连线所成角被对称轴平分。
有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件及其证明.
有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件及其证明湖北省大冶一中 黄震 张贵钦 435100文[1]以介值定理为依据，运用数形结合的思想，证明了抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形. 通过类比，笔者发现，有心圆锥曲线也存在类似的结论.为了方便描述，本文约定，三角形三个顶点位于圆锥曲线上时，称此三角形为圆锥曲线的一个内接三角形.结论1：过椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)上任一点，均存在其一个内接正三角形.结论2：过双曲线22by a x -=1(a>0,b>0)上任一点，当a ≠3b 时，均存在其一个内接正三角形，并当a>3b 时正三角形的三个顶点位于双曲线的同一支上，当a<3b 时正三角形的三个顶点位于双曲线的两支上；当a=3b 时，不存在其内接正三角形. 下面给出这二个结论的证明.结论1的证明：如图1，设A 1，B 1，A 2，B 2为椭圆2222by a x +=1(a>b>0)的四个顶点，P 为椭圆上的一个动点，由对称性知，要证明结论1成立，只需证明P 在第二象限且包括A 1，B 2两点的一条弧线段上时，过P 均能作出其一个内接正三角形即可.设P 是椭圆在第二象限且包括A 1，B 2两点的一条弧线段上的任一点，过P 作切线l ，在l 上P 点的上、下方各取一点T 、Q ，过P 作射线PM 交椭圆于M ，使∠TPM=3π. 将∠TPM 顺时针旋转至PM 与PQ 重合. 设旋转某时刻，PT 旋转至PR ，相应地PM 旋至PE ，记∠TPR=α(0≤α≤32π)，|PR|=s(α)，|PE|=t(α)，f(α)=|PR |－|PE|.在旋转过程中，设PR 、PE 的最大长度分别为s,t ，则|PR|∈[0,s]，|PE|∈[0,t]，必存在α1,α2，使f(α1)<0，f(α2)>0，当α1≤α≤α2时，因R 、E 分别在椭圆上连续变动，所以|PR|、|PE|均为α的连续函数，所以f(α)也为连续函数，由介值定理知f(α)在区间[α1,α2]内，必存在α0，使得f(α0)=0，此时的三角形PRE 即为所作.故结论1正确.结论2的证明：设A 1、A 2是双曲线2222by a x -=1的左、右两个顶点，P 是双曲线的一个动点，由对称性知，要证结论2成立，只需证P 在A 2或P 在第一象限内时均能（不能）作出双曲线的一个内接正三角形即可.∵P 在A 2处或在双曲线中位于第一象限内的部分时，P 的轨迹方程为y=22a x a b -(x ≥a ，y ≥0)，∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠>-=')()(22a x a x a b a x a bx y 不存在，设l 1：y =－x ab，l 2：y=x ab，过P 作双曲线的切线l ，T 为l 上P 点上方的一个点，l 1到l 2的角为2β，l 1到l 的角为γ,于是我们有2β<γ≤2π+β(当P 与A 2重合时取等号).I. 当a>3b 时，β<6π，2β<γ<32π 若γ=3π，过P 作射线PM 使PM ∥l 1，如图3，则∠TPM=3π，将∠TPM顺时针旋转至PT ∥l 2，相应地PM 旋至PF ，设旋转某时刻PT 旋至PR ，相应地PM 旋至PE （R 、E 、F 均在双曲线上），记∠TPR=α，则0≤α≤3π－2β，|PR|由0递增至+∞，|PE|由+∞递减至|PF|.i) 令|PR|=s(α)，|PE|=t(α)，f(α)=|PR |－|PE|，在旋转过程中，必存在α1,α2得f(α1)<0，f(α2)>0，当α1≤α≤α2时，R 、E 点在曲线上连续变动. |PR|，|PE|为连续函数，∴f(α)为[α1,α2]上的连续函数，由介值定理知，在[α1,α2]内，必存在α0使f(α0)=0，此时△PRE 为所作正三角形.若βπγπ+≤<23，过P 作射线PM 使PM ∥l 1，如图3，由于PM 到l 所成的角与l 1到l 所成的角相等，故在双曲线上P 点上方存在一点T 1，使∠T 1PM=3π.将∠T 1PM 顺时针旋转至PT 1∥l 2，相应地PM 旋至PF ，设旋转某时刻PT 1旋至PR ，相应地PM 旋至PE(T 1、R 、E 、F 均在双曲线上)，令∠T 1PR=α(0≤α≤3π－2β)，易知|PR|由|PT 1|递增至+∞，|PE|由+∞递减至|PF|，下同i. 若2β<γ<3π，过P 作射线PM ，使PM ∥l 1，如图4，则∠TPM=r<3π，过P 作射线PK 使∠TPK=3π，K 在双曲线上且位于第四象限. 将∠TPK 顺时针旋转至PT ∥l 2，相应地PK 也旋至PF. 设旋转某时刻PT 旋至PR ，相应地PK 旋至PE （R 、E 、F 均在双曲线上）. 令∠TPR=α(0≤α≤r －2β)，易知|PR|由0递增至+∞，|PE|由|PK|递减至|PF|，下同i.故当P 在A 2处或位于双曲线在第一象限内的部分且a>3b 时，均能作出一个双曲线的内接正三角形，且位于双曲线的同一支.Ⅱ. 当a<3b 时，∵β>6π，r>2β>3π.过P 作直线m ∥l 1（在m 上P 点的上、下方各取一点M '、M ），如图5，过P 作射线PC ，使∠CPM=3π，过P 再作射线PN//l 2，设P(x 0,y 0)，∴y 0=220a x ab -，任取x 1>x 0，则直线x=x 1与双曲线，射线PN 分别交于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当y 1>y 0，y 2>y 0时，∵y 1―y 2=221a x ab -－22001)([a x a b x x a b -+-]=220221a x a x a b ---－)(01x x ab - =)()(012202212021x x a b a x a x x x ab---+-->)()(01012021x x a b x x x x a b --+-=0 ∴y 1>y 2，即双曲线在P 点上方的曲线段必位于射线PN 的上方；同理当 y 1<y 0，y 2<y 0时，双曲线在P 点下方的曲线段必须位于射线PM 的下方.