换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法

Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：

1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微

分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .

2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.

Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，

难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：

一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则

根据复合函数求导法则，有

(())()[()]()dF x dF du du

f u f x x dx du dx dx

ϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：

()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有

[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰

⎰.

以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然

[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量

x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积

表达式中就得到()x dx du ϕ'=.

定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则

[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)

如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰

时

如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与

它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么

()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰

()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

[()]()f x x ϕϕ'来.

例1 求33x e dx ⎰

解

33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，

dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，

所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰

.

首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。 例2 ⎰xdx 2cos

解

11

cos 2cos 22=cos 2(2)22

xdx x dx x x dx '=

⋅⋅⎰⎰⎰ 令x u 2=，显然dx du 2=，

则1cos 2cos 222xdx x dx =⋅⎰⎰111

cos sin sin 2222

udu u C x C ==+=+⎰.

在比较熟练后，我们可以将设中间变量()u x ϕ=的过程省略，从而使运算更加简洁。 例3

⎰-dx x 5

)

23(

解 如将5

)23(-x 展开是很费力的，不如把23-x 作为中间变量，dx x d 3)23(=- ，

5

556

111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318

x dx x dx x d x x C --⋅--=-+⎰

⎰⎰. 例4

1

32dx x +⎰ 111111

=2=(32)ln |32|322322322

dx dx d x x C x x x ⋅+=+++++⎰⎰⎰. 例5

2

2x xe

dx ⎰

2

2

2

2

222()x x x x

xe dx e x dx e dx e C '===+⎰⎰⎰

例6 求⎰

1

(22

x =-

-⎰⎰

2211

)(1)22

x dx x '=-

-=--

33

222211211(1)2233

x u C x C

u --=-⨯+=--=+. 二、掌握几种典型的“凑微分”的方法

1()dx d ax b a =+； 11

()n n x dx d x b n -=+； )(x x e d dx e =；

1

(ln )dx d x x

=； 1()ln x x a dx d a a =； )(sin cos x d xdx =； )(cos sin x d xdx -=； )(tan sec 2x d xdx =； 2csc (cot )xdx d x =-； )(sec tan sec x d xdx x =；

)(arcsin 12

x d x dx =-；

)(arctan 12

x d x

dx

=+。 三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分

计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算. 例7 求⎰

xdx 2sin

解

2

111sin (1cos 2)cos 2222xdx x dx dx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰ 11

(cos 2)2sin 22424

x x x dx x C =-⋅=-+⎰.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式） 例8求

⎰

-2

2

x

a dx

)0(>a 解

()arcsin x x

dx C a a

===+⎰

. 利用dx nx

x d n n

1

)(-=，有如下例题

例9 求

⎰

dx x

x 2

1sin

解 dx x

x

d 21

)1(-

= 2

21

sin

1111(sin )()(sin )()x dx dx dx x x x x x '∴

=--=-⎰

⎰⎰ 111sin ()cos d C x x x =-=+⎰

例10求⎰

dx e e x

x cos 解

C e e d e dx e e x

x x x x +=⎰⎰sin )(cos cos ＝. 利用dx e e d x

x

=)(，adx a a d x

x

ln )(=