7《学习指南 第七章 静电场中的导体和电介质

第7章 静电场中的导体和电介质

7.1 要求

1、了解导体静电平衡条件和电介质的极化，了解电容器；

2、掌握计算电容器容量的方法；

3、能熟练应用电介质中的高斯定理以及安培环流定理。

7.2 内容提要

1、静电感应现象

当一个不带电的导体放在电场强度0E 的静电场中，在最初短暂的时间内

（约s 1410-数量级）导体内会有电场存在，驱使电子作定向运动，必然引起导

体内部正、负电荷的重新分布，最后达到静电平衡。在导体的两端出现等量、

异号的电荷，这种现象称为静电感应现象。

2、导体静电平衡状态

导体静电平衡时，其内部场强处处为零，导体内部和表面都没有电荷的定

向移动，导体所处的这种状态称为导体静电平衡状态。

3、导体静电平衡条件

导体内任一点的电场强度都等于零。在带电导体上，电荷只分布在导体的

表面上，导体内部处处都没有未被抵消的净电荷。

推论一：导体是等势体，其表面是等势面

0,=∙=-=⎰b

a

b a b a d U U U U ；

推论二：导体表面的场强都垂直导体表面（力线正交等势面）。

4、导体的面电荷密度与场强的关系

导体表面附近的场强在数值上等于该处面电荷σ的0/1ε，方向为导体表面

的法线方向，即

n E 0

εσ=。 导体表面各处的电荷分布与其曲率有关，凸出而尖端的地方曲率较大，电

荷面密度较大；平坦的地方曲率较小，电荷面密度较小，凹陷的地方曲率为负，

电荷面密度更小。在导体尖端的附近电场特别强，会发生尖端放电。

5、电容

（1）、孤立导体的电容

附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带的电量Q 与其电势U 成正

比，即 U

Q C =，式中比例系数C 称为孤立导体的电容，它与导体的形状和大小有关，而与Q 和U 无关。电容反映了导体储存电荷和电能的能力，其

单位是F （法拉），在实际中常用F μ和pF 。

（2）、平板电容器的电容

d

S C S Q Ed U E 00,,,εσεσ==== （3）、圆柱形电容器的电容

120ln

2R R Q U πε=，U Q C =，,C=1

20/ln 2R R πε （4）、孤立导体球电容器的电容 R C r επε04=，式中R 为球面半径。

（5）、球形电容器的电容

设内、外球半径分别为R 1和R 2，其间介质的相对电容率为r ε，则其电容

为 1

22104R R R R C r -=επε 6、电介质中的高斯定理

通过任一封闭曲面（高斯面）的电位移通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代

数和 数学表达式 q d s

=∙⎰。

7、电位移矢量

+=0ε， 在各向同性、线性介质中E E D r εεε==0 式中P 为电极化强度，电位移单位为2/m C 。

8、静电场的能量密度

2

2

E V W w ε== 7.3 解题思路

1、在分析有导体存在时的静电问题时，要根据

（1）、电荷守恒原理，导体上电荷重新分布时，其总电量不变；

（2）、高斯定理；

（3）、导体内电场为零；

（4）、相互连接的导体静电平衡时的电势相等；

2、分析电容器的问题时，要注意Q 是两极板表面上各自所带的电量的

大小。两极板间电压和电场强度的关系要具体分析，平板电容器、圆柱形电

容器和球形电容器的U-E 关系是不相同的；

3、有电介质存在的情况下，求电场E 分布时，一般应先根据自由电荷

的分布求出D 的分布，然后利用E D r εε0=，求出E 的分布。

7.4 思考题解答

在一个原来不带电的导体球的中心r 处放置一电量为q 的点电荷，此导体

球的电势多大？

答：由于放置一电量为q 的点电荷，导体球的表面上感应出大小相等、符

号相反的电量为q '和q '-。导体球是等势体，球心的电势，亦即球的电势：

r

q R q R q r q U 00004444πεπεπεπε='-+'

+= 此式说明导体球是电势等于电荷q 在球心产生的电势。 7.5 习题精解

7.1、如图7.1所示，两个同心的均匀带电球面，内球面带电荷Q 1，外球面带电荷Q 2，则在两球面之间、距离球心为r

处的P 点的场强大小E 为： (A) 2014r Q επ． (B) 2

0214r Q Q επ+． (C) 2024r Q επ． (D) 20124r

Q Q επ-． ［ ］ 图7.1 解：静电平衡时，外球壳的内表面分布电量为- Q 1外表面为Q 1+ Q 2 距离球

心为r 处的P 点的场强大小为：2014r

Q E πε=，选A 。 7.2、图7.2中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）

面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ．

(B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ．

(D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ． [ ] 图7.2

解：电力线越密的地方，E 越大；负电荷的场强则相反，故B A E E ；

电力线指向电势降低的方向，则B A U U ，

(D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ．为正确答案。

7.3、有三个直径相同的金属小球．小球1和2带等量同号电荷，两者的距

离远大于小球直径，相互作用力为F ．小球3不带电，装有绝缘手柄．用小球

3先和小球1碰一下，接着又和小球2碰一下，然后移去．则此时小球1和2

之间的相互作用力为

(A) F / 4．

(B) 3F / 8．

(C) F / 2．

(D) 3F / 4． ［ ］

解：小球1和2

带等量同号电荷，两者的距离远大于小球直径，可视为点

电荷，相互作用力为F 202

4r q πε=；当小球3先和小球1碰一下时，小球3先和

小球1的电量各为q/2，再碰一下球3时，则球3的电量为3q/4。小球1和2

之间的相互作用力为

F r

q q F 834)4/3()2/(20=⨯='πε