均值定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
2
≤ 2 2 ( x + y ) + 2
=8
∴ 2x + 1 + 2 y + 1 ≤ 2 2
4、均值定理的应用：
设x、y都为正数，则有
⑴若x + y = （和为定值），则当x = y时，积xy取得最大值 s
s ． 4
2 p． p
2
⑵若xy = （积为定值），则当x = y时，和x + y取得最小值 p
注意：在应用的时候，必须注意 “一正二定三等”三个条件同时成立。
b a 1 1 1 1 Q 2 + = ( a + b) + = 2 + + a b a b a b
b a b a 又Q + ≥ 2 ⋅ = 2 a b a b
1 1 1 1 ∴2 + ≥ 4 ⇔ + ≥ 2 a b a b 当且仅当a = b = 1时，等号成立。
A:x的正负不确定。
B:sinx取 不 到 1。
C: x + 2取不到1。
2
2 ab 2 1 1 + 2 ab ∴ + + 2 ab ≥ a b ab
a+2
64 64 = − ( a + 2) − + 34 = 34 − a + 2 + a+2 a+2
64 Qa + 2 + a+2
≥ 2 64
= 16
取等条件
64 ∴ 34 − a + 2 + ≤ 18 a+2
即ab ≤ 18
1 1 1 m 1 ⇔ m ≤ (a − c) ⋅ + ∴ + ≥ a−b b−c a−c a−b b−c 1 1 ∴ m ≤ ( a − c ) ⋅ + a − b b − c min 1 1 1 1 + (a − c) ⋅ = a − b + ( b − c ) ⋅ a − b + b − c a−b b−c b−c a−b b−c a−b =2+ + ≥ 2+2 ⋅ =4 a−b b−c a−b b−c
2 2
2 2 2 2 1 1 = ( a + b ) = a + b + 2ab ≥ 4ab ⇔ ≥ 2ab 2 2ab − a = a ( 2b − 1) = a 2b − ( a + b ) = a ( b − a ) > 0 ⇔ 2ab > a
y2 2 2 2 x + =1 ⇔ 2x + y = 2 ⇔ 2x 2 + y 2 + 1 = 3 2
1 1 ∴(a − c) ⋅ + ≥4 a−b b−c
Qa − c > 0
∴m ≤ 4
Q
(
2x + 1 + 2 y + 1
)
2
≤ 2
(
2x + 1 +
) (
2
2y +1
2
)
⇔
⇔
(
(
2x + 1 + 2 y + 1
2x + 1 + 2 y + 1
)
2
≤ 2 ( 2 x + 1) + ( 2 y + 1)
1 1 Q + ≥2 1⋅1 = a b a b
≥2 4 =4
1 3 5 3 2 2 令a = , b = , 则a + b = , 2ab = , 4 4 8 8
证明： ( a 2 + b2 ) ≥ ( a + b )2 = 1⇔ a 2 Fra bibliotek b2 ≥ 1 2
1 ∴ a + b > > 2ab > a 2
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
2
≤ 2 2 ( x + y ) + 2
=8
∴ 2x + 1 + 2 y + 1 ≤ 2 2
4、均值定理的应用：
设x、y都为正数，则有
⑴若x + y = （和为定值），则当x = y时，积xy取得最大值 s
s ． 4
2 p． p
2
⑵若xy = （积为定值），则当x = y时，和x + y取得最小值 p
注意：在应用的时候，必须注意 “一正二定三等”三个条件同时成立。
b a 1 1 1 1 Q 2 + = ( a + b) + = 2 + + a b a b a b
b a b a 又Q + ≥ 2 ⋅ = 2 a b a b
1 1 1 1 ∴2 + ≥ 4 ⇔ + ≥ 2 a b a b 当且仅当a = b = 1时，等号成立。
A:x的正负不确定。
B:sinx取 不 到 1。
C: x + 2取不到1。
2
2 ab 2 1 1 + 2 ab ∴ + + 2 ab ≥ a b ab
a+2
64 64 = − ( a + 2) − + 34 = 34 − a + 2 + a+2 a+2
64 Qa + 2 + a+2
≥ 2 64
= 16
取等条件
64 ∴ 34 − a + 2 + ≤ 18 a+2
即ab ≤ 18
1 1 1 m 1 ⇔ m ≤ (a − c) ⋅ + ∴ + ≥ a−b b−c a−c a−b b−c 1 1 ∴ m ≤ ( a − c ) ⋅ + a − b b − c min 1 1 1 1 + (a − c) ⋅ = a − b + ( b − c ) ⋅ a − b + b − c a−b b−c b−c a−b b−c a−b =2+ + ≥ 2+2 ⋅ =4 a−b b−c a−b b−c
2 2
2 2 2 2 1 1 = ( a + b ) = a + b + 2ab ≥ 4ab ⇔ ≥ 2ab 2 2ab − a = a ( 2b − 1) = a 2b − ( a + b ) = a ( b − a ) > 0 ⇔ 2ab > a
y2 2 2 2 x + =1 ⇔ 2x + y = 2 ⇔ 2x 2 + y 2 + 1 = 3 2
1 1 ∴(a − c) ⋅ + ≥4 a−b b−c
Qa − c > 0
∴m ≤ 4
Q
(
2x + 1 + 2 y + 1
)
2
≤ 2
(
2x + 1 +
) (
2
2y +1
2
)
⇔
⇔
(
(
2x + 1 + 2 y + 1
2x + 1 + 2 y + 1
)
2
≤ 2 ( 2 x + 1) + ( 2 y + 1)
1 1 Q + ≥2 1⋅1 = a b a b
≥2 4 =4
1 3 5 3 2 2 令a = , b = , 则a + b = , 2ab = , 4 4 8 8
证明： ( a 2 + b2 ) ≥ ( a + b )2 = 1⇔ a 2 Fra bibliotek b2 ≥ 1 2
1 ∴ a + b > > 2ab > a 2