反证法的有关题型
反证法
反证法（麻城实验高中：阮晓锋）定义：反证法就是从命题结论的否定出发，先假设结论的否定成立， 然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得到与已知条件， 已知公理，定理，定义，法则，公式等相矛盾的结果。
这样就 证明了结论的否定不成立，从而得出原命题的结论成立。
证题步骤：一般地，反证法的证题步骤如下1.反设：即假设命题的结论不成立，从而命题结论的否定成立。
2.导出矛盾：即在上述“命题结论的否定”参与推理的前提下，得到矛盾。
3.肯定结论：即由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
适证题型：主要是以下两类⑴含否定性词语或含“至多，至少，唯一，无限”等词语的命题。
⑵不易找到直接证明的思路，但若从反面入手问题变得容易解答的命题。
例一：试证明质数的个数有无穷多个证明：假设质数的个数仅有有限个，不妨设为n 个：p p p ,,,,321n p 取整数N=p p p p n 321+1,易知N 不能被上述质数整除且它不等于其中任意一个∴N 只有两种可能：①N 本身就是一个质数；②N 还含除这n 个质数以外的质因数p不管是上述那种情况都与质数的个数为n 个矛盾故假设不成立，从而原命题成立。
例二：求证：直径是圆中最长的弦证明：如图，假设直径AB 不是☉O 中最长的弦则一定存在弦CD>AB.连接OC,OD,则OC+OD=AB∵OC+OD>CD∴AB>CD 这与CD>AB 矛盾∴假设不成立，从而原命题成立。
例三：证明2是无理数 O A BC D证明：假设2是有理数，则可设2=qp （p,q 是互质的整数） ∴p=2q,于是得q 22=p 2 故p2是偶数，因而p 是偶数 ∴又可设p=2k(k 为正整数），从而得q 2=k 22 故q 2是偶数，从而得q 也是偶数∴p,q 都是偶数，从而2为其公约数，这与p,q 互质矛盾 ∴2必为有理数。
例四：当a a 21=2(b 21b +)时，试证方程b a x 112x ++=0和b a x 222x ++=0中至少有方程有实数根。
反证法
已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自
相矛盾等各种情况．
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3．反证法常用的否定形式 至 多 一 个 至 少 两 个 至 少 一 个 一 个 也 没 有
结论词
＝
＞
＜
都 是 是
任 意 某 个
至少 至多 n个 n个 至多 n－1 至少 个 n＋1 个
推导出的矛盾必须是明显的．
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过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明
了 原命题成立 ，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实
矛盾等．
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想一想：有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这 种说法对吗？为什么？ 提示 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明
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规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一 个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时， 采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，
即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有
另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时 比用同一法更方便．
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证明
假设存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y＝ax 对称，设 A(x1，
y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线 l：y＝kx＋1 与直线 y＝ax 垂直；(2) 点 A、 在直线 l： B y＝kx＋1 上； (3)线段 AB 在直线 y＝ax 上，所以 ka＝－1 y1＋y2＝kx1＋x2＋2 ② y1＋y2 x1＋x2 ③ 2 ＝a 2 ①
不等式反证法经典例题
不等式反证法经典例题
一、知识要点：
（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：
1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：
题型一：不等式的概念和表达。
如何利用高一数学中的反证法解题
如何利用高一数学中的反证法解题在高一数学的学习中，我们会接触到许多解题方法，反证法便是其中一种极具魅力和实用性的方法。
反证法，简单来说，就是先假设命题的结论不成立，然后通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，原命题成立的结论。
接下来，让我们一起深入探讨如何利用反证法来解题。
一、反证法的基本原理反证法的核心思想是“正难则反”。
当直接证明一个命题比较困难时，我们就考虑从它的反面入手。
假设原命题的结论不成立，然后基于这个假设进行一系列的推理。
如果在推理过程中出现了矛盾，比如与已知的定理、定义、公理或者题设条件相矛盾，那么就说明这个假设是错误的，从而也就证明了原命题的结论是正确的。
例如，要证明“一个三角形最多只能有一个直角”这个命题。
如果直接证明，可能会感觉无从下手。
但我们用反证法，假设一个三角形有两个或三个直角，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和为 180 度的定理相矛盾，从而证明原命题成立。
二、适用反证法的常见题型1、结论为“否定性”的命题当命题的结论是“不存在”“不可能”“不是”等否定形式时，常常适合使用反证法。
比如，证明“在一个凸多边形中，不可能存在五个内角都为钝角”。
我们先假设存在这样的凸多边形，然后通过内角和的计算推出矛盾。
2、结论为“唯一性”的命题如果要证明某个对象是唯一的，直接证明可能比较复杂，此时反证法就派上用场了。
例如，证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
假设过该点不止一条直线与已知直线平行，然后推出矛盾。
3、结论为“至多”“至少”的命题对于“至少”“至多”这类命题，反证法也是一个有效的工具。
比如，证明“一个班级中，至少有两名同学的生日在同一个月”。
假设没有两名同学的生日在同一个月，那么最多只有 12 名同学，这与班级人数通常多于 12 人相矛盾。
三、反证法的解题步骤1、反设首先，提出与原命题结论相反的假设。
需要注意的是，反设一定要全面、准确，不能遗漏任何可能的情况。
高考数学复习点拨 反证法要点解密
反证法——要点解密反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。
一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。
1．反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、公理矛盾；自相矛盾。
2．反证法解决的常见题型：（1）否定性问题：（2）存在性问题；（3）唯一性问题：（4）分类性问题。
例1 若,x y∈{正整数}，且2x y+>。
求证：12xy+<或12yx+<中至少有一个成立。
分析：注意到“至少”字样，可考虑用反证法证明。
证明：假设12xy+≥与12yx+≥同时成立，又0,0x y>>，∴12, 12.x yy x +≥⎧⎨+≥⎩将以上两式相加得2x y+≤，这与已知条件2x y+>矛盾，因此假设不成立。
故12x y +<或12y x+<中至少有一个成立。
导评：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p 则q 为真”，该证“若p 则q ⌝为假”，因此，反证法的核心是从q ⌝出发导出矛盾。