∵m//l 1，2β>3π∴射线PC 的反向延长线必与双曲线的左支相交，设交点T 1，将∠M 'PT 1逆时针旋转至PT 1∥l 2. 设旋转某时刻P M '旋至PR ，相应地PT 1旋至PE （R 、E 在双曲线上），令∠M 'PR=α(0≤α≤2β－3π)，记旋转过程中|PR|的最小值为s ，|PE|的最小值为t ，则|PR|∈),[+∞s ，|PE|∈),[+∞t ，下同i.ii) ∵∠TPN=γ－2β<6π，故在双曲线右支P 点上方不存在两点M 1、N 1，使∠M 1PN 1=3π.在l 上P 点下方取一点D ，则∠MPD=π－γ<32π. 若∠MPD ≤3π，则在双曲线右支P 点下方也不存在两点M 2，N 2，使∠M 2PN 2=3π；若∠MPD>3π，将∠CPM 顺时针旋转使PM 、PC 分别与双曲线交于M 3，C 1，如图6，过M 3作直线M 3C 2//l 1交PC 1于C 2，交l 于M 4，则∠PM 3C 1>∠PM 3C 2>∠PM 4C 2=2β>3π；∴△PM 3N 4不为正三角形.故当a<3b 时的，过双曲线上任一点均能作出一个内接正三角形，且三角形的三个顶点不能位于双曲线的同一支上.Ⅲ.当a=3b 时，过P 作PM ∥l 1，PN ∥l 2，l 3∥y 轴，使M 、N 分别在P 点的上、下方，并在l 3上P 点的上、下方各取点H 、H '，如图7. 则∠MPN=∠NP H '=∠MPH=3π，将∠NPM 顺时针方向旋转至PN 与PM 重合，这个过程将得不到双曲线的一个内接三角形. 将∠MPN 逆时针方向旋转至PM 与PN 重合，设此过程中，PM 旋至PR 相应地PN 旋至PE ，R 、E 均在双曲线上，连RE 过E 作EJ ∥l 1，交线段PR 于J ，交l 2于G ，则射线GE 到l 2所成的角为3π，且3π>∠EJP>∠ERP ，又∠RPE=3π，∴△ERP 不为正三角形. 在NP ，MP 的延长线上分别取一点N 1，M 1，将∠N 1PM 1逆时针旋转至PN 1与PH 重合，或将∠N 1PM 1顺时针旋转至PM 1与PN 重合，由(ii)知得不到正三角形，故当a=3b 时，过双曲线上任一点均不能作出其内接正三角形.综上所述，结论2成立. 参考文献：1．张贵钦 黄震 抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明. 中学数学教学 2008（2）抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明湖北省大冶一中张贵钦黄震435100一、问题的提出在一次关于抛物线内容的集体备课会上，承担主讲任务的郭老师提到了解析几何课本P121的例3.[例3] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.对于例3，郭老师提出了自己的想法：当三角形的一个顶点在坐标原点时，过原点可作抛物线y2=2px(p>0)的一个内接正三角形，现在的问题是，当三角形的一个顶点为抛物线y2=2px(p>0)上异于原点的任意一点时，过这一点是否也能作出其一个内接正三角形？郭老师的话引起了大家的思考.二、问题的解决笔者经过一段时间的联合攻关，这个问题得以解决。
圆锥曲线经典性质总结及证明
方程 y 2 2 px p 0叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ p ,0），它的准线方程是 x p ；
2
2
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他
几种形式： y 2 2 px ，x 2 2 py ，x 2 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
y2 b2
1的方程里，对称轴是 x, y 轴，所以
令y
0 得 x a ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A
(a,0)
A2
(a,0)
，他们是双曲线
x a
2 2
y2 b2
1的顶点。
令 x 0，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有| MF1 | | MF2 | 2a 。
椭圆的标准方程为： x2 a2
a2，
x a 即双曲线在两条直线 x a 的外侧。
②对称性：双曲线 x 2 y 2 1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 a2 b2
双曲线 x 2 y 2 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a2 b2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 x 2 a2
圆锥曲线的经典性质总结
椭圆 必背的经典结论1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线内接顶点直角三角形的一个性质
436200 湖北省浠水师范学校 魏爱卿 1999 年全国高中数学联赛加试 第一题 : 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 ∠ BAD , 在 CD 上取一点 E ,BE 与 AC 交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G. 求证 : ∠G AC = ∠EAC. 证明 如图 1 , 连接 BD 交 AC 于 O 点 , 在 △ BCD 中运用塞瓦定理 B G CE DO = 1, GC ED OB OB = B G CE . ∴ DO GC ED 又 ∵ AO 是 △ ABD 中 ∠ A 的平分线 ,
