笔算开方
笔算开n次方的方法
笔算开n次方笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 92970 61757................................397^5-390^5____________________________________________1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
开方计算方法
开方计算方法开方计算方法：将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段；根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数；用第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数；把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，然后用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。
开方是平方的逆运算，是一种数学运算公式，最早的文字记载于《九章算术》中的“少广”章。
一般使用计算器输入根号，再输入数字即可得出这个数的原数。
那么怎么笔算呢？一起来了解一下。
计算步骤笔算开方的步骤：1、将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数。
2、根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数；3、用第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4、把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。
5、用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数，如果所得的积大于余数，就把试商减小再试。
6、用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
注意事项如果遇到开方开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。
笔算开平方运算很繁琐，在实际中应用较少。
总的来说，开方最快的方法就是利用计算机算。
笔算一般有以下几步：被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位分组；根据左边第一组的的数，求得平方根的最高位上的数；用第一组的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二组数组成第一个余数；把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，然后用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。
笔算开平方法的计算步骤
笔算开平方法的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．手工开根号法,只适用于任何一个整数或者有限小数开二次方.因为网上写不出样式复杂的计算式,所以只能尽量书写,然后通过口述来解释:假设一个整数1456456,开根号首先要从个位开始,每两位数做个标记,这里用'表示,那么标记后变成1'45'64'56.然后根据你要开的小数位数在小数点后补0,这里的举例开到整,则补2个0,(原因等明白该做法后自会理解),解法如下:解法中需要说明的几个问题:1,算式中的....没有意义,是因为网上无法排版,为了能把版式排得整齐点而加上的2,为了区别小数点，所以小数点用。
表示，而所有的.都是为了排版需要3、除了1'45'64'56中的'有特殊意义，在解题中有用处外，其他的'都是为了排版和对起位置，说明数字来源而加的，取消没有任何影响...........1..2..0..6。
笔算开立方
笔算开立方一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。
我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。
这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法我是掌握的。
我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。
再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。
5．用同样方法继续进行下去。
类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。
关键是第4步如何进行。
当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。
于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。
我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。
那么我有必要分析笔算开平方的本质。
以两位数ab为例，2ab= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。
这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。
事实上，100a2已在第3步里被减去了。
那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。
这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。
同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。
类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。
那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3 步所得余数减去它们的和。
任意正实数开平方的几种算法
任意正实数开平方我们在初中已经学习过。
方法是查表法。
本文介绍了包括查表法在内的四种不同开平方的算法，供大家参考。
方法一：查表法。
方法二：笔算开平方法。
将被开方数从小数点起向左、向右每隔两位划为一段，用“ ’ ”分开；求不大于且最接近左边第一段数的完全平方数，此平方数的平方根为“初商”； 从左边第一段数里减去求得初商的平方数，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 把初商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；用初商乘以20加上试商再乘以试商。
如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；以此类推，直至满足要求的精度；平方根小数点位置应与被开平方数的小数点位置对齐。
例1 求316.4841的平方根。