例2 设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为整数，且()0f 、()1f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根。
分析：若直接证明否定性命题比较困难，故运用反证法处理。
证明：假设方程()0f x =有一个整数根k ，则20ak bk c ++=。
①∵()0f c =，()1f a b c =++均为奇数，∴a b +必为偶数，当k 为偶数时，令()2k n n Z =∈，则()224222ak bk n a nb n na b +=+=+必为偶数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令()21k n n Z =+∈，则()()2212ak bk n na a b +=+++为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾。
初中数学命题与证明的基础测试题附答案
初中数学命题与证明的基础测试题附答案一、选择题1．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.2．下列语句正确的个数是（）①两个五次单项式的和是五次多项式②两点之间，线段最短③两点之间的距离是连接两点的线段④延长射线AB，交直线CD于点P⑤若小明家在小丽家的南偏东35︒方向，则小丽家在小明家的北偏西35︒方向A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可．【详解】①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式，错误；②两点之间，线段最短，正确；③两点之间的距离是连接两点的线段的长度，错误；④延长射线AB，交直线CD于点P，正确；⑤若小明家在小丽家的南偏东35︒方向，则小丽家在小明家的北偏西35︒方向，正确；故语句正确的个数有3个故答案为：C．【点睛】本题考查语句是否正确的问题，掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直线a b ⊥r r，则a 与b 相交所成的角为直角C ．如果两个角互补，那么这两个角是一个锐角，一个钝角D ．若a b ∥，a c ⊥，那么b c ⊥【答案】C【解析】根据平行线的判定，可知“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；根据垂直的定义，可知“直线a b ⊥，则a 与b 相交所成的角为直角”，是真命题； 根据互补的性质，可知“两个角互补，这两个角可以是两个直角”，是假命题；根据垂直的性质和平行线的性质，可知“若a b P ，a c ⊥，那么b c ⊥”，是真命题． 故选C.4．下列命题中是假命题的是（ ）A ．一个锐角的补角大于这个角B ．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A 、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B 、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C 、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D 、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．5．下列说法中，正确．．的是( ) A ．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B ．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C ．“相等的角是对顶角”是一个真命题D ．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C 是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B6．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若a>b ，则-a<-bB ．若a>b ，则a+3>b+3C ．若a>b ，则44a b > D ．若a>b ，则a 2>b 2【答案】D【解析】【分析】 利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、若a ＞b ，则-a ＜-b ，正确，是真命题；B 、若a ＞b ，则a+3＞b+3，正确，是真命题；C 、若a ＞b ，则44a b >，正确，是真命题； D 、若a ＞b ，则a 2＞b 2，错误，是假命题；故选：D ．【点睛】 此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．7．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④直角三角形的两个锐角互余；⑤同角或等角的补角相等．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，故答案选B．考点：命题与定理．8．下列命题中，是真命题的是（）A．将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12xB．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1C．对函数y＝2x，其函数值y随自变量x的增大而增大D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行【答案】A【解析】【分析】利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12x，正确，符合题意；B、若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0，故错误，是假命题，不符合题意；C、对函数y＝2x，其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大，故错误，是假命题，不符合题意；D、直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2因比例系数不相等，故一定不互相平行，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键．9．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可．【详解】根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①正确全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误综上，正确命题的个数是2个故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定等知识点，掌握理解各定义与性质是解题关键．10．用三个不等式a＞b，ab＞0，1a＞1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：①若a＞b，ab＞0，则1a＞1b；假命题：理由：∵a＞b，ab＞0，∴a＞b＞0，∴1a＜1b；②若ab＞0，1a＞1b，则a＞b，假命题；理由：∵ab＞0，∴a、b同号，∵1a＞1b，∴a＜b；③若a＞b，1a＞1b，则ab＞0，假命题；理由：∵a＞b，1a＞1b，∴a、b异号，∴ab＜0．∴组成真命题的个数为0个；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．11．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等D．如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x=-的图像上．【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A、C进行判断；利用对顶角的性质对B进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断．【详解】A．两直线平行，同位角相等，故A是假命题；B．对顶角相等，故B是假命题；C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C是假命题；D．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x=-的图像上，故D是真命题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．12．39．