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下面就椭圆
情形给出证明 . 证明 如图 1 , 设直线 AB : y = k (x + a) , 则直线 AC = 图1
1 ( x + a) , k y = k (x + a) ,
2
图 1 图 2
两方程联立求解 x2
y2 = 1, a b2 得 ( x + a ) [ b2 ( x - a) + a2 k2 ( x + a ) ] = 0 , + ab - k a 2ab k ) , , a2 k2 + b2 a2 k2 + b2 2 2 3 2 ab k - a - 2ab k 同理 点 C ( 2 , ). a + k2 b2 a2 + k2 b2 由对称性知若存在这样的点 , 则必为 BC 与 x 轴的交点 ,设为 M , 令 k = 1 得 a ( b2 - a 2) x M = xB = xC = . a 2 + b2 故只需证明 B 、 C、 M 三点共线 , 而这是不
AD = DC1 a b
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专题01 圆锥曲线的常用结论-2020届高三突破满分数学之圆锥曲线(文理通用)
专题01 圆锥曲线的常用结论一．椭圆焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++. （2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)122PF PF a +=; (2)1a c PF a c -≤≤+; (3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10|PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0）, 左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-; (2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数; 4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积： 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时, θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4) .21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0）P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. 9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 10. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+ . 11. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 13. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.14. 离心率e=a c =21）（ab -、e 2=1-2）（ab 15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2216. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.17. 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ++=过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=.18. 内接矩形最大面积：2ab .19. 若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+ ；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－ ；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上 20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=二．双曲线焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>，e 越大，双曲线的开口越阔渐近线方程by x a=±a y x b=±1.（1）与22221x y a b -=共轭的双曲线方程为22221x y a b-=-，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e +=。
圆锥曲线内接直角三角形的性质及应用
圆锥曲线内接直角三角形的性质及应用
袁筱蓉
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2003(000)004
【总页数】2页(P19-20)
【作者】袁筱蓉
【作者单位】深圳市翠园中学 518003
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.对圆锥曲线内接直角三角形斜边定点问题的探究 [J], 徐耀
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3.形少数时难入微——关于圆锥曲线内接等腰直角三角形个数的讨论 [J], 王绍勇;申丽萍
