换元法求不定积分说课讲解
第2讲不定积分的换元积分法
2 x 3 3 x 6 6 x 6 l6 n x 1 ) ( C .
p1
pn
一般说 , 被 来积函数 x, 由 xq1, , xqn 通过
四则运算构 , 可成作时变量t代 k 换 x.
这里 k为分母 q1, q2, , qn 的最小公. 倍数
例6 计算x4(dx2x1).
dx asettcatd nt
x2a2
atatn
x
t a
x2 a2
sect dt
l|n ste tc a t| n C 1 l|x n x 2 a 2 | C . ( C ＝ C 1 la n )
(2)x (, a)时 x0
令 x a ste ， c t ， d x 则 a ste ta tc d t， n 故 2
一、 不定积分的第一换元法 首先看复合函数的导 公数 式:
设可 y 微 F (u ),u 函 (x )可 数构 I上 成
可微的复y合 F(函 (x)数 )则 ,
( F (( x ) ) ) F (( x ) ( ) x ),
它的微分形式为 d F (( ( x ) ) F ( ) ( x ) ( ) x ) d x
.
解
令 utax， n d则 ucdo x 2xs ,于是
c d x 4 x o s c 1 2 x o c 1 s 2 x o d x ss2 e x c c 1 2 x o d x s
(1ta2nx)cdox2sx (1u2)du
u 1 u 3 C tax n 1 ta 3xn C .
f(ek)xexdx f(uk)du (uex).
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
不定积分的换元积分法PPT课件
例 2.求 3x 1dx
解：
3x
1dx
1 3
3x
1d(3x
1)
令u
3x
1
1 3
udu
1 3
2 3
u
3 2
C
回代3x
1
u
2 9
(3x
3
1) 2
C
2 9
(3x
1)
3x 1 C.
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例 3.求下列不定积分
（1）
e2x2ln xdx
e2x2 xdx 1
4
e2x2d(2x2 ) 1 e2x2 C. 4
其中s 是m和n的最小公倍数.
(2) 对 R(x, n ax b )dx, (ad bc 0)可作代换 cx d t n ax b . cx d
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例 11.求 1 dx
1 ex
解：令 1 ex t ，ex t 2 1，
x ln(t 2 1) ，dx 2t dt ，则 t2 1
积分
F(u) C 回代: (x) u
F[(x)] C
第一换元法或称为凑微分法，是与复合函数的 微分法则相对应的积分方法。
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（二）常用凑微分式子
1、求不定积分时常用的微分性质
(x)dx d[(x)] 1 d[a(x) b] ， a
其中 a, b 都是常数，且a 0 。
2、常用凑微分式子
x C.
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例 6．求下列不定积分
（1）
a2
1
x2
dx
1 dx a2[1 ( x )2 ]
1 arctan x C.
a
1 a
42不定积分的换元积分法-52页PPT文档资料
d(axb)
dxn
1 xn
dxn
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
dtanx
(7) f(ex)exdx (8) f(lnx)1xdx
de x dln x
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例5. 求 解:
类似
sin xdx cos x
dcosx cosx
cos x dx sin x
dsin x sin x
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例10
求
1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
补例
求
1 2x3
d.x 2x1
解：原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
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补例. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
x
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例6. 求
换元法不定积分的求解技巧
换元法不定积分的求解技巧换元法是解决不定积分问题中常用的一种技巧，通过引入新的变量来替换原函数中的部分表达式，从而简化积分难度。
下面将介绍换元法的求解技巧。
1. 基本思想换元法的基本思想是，将被积函数中的某一部分进行代换，使得代换后的函数形式更容易积分。
通过适当的选择代换变量和代换式，可以将原积分转化为一个更简单的形式进行求解。
2. 代换变量的选择在选择代换变量时，一般需要考虑两个因素：一是代换后的函数形式是否更容易求导，二是代换后的函数表达式是否更简单。
常用的代换变量包括：(1) 幂函数的代换：如果被积函数中包含类似于x^n 的幂函数，则可以尝试选择 u = x^n 或 u = x^m (其中 m 是n 的互补数)作为代换变量，从而将幂函数转化为指数函数，或者将多项式转化为有理函数。
(2) 三角函数的代换：如果被积函数中包含三角函数，则可以尝试使用三角函数的和差公式或倍角公式进行代换，从而将三角函数转化为代换变量的代数式。
(3) 指数函数的代换：如果被积函数中包含指数函数，则可以尝试选择u = f(x) 作为代换变量，其中f(x) 是指数函数，从而将指数函数转化为代换变量的幂函数。
(4) 对数函数的代换：如果被积函数中包含对数函数，则可以尝试选择u = f(x) 作为代换变量，其中f(x) 是对数函数，从而将对数函数转化为代换变量的指数函数。
3. 代换式的确定在选择代换式时，一般需要根据代换变量的选择来确定。
一般情况下，代换式可以通过对代换变量进行求导得到。
例如，如果选择u = x^n 作为代换变量，则代换式可以通过求导得到 du = n*x^(n-1)dx。
4. 变限积分的处理在进行换元法求解不定积分时，需要注意变限积分的处理。
换元代换后，不仅积分变量发生了变化，变限也需要根据换元式进行相应的变换。
例如，如果原积分是∫f(x)dx，通过代换 u = g(x) 后，积分变为∫F(u)du。
此时，因为积分变量由x 变为u，变限也需要由 x 的范围转化为 u 的范围，即将原来的 a 到 b 的范围转化为 g(a) 到 g(b) 的范围。
换元积分法讲解
换元积分法讲解换元积分法，也叫作变量代换法，是求解不定积分时常用的一种方法。