下列命题中，是假命题的是（）A．同旁内角互补B．对顶角相等C．直角的补角仍然是直角D．两点之间，线段最短【答案】A【解析】同旁内角不一定互补，同旁内角互补的条件是两直线平行，故选A.13．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．【详解】A、两直线平行，同位角相等，是假命题；B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．14．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.15．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．16．下列命题的逆命题不正确．．．的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：对顶角相等．正确；B、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．17．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．18．下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若ac＞bc，则a＞b；②平分弦的直径垂直于弦；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；正确命题有1个，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是掌握不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质进行判断.19．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16 C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D．若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．20．下列命题是真命题的是（）A．方程23240x x--=的二次项系数为3，一次项系数为-2B．四个角都是直角的两个四边形一定相似C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖D．对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．【详解】A、正确．B、错误，对应边不一定成比例．C、错误，不一定中奖．D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.故选：A．【点睛】此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．。
反证法
学习导航
学习目标
结合实例
―了―解→
反证法是间接证明 的一种方法
―理―解→
反证法的 思维过程
―掌―握→
运用反证法证 明数学问题
重点难点 重点：了解反证法及其思考过程、特点． 难点：根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点解决 有关问题．
新知初探思维启动
1．反证法 假设原命题_不__成__立__ ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因 此说明__假__设____错误，从而证明了__原__命__题___成立，这种证明 方法叫做反证法．
则n≠m. 若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾； 若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾． 因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【名师点评】 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两 个命题，即存在性和唯一性．本例用直接证法中的综合法证 明了存在性，反证法证明了唯一性．
证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝
a1a3，即
(23λ－
3)2＝
λ(49λ－
4)⇔4λ2－ 9
4λ＋
9＝4λ2－ 9
பைடு நூலகம்4λ⇔
9＝
0，
矛盾．所以对任意实数 λ，{an}不是等比数列．
本部分内容讲解结束
用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下
表：
正面词语
否定
正面词语
否定
等于 小于 大于
不等于
都是 不都是(至少有一个不是)
不小于(大于或等于) 至多有一个
至少有两个
不大于(小于或等于) 至少有一个
一个也没有
是
不是
想一想 1.用反证法证明命题“若 p，则 q”时，为什么证出非 q 假， 就说明“若 p，则 q”就真？
浅谈反证法的教学
一、反证法的概念：反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。
反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。
然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。
存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.二、反证法的思维过程：“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。
对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。
像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。
在反证法的证题过程中。
只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。
并且能够培养学生的反向思维，发散思维.三、反证法的逻辑原理证明用符号如下五、反证法在教学中的作用（一）培养学生逻辑思维的严密性在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。
经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。
可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。
对于题中的知识点不清楚，记得错乱。
数学证明的常见题型与应用
数学证明的常见题型与应用数学证明作为数学学科的核心内容之一，在学习数学时经常会碰到。
数学证明旨在通过逻辑推理和严密论证，将一个数学命题或结论从已知条件推导出来，使之成为数学中不可否认的真理。
本文将介绍数学证明的常见题型以及在实际应用中的意义和用途。
一、直接证明法1. 定理：如果一个多边形的内角和为180度，则该多边形是凸多边形。
证明：设多边形的边数为n，根据几何图形的性质可知，n个顶点的内角和为 (n-2) × 180 度。
因此，当 n>2 时，该多边形的内角和一定大于180度，故该多边形是凸多边形。
证毕。
二、间接证明法1. 定理：根号2是无理数。
证明：假设根号2是有理数，即可以表示为 p/q （p、q为正整数，且p/q为最简分数）。
则有 (p/q)^2 = 2，即 p^2/q^2 = 2。
将该等式两边平方可得 p^2 = 2q^2。
由此可知，p^2是偶数，那么p也必然是偶数（偶数的平方仍为偶数）。
设 p = 2k，则可得到 (2k)^2 = 2q^2，化简得2k^2 = q^2。
从而可知，q^2 是偶数，那么 q 也必然是偶数。
这与我们一开始的假设矛盾，因为在假设中，我们假设 p/q 是最简分数。
所以根号2必定是无理数。
证毕。
三、数学归纳法1. 定理：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，对于所有正整数 n 成立。
证明：首先，当 n = 1 时，左边等式为 1，右边等式为 1 × (1+1) / 2= 1。
显然相等，此时等式成立。
假设当 n = k 时，等式成立，即 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
则考虑 n = k+1 的情况，有 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k(k+1)/2) +(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
