线性系统的滞后校正设计

课程设计
题目: 线性系统的滞后校正设计
初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是
e≤，相角裕度要求校正后系统在单位斜坡输入作用下，系统的稳态误差为1%
ss
γ。

≥
45
要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
（1）作出满足初始条件的K值的未校正系统伯德图，计算系统的幅值裕量和相位裕量。

（2）在系统前向通路中插入一相位滞后校正装置，确定校正网络的传递函数，并用MATLAB 画出已校正系统的伯德图，计算已校正系统的幅值裕量和相位裕量。

（3）画出未校正和已校正系统的根轨迹。

（4）用Matlab画出已校正系统的单位阶跃响应曲线、求出超调量、峰值时间、调节时间及稳态误差。

（5）课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB程序和MATLAB输出。

说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：
指导教师签名：年月日
系主任（或责任教师）签名：年月日
目录
摘要 (I)
1题目分析及解决方法 (1)
1.1题目要求 (1)
1.2要求分析 (1)
1.3方案选择与设计 (1)
2 Bode图滞后校正 (3)
2.1相位滞后校正装置及原理............................... 错误!未定义书签。

2.2 Bode图滞后校正设计方法 (3)
2.3确定滞后网络的传递函数 (3)
2.4已校正系统Bode图及分析 (4)
3系统校正前后的根轨迹 (6)
3.1待校正系统根轨迹及分析 (6)
3.2已校正系统根轨迹及分析 (6)
4已校正系统单位阶跃响应曲线及性能指标 (8)
结束语........................................... 错误!未定义书签。

参考文献......................................... 错误!未定义书签。

本科生课程设计成绩评定表......................... 错误!未定义书签。

摘要
该课程设计的功能是完成一个二阶的单位反馈线性系统的滞后校正设计，是基于MATLAB软件环境，利用Bode图滞后校正方法完成。

设计结果通过校正前后系统的伯德图、根轨迹的对比和已校正系统的单位阶跃响应曲线及其性能指标共同反映。

结果显示，滞后校正后的系统截止频率下降，相角裕度增大,提高了系统的稳态精度，又基本不改变系统动态性能。

关键词：线性系统滞后校正伯德图根轨迹响应曲线
1题目分析及解决方法
1.1题目要求
已知一单位反馈系统的开环传递函数是
要求校正后系统在单位斜坡输入作用下，系统的稳态误差为1%ss e ≤，相角裕度
45≥γ。

1.2要求分析
根据题目要求，首先由1%ss e ≤可计算K 的取值范围，然后取一个满足条件的K 值，得到未校正系统开环传递函数，利用MATLAB 软件画出待校正系统的Bode 图，确定待校正系统的截止频率ωc 、相角裕度γ和幅值裕度h(dB)。

由此些参数并结合题目对系统截止频率值要求不大的条件来选择合适的校正方式，选择校正方式后，便可以进行下一步解答。

1.3方案选择与设计
由1%ss e ≤可得
e ss (∞)=1
K
≤1%
得到K 的范围为K ≥100，取K=100，得到开环系统得传递函数为
)
104.0(100
)(+=
s s s G
利用MATLAB 画出待校正系统的Bode 图，程序如下。

clear all ;
G=tf(100,[0.04 1 0]); margin(G)
对应的Bode 图如图1-1所示。

图1-1 待校正系统Bode图
由图可得，待校正系统的幅值裕度h为无穷大，截止频率ωc=47rad/s，相角裕度γ=28°。

由于题目对系统截止频率值要求不大，故选用串联滞后校正可以满足需要的性能指标。

2 Bode 图滞后校正
段。

2.2 Bode 图滞后校正设计方法
当滞后校正时，将校正环节的两个转折频率设置在远离校正后系统截止频率的低频段，其意图是利用滞后网络的高频幅值衰减特性，校正后系统中频段的幅频将衰减∣20lgb ∣dB ，而其相频可认为不衰减，因此校正后系统的截止频率将减小，而在新的截止频率处将获得较大的相角裕度。

这样系统的快速性变差，稳定性和抑制高频抗干扰的能力将增强，可以认为滞后校正是用牺牲前者来改善后者。

根据自动控制理论，利用Bode 图进行滞后校正的步骤如下：
1） 满足由第一章已经得到了待校正系统得开环传递函数及其伯德图和性能指标，性能指
0lg 20lg 201=+M b
即
1
1
M b =
2） 通过确定校正网络的零点确定其参数T 。

从理论上讲，1/（bT ）距离ωc1越远，滞后网络对校正后系统相角裕度的减少量影响越小，但是因为当1/（bT ）距ωc1一定远时，1/（bT ）的减小对ωc1点相位滞后量的变化影响不大，工程上常取在远离ωc110倍频程的地方，即
11.01
c bT
ω=
故有
1
10
c b T ω=
3）画出校正后系统的Bode 图，并检验系统的频域性能指标。

2.3确定滞后网络的传递函数
运行程序，滞后校正网络的传递函数如下图2-1所示。

(2-3) (2-4)
(2-5)
图2-1 滞后校正网络传递函数
即滞后校正网络传递函数为
1
896.11
494.0++=
s s G c
2.4已校正系统Bode 图及分析
在上节求滞后网络传递函数程序代码的基础上加上如下代码可得到已校正系统得开环传递函数及其伯德图。

Gk=G*Gc; margin(Gk);
得到已校正系统的开环传递函数为
)
1896.1)(104.0()
1494.0(100+++=
s s s s G k
已校正系统的Bode 图如图2-2所示。

图2-2 已校正系统Bode 图
从图2-2中可以得到已校正系统的截止频率ωc1=20.3rad/s ，相角裕度
γ=46.7°>45°，幅值裕度为无穷大。

由此可见，利用串联滞后校正后的系统的截止频率下降，但提高了相角裕度。

3系统校正前后的根轨迹
3.1待校正系统根轨迹及分析
用MATLAB软件进行根轨迹的绘制，待校正系统根轨迹程序代码如下。

clear all;
num=1;
den=[0.04 1 0];
sys=tf(num,den);
rlocus(sys);
title('¸根轨迹图');
xlabel('实轴');
ylabel('虚轴');
所对应的图形如图3-1所示。

图3-1 待校正系统根轨迹
分析：根轨迹全部分布在复平面的左半平面，闭环系统稳定。

3.2已校正系统根轨迹及分析
用MATLAB软件进行根轨迹的绘制，已校正系统根轨迹程序代码如下。

clear all;
num=[0.494 1];
den=[0.07585 1.936 1 0];
sys=tf(num,den);
rlocus(sys);
title('根轨迹图');
xlabel('实轴');
ylabel('虚轴');
所对应的图形如图3-2所示。

图3-2 已校正系统根轨迹
分析：根轨迹全部分布在复平面的左半平面，闭环系统稳定。

4已校正系统单位阶跃响应曲线及性能指标
用MATLAB 画出已校正系统的单位阶跃响应曲线，程序代码如下。

clear all ;
Gk=tf([49.4 100],[0.07585 1.936 1 0]); G=feedback(Gk,1); step(G); 对应的曲线如图4-1所示。

图4-1 已校正系统单位阶跃响应曲线
调节时间可由图4-2直接读出，调节时间为
%)2(497.0=∆=s t s
峰值时间可由图4-3直接读出，峰值时间为
s t p 142.0=
超调量可从图4-3得到，超调量为
25%100%1
1-1.25%=⨯=σ
图4-2 调节时间
本科生课程设计成绩评定表
指导教师签字：
年月日。