它通过引入一个新的变量，使得被积函数能够简化或者变得更易积分。
换元积分法的基本思想是做一个变量替换，将原来的自变量用新的变量表示。
这个变换需要满足两个条件，一是变换函数要有可逆性，意味着可以根据新变量求得原来的自变量，二是需要保持被积函数在新变量下的性质不变。
换元积分法的一般步骤如下：1. 选择一个适当的变量代换，通常选择的是被积函数中的一部分作为新的变量。
2. 将原被积函数用新变量表示，并计算其微分。
3. 将被积函数中的其他自变量用新变量表示，并将原来的积分变量替换为新变量。
4. 简化或者改写被积函数，使其变得更易积分。
5. 对新的被积函数进行求积分。
6. 将得到的结果用新变量表示，并将新变量换回原来的变量。
以下是一个具体的例子，通过变量代换来求解∫(x^2+1)^3 dx的不定积分：1. 选择变量代换 u = x^2+1。
2. 对上述变换式两边求导，得到 du = 2x dx。
3. 将原来的被积函数中的 x^2+1 用 u 替换，得到新的被积函数 (u)^3 * (1/2) du。
4. 简化新的被积函数，得到 u^3/2 du。
5. 对新的被积函数进行求积分，得到 (2/5) u^5/2 + C，其中 C 是积分常数。
6. 将结果用新变量 u 表示，并将 u 换回 x^2 + 1，得到最终的不定积分结果 (2/5) (x^2+1)^(5/2) + C。
通过换元积分法，我们可以将原来较为复杂的不定积分转化为更简单的形式，从而更容易求解。
但需要注意选择适当的变量代换，以及恢复原来的变量时的替换和计算。
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dtanx
(7) f(ex)exdx
de x
(8) f(lnx)1xdx
dln x
例6. 求
解: 原式 =
dln x
1 2 ln x
12d1(1 22llnxnx)
例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
换元法求不定积分
第二节
第8章
换元积分法与分部积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、分部积分法
基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
F[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
第二类换元法
一、第一类换元法
定理1. 设f (u)有原函数 , u(x)可导 , 则有换元
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
)2
dx .
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
例12 . 求
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
3
2
dx
co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
例13. 求
解法2
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
例10. 求 解法1
ccoos2sxxdx 1dssiinn2xx
1 21s1ixn1s1ixn d sin x
1ln1sinx ln 1 sx in C
2a
2a xa
常用的几种配元形式:
1
(1)f(axb)dxa (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
(4 )f(sx)icno xd xs
d(axb)
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
解: si2x n co 23 xs[1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
∴原式 =
1 4
dx 614co8xsd8(x)
2 1ln1sinx C
2 1sinx
解法 2
(sx ectaxn ) se x tca xn
se2cxsexctaxndx sexctaxn
d(sx etcax)n secxtanx
同样可证 或
cscxdx ln cs x co x C t
ln tanx C 2
例11.
求
(x2
x3
a2
3
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(4)
x2 4 x2
dx
(5)
4
dx x2
(6)
dx 4xx2
11 2x 2x
2. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
10
1 d x10 10
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
例14. 求
解: 原式= e x
ex
(x1 ex11xex)d(xex)
ln xex ln1xex C
xlnxln 1xexC
分析:
1 xex (1
xex )
1 xex xex xex(1 xex)
(x1)exdxxexdxexdx
dcosx cosx
类似
cos x dx sin x
dsin x sin x
例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )
1
(
1
1
)
( x a )( x a ) 2a xa xa
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
(2)
4
dx x2
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
例3. 求 解:
dx
a
1
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x a
)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
例4. 求 解:
sin xdx cos x
公式
f (u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d)(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
例2. 求
解:
1 a2
dx 1((axax))2
令 u x , 则 du 1 d x
例15. 求
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
f (x) f (x)
f2(x)f(x)f f2(x)
(x)dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f ( x)
12
f (x) f (x)
2
C
小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1si2nxco2xs等