根据归纳法原理，等式对于所有正整数 n 成立。
证毕。
四、反证法1. 定理：根号2是无理数。
反证法
2.2.2反证法
白银一中
制作：胡贵平
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘 取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的 推理方法?
探究点1 反证法的定义
引例： 证明：在一个三角形中至少有一个角不小 于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°.
证明： 假设 A BC 的三个内角∠A， ∠ B， ∠ C都小于60°， 则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60° 所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法
证明：假设 2 不是无理数，那么它就是有理数.
于是，存在互质的正整数m,n使得 2 m ，从而有
n
m 2n,
因此
m 2 = 2n 2 ,
4k 2 2n 2 ,
所 以 m 为 偶 数 .于 是 可 设 m = 2k(k是 正 整 数 )， 从 而 有
即
n = 2k ,
2
2
所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ！
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
2.2.2 反证法
1、一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 、 、 、 矛盾等。
题型一 用反证法证明否定性命题【例1】设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，（1）求证：数列{}n S 不是等比数列； （2）数列{}n S 是等差数列吧？为什么？【练习1】已知a,b,c 是一组勾股数，求证：a,b,c 不可能都是奇数。
题型二 用反证法证“至多”“至少”等类型问题 【例2】设]1,1[,)(2-∈++=x c bx xx f ，证明：b<-2时，在其定义域范围内至少存在一个x,使21)(≥x f 成立。
【练习2】若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，那么方程f(x)=0,在区间[a,b]上至多有一个实数根。
题型三 用反证法证唯一性问题【例3】求证：两条相交直线有且只有一个交点。
【练习3】已知a ≠0,证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。
题型四 用反证法证正面证较难的问题【例4】已知30≤<a ,函数f(x)=3x -ax 在区间[1,+ ∞）上是增函数，设当10≥x ，1)(0≥x f 时，有00))((x x f f =，求证：00)(x x f =。
【练习4】设有长度分别为54321,,,a a a a a 和的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一个三角形，证明：其中必有锐角三角形。
一、选择题1、应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用①结论相反判断，即假设②原命题的结论③公理，定理，定义等④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③2.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 A.假设a,b,c 都是偶数 B.假设a,b,c 都不是偶数 C.假设a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设a,b,c 至多有两个是偶数3. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角 4、如果两个实数之和为正数，则这两个数 A.一个是正数，一个是负数B.两个都是正数 C.至少有一个是正数 D.两个都是负数 5、命题“△ABC 中，若∠A>∠B,则a>b ”的结论的否定应该是A.a<bB. a ≤bC.a=bD.a ≥b 二、填空题6、和两条异面直线AB,CD 都相交的两条直线AC,BD 的位置关系是 。
北师大版数学选修第1章 §3 反证法
§3 反证法1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2．反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用以下框图表示： 肯定条件p ，否定结论q →导致逻辑矛盾→“p 且¬q ”为假→“若p 则q ”为真1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的有( )①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③C [根据反证法的定义，①②③可以作为条件使用．]2．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”，则假设的内容应是( ) A ．如果a >b ，那么3a ＝3b B ．如果a >b ，那么3a <3bC ．如果a >b ，那么3a ＝3b 且3a <3b D ．如果a >b ，那么3a ＝3b 或3a <3b D [根据反证法的定义，假设内容应为D.]3．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．[答案] a ≠1或b ≠1(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．思路探究：第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．否定词和用反证法证题特点1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：1．已知方程f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根．[证明] 假设x 0是方程f (x )＝0的负数根，则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，所以ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又当x 0<0时，0<ax 0<1，故0<－x 0－2x 0＋1<1，即0<－1＋3x 0＋1<1,1<3x 0＋1<2，解得12<x 0<2．这与x 0<0矛盾， 所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．【例2】 已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 这三个数中至少有一个不小于4.思路探究：本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明． [证明] 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 都小于4， 即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x <4， 于是得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2y ·4y ＋2z ·4z ＝12，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾，因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 中至少有一个不小于4.用反证法证明“至少”“至多”问题注意点1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋y x 与1＋xy 至少有一个小于2． [证明] 假设1＋y x 与1＋xy 都不小于2， 即1＋y x ≥2，1＋xy ≥2．∵x >0，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y ， 两式相加得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )， ∴x ＋y ≤2，这与已知中x ＋y >2矛盾， ∴假设不成立，原命题成立． 故1＋y x 与1＋xy 至少有一个小于2．1．用反证法证明数学命题的步骤是什么？