第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左、向右每隔两位用逗号分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41。
第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为2113=<，而2(11)43+=>。
第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216。
第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而[20(1)]⨯++初商试商(1)⨯+试商则大于第一余数。
第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748。
依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束。
若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值。
第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐。
本例的算式如下：)0≠，则(*)的解为1,2,。
求立方根（笔算开立方）方法
求立方根（笔算开立方）方法1、从个位向左每3位数分一节，最左一节可能是3位、2位也可能是1位数。
分出几节说明立方根就有几位数。
2、求出最高（左边第一）节位立方根（整数），余数连接下一节3位数作为下一组的被除数。
3、用求出的立方根的2次方×300后试除被除数，能商几就用前面立方根的平方×300×商＋前面立方根×30×商的平方＋商的立方。
（注：一般实际商会比试商少1，因为在试商的情况下还要＋新商的立方）这个商就是所求立方根的第2位数。
4、同上：将第二次的余数连接下一节3位数作为新的被除数。
5、将前面已有两位数组成的立方根的平方×300后试除新的被除数，能商几就用：前两位立方根的平方×300×商＋前两位立方根×30×商的平方＋商的立方。
这个商就是所求立方根的第3位数。
6、反复采用上述计算方法，直到余数是0为止。
通过试商，如果发现商大或商小了就减小或增大数字就行了。
总之求出的立方根必须与题目相符。
例1：求17576的立方根解：分节：17’576说明立方根有2位数17的立方根（整数部分）是22×2×2=817-8=99000+576＝95762的平方×300＝12009576÷1200最多商77-1=6（试商）2×2×300×6+2×30×6×6+6×6×6=95769576-9576=020+6=2617576的立方根是26例2：求13144256的立方根解：分节：13’144’256说明立方根有3位数13的立方根（整数部分）是22×2×2=813-8=55000+144＝51442的平方×300＝12005144÷1200最多商44-1=3（试商）2×2×300×3+2×30×3×3+3×3×3=41675144-4167=977977000+256=97725623×23×300＝158700977256÷158700最多可以商623×23x300x6＋23×30×6×6+6×6×6＝977256977256-977256=0200+30+6=23613144256立方根是236。
笔算开方
如何笔算开方1、把被开方数的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，用撇号分开；小数部分从右往左每隔n位为一段，用撇号分开。
2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；也就是找到这样一个最大的正整数，使得这个数的n次方小于或等于第一段里的数3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方（a^n），它们的差与第二段数连起来作为第一个余数；4、用第一个余数除以n(10a)^(n-1)，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数。
下面以根号2为例，根号2=1.414分段如下：2.00’00’00第一段为2,因为1^<2,2^2>2,所以最大的正整数a=1。
1是根号2的第一位数。
2-1=13．第一个余数为100,100除以2*(10*1)^2-1,所得的整数部分b=5.(10*1+5)^2-（10*1）^2>100，这样取b=4，（10*1+4）^2-(10*1)^2=96<100，所以b=4可以。
4是根号2的第一位小数。
根号2=1.4了。
4.100-96=4，与小数位里的第二段组成第二余数400.此时a=14。
400除以2(10*14)^2-1,也即400除以280.整数部分是1，也就是说b=1.(10*14+1)^2-(10*14)^2=281<400.所以b=1是根号2的第二位小数，此时根号2=1.41.5.400-281=119，与小数位的第三分段，组成第三余数11900，此时a=141。
11900除以2*(10*141)^2-1，得b=4。
笔算开立方公式
开立方公式原理还是利用二项展开式（A+B）^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3过程比较麻烦,但可以用笔算求出任意数的平方根.过程用文字来描述有点烦,希望你能看明白,如有不明白的,可在线问我.以2460375求平方根为例.第一步,先把所求数从左至右每3个数分成一段,即2,460,375(你会算平方根的,立方根的竖式算式与其相同，开平方是每两位分成一段，开立方是第三位分成一段)先求第一段2,试算法,(试取一个数,使其的立方不溢出所求数该段上的数),这一步很容易可知得数是1,把该得数1定义为A,并把这个得数1写在立方根算式相应段2的上面.第二步,求第二段,1的立方为1,2-1=1,把余数1及第二段上的三个数移下来,变成1460,还是用试算法,试求一个数B,(B可先任选一个个位数,为了说明步骤简单些,我只接选B=3),第一步,算出3A^2,即3,把3写在算式边上其它空白的地方的第一行,第二步,算出3AB=9,把9写在3的下面往右移一位,(可理解为30+9),再算出B^2=9,把9再往右移一位写在上一个9的下面,(即变成300+90+9),算出这个三个数移位相加后的得数为399.再用这个得数与试算数B(这里是3)相乘得1197,这个数没有大于1460.可选B=4再按以上相同的方法进行试算, (你可以发现是3136*4,已大于1460,)所以可以确定第二位上的数是3.把这个得数3写在算式相应段460的上面,现在已算出得数的前两位数了(13),再算第三段.把1460-1197=263,再把第三段的数375顺延下来,变成263375,此时定义13为A,用B进行试算,算法与上一段完全相同,我这里先选B=5进行试算,先在其它空白处写上3A ^2=507,第二行,往右移一位,写上3AB=195,第三行又往右移移一位写上B^2=25,这个竖式求和变成是50700+1950+25=52675用52675乘以试算数5=263375,刚好等于第三段所求数.所以135就是2460375的立方根.任意数开立方根笔算步骤如下:1、把所求数从右往左每3位分一段分成若干段,从左往右开始计算.2、先从最左边一段开始计算。
笔算开平方的方法
笔算开立方（转贴）：今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是，我就设计了一个版式。