4.探索问题提炼模型探究拓展反思教学——以圆锥曲线内接直角三角形模型为例[J], 吴孝强
5.复习与“试”俱进探究与素养齐飞——以圆锥曲线内接直角三角形斜边过定点为例 [J], 陶冶
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[中国高考数学母题一千题](第0001号)圆锥曲线内接直角三角形的性质圆锥曲线的弦过定点的母题由圆内接直角三角形的斜边恒过定点(圆心),可类比猜测圆锥曲线内接直角三角形的斜边恒过定点;利用构造二次齐次方程的方法易证猜测正确,该猜测是生成一类高考试题的母题.[母题结构]:过圆锥曲线G 上任意一点P(x 0,y 0)作两条互相垂直的直线PA 、PB,分别交圆锥曲线于A 、B 两点,求证:直线AB 经过定点.①当曲线G 是抛物线G:y 2=2px(p>0)时,直线AB 恒过定点M(x 0+2p,-y 0);②当曲线G 是椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)时,直线AB 恒过定点M(2222b a b a +-x 0,-2222b a b a +-y 0);③当曲线G 是双曲线G:22a x -22b y =1(a>0,b>0)时,直线AB 恒过定点M(2222b a b a -+x 0,-2222b a b a -+y 0).[母题解析]:仅证②:设直线AB:y=kx+m,则y-y 0=k(x-x 0)+m+kx 0-y 0⇒1=0000)()(y kx m x x k y y -+---;由22ax +22by =1,220ax +220by =1⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=2a 2b 2-2(b 2x 0x+a 2y 0y)⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=2[(b 2x 02+a 2y 02)-(b 2x 0x+a 2y 0y)]⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2=-2[b 2x 0(x-x 0)+a 2y 0(y-y 0)]⇒b 2(x-x 0)2+a 2(y-y 0)2+00022y kx m x b -+[(x-x 0)(y-y 0)-k(x-x 0)2]+00022y kx m y a -+⋅[(y-y 0)2-k(x-x 0)(y-y 0)]=0⇒a 2(m+kx 0+y 0)(00x x y y --)2+2(b 2x 0-a 2ky 0)00x x y y --+b 2(m-kx 0-y 0)=0;由k {A k :B =-1⇒22ab ⋅0000y kx m y kx m ++-- =-1⇒m=-2222b a b a +-kx 0-2222b a b a +-y 0⇒直线AB:y=k(x-2222b a b a +-x 0)-2222b a b a +-y 0⇒直线AB 恒过定点M(2222b a b a +-x 0,-2222b a b a +-y 0);同理可证①③.1.抛物线内接直角三角形子题类型Ⅰ:(2005年山东高考试题)己知动圆过定点(2p ,0),且与直线x=-2p相切,其中p>0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明:直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.[解析]:(Ⅰ)如图,设动圆圆心为M,点F(2p ,0),过点M 作直线l:x=-2p 的垂线,垂足为N,则|MF|=|MN|⇒点M 的轨迹是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线,方程为y 2=2px(p>0);(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:y=kx+m,则tan α=11x y ,tan β=22x y;由tan(α+β)=tan θNF(p2,0)M ABx=-p 2oyx⇒tan α+tan β=(1-tan αtan β)tan θ⇒11x y +22x y =(1-11x y ⋅22x y )tan θ;又由y=kx+m 与y 2=2px ⇒my 2=2px(y-kx)⇒m(xy )2 -2p ⋅x y +2pk=0⇒11x y +22x y =m p 2,11x y ⋅22x y=m pk 2⇒m p 2=(1-mpk 2)tan θ⇒m=2pk+2pcot θ⇒直线AB:y=k(x+2p)+2pcot θ⇒恒过定点(-2p,2pcot θ).[点评]:对于抛物线G:y 2=2px(p>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ时,直线AB 过定点M(x 0-λp 2,-y 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ2y ,λp2-y 0).2.椭圆内接直角三角形子题类型Ⅱ:(2007年山东高考试题)己知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.[解析]:(Ⅰ)设椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0),则a+c=3,a-c=1⇒a=2,c=1⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)由右顶点N(2,0),直线l:y=kx+m ⇒y=k(x-2)+m+2k ⇒1=km x k y 2)2(+--;椭圆C:3x 2+4y 2=12⇒3(x-2)2+4y 2+12(x-2)=0⇒3(x-2)2+4y 2+12(x-2)k m x k y 2)2(+--=0⇒4(2-x y )2+k m 212+⋅2-x y +km k m 263+-=0;由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点N ⇒k NA ⋅k NB =-1⇒)2(463k m k m +-=-1⇒m=-72k ⇒直线l:y=k(x-72)过定点(72,0).