[提示] (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真． (2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．2．如何证明两条相交直线有且只有一个交点？[提示]假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．【例3】用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．思路探究：假设过点A有两条直线与直线a平行→由平行公理推出矛盾→命题得证[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有另外一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，∴b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设不成立，所以过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．用反证法证明唯一性命题的注意点1．当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时，反设其结论易于导出矛盾，因此可用反证法证明该类命题．2．用反证法证明唯一性命题时，如果其结论的反面呈现多样性，必须罗列出所有可能的各种情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的．3．证明“有且只有”等形式的问题时，需要证明两个方面，即证明存在性和唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设m为f(x)的一个零点，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n(n≠m)，则f(n)＝0.因为f(x)在[a，b]上单调递增，所以若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不成立，故f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．1．宜用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题等．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤分析→分清命题的条件和结论↓反设→做出与命题结论相矛盾的假设↓归谬→由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果↓结论→断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理． ( ) (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾． ( )(1)√ (2)× (3)× [(1)正确．(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理． (3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．] 2．实数a ，b ，c 不全为0等价于( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0D [不全为0即至少有一个不为0，故选D.]3．命题“△ABC 中，若A >B ，则a >b ”的结论的否定应该是( ) A ．a <b B ．a ≤b C ．a ＝bD ．a ≥bB [“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.] 4．已知非零实数a ，b ，c 成等数差列，且a ≠c .求证：1a ，1b ，1c 不可能成等差数列．[证明] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列， 则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c . 这与a ≠c 矛盾，故假设错误．1 a，1b，1c不可能成等差数列．∴。
反证法
例2： 求证： 在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 已知： 已知： △ABC． ． 求证： 中至少有一个内角小于或等于60° 求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于 °． 中至少有一个内角小于或等于 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于 °， 中没有一个内角小于或等于60° 证明： 假设△ 中没有一个内角小于或等于 即∠A＞60°， ∠B＞60°， ∠C＞60°． ＞ ° ＞ ° ＞ ° 于是∠ ＋ 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°， ＋ ＞ ° ° ° ° 与三角形的内角和等于180°矛盾． °矛盾． 与三角形的内角和等于 所以△ 中至少有一个内角小于或等于60° 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于 °． 中至少有一个内角小于或等于 。
欢 迎 指导
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 小华对婷婷说： 昨天晚上下雨了。 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 你能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的， 昨天晚上没有下雨 地上应是干的 早晨地上全湿了相矛盾 所以说昨晚下雨是正确的。 相矛盾， 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
大家议一议！
通过本节内容的学习，你 们觉得哪些题型宜用反证法 ？
我来告诉你（经验之谈） 我来告诉你（经验之谈）
（1）以否定性判断作为结论的命题； ）以否定性判断作为结论的命题； 至多” 至少” 不多于” （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形 ） 式陈述的命题； 式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题； ）关于“唯一性”结论的命题； （4）一些不等量命题的证明； ）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 ） 等等.(如平行线的传递性的证明 如平行线的传递性的证明） 等等 如平行线的传递性的证明）
2.2.2反证法
C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么 ＞ ”时，假设的内容应是()
A. ＝ 成立B. ＜ 成立
C. ＝ 或 ＜ 成立D. ＝ 且 ＜ 成立
5.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以∠B<90°；(3)假设∠B≥90°；(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是()
探-练
题型一：用反证法证明否定性命题
[例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[类题通法] 1．用反证法证明否定性命题的适用类型
一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．
2．反证法的一般步骤
问题1：王戎的论述运用了什么推理思？问题2：反证法解题的实质是什么？
[导入新知]
1．反证法
假设______不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明______，从而证明了_________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与______矛盾，或与______、______、______、______矛盾等．
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1) C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1)
2.2.2反证法课件人教新课标4
2
，b=y2-2z+ 3
，c=z2-
2x+
6
，求证:a，b，c中至少有一个大于0.
