笔算开方

笔算开立方的方法

方法一

1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；

2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；

3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；

4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；

5．用同样方法继续进行下去。

方法二

第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；

第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×3 0+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。

然后重复第3、4步，直到除尽。

开方算法的历史记载

九章算术

《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。

开立方原文

开立方

〔立方适等，求其一面也。〕

术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。〕

议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕

除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕

复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，

方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，

折下一等也。〕

以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。〕

复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕

步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，

故又降一等也。〕

复置议，以一乘中，

〔为三廉备幂也。〕

再乘下，

〔令隅自乘，为方幂也。〕

皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕

除已，倍下，并中，从定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅

连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕

复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕[1]

开平方

开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长．)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)．步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)．议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)．以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－2 5(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=1 5225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)．复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位．因“实”的千位数字为15，且4

×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3．置3于商的十位．以次商3乘借算得3×100=3 00，与定法相加为4000＋300=4300．再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225-12900=2325．如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235．)

手算开根号原理

方法

1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a 的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。

2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b 根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。

原理

正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。】

逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；

如二次方的s=2ab；

三次方的s=3abD【D=a+b】

五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。】

其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。

即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。

例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D =a+b】

所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。特说明。〗

其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。

但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。

因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD 【D=a+b】，

而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。