下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如：147^3=3176523一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。
（3'176'523）第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。
1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。
因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。
第二位就填4，所以上图3个空位都填4。
然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。
笔算开方公式
笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。
既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。
以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。
手开方过程类似于除法计算。
为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。
以65536为例，其具体计算过程如下：Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。
Step2：从高位开始计算开方。
例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。
于是将2写在根号上方，计算开方余项。
即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。
Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。
即本步除数是4x(四十几)。
按照要求，本步的商必须是x。
因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。
Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。
其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。
例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。
本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。
2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。
简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。
任意正整数均可表示成则正整数M开方计算得到的就是A。
根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。
前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。
笔算开平方的方法
笔算开平方的方法下面是一个例子，展示如何用笔算的方法求一个数的平方根：步骤1：将数字按照每两个一组分开，从右边开始。
如果最右边一组只有一个数字，那么在左边加上一个0，使其成为两个数字的一组。
例如，要求计算的数为9209，则将它分成92和09两个数字。
步骤2：从左到右依次找出比第一组数字小的最大平方数。
这个平方数将作为答案的第一个数字。
在这个例子中，最大的平方数小于92，为81。
因此，答案的第一位数字是9。
步骤3：将这个平方数从第一组数字中减去，并将下一组数字添加到刚才的差的右边，得到一个新的两位数。
对于这个例子，92-81=11，将下一组数字09添加到11的右边，得到一个新的两位数1109。
步骤4：将答案的第一个数字乘以2，将结果记为a。
然后，在a和10a之间找到一个数字，使其乘以这个数字得到一个结果，最接近刚才的新的两位数。
这个数字将作为答案的第二个数字。
在这个例子中，答案的第一个数字是9，那么a=18。
在18和180之间，数字16乘以16得到256，最接近1109。
因此，答案的第二位数字是16。
步骤5：用刚才找到的数字乘以答案的第一个数字，并将其减去刚才的新的两位数，得到一个新的一位数。
在这个例子中，答案的第一个数字是9，第二个数字是16，因此用16乘以9得到144，将其减去1109得到35。
步骤6：将下一组数字添加到刚才的差的右边，得到一个新的两位数，重复步骤4和步骤5，直到最后一组数字。
在这个例子中，最后一组数字是2，遵循上面的步骤，最终的答案为95.91。
注意：这个方法需要非常熟练的计算能力和细心的计算。
在实践中，很少需要这种方法来计算平方根，因为现代计算器和软件可以非常容易地进行这种计算。
如何笔算开平方、开立方
如何笔算开平方、开立方开立方笔算法今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是，我就设计了一个版式。
下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如：147^3=3176523一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。
（3'176'523）第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。
1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。
因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。
第二位就填4，所以上图3个空位都填4。
笔算开方法
笔算开方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊笔算开方法呀！这可是个挺有意思的事儿呢。
你想想看，数字就像一群调皮的小精灵，在数学的世界里蹦蹦跳跳，而笔算开方就是我们抓住它们的神奇魔法棒！咱先从简单的说起哈，比如要算一个数的平方根。
就好像要找到一个数字的最佳伙伴，让它们相乘能得到原来那个数。
这可不是随便就能找到的哦，得一步步慢慢来。
你看啊，我们就像侦探一样，一点点地分析、推理。
先大致估计一个范围，然后不断地调整、尝试。
这过程就跟走迷宫似的，有时候会走点弯路，但只要坚持，总能找到出口。
比如说，给你一个数字 9，咱要找它的平方根。
那我们就从中间开始猜呗，4 怎么样？哎呀，4 乘 4 才 16，大了！那 3 呢？3 乘 3 正好 9，嘿，这不就找到了嘛！但要是数字复杂点呢，那可就得更细心、更耐心啦。
这就好比你要解开一个复杂的谜题，不能着急，得静下心来慢慢琢磨。
有时候可能会觉得有点难，有点头疼，但当你终于算出那个正确答案的时候，哇，那成就感，简直爆棚！就像爬山一样，过程可能很累，但当你站在山顶俯瞰风景的时候，一切都值了！笔算开方也是这样，每一步的计算都是在攀登数学的山峰。
而且哦，学会了笔算开方，你会发现好多数学问题都变得简单起来了呢。
就像你有了一把万能钥匙，可以打开好多知识的大门。