【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么？ 2.题(2)中a，b，c有什么特点？怎样应用这些特点？ 【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或两 个以上钝角”，即钝角的个数大于等于2.
(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不 是反证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有 一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情 况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结 论成立. (3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性.
结论词 至少有一个
至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有
至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个
结论词 对所有x
成立 对任意x 不成立
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立 存在某个
x0成立 p且q p或q
【变式训练】已知a，b，c是互不相等的实数，求证:由 y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明.
(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b
至少有一个能被5整除”，则假设的内容是
.
【解析】(1)当直接证明比较困难时，可以采用反证法，本题即 属于此类型，需用反证法证明比较合适. 答案:反证法 (2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b至少有一 个能被5整除的否定是a，b都不能被5整除. 答案:a，b都不能被5整除
三角形的中位线与反证法核心考点讲八年级数学下学期考试满分全攻略浙教版解析版
第11讲三角形的中位线与反证法（核心考点讲与练）一．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC．二．反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．一．三角形中位线定理（共8小题）1．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB 的中点，则DE的长是（）A．6.5B．6C．5.5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC＝＝＝12，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝6，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．2【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，结合图形解答即可．【解答】解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．3．（2021春•温州期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距（）A．9米B．10米C．11米D．12米【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．（2021秋•丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．【分析】（1）根据三角形中位线定理求出OC；（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：OC∥AD，∵点C为AB的中点，∴OC为△ABD的中位线，∴OC＝AD，∵AD＝1米，∴OC＝米；（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．（2021春•北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F 分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（）A．PE＝PF B．∠EPF＝120°C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故选项A不合题意；故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；∵PF＝BC，PE＝AD，PE+PF＞EF，∴BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理推出PE＝PF是解决问题的关键．6．（2021春•鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC 的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（）A．B．3C．D．5【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝＝＝10．∵点N是AD边的中点，∴BM＝AC＝5．∵BM＝3MN，∴MN＝BM＝．∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，∴MN是△ACD的中位线．∵CD＝2MN＝2×＝．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2021•梓潼县模拟）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12B．11C．10D．9【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD 的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二．反证法（共6小题）9．（2021秋•平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（）A．三个角都小于60°B．三个角都大于60°C．三个角都大于或等于60°D．有两个角大于60°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设三个角都大于60°，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•乐清市期末）用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设（）A．a⊥c B．c不平行b C．a不平行b D．a不平行c【分析】反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，即结论的反面成立．【解答】解：用反证法证明命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”时，应假设a不平行于c．故选：D．【点评】本题考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11．（2021春•南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（）A．a＜0B．a≠0C．a≥0D．a≤0【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，故选：D．【点评】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”12．（2017秋•庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．13．（2015春•萧山区期末）证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．14．（2013春•滨江区期中）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．题组A 基础过关练一．选择题（共11小题）1．（2021•太谷区校级开学）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝CF，即可求得答案．【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），分层提分∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．【点评】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出△DEP≌△BFP，FC＝BC，是解答此题的关键．2．（2021春•上城区校级期末）用反证法证明“a＞b”时应假设（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时第一步应假设：a≤b．故选：D．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（）A．4B．2C．3D．4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，∴AB＝2DF＝6，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝3，∴BF＝＝＝3．故选：C．【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2021春•上城区期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．（2018春•永嘉县期末）用反证法证明“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a ∥b”．时，第一步应先假设（）A．a不平行于b B．c不平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．【解答】解：原命题“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立，即假设a与b不平行（或a与b相交）．故选：A．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．6．（2021•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论．【解答】解：连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，∴AC＝＝，∵AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021春•婺城区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（）A．2.5B．1.5C．4D．5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020春•鄞州区期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．C．D．【分析】证明△AGF≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AG＝AC＝3，GF＝FC，求出GB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD是∠BAC平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）∴AG＝AC＝3，GF＝FC，∴GB＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF是△CGB的中位线，∴EF＝GB＝，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．