【精品复习】立体几何篇-第8讲 立体几何中的向量方法(二)

第8讲立体几何中的向量方法(二)

【2014年高考会这样考】

考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．【复习指导】

复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．

基础梳理

1．空间的角

(1)异面直线所成的角

如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角．

(3)二面角的平面角

如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．

2．空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.

(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小

(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB

→，CD →〉．

(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．

三种成角

(1)异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2； (2)直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2；

(3)二面角的范围是[0，π]． 易误警示

利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．

双基自测

1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是( )． A ．90° B ．30° C ．45° D ．60° 解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝

12·2

＝12，

又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝60°. 答案 D

2．(人教A 版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )． A ．45° B ．135° C ．45°或135°

D ．90°

解析 cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝11×2＝22，

即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°， ∴两平面所成的二面角为45°或135°. 答案 C

3．(2011·德州月考)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1

2，则l 与α所成的角为( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析 设l 与α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝1

2，∴θ＝30°.

答案 A

4．在如图所示的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )． A ．－1010 B ．－120 C.120

D.1010

解析 如图建立直角坐标系D -xyz ，设DA ＝1，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.则AC →＝(－1,1,0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，若异面直线DE 与AC 所成的角为θ， cos θ＝|cos 〈AC

→，DE →〉|＝1010

.

答案 D

5．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________． 解析 建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB ＝BC ＝AA 1＝2， 则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1) 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1

→〉＝22×22

＝1

2，

∴EF 和BC 1所成角为60°. 答案 60°

考向一 求异面直线所成的角

【例1】►(2011·上海高考改编)已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，高AA 1＝2，求

(1)异面直线BD 与AB 1所成角的余弦值；

(2)四面体AB 1D 1C 的体积．

[审题视点] 建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解，注意角的范围．

解 (1)如图建立空间直角坐标系A 1-xyz ，由已知条件： B (1,0,2)，D (0,1,2)， A (0,0,2)，B 1(1,0,0)． 则BD

→＝(－1,1,0)， AB 1

→＝(1,0，－2) 设异面直线BD 与AB 1所成角为θ， cos θ＝|cos 〈BD →，AB 1→

〉|＝1010.

(2)VAB 1D 1C ＝VABCDA 1B 1C 1D 1－4VCB 1C 1D 1＝2

3.

异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a ，b 的方向向量为m ，

n ，异面直线a ，b 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．

【训练1】 (2011·全国高考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．

解析 如图建立直角坐标系D -xyz ，设DA ＝1，由已知条件 A (1,0,0)，E ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12，1，

B (1,1,0)，

C (0,1,0)，

AE →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，12，1，BC →＝(－1,0,0)