电动力学问题

电动力学问题1.说说为什么在非稳情况下要引入位移电流？答：在非稳情况下，一般有0J ∇⋅≠，那么根据电荷守恒定律，0B J μ∇⨯=则不成立。

由于电荷守恒定律是精确的普通规律，而0B J μ∇⨯=仅是根据稳恒情况下的实验定律导出的特殊规律，所以为了将0B J μ∇⨯=修改为服从普遍电荷守恒定律的要求，从而引入位移电流。

2.试叙述麦克斯韦方程组的重要作用。

答：麦克斯韦方程组是对电磁场基本规律作出的总结性，统一性的简明而完美的描述。

它揭示了电磁场内部作用和运动，预告了电磁波的存在。

指出光波是一种电磁波，同时揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。

3.为什么在两介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧的场强与界面上电荷电流的关系？答：在介质的分界面上，由于一般出现面电荷电流的分布，使得界面两侧的场量发生跃变，微分式的麦克斯韦方程组不在适用，因此在介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧场强与界面上电荷电流的关系。

4.试推导电荷守恒定律的积分形式并叙述其物理意义。

答：令ω为场的能量密度，S 为能流密度，f 表示场对电荷作用力密度，则场对电荷系统所做的功率为：v f f vdv ⋅内场能量增加率为：v df dv dtω 通过界面S 流入V 内的能量为：s s d σ-⋅⎰则能量守恒定律的积分形式为：s s d σ-⋅⎰=v f f vdv ⋅+v df dv dtω 物理意义：单位时间通过界面S 流入V 内的能量等于场对V 内电荷作功的功率与V 内电磁场能量增加率之和。

5.静电场的基本规律是什么？ 答：包括以下几方面：① 泊松方程：2ρϕε∇=-② 边值关系：12//s s ϕϕ= 2221n nϕϕεεσ∂∂-=-∂∂ 或21n n D D σ-=-③ 边界条件：电势/s ϕ或电势的法线方向偏导数/s nϕ∂∂ 6.写出磁失势的定义式，并由此推导出磁失势所满足的泊松方程。

答：定义式：B A =∇⨯ ①在线性均匀介质内部有：B H μ= ② 又 H J ∇⨯= ③ 将①②带入③得：()A J μ∇⨯∇⨯=∴2()A A J μ∇∇⋅-∇=取A 满足规范性条件0A ∇⋅=，则有：2A J μ∇=-，此即为所满足的泊松方程。

7.写出磁标势所满足的定义式，由此推导出磁标势所满足的泊松方程并说明静电势与磁标势的区别。

答：定义式：m H ρ=-∇ ① 区别如下：对①式两边取散度： ①静电势在电场中，磁标势在磁场中。

2m m H ρρ∇⋅=-∇⋅∇=-∇ ②电场强度E 等于电势的负梯即 又 0mH ρμ∇⋅=而磁场强度等于磁标势的负梯度，即 则0m m ρϕμ∇=-此为磁标势所满足的泊松方程。

③静电势是矢量，磁标势是标量。

8.试从麦克斯韦方程组出发，导出亥姆霍兹方程，并写出时谐电磁波的一般表达式。

答：麦克斯韦方程组为：（没有电荷电流分布的自由空间或均匀的绝缘介质情况）B E t∂∇⨯=-∂ ① E ϕ=∇mH ϕ=-∇D H t∂∇⨯=-∂B∇⨯0D ∇⨯=又：对于一定频率的电磁波有：(,)()i t E x t E x e ω-=(,)()i t B x t B x e ω-=又：对于线性均匀介质有：D E ε= B H μ= ③ 将①代入②并结合③得：E i H ωμ∇⨯= H i Eωμ∇⨯=- 0E ∇⨯= 0B ∇⨯=取④中第一式的旋度并利用第二式得：2()E E ωμε∇⨯∇⨯=推出：220E E ωμε∇+=（其中22()()E E E E ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=-∇）令K =即亥姆霍兹方程：220E K E ∇+= 时谐电磁波的一般表达式即：(,)()i t E x t E x e ω-= (,)()i t B x t B x e ω-= 9．写出平面电磁波的特性。

答：（1）电磁波是横波，E 和B 都与传播方向垂直。

（2）E 和B 互相垂直，E B ⨯沿波矢K 方向。

（3）E 和B 同向，振幅比为V 。

10.证明：在介质分界面上，入射波，反射波满足下列关系：==ωωω'''x x x k k k '''==0y y y k k k '''===并由此写出反射，折射定律。

答：由于是同一列波进行的传播，则其反射波，折射波的频率都相同，即==ωωω''' 令入射波，反射波，折射波的电场强度分别为E ，E '，E ''，波失分别为k ，k '，②④k ''，则其平面波表示分别为：()0i k x t E E e ω⋅-=()0i k x t E E e ω'⋅-''= ①()0i k x t E E e ω''⋅-''''=由边界条件得：()n n e E E e E '''⨯+=⨯ 将①式带入得：00()ik xik xik x n n e E eE e e E e ⋅⋅⋅'''⨯+=⨯ ②②式对整个界面都成立，选界面为平面Z=0，则上式应对Z=0和任意x,y 成立，因此，三个指数因子必须在此平面上完全相等。