（2021春•温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（）A．四边形的四个角都是直角B．四边形的四个角都是锐角C．四边形的四个角都是钝角D．四边形的四个角都是钝角或直角【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设四边形的四个角都是锐角，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．11．（2021春•成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°C．有一个锐角大于45°D．两锐角都小于45°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，故选：A．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．二．填空题（共6小题）12．（2021春•永嘉县校级期末）用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，假设的内容是＜或＝．【分析】用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设它的否定“＜或＝”．【解答】解：由于命题“＞”的否定为“或”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设＜或＝，故答案为：＜或＝．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“＞”的否定为“＜或＝”，是解题的关键．13．（2021春•饶平县校级期末）如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是30cm．【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周长是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021春•红寺堡区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝3厘米．【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC、BD的中点，∵AC+BD＝24厘米，∴OB+0A＝12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝18﹣12＝6厘米，∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴AB＝2EF，∴EF＝6÷2＝3厘米，故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．15．（2020春•衢州期末）如图，为测得B，C两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，测得DE＝15米，则BC＝30米．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝30（米），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2021春•灞桥区校级月考）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步这个三角形是等腰三角形．【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可．【解答】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．故答案为这个三角形是等腰三角形．【点评】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为38．【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．三．解答题（共5小题）18．（2012春•杭州期中）在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，这与BC＝1矛盾，∴假设不成立，∴结论成立，即∠A≠30°．【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．19．（2009春•杭州校级期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以l1与l2不平行．【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．【解答】证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．【点评】反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．20．（2019春•拱墅区期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是1上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会随点P的移动而变化的是①③④【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是1上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【解答】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故答案为：①③④．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．21．（2013秋•江山市校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别为AD与BC的中点，连接EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M．求证：∠BNF＝∠CMF．【分析】连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK，则EK、FK分别是△ACD和△ABC的中位线，根据平行线的性质定理即可证明．【解答】证明：连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK∵AE＝ED，AK＝KC∴EK∥DC，．同理FK∥AB，∴．∴∠FEK＝∠EFK∵EK∥DC∴∠CMF＝∠FEK∵FK∥AB∴∠BNF＝∠EFK∴∠BNF＝∠CMF【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．22．（2021春•仙居县期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而得到四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的在、性质定理证明即可．【解答】解：已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，CF＝AD，∴CF∥BD，CF＝BD，∴四边形BDFC是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∵DE＝DF，∴DE∥BC，DE＝BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，正确作出辅助性是解题的关键．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2021•宁波一模）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故选：A．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．2．（2021•奉化区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD ＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【分析】延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM＝DE＝AB，根据跟勾股定理得到AB＝＝＝5，于是得到结论．【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，解法二：延长CM交AD于T．。
九年级数学上册第3章反证法简介(青岛版)
反证法简介反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．1．定义反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡεις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它．2．解释反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾．法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”．具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法．用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”．3．使用反证法在数学中经常运用．当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"．牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”．一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆．反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”．即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”．应用反证法的是：欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题．4．证明反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：某命题：若A则B，则此命题有4种情况：1．当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；2．当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；3．当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；4．当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；∴一个命题与其逆否命题同真假即关于〉=〈的问题：大于-〉反义：小于或等于都大于-〉反义：至少有一个不大于小于-〉反义：大于或等于都小于-〉反义：至少有一个不小于即反证法是正确的．与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A假设﹁B，推出﹁A，就说明逆否命题是真的，那么原命题也是真的．但实际推证的过程中，推出﹁A是相当困难的，所以就转化为了推出与﹁A 相同效果的内容即可，这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾，或是与已知定义，定理，大家都知道的事实等矛盾．步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立．（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾．（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确．反证法在简易逻辑中适用题型：（1）唯一性命题（2）否定性题（3）“至多”，“至少”型命题。
反证法
