坐标表示的焦半径公式

一． 坐标表示的焦半径公式

1、 椭圆（一类） |PF 1|=r 1=√(x +

c )2+y 2 由y 2=b 2

−

b 2x 2a 2

代入整理得

r 1=√(c

a x)2

+2cx +a 2=√(a +ex )2=a +ex ,

同理，|PF 2|=r 2=√(x −c )2+y 2=⋯=a −ex

可以假想点P 在y 轴右边，r 1>r 2且x>0 帮助，显然总有r 1+r 2=2a 符合椭圆定义。 公式常见应用：

（1） 椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c

（2） 椭圆上三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)，若x 1 ,x 2 ,x 3成等差数列，则到同一个焦点

的焦半径r A ,r B ,r C 也成等差数列。 （3） 定义直线 x =∓a 2

c 为椭圆x 2

a 2+y 2

b 2=1 的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比(r 1d 1

=

r 2d 2

=e)

总等于离心率e.

2. 双曲线x 2

a 2−

y 2b 2

=1

|PF 1|=r 1=√(x +c )2+y 2 由y 2=

b 2x 2a 2

−b 2代入整理得

r 1=√(c

a x)2

+2cx +a 2=√(a +ex )2=|a +ex | ,

由双曲线上点|x |≥a ,

若点P 在右支上，r 1=ex +a . 同理，r 2=ex −a .总有r 1−r 2=若点P 在左支上，r 1=ex −a . 同理，r 2=ex +a .总有r 2−r 1=公示的应用：

（1）若双曲线上同一支上的三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)，有x 1 ,x 2 ,x 3成等差数列，则

它们到同一个焦点的焦半径r A ,r B ,r C 也成等差数列。 （2）定义直线 x =∓a 2c 为双曲线x 2a 2−y 2

b 2=1 的左右准线。

由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比(r 1

d 1

=r

2d 2

=e)总等于离心率e.

3.抛物线 y 2=2Px |MF |=r =x +p

2

公式的应用：抛物线上三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)， 若x 1+x 3=2x 2，则r A +r C =2r B 。

二． 1、 统一定义：平面上到定点F 与定直线l 距离之比等于

常数e 的点轨迹。若01，则轨迹为双曲线。

（2）公式：r=eP

1−e cosθe:离心率，对于椭圆，双曲线，eP=b

a

.

（3）公式的应用：焦点弦长公式

|MN|=r M+r N=eP

1−e cosθ−eP

1−e cos(θ+π)

=2eP

1−e2cos2θ

说明：

（1）焦点弦长公式中，方向角θ以平方形式出现，

不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴

夹角：θϵ（0，π

2

].

（2）有对称性θ

（3）对于双曲线当1−e2cos2θ=0时，θ所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。

若θ较小，使1−e2cos2θ<0时，此时公式应表为|MN|=2eP

|1−e2cos2θ|

，此时焦点弦的两个端点分在两支上。

（4）对于抛物线y2=2Px，∵e=1 ,|MN|=2P

1−cos2θ=2P

1−sin2θ

.θ为焦点弦与对称轴夹角。

（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在|MN|=2P

1−cos2θ

中，令θ=900，得通径的统一表示2eP.

对于椭圆，双曲线: 2eP=2b2

a

；对于抛物线: 2eP=2P.

（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如x2=Ky焦点弦与对称轴夹角θ，

则有|MN|=|K|

sin2θ

.

三．相交弦长公式

将直线y=Kx+d 代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2

(b2+a2K2)x2+2aKdx+a2d2−a2b2=0.若∆=4a2b2(a2K2+b2−d2)>0

存在相交弦A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,|AB|=√(x1−x2)2−(y1−y2)2=√1+K2|x1−x2|在(b2+a2K2)x2+2aKdx+a2d2−a2b2=0中，由求根公式

|x1−x2|=√∆

b2+a2K2，|AB|=√∆

b2+a2K2

√1+K2

在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。

上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。

四． 焦点三角形问题

对于椭圆和双曲线存在焦点三角形

对于焦点三角形问题，应注意两条：

一是用定义：椭圆：r 1+r 2=2a ；双曲线：|r 1−r 2|=2a 。 二是用正余弦定理：

举例：已知椭圆x 2

a 2+y 2

b 2=1 ，(a >b >0) ，点P 位其上一点，点P 对F 1,F 2张角 （即∠F 1PF 2=θ） ，试求S ∆PF 1F 2的θ 表示式。

解：由余弦定理：4c 2=r 12+ r 22−2r 1r 2cos θ=(r 1+r 2)2−2r 1r 2−2r 1r 2cos θ

=4a 2−2r 1r 2(1+cos θ)=4a 2−2r 1r 2∙2cos 2θ

2 移项，消去4：r 1r 2cos 2θ

2=a 2−c 2=b 2 又 S ∆PF 1F 2=1

2r 1r 2sin θ=r 1r 2sin θ

2∙cos θ

2=r 1r 2∙cos

2θ2

∙

sin

θ2cos

θ2

=b 2

说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。 请你推导右面双曲线的图，若∠F 1PF 2=θ，求S ∆PF 1F 2 。

五．其他有关知识点：

1. 椭圆中的基本Rt∆OBF:BF =a,BO =b,FO =c .

令∠BFO =θ,则cos θ=c

a =e.

可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e 进行相互转换。比如：由e =

√3

2

可推知θ=300，a =2b .椭圆的方程便可以假设为：4b 2+b 2=1

2. 双曲线中的基本矩形：

x 2a 2

−

y 2b 2

=±1称为是相互共轭两条双曲线，作

x =±a ,y =±b ,四条直线构成一个矩形，称作

是这两条双曲线的基本矩形（如图）：

基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。 基本矩形中Rt∆OAD 是x 2

a 2−y 2

b 2=1的一个基本Rt∆： OA=a ,AD=b, OD=

c .令∠DOA=θ,则θ就是其一条渐