故：k x k x k x '''⋅=⋅=⋅由于x 和y 是任意的，它们的系数也应各自相等，有：x x x k k k '''== y y y k k k '''== ③如右图所示，取波失在xz 平面，则0y k =，∴0y y k k '''==即反射波失，入射波失，折射波失都 在同一平面上。

如右图，以θ，θ'，θ''分别表示入射角，反射角和折射角，则有：sin x k k θ=sin x k k θ'''= ④sin x k k θ''''''=设1v ，2v 为电磁波在两种介质中的相速度，则有：1k k v ω'==2k v ω'=⑤把④⑤代入③得：θθ'=1212sin sin v n v θθ===' 这就是反射定律与折射定律。

11.由菲涅尔公式出发，写出布鲁斯特定律。

答：由菲涅尔公式：tan()tan()E E θθθθ'''-=''+ 当090θθ''+=时，0E E '= 而0E ≠，∴0E '=。

即E 平行入射面的分量，没有折射波，因而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。

此即为布鲁斯特定律。

12.电磁场标势和失势的定义是什么？它们作怎样变化时，磁场具有规范不变性？ 答：失势：B A =∇⨯ 标势：A E tψ∂=-∇-∂ 当它们作以下规范变化时，电磁场具有规范不变性：A A ψ'=+∇ tψϕϕ∂'=-∂ 13.什么叫做推迟势，其物理意义是什么？答：推迟势：0(,)(,)4rrx t c x t dV rρϕπε-'=⎰0(,)(,)4rJ x t u c A x t dV rπ-'=⎰ 其物理意义在于，它反映了电磁场作用具有一定的传播速度，空间某点x 在其时刻的场值不依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻rt c-的电荷电流分布。

即电荷产生的物理作用不能够立即传到场点，而是较晚时刻才传到场点，所推迟的时间rc正是电磁作用从源点x '传到终点x 所需的时间，c 为电磁作用的传播速度。

14.为什么电磁辐射能把电磁能量传到任意处？ 答：在辐射区内，1E R ∝，1B R ∝，21S R∝，对球面积分和总功率与球半径无关，即221s d R d c R σσ⋅∝⋅=⎰⎰。

能量在没有导体和电荷的情况下全部传出去了，没有转化为其他形式的能量。

因此电磁能可以传到任意处。

15.洛伦兹变化的依据是什么？答：间隔不变性和变换必须是线性的。

16.在四维空间推导出四维速度的表达式。

答：设四维空间位移u dxu u v x a x =x ict ϕ=uu dx U d τ=dt =∴四维速度：123,,,)(,)u U U U U ic r u ic μ==17.从四维速度公式，写出相对论的质能关系。

答：由四维速度公式dx dx U r d dtμμμμτ==定义四维动量 0P m u μμ=其四维矢量的空间分量和时间分量分别为0p rm v ==①20p icrm ϕ==② 当vc 时将p ϕ泰勒展开：220011(......)2p m c m v c ϕ=+由此式可知p ϕ与物体的能量有关，设相对论中物体的能量为2w =i p w cϕ=W 中包含物体的动能，当v=0时动能为0，因此相对论中物体动能220T m c =-总能量为：20w T m c =+令相对论动量，相对论能量分别有：w v p =w =③联立①②③得 200w m c =此即为相对论质量关系。

18.从四维动量出发，写出相对论力学的两个方程。

答：定义u p 为四维动量，则四维力矢量u k 为uu dp k d τ=又u k 的第四个分量4k 与空间分量k 有一定关系如下：dw ick d ϕτ-==2.c dp p w d τ= dp v d τ=⋅k v =⋅因此，作用于速度为v 的物体上的四维动量为(,)u ik k k v c=⋅其中dp k d τ==k μ⋅=名词解释： 1. 梯度答：设体系中某处的物理参数为u ，在与其垂直距离的y d 处该参数为u du +，则称为该物理参数的梯度。

梯度的大小为函数的最大变化率，方向是具有函数最大变化率的方向。

算符表示：i j k x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ 2. 极化强度答：在外场作用下，电解质分子出现宏观电偶极矩分布。

宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量描述，它等于物理小体积V ∆内的总电偶极矩与V ∆之比：iipp V=∆∑3. 能流密度答：场的能流密度S ，它描述能量在场内传播。

S 在数值上等于单位时间垂直流过横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

4. 趋肤效应：对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流反集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。

5. 推迟势答：空间某点x 在其时刻的场值不依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻rt c-的电荷电流分布。

即电荷产生的物理作用不能够立即传到场点，而是较晚时刻才传到场点，所推迟的时间rc正是电磁作用从源点x '传到终点x 所需的时间，c 为电磁作用的传播速度。