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高等数学（上）第二章练习题

一. 填空题

1． 设()f x 在0x x =处可导，且00x >

，则0lim x x →=

2． 设()f x 在x 处可导，则22

0()(2)

lim 2h f x h f x h h →+--=______________

3． 设0

()10x ax x f x e

x <⎧=⎨-≥⎩在0x =处可导，则常数a =______

4． 已知sin ()x f x x '=

，则df dx =

5． 曲线ln x x

y x +=上横坐标为1x =的点的切线方程是

6． 设sin x y x x = ，则y '=

7． 设2x y e -=，则00.1x x dy =∆==

8． 若()f x 为可导的偶函数，且0()5f x '=，则0()f x '-=

二. 单项选择题

9． 函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的【 】

A ．必要非充分条件

B ． 充分非必要条件

C ．充分必要条件

D ． 无关条件

10. 设2()()

lim ()x a f x f a l x a →-=-，其中l 为有限值，则在()f x 在x a =处【 】

A ．可导且()0f a '=

B ．可导且()0f a '≠

C ．不一定可导

D ．一定不可导

11．若2()max(2,)f x x x =，(0,4)x ∈，且()f a '不存在，(0,4)a ∈，则必有【

】 A ．1a = B.2a = C ．3a = D ． 1

2a =

12

．函数()f x x =在0x =处【 】

A ．不连续

B ．连续但不可导

C ．可导且导数为零

D ．可导但导数不为零

13．设222

1()31

x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处【 】

A ．左、右导数都存在

B ． 左导数存在但右导数不存在

C ．右导数存在但左导数不存在

D ． 左、右导数都不存在

14．设32()3||f x x x x =+，使()(0)n f 存在的最高阶数n 为【 】

A ．0 B. 1 C ．2 D ． 3

15．设()f u 可导，而()()x f x y f e e =，则y '=【 】

A ．()[()()()]f x x x x e f x f e e f e ''+

B ． ()[()()()]

f x x x e f x f e f e ''+ C ．()()()()f x x f x x e f e e f e ''+ D ． ()()()()

x f x x f x x e e f e e f e ''+

16．函数23()(2)||f x x x x x =+--不可导点的个数是【 】

A ．3 B. 2 C ．1 D ． 0

17．设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，要使()F x 在0x =处可导，则必有【 】

A ．(0)0f =

B ．(0)0f '=

C ．(0)(0)0f f '+=

D ．(0)(0)0f f '-=

18．已知直线y x =与log a y x =相切，则a =【 】

A ．e

B ． 1e -

C ．1e e -

D ．e

e

19．已知()(1)(2)(100)f x x x x x =---，且()2(98)!f a '=⨯，则a =【 】

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 20．已知01()3

f x '=

，则当0x ∆→时，在0x x =处dy 是【 】 A ．比x ∆高阶的无穷小 B ．比x ∆低阶的无穷小

C ．与x ∆等价的无穷小

D ．与x ∆同阶但非等价的无穷小

21．质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，

则当1t =时，质点的速度大小等于【 】 A ．3 B ．4 C ．7 D ．5

三. 解答下列各题

22．设()()()f x x a x ϕ=-，()x ϕ在x a =连续，求()f a '

23．2sin

(12)x y e -= ，求dy 24

．2arcsin 2

x y =，求y '' 25．若()f u 二阶可导，3()y f x =，求22d y dx

26．设111x y x ⎛⎫=+

⎪⎝⎭

，求(1)y ' 27．若2ln(1)arctan x t y t t

⎧=+⎨=-⎩ ，求dy dx 与22d y dx 28．2(1)x y x e -=-，求(24)y 29．arctan y x =，求()(0)n y

30．已知23220()011x x x f x ax bx cx d x x x x ⎧+≤⎪=+++<<⎨⎪-≥⎩

_在(,)-∞+∞内连续且可导，

求a ，b ，c ，d 的值

31．求曲线23xy e x y --=上纵坐标为0y =的点处的切线方程

32．求曲线(1)010

y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 上对应0t =处的法线方程 33．过原点O 向抛物线21y x =+作切线，求切线方程

34．顶角为60底圆半径为a 的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b （b a <）

的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗

中水面的高度是多少？

35．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式

(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中，()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，

且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程