朋友们，不要害怕笔算开方，它其实没那么难啦！只要你愿意花时间去尝试，去练习，你肯定能掌握这个神奇的技能。
反正我觉得呀，数学的世界丰富多彩，笔算开方就是其中一颗闪亮的星星。
它等着我们去发现，去探索。
让我们一起拿起笔，开启这场有趣的数学之旅吧！加油哦！。
笔算开方的一般方法
对正数A笔算开n次方第一步，从A的末位开始，n位归一节，直到最左侧不足或恰好为n位；（如对123456789开立方，则分段位123 456 789）（设M为通过该方法，成功取得的前若干位结果，k为即将取得的下一位数值。
）第二步，对最左端试开n次方（试开n次方是指，寻找正整数k，使得n k≤B且()1+k n>B,这里B是要试开的数），结果设为a，则a为当前M。
然后将n a写到A最左侧那段并右对齐，求差，设为b。
第三步，将A的后面n个数接到b后面，记为B。
对下一位k，当且仅当[a n1-*M n1-+a n2-*M n2-*k +。
+a1*M*k n2-+a0*k n1-] *k≤B且[ a n1-*M n1-+a n2-*M n2-*()1+k+。
+a1*M* ()12+-k n+a0*()11+-k n]*(k+1)>B时，k为所求。
（这里，{}an为杨辉三角的第n层，a n1-=c n n1-*101-n，。
a1=c n1*101，a0=c n0第四步，将步骤三所求得的k接在M后，形成新的M，然后按照步骤三继续求下一个k，知道最右段用完。
第五步，在没有数字的（小数点后面）添上n个0，形成B，继续步骤三，知道需要的精确度。
对于有小数的数A，在第五步中，用后面的小数代替n个0，继续求下一个k。
______by仰星不颦下面是用该方法求123456789开立方，即n=3时的过程4 9 73123456789（3位归段,123试开立方得4，则4为当前M）64 （参见第二步，64为a的n次方）300*42+30*4*9+9259 456 （把后面3位接到差59后，试开数k=9）53 649 （300*42+30*4*9+92）*9的值300*492+30*49*7+72 5 807 789 （试开数k=7）5 114 473 （300*492+30*49*7+72）*7的值693 316 000 （后补0，下面重复步骤三）。
笔算开n次方的方法
笔算开n次方笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 4123319876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 9297061757................................397^5-390^5____________________________________________1 482625811954321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 242655709408851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997010254547000000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433443520609199551....................39711^5-39710^5_________________________________________1156356673393780044900000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商1119117001570432051621599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 3967182334799327840100000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 7041901386565548357443232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 692528094823377948265676800000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 917049019214028715187411930649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 775479075609349233078264869351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
怎么求一个数的平方根？
怎么求一个数的平方根？如何计算一个数的平方根说一下笔算开方过程：1、先分组，从小数点向两侧两位一组。
比如1326.78，那么13一组，26一组，78一组；132.538，1一组，32一组，53一组，80一组（小数部分必须用0补足两位；2、像除法计算一样，把这个数写在根式下（但没有除数）以1326.78为例：先想第一组13，几的平方最接近（不能大于）13？答案是3，在根号上面第一组的上面写3，13的下面写9，然后13-9=4拖下，再把第二组写在4的后面成426（类似于除法计算，但一次拖下一组；3、把上面的3乘以20写在现在这个被开方数426的前面（当作本次的除数，先写一个6，想：六十几乘以几接近426呢？注意：这两个几是相同的数！）如果是67，乘以7大于426，所以写66，在上面第二组上写6，把66乘以6的积写在426下面，相减得30，再把第三组78拖下写在30后面，成3078，小数点对齐写在上面的36后面；4、把上面的36（发现没有，每次都是用上面的数，上一次是3，这一次是36，下一次就是……全部上面的数）乘以20（每一次都乘以20，这个是不变的），得720，把72写在3078前面，想七百二十几乘以几不大于3078？上面写4，用4乘以724，积写在3078下面，相减得182，在182后面填上两个0，成18200，再如上 ... 计算……如何开根怎么求一个数的平方根这样开平方比如说给625开平方1，给被开方的数分段，从右向左，两位一段，25一段，6就一个一段。
2，商根，商根从右向开上。
给6试根，是2×2=4，就象除法试商一样。
6-4=2，就是余23，再把25移下来，是225，4，把上边的2扩大2倍，2在10位，就是20，把20×2=40，再把25移下来，就是225了，看225里边，有见个40，40×5=200，就是说225里有5个40，所以上边商根5，在40的个位上，换5，就是45了。
笔算开方方法
笔算开方方法
笔算开n 次方并不难，这里的n 可以是一切不为0的实数，如果开不尽就保留X 位小数。
还有时候，n 为0.5（就是平方）甚至更小。
若n 为有理数，就由下面的公式导出来。
p q n y y y q p
==
也可以先算开方后算乘方。
按公式，先是将n 转换成分数q 分之p 然后计算。
如果n 为负数就可以用下面的公式计算。
n n y y --=1
即y 的倒数开负n 次方（负负得正）
接着就是笔算开正整数次方了。
1. 先按n 位分一节（从小数点起）
2. 求最高一节的最大n 次方所得的一位数。
3. 落下下面一节后，然后设a 为以“商”数，b 为试商数，做得除数。
∑=---n r r r n b a r n r n 1)1()())!
