三角函数y=sinx的图象与性质
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三角函数的图象与性质
【例1】►(1)函数y ＝
sin x －cos x 的定义域为________．
(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．
解析 (1)sin x －cos x ＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －
π4≥0，
所以定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z
.
(2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －
π4， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－
22
，1，
故f (x )max ＝
2，f (x )min ＝－1.
答案
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z
(2) 2 －1
【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1
的定义域为________；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________．
解析
(1)由题意知：tan x ≠1，即⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π
4＋k π，k ∈Z
， 又⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
， 故函数的定义域为：⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z
. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2
⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin x －142＋78
.
又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－1
2
时，y max ＝2.
答案
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z
(2)7
8
2
三角函数的单调性
【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝
sin x －cos x
sin 2x
sin x
.
(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．
解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝
sin x －cos x sin 2x
sin x
＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝
2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π4－1，
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．
由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8，x ≠k π(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛
⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．
【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－x 2.
解 (1)将2x ＋π
6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调
递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π
12，k ∈Z .
故y ＝cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫
2x ＋
π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π
12
(k ∈Z )． (2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k
∈Z .
故y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )．
三角函数的奇偶性、周期性及
对称性
【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________． (2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.
解析
(1)要使g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，