[点评]:对于椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ(λ≠22a b )时,直线AB 过定点M(2222b a b a -+λλx 0,-2222b a b a -+λλy 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ2y ,λ222a b x 0-y 0).3.双曲线内接直角三角形子题类型Ⅲ:(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)如图,已知两点A(-5,0), B(5,0),△ABC 的内切圆的圆心在直线x=2上移动. (Ⅰ)求点C 的轨迹方程;(Ⅱ)过点M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于P,Q 两点,且MP ⋅MQ =0,求证:直线PQ 必过定点.[解析]:(Ⅰ)如图,设△ABC 内切圆分别在AB,BC,AC 上的切点为G,F,E,由切线长定理知,|AG|=|AE|,|CE|=|CF|,|BG|=|BF|⇒|AC|-|BC|=|AG|-|BG|=4<|AB|⇒点C 是以A,B 为焦点,实轴长 为4的双曲线右支,其方程为:42x -y 2=1(x>2); (Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线PQ:y=k(x-2)+m(m ≠0)⇒k MP =211-x y ,k MQ =222-x y ,1=mx k y )2(--;由x 2-4y 2=4⇒(x-2)2-4y 2+4(x-2)=0⇒(x-2)2-4y 2+4(x-2)⋅m x k y )2(--=0⇒4(2-x y )2-m 4⋅2-x y +(mk 4-1)=0⇒211-x y ⋅222-x y =m k -41;由MP ⋅MQ = 0⇒211-x y ⋅222-x y =-1⇒m k -41=-1⇒m=-34k ⇒直线PQ:y=k(x-310)过定点(310,0). [点评]:对于双曲线G:22a x -22b y =1(a>0,b>0)上的定点P(x 0,y 0)和两动点A,B,当k PA k PB =λ(λ≠22a b )时,直线AB 过定点M(2222b a b a +-λλx 0,-2222b a b a +-λλy 0);当k PA +k PB =λ(λ≠0)时,直线AB 过定点M(x 0-λ2y ,λ222a b x 0-y 0).4.子题系列:1.(2005年山东高考文科试题)己知动圆过定点(2p ,0),且与直线x=-2p相切,其中p>0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时,证明:直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.2.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线C:y 2=4x,以M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB.(Ⅰ)求证:直线AB 过定点;(Ⅱ)过点M 作AB 的垂线交AB 于点N,求点N 的轨迹方程.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点N 的轨迹是以PM 为直径的圆(除去点(1,±2)),其方程为(x-3)2+y 2=8(x ≠1).3.(1999年全国高中数学联赛试题)已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B,C,那么,△ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定4.(2012年第三届世界数学锦标赛(青年组)试题)已知抛物线y=x 2上三点A(1,1)、B 、C,满足AB ⊥BC.求△ABC 的外接圆面积的最小值. 5.子题详解:1.解:(Ⅰ)如图,设动圆圆心为M,点F(2p ,0),过点M 作直线l:x=-2p的垂线,垂足为N,则|MF|=|MN|⇒点M 的轨迹是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线,方程为y 2=2px(p>0);(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:y=kx+m,则tan α=11x y ,tan β=22x y;由tan(α+β)=tan 4π⇒tan α+tan β=1-tan αtan β⇒11x y +22x y =(1-11x y ⋅22x y )tan θ;又由y=kx+m 与y 2=2px ⇒my 2=2px(y-kx)⇒m(x y )2-2p ⋅x y +2pk=0⇒11x y +22x y =m p 2,11x y ⋅22x y=m pk 2⇒m p 2=1-mpk 2 ⇒m=2pk+2p ⇒直线AB:y=k(x+2p)+2p ⇒恒过定点(-2p,2p).2.解:(Ⅰ)设直线AB:y-2=k(x-1)+m(m ≠0)⇒1=mx k y )1()2(---;由y 2=4x ⇒(y-2)2-4(x-1)+4(y-2)=0⇒(y-2)2-4(x-1)⋅m x k y )1()2(---+4(y-2)⋅m x k y )1()2(---=0⇒(m+4)(12--x y )2-4(k+1)⋅12--x y +4k=0⇒44+m k=-1⇒m=-4k-4⇒直线AB:y+2=k(x-5)过定点T(5,-2);)0,2(p F 2px =。