(!!(
上面是求除数公式，还可以根据需要用乘法分配律简化。
4. 检验除数，使下面的式子成立，若不成立重新更改b 的值。
（c 等于已落下数）
c b a r n r n c b a
r n r n r n r r n n r r r n >+-≤-∑∑=-=-)1())!
(!!(
))!(!!(1)(1
)( 5. 在竖式顶端对应的节里写上b 的值，并用除数乘以b 与c 求差，若差大于0就重复
3至5步。
6. 竖式顶端的值就是这个的结果。
很简单的。
笔算开平方、开立方、甚至开nn;1次方根的探讨.doc
笔算开平方、开立方、甚至开n (n>1) 次方根的探讨我们可以用竖式进行除法计算，同样也可以用竖式进行开平方、开立方、甚至开n (n>1)次方的计算。
1、 笔算开平方的具体步骤：（附例说明）例1、计算41.524第一步：从小数点起两位、两位向左、向右分节，试找平方根的首位（首位尽可能大，并且平方后与被开方数第一节作差非负）。
第二步：顺次下移被开方数的后继两位数，找平方根的第二位数字（平方根第一位乘以20加上要商数字的和作为除数）。
第三步：再下移被开方数的后继两位数字，不足补零相应地给平方根点上小数点，试找平方根的第三位数字（平方根前两位数乘以20加上要商数字的和作新除数）。
2 2 2 2 2. 941.425'' 41.425'' 41.425''4 4 41 42 1 2 4 42 12 484 844041 449 40414041（1） （2） （3）这样做到最后刚好整除，便结束运算。
否则可继续做下去，到要精确的数位。
2、笔算开平方的理论证明ba b ab a b ab a b a +=++∴++=+102010020100)10(22222 )0,0(>>b a用竖式演算： a 10 + b2220100b ab a ++2100ab a +20 222020b ab b ab ++由于a 可以取大于10的整数，故找到平方根的第一位数字后，可类似地次找到其它数位上的数。
3、笔算开立方的理论证明b a b ab b a a b ab b a a b a +=+++∴+++=+10303001000303001000)10(3322332233用竖式演算：b a +103332231000a303001000b ab b a a +++ 2230300b ab a ++ 3223223030030300b ab b a b ab b a ++++4、笔算开立方的具体步骤：（附例说明）例2、计算3584.40707第一步：从小数点起向左、向右三位、三位分节，试找立方根的第一位（要求立方根的第一位尽可能大，并且立方后与被开方数第一节作差非负）。
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笔算开立方的方法方法一1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。
方法二第1、2步同上。
第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×3 0+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步，直到除尽。
开方算法的历史记载九章算术《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。
开立方原文开立方〔立方适等，求其一面也。
〕术曰：置积为实。
借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百万之面百。
〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。
〔再乘者，亦求为方幂。
以上议命而除之，则立方等也。
〕除已，三之为定法。
〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。
〕复除，折而下。
〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。
开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。
据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。
〕以三乘所得数，置中行。
〔设三廉之定长。
〕复借一算，置下行。
〔欲以为隅方。
立方等未有定数，且置一算定其位。
〕步之，中超一，下超二等。
〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。
〕复置议，以一乘中，〔为三廉备幂也。
〕再乘下，〔令隅自乘，为方幂也。
〕皆副以加定法。
以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。
〕除已，倍下，并中，从定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。
言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。
〕复除，折下如前。
开之不尽者，亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。
〕[1]开平方开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长．)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)．步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)．议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)．以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－2 5(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=1 5225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)．复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位．因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3．置3于商的十位．以次商3乘借算得3×100=3 00，与定法相加为4000＋300=4300．再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225-12900=2325．如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235．)手算开根号原理方法1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a 的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。
2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b 根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。
原理正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。
因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。
】逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；如二次方的s=2ab；三次方的s=3abD【D=a+b】五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。
】其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。
即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。
例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D =a+b】所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。
特说明。
〗其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。
但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。
因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD 【D=a+b】，而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。
也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。
注意m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！而：m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）= a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-a b)五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。
而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。
在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。
开立方公式设A = X^3，求X。
这称为开立方。
开立方有一个标准的公式：X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角标）例如，A=5，即求5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8）初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。
例如我们取X0 = 1.9按照公式：第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.17 16528，1.9+(-0.1716528)=1.7。
即取2位数值，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。
取3位数，比前面多取一位数。
第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。
即5=1.7099^3;当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。
当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。
1.5+（5/1.5&su p2;-1.5）1/3=1.7。
如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。
即X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.例如，A=5：5介于2的平方至3的平方之间。
我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。
第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。
取3位数。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.每一步多取一位数。
这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。