高等数学空间直线及其方程ppt

x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2
s1 (m1 , n1 , p1 ) s2 (m2 , n2 , p2 )
s1

L1
^ ( s1 , s2 ) s
L1
M (2,1,3)
L 过点 M 及直线L1 的平面的方程为 :
6( x 2) 12( y 1) 6( z 3) 0 x 2y z 3 0 即 所求直线L的方程为 : 3x 2 y z 5 0 x 2y z 3 0
x y z 1 0 设直线 L: x y z 1 0
L
平面：x y z 0
过直线 L 的平面束方程为:

x y z 1 ( x y z 1) 0
即
(1 ) x (1 ) y ( 1)z ( 1) 0
i
j
k
x 1 y 1 z 例 5 求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 , 它的方程为： 3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0 再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1 x 1 y 1 z 令 t y 2t 1. 3 2 1 z t
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
7 | 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | . 3 6 6 9
arcsin 7 3 6
为所求夹角．
五、平面束
A1 x B1 y C1 z D1 0 直 线L : A2 x B2 y C 2 z D2 0
s2
L1
1
L2
^ ^ ( s1 , s2 ) ( s1 , s2 ) ^ ^ ( s1 , s2 )] cos cos ( s1 , s2 ) cos cos[ ^ ^ cos ( s1 , s2 ) | cos ( s1 , s2 )| ^ | cos ( s1 , s2 )|
A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
|
直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系：
(1) L ( 2) L //

A B C m n p
Am Bn Cp 0
x 1 y z 1 例 6 设直线 L : ，平面 2 1 2 : x y 2 z 3，求直线与平面的夹角. 解 n (1,1, 2), s (2,1, 2),
代入平面方程得 ： 3(1 3t 2) 2(1 2t 1) (t 3) 0 3 2 13 3 即14 t 6 0, 解得 : t 交点 N ( , , ) 7 7 7 7 取所求直线的方向向量为 MN
2 13 3 12 6 24 MN ( 2, 1, 3) ( , , ) 7 7 7 7 7 7
s2
L2

cos

^ | cos ( s1 , s2 )|
m1m 2 n1n2 p1 p2 m1 n1 p1 m 2 n2 p2
2 2 2 2 2 2
|
即
|
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m2 2 n2 2 p2 2
空间直线的一般方程
z
1 2
o
L
y
x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量就 称为这条直线的方向向量． 设直线L过点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 其方向向量s (m, n, p)
z
s
M0
L
M
y
o
x M ( x, y, z ) L M0 M // s M0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) x x 0 y y0 z z 0 直线的对称式方程 m n p
代入平面的方程 2 x y z 6 0 得：
即交点:
2(2 t ) (3 t ) (4 2t ) 6 0 x 1 t 1 5 t 5 0 y 2 即 z 2 (1,2,2)
三、两直线的夹角
定义 即：两直线的方向向量的夹角（锐角）
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 ( 2) L1 // L2
例如， 直线 L1 : 直线 L2 :

m1m2 n1n2 p1 p2 0
m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1 (1,4, 0), s2 (0,0,1),
s1 s2 ,
这个平面垂直于平面 它们的法向量垂直, 从而有 (1 ,1 , 1) (1,1,1) 0 即 1 1 1 0
1
L
即
1 0
1

过直线L 且垂直于平面 的平面的方程为 : x y z 1 (1)( x y z 1) 0 y z 1 0 即
解 先求直线上的一点 ( x0 , y0 , z0 )
x 0 y0 z 0 1 0 即 2 x 0 y0 3 z 0 4 0
y0 0 y0 z 0 2 0 取 x0 1 则 解得 y0 3 z 0 6 0 z 0 2
得 任给一数 （常数），
A1 x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0（3）
（ 1） （ 2）
方程(3)表示：过直线 L 的一个平面.
当变化时 , 方程(3)表示: 过直线 L 的一族平面.
反过来, 过直线 L 的任一平面, (除平面(2)外) 都含在这族平面内.
^ ^ ( s , n) 或 ( s , n) 2 2
sin sin ( s , n) ^ 2 | cos(s , n) | sin sin( s , n) Am Bn Cp 2 |
sin | Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
N
s1 (3,2,1)
L1
M (2,1,3)
令
i j 3 2
3 0
n AM s1 (3,0,3) (3,2,1) k ) 3 6i 12 j 6k (6,12,6 1
L
A( 1,1,0)
N
s1 (3,2,1)
点 (1,0,2)
为直线上一点.
1
L
再求直线的方向向量 s
n2
n1
2
所给直线与两平面的法向量都垂直 i j k 可取 s n1 n2 1 1 1 (4,1,3) 2 1 3 直线的对称式方程为:
x 1 4
y0 = = 1
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2 L
s

x x0 y y0 z z 0 L: , m n p : Ax By Cz D 0,
n ( A, B, C ),
s ( m, n, p),
第六节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C 2 z D2 0
通过一条定直线 L的所有平面的全体称为 过该直线 的平面束. 方程(3)表示过直线 L 的平面束.[实际上,缺平面(2)]
x y z 1 0 例7 求 直 线 在 平 面 x y z 0上 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x y z 1 0 投 影 直线 的 方 程 .
1
z2 3
x 1 y 0 z 2 令 t 4 1 3
x 1 4t y t z 2 3t
这就是直线的参数方程.
例 2 一直线过点 A( 2,3,4 )，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
解
所求直线与 y 轴垂直相交
交点为 B(0,3, 0), 取 s BA ( 2, 0, 4) 由对称式得，所求直线的方程为：
由对称式得，所求直线的方程为：
x 2 y 1 z 3 12 6 24 7 7 7
x 2 y 1 z 3 即 2 1 4
另解：
A( 1,1,0)
N
s1 (3,2,1)
L1
M (2,1,3)
x 1 y 1 z 设直线 L1 : 3 2 1 L1的方向向量s1 (3,2,1), 且
x2 2
y3 = = 0
z4 4
x2 y3 z4 例 3 求 直 线L : 与平面 1 1 2 2 x y z 6 0的 交 点 .
x 2 t x2 y3 z4 解 令 t y 3 t 1 1 2 z 4 2t
1 2
取
由对称式得，所求直线的方程为： x3 z5 即 x3 y2 z5 y2 = = 4 3 1 1 3 4
s n1 n2 (1,0,4) (2,1,5) 1 0 4 2 1 5 4i 3 j 1k (4,3,1)
L
点A(1,1,0)在直线 L1上
又
AM (3,0,3)
A( 1,1,0)
N
s1 (3,2,1)
L1
M (2,1,3)
L
过点M且垂直于直线 L1的平面的方程为：
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
即
3x 2 y z 5 0
A( 1,1,0)
即 L1 L2 .
s1 s2 0,
例 4 求过点( 3, 2, 5) 且与两平面 x 4z 3 和
2 x y 5 z 1的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s ( m, n, p),
所 求直 线 与两 平 面 x 4 z 3和 2 x y 5 z 1 的 法向 量 垂直 s n , s n ,
令
x x0 y y0 z z0 t m n p
直线的一组方向数

说明
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线的三种形式方程之间可以互化。
例1 用对称式方程及参数方程表示直线 x y z 1 0 2 x y 3 z 4 0