反证法[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.知识点一间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.常见的间接证明的方法是反证法.知识点二反证法1.反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：思考(1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？(2)反证法主要适用于什么情形？答案(1)这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.(2)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.题型一用反证法证明结论否定的问题例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.证明连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，∴对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，∴AB，CD不能互相平分.反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明. 跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.题型二用反证法证明唯一性问题例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.证明假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a，又b∥a，由平行公理知b′∥b.这与b∩b′＝A矛盾，故假设错误，所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.反思与感悟证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便.跟踪训练2求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条.证明如图所示，不论点P在α内还是在α外，设P A⊥α，垂足为A(或P).假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设P A，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线P A，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立.题型三用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根)证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f (α)＝f (β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x＜2中至少有一个成立.证明 假设1＋x y ＜2和1＋y x ＜2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x ≥2同时成立.∵x ＞0且y ＞0，∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾，∴1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成立.因反证法中的反设不当致误例4 用反证法证明：若a ＞b ＞0，则a ＞b .错解 假设a ＞b 不成立，则a ＜b . 若a ＜b ，则a ＜b ，与已知a ＞b 矛盾. 故假设不成立，结论a ＞b 成立.错因分析 a ＞b 的否定应为a ≤b ，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误.正解 假设a ＞b 不成立，则a ≤b . 若a ＜b ，则a ＜b ，与已知a ＞b 矛盾； 若a ＝b ，则a ＝b ，与已知a ＞b 矛盾.故假设不成立. 所以a ＞b 成立.防范措施 在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°答案 B3.“a<b”的反面应是()A.a≠bB.a>bC.a＝bD.a＝b或a>b答案 D4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A.a不垂直于cB.a，b都不垂直于cC.a⊥bD.a与b相交答案 D5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数.设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.一、选择题1.实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是()A.a，b，c都是0B.a，b，c都不为0C.a，b，c中至少有一个为0D.a，b，c不可能均为正数答案 D2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾.A.①②B.①③C.①③④D.①②③④答案 D3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c 与b不可能是平行直线.故应选C.4.有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角答案 C6.若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)B.[－2,1]C.(－∞，1]∪[2，＋∞)D.[－2，－1] 答案 A解析 若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0有实根，则(a －1)2－4a 2≥0，∴－1≤a ≤13.若方程x 2＋2ax －2a ＝0有实根，则4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0.∴当两个方程至少有一个有实根时，－1≤a ≤13或a ≤－2或a ≥0，即a ≤－2或a ≥－1.二、填空题7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________.(填序号)答案 ③①②。
4.4反证法[精选文档]
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延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_° 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
什么时 候运用 反证法 呢？
例 求证：在同一平面内,如果一条直线 和两条平行直线中的一条相交,那么 和另一条也相交。
已知：如图，a∥b，c与a相交于点P
求证： c与b相交
c Pa
b
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
定理:在同一平面内,如果两条直线都 和第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行.
几何语言表示:
a
∵a∥b,b∥c,
b
c
∴a∥c
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交, l
这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？
所以，李子是苦的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被
别 人采摘,
这与“多子”产生矛盾.
【高中】高中数学方法解之反证法
【关键字】高中反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以一定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。
它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：一定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论→ 推导出矛盾→ 结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而一定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
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1．用反证法证明“至多有两个解”的说法中，正确的第一步是假设()
A．有一个解B．有两个解
C．至少有三个解D．至少有两个解
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确假设为()A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
4．用反证法证明命题：正整数X、Y、Z的和为偶数，那么X、Y、Z中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()
A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________，故只有a＋b≥0.逆命题得证．7．用反证法证明命题“a<b”应假设（）
A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 8．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交
9．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．
10．用反证法证明“若│a│<2，则a<2”时，应假设．
11．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD
只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点”矛盾，所以假设不成立，则．
12．完成下列证明：如上右图，在△ABC中，若∠
C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是
______或______．
当∠B是____时，则_________，这
与________矛盾；
当∠B是____时，则_________，这
与________矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
13．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．
14．下列语句中，属于命题的是（）．A.直线AB 和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C画AB的垂线C.同旁内角不互补，两直线不平行 D.连结A，B 两点
15．下列命题中，属于假命题的是（）
A.若a⊥c，b⊥c，则a⊥b
B.若a∥b，b∥c，则a∥c
C.若a⊥c，b⊥c，则a∥b
D.若a⊥c，b∥a，则b⊥c
16．下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边 B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行 D.一个角的补角大于这个角
17．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）．A.垂直 B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线垂直于同一条直线18．“两直线平行，同位角互补”是______命题（填“真”或“假”）．
19．•把命题“等角的补有相等”改写成“如果……
那么……”的形式是结果_________，那么
__________．
20．命题“直角都相等”的题设是________，结论是____________．
21．判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2）若a+b=0，则ab=0；
（3）若ab=0，则a+b=0．。