换元法求不定积分说课讲解
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公式
f (u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d)(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
例2. 求
解:
1 a2
dx 1((axax))2
令 u x , 则 du 1 d x
dcosx cosx
类似
cos x dx sin x
dsin x sin x
例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )
1
(
1
1
)
( x a )( x a ) 2a xa xa
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
解法2
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例10. 求 解法1
ccoos2sxxdx 1dssiinn2xx
1 21s1ixn1s1ixn d sin x
1ln1sinx ln 1 sx in C
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
3
2
dx
co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
例13. 求
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(4)
x2 4 x2
dx
(5)
4
dx x2
(6)
dx 4xx2
11 2x 2x
2. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
10
1 d x10 10
2 1ln1sinx C
2 1sinx
解法 2
(sx ectaxn ) se x tca xn
se2cxsexctaxndx sexctaxn
d(sx etcax)n secxtanx
同样可证 或
cscxdx ln cs x co x C t
ln tanx C 2
例11.
求
(x2
x3
a2
3
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
dtanx
(7) f(ex)exdx
de x
(8) f(lnx)1xdx
dln x
例6. 求
解: 原式 =
dln x
1 2 ln x
12d1(1 22llnxnx)
例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
)2
dx .
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
例12 . 求
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
2a
2a xa
常用的几种配元形式:
1
(1)f(axb)dxa (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
(4 )f(sx)icno xd xs
d(axb)
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
例15. 求
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
f (x) f (x)
f2(x)f(x)f f2(x)
(x)dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f ( x)
12
f (x) f (x)
2
C
小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1si2nxco2xs等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
(2)
4
dx x2
解: si2x n co 23 xs[1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
∴原式 =
1 4
dx 614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
例14. 求
解: 原式= e x
ex
(x1 ex11xex)d(xex)
ln xex ln1xex C
xlnxln 1xexC
分析:
1 xex (1
xex )
1 xex xex xex(1 xex)
(x1)exdxxexdxexdx
换元法求不定积分
第二节
第8章
换元积分法与分部积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、分部积分法
基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
F[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
第二类换元法
一、第一类换元法
定理1. 设f (u)有原函数 , u(x)可导 , 则有换元
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
例3. 求 解:
dx
a
1
(
x a
)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
例4. 求 解:
sin xdx cos x
f (u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d)(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
例2. 求
解:
1 a2
dx 1((axax))2
令 u x , 则 du 1 d x
dcosx cosx
类似
cos x dx sin x
dsin x sin x
例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )
1
(
1
1
)
( x a )( x a ) 2a xa xa
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
解法2
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例10. 求 解法1
ccoos2sxxdx 1dssiinn2xx
1 21s1ixn1s1ixn d sin x
1ln1sinx ln 1 sx in C
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
3
2
dx
co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
例13. 求
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(4)
x2 4 x2
dx
(5)
4
dx x2
(6)
dx 4xx2
11 2x 2x
2. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
10
1 d x10 10
2 1ln1sinx C
2 1sinx
解法 2
(sx ectaxn ) se x tca xn
se2cxsexctaxndx sexctaxn
d(sx etcax)n secxtanx
同样可证 或
cscxdx ln cs x co x C t
ln tanx C 2
例11.
求
(x2
x3
a2
3
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
dtanx
(7) f(ex)exdx
de x
(8) f(lnx)1xdx
dln x
例6. 求
解: 原式 =
dln x
1 2 ln x
12d1(1 22llnxnx)
例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
)2
dx .
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
例12 . 求
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
2a
2a xa
常用的几种配元形式:
1
(1)f(axb)dxa (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
(4 )f(sx)icno xd xs
d(axb)
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
例15. 求
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
f (x) f (x)
f2(x)f(x)f f2(x)
(x)dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f ( x)
12
f (x) f (x)
2
C
小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1si2nxco2xs等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
(2)
4
dx x2
解: si2x n co 23 xs[1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
∴原式 =
1 4
dx 614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
例14. 求
解: 原式= e x
ex
(x1 ex11xex)d(xex)
ln xex ln1xex C
xlnxln 1xexC
分析:
1 xex (1
xex )
1 xex xex xex(1 xex)
(x1)exdxxexdxexdx
换元法求不定积分
第二节
第8章
换元积分法与分部积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、分部积分法
基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
F[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
第二类换元法
一、第一类换元法
定理1. 设f (u)有原函数 , u(x)可导 , 则有换元
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
例3. 求 解:
dx
a
1
(
x a
)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
例4. 求 